Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

1. Если хотя бы одна из сторон

прямого угла ( ) параллельна ПП

( ( ) ), то прямой угол проеци-

руется на эