Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

являются проецирующими на ПП, если их образующие перпендику-

лярны данной ПП. Основная проекция проецирующей поверхности

обладает “собирательным” свойством - в неё проецируются все

точки и линии проецирующей поверхности.

На рис. 7.18 проецирующая цилиндрическая поверхность за-

дана элементарным чертежом, а на рис. 7.19 - основным. Образую

щая поверхности , поэтому поверхность является проецирующей

относительно . Окружность - основная проекция рассматривае-

мой поверхности - в на проецируются все точки и линии

поверхности: ; , , , , ( ) .

M M k m m k m m

1 1 1

2 2

Рис. 7.31

a g

На рис. 7.31 изображена прое-

цирующая на призматическая

поверхность ,

, так как . На все

точки и линии этой поверхности

проецируются в её основную проек-

цию треугольник : , , ,

, ( ) .

Заметим, что для задания

проецирующих цилиндрической и

призматической поверхностей до

статочно было задать только их

основные проекции и со-

ответственно.

{t(t,a)(t t;t a)}

a[A,B,D,A] t

M a g M

a g

7.4. Задание проецирующих поверхностей

. При ортогональном проецировании

проецирующими могут быть только поверхности, несущие на себе

каркас параллельных прямых: плоскость (см. лекцию 3),

цилиндрическая и призматическая поверхности. Эти поверхности

Поверхность называется проецирующей относительно ПП,

если она проецируется на эту ПП в линию, называемую основной

проекцией поверхности

Л Е К Ц И Я 8

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В лекции 4 были рассмотрены две ГПЗ для прямых и

плоскостей: 1ГПЗ - задача на пересечение линии и поверхности;

2ГПЗ - задача на пересечение двух поверхностей. В зависимости от

вида пересекающихся ГО возможны три случая их расположения

относительно плоскостей проекций, каждому из которых соответ-

ствует определенный алгоритм решения. В основу любого из этих

алгоритмов положено условие - точка или линия пересечения

принадлежат каждому из пересекающихся ГО.

8.1. Первый случай ГПЗ (ГПЗ-1)

В 1-м случае пересекаются проецирующие ГО, которыми при

ортогональном проецировании могут быть прямая линия, плоскость,

цилиндрическая и призматическая поверхности. Согласно алго-

ритму (лекция 4) в 1-м случае обе проекции точки или линии

пересечения известны и их только обозначают.

На рис. 8.1 показано решение 1ГПЗ-1 с призматической

поверхностью и прямой ; на рис. 8.2 - 2ГПЗ-1 с цилинд-

рической поверхностью и плоскостью , на рис. 8.3 - с

цилиндрической и призматической поверхностями.

Ô Ï a Ï

Ô Ï Ï

1 2

Рис. 8.1 Рис. 8.2 Рис. 8.3

Пусть прямая и поверхность (рис. 8.1) пересекаются в точ-

ках и . Тогда и . Поэтому (на все

точки прямой проецируются в точку ) и ,

(в прямоугольник

a Ô

K N K,N a K,N Ô a K N Ï

a a K =a Ô N =a Ô

Ô - основную проекцию призматической поверх-

ности проецируются на все точки этой поверхности).Ï

2 2 2

2 1 11 1

На рис. 8.2 . Но

( ) (

кривую

k= k k Ô k

все точки плоскости проецируются на в прямую ,

а все точки цилиндрической поверхности проецируются на

в . Из тех же соображений на рис. 8.3 выделены

и обозначены проекции и линии пересечения поверхностей

и .

Ô Ï

Ô )

k k

1 2

8.2. Второй случай ГПЗ (ГПЗ-2)

Во 2-м случае один пересекающийся ГО является проецирую-

щим, а второй непроецирующим. Алгоритм решения ГПЗ в этом

случае:

1. Одна проекция точки или линии пересечения задана на чертеже.

2. Она принадлежит основной проекции проецирующего ГО и её

только обозначают.

3. Неизвестная проекция точки или линии пересечения строится

по её известной проекции из условия принадлежности точки или

линии пересечения непроецирующему ГО.

На рис. 8.4 определены точки и

пересечения кривой и призматической

поверхности : , и , . Так

как , то все точки поверхности проеци-

руются на в треугольник - основную

проекцию призматической поверхности, и

, . и найдены на

с использованием , и линий связи.

В задаче надо решить вопрос види

мости линии относительно . На

участке между левым контурным ребром и

точкой кривая не видна, поскольку не

видна относительно точка . Н

между точками и кривая находится

K N

K N k K N

K =k N =k K N

k K N

k Ï

N k

Ï N

N K

а участке

Рис. 8.4

11111

2 2

1 1

внутри непрозрачной поверхности и также не видна. На участке

между точкой и правым контурным ребром кривая видна, так как

относительно точка .

Ï K видна

На рис. 8.5 построены точки и пересечния прямой с

отсеком конической поверхности вращения

K N a

Ô{t(t,j;t j)(t =t j)}.

K N a a Ï a K N K N, . Проекции и находили

по их известным проекциям и из условия, что .K N K,N

2 2 2 2

Ô Ï

1 1

k Ô

1 1

2 2

Прямая пересекает ци-

линдрическую поверхность в её

нижней части (см. в поле на

). Поэтому относительно

через отверстие окружность )

виден небольшой отрезок прямой

за точкой .

a Ï

(

Ô K N

K =m a N =m a

- поверхность вращения, поэтому и

найдены с использованием окружности

радиуса , принадлежащей поверхнос-

ти и проходящей через искомые точки:

и .

Относительно виден участок

прямой, находящейся внутри поверхности -

тончайшей оболочки. На участке прямая

не видна: она находится ниже поверхности,

поскольку точка прямой ниже конкуриру-

ющей с ней точки поверхности (см. в

поле на и ).

Ï NK

E F

Рис. 8.5

1 1 1 1 1 1

1 1

На рис. 8.6 построены точки

и пересечения цилиндричес

кой поверхности

с прямой . Так как ,

то и известны: .

и найдены по их известным

проекциям и

с использованием

прямолинейных образующих и

(поверхность - линейчатая).

Образующие построены по дан-

ному закону образования, начи-

ная с проведения через

K N

Ô{t(t, m)(t m;

t t)} a a Ï

K N K N a

K N

t Ô

t t

из условия,

что ,K,N

a параллельно .t

t t

N K

2 2

2 1

22 2

Рис. 8.6

22 2 2 2

2 2

Проекция линии из

ве тна:

k k -

k= (t )с

(в окружность наk

проецируются все точки

поверхности ).

Проекцию прибли

женно проводят через фрон

тальные проекции некоторого

числа точек линии . Каждую

из этих проекций строят так:

на берут горизонтальную

проекцию точки и ищут её

фронтальную проекцию из

условия принадлежности точ-

ки сфере - с помощью окруж-

ности . ГА построения фрон-

тальной проекции произ-

вольной точки :

M k

Далее приводятся несколько примеров решения 2ГПЗ-2.

Построить линию пересечения сферы

и цилиндрической поверхности вращения

, показав построение её характерных точек.

Определить видимость линии и взаимную видимость контурных

линий пересекающихся поверхностей (рис. 8.7).

ПРИМЕР 8.1. k

Ô{m(m,j;C j)(m =m j)}

{t(t,j ;t j )(t =t j )}

Рис. 8.7

Ô Ï

1. M

m .

A .

- точки, расположенные

на контурных линиях пересекающихся поверхностей; “крайние”

точки кривой - самая верхняя, самая левая и т. п.; точки, опре-

деляющие оси кривой, и т. д. В задаче на рис. 8.7 точки , , распо-

ложены на контурных линиях сферы, причем точка - самая нижняя

точка кривой; самая левая и правая точки кривой лежат

Характерные точки линии пересечения

1 2 3

4 5

на контурных образующих цилиндрической поверхности; - самая

верхняя точка кривой (проекция на рис. 8.7 не обозначена).

Проекции , найдены на меридиане, а - на экваторе сферы;

проекции , , построены подобно проекции .

Количество точек, используемых для построения , должно

быть таким, чтобы по ним можно было однозначно определить и с

достаточной степенью точности вычертить эту проекцию.

Границей видимости точек поверхности относительно ПП

являются крайние относительно этой ПП контурные линии поверх-

ности. Поэтому

. Границей видимости точек сферы относительно

является её меридиан - при взгляде на видны все точки линии

, лежащие перед меридианом (точки , , , , , ). Видимость

точек цилиндрической поверхности относительно меняется на

крайних её образующих, проходящих через точки и , - при

взгляде на видны все точки линии , лежащие в передней части

поверхности (точки , , , ). В результате относительно види-

мыми будут те точки , которые одновременно видны и для

сферы, и для цилиндрической поверхности - точки , , , .

В учебном курсе принята модель: поверхности при пересече-

нии образуют единую фигуру и друг в друга не проникают. Так левая

контурная образующая цилиндрической поверхности существует

только до точки , в которой она пересекает сферу, правая - до

точки , а меридиан сферы не существует между точками и .

Определяя взаимную видимость контурных линий пересекаю-

щихся поверхностей, удобно использовать конкурирующие точки.

Пусть надо определить: относительно видна левая образующая

цилиндрической поверхности от точки до точки или меридиан

сферы от точки до точки , где и - конкурирующие точки контур-

ной образующей цилиндрической поверхности и меридиана сферы.

Ответ: точка цилиндрической поверхности ближе к наблюдателю

точки сферы (см. на и на рис. 8.7), поэтому относительно

видна часть контурных образующих цилиндрической поверхности, а

часть меридиана сферы не видна.

1 2 3

4 5 6 M

k 1 4 M 3 5 2

4 5

4 M 3 5

5 1 2

7 4 m

8 1 7 8

8 7 8

видимость линии пересечения поверхностей может

меняться только в точках этой линии, расположенных на крайних

относительно рассматриваемой ПП контурных линиях одной из

поверхностей

Проекции несуществующих контурных линий на чертеже либо не

наносят, либо вычерчивают тонкой сплошной линией

линии k

1 1

2 2 2 2

C Q

L Gt D t

2 2 22

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

A B D

1 1 1

F Q

3 4

1 1

Рис. 8.8

На рис. 8.8 построена линия пересечения цилиндрической

поверхности ,

Ô{l(e,l)(l e;l l)} с призматической {t(a,t)(t a;t t)}

a[A,B,D,A]

i ii i

Грань призматической поверхности пересекает цилинд-

рическую поверхность по отрезкам двух образующих (грань

параллельна образующим поверхности ), а грани и - по

дугам эллипсов, имеющих общие точки с отрезками образующих на

ребрах и поверхности .

BA BD

t t

Призматическая поверхность ( ). Поэтому все её точ-

ки проецируются на в треугольник и проекция линии

известна: ( - ломаная ). Для построения проекции

k k

k k H A D R

Ï a

2 2

2 2 2 22 2 2

k k

M k

ищут горизонтальные проекции нужного числа точек линии ,

используя для этого их фронтальные проекции и образующие ци-

линдрической поверхности. Например, проекция произвольной

точки найдена согласно следующему алгоритму:

1. M

;

e .

;

l l

Проекцией на цилиндрической поверхности в общем слу-

чае задаются две точки - собственно точка ( , ) и точка

M M M M M M

M l M l l l l l

N N

( , ).

Точка , а точка , причем . На образующих и еще

расположены точки и второго эллипса.

- точки , , и , расположенные

на ребрах и призматической поверхности, и точки , , , , и

, принадлежащие контурным образующим цилиндрической поверх-

ности. Проекции , , , , , найдены на горизонтальных

проекциях , и этих образующих по известным фронтальным

проекциям точек с помощью линий связи. Проекции , , , по-

строены аналогично проекции (см. приведенный выше алгоритм

её определения). Точки , , , , и принадлежат эллипсам, а

точки , , и - общие точки эллипсов и отрезков и (по

этим отрезкам цилиндрическая поверхность пересекается гранью

призматической поверхности).

Характерные точки линии k L G P T

t t H E F R Q

E C F Q H R

l l l

L G P T

H E F R Q C

L G P T [L,P] [G,T]

В результате пересечения не будут существовать ребра приз-

матической поверхности между точками , и - между точками ,

; контурные относительно образующие цилиндрической поверх-

ности между точками , и между точками , и контурная от-

носительно образующая этой поверхности между точками , .

t L G t P

l E C l F Q

l H R

Относительно видны все точки призматической поверхнос-

ти, расположенные в верхних гранях и , то есть целиком

видны обе дуги эллипсов и не видны отрезки образующих и

. У цилиндрической поверхности относительно видны все её

точки, лежащие выше контурных относительно образующих и ,

то есть только части дуг эллипсов и , и не видны

дуги эллипсов , и , , а также отрезки указанных образую-

щих. Окончательная видимость линии относительно совпадает

с видимостью линии на цилиндрической поверхности.

BA BD

[L,P]

[G,T]

l l

FM HME QN RNC

GF LE TQ CR

2 2

i 1 4

i 4

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1

Для определения видимости контурных линий пересекающих-

ся поверхностей на одном из участков использованы конкурирую-

щие относительно точки образующей цилиндрической

поверхности и ребра призматической поверхности. Так как

точка выше точки (см. на и ), то на рассматриваемом

участке видна до точки образующая и не видно до точки

ребро . В данном примере вопрос видимости контурных линий

решался ещё для трех аналогичных участков фигуры, полученной в

результате пересечения поверхностей.

3 l

4 t

3 4 3 4

C l P

2 2

Л Е К Ц И Я 9

9.1. Конические сечения

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

(продолжение)

При пересечении конической поверхности плоскостью в зави-

симости от их взаимного положения линией пересечения может

быть та или иная кривая второго порядка. На рис. 9.1 - 9.3 это

демонстрируется на примере пересечения конической

поверхности вращения.

плоскостью

Рис. 9.1 Рис. 9.2 Рис. 9.3

Если плоскость пересекает все образующие конической

поверхности, не пересекает её вторую полость и < (рис. 9.1), то

в сечении получают ( ) или его частный случай -

( ). Если плоскость параллельна одной образующей кони-

ческой поверхности, не пересекает её вторую полость и = (рис.

9.2), то в сечении получают ( ) или её частный случай -

эллипс окруж-

ность

параболу

Так строят нужное число

произвольных точек линии .k

Характерными точками

линии пересечения являются

точки и , расположенные

на контурных относительно

образующих и

1 2

t t коничес-

кой поверхности ( также са-

мая верхняя и правая точка

линии , а - самая нижняя

и левая), и точки и , ле-

k 2

3 4

пару совпадающих прямых ( ). Если плоскость параллельна двум

образующим конической поверхности, пересекает обе её полости и

> (рис.9.3), то в сечении получают ( ) или её частный

случай - ( ) (рис. 9.3).

гиперболу

пару пересекающихся прямых

Построить линию пересечения конической

поверхности и плоскости (рис. 9.4).

Линия в примере является эллипсом, поскольку плоскость

пересекает все образующие конической поверхности и не

пересекала бы её вторую полость при наличии таковой.

Проекция линии известна: . Проекцию

приближенно проводят через проекции ряда точек .

определяют по проекциям и условию согласно ГА:

ПРИМЕР 9.1. k

{t(T,m)(t T;t m)}

k k k k

k M M k

M M k M

i i

2 2

t t

1 2

2 2

Рис. 9.4

1. M

жащие на контурных относительно образующих и . Точки

и искали так: по известным проекциям и строили их

проекции и и находили ; ; ; (в

примере и ).

t t 3

4 t t

t t 3 =t k 3 t 4 =t k 4 t

t t 3 4

1 1

2 2

1 1

2 2 2

1 1

3 4

2 2 22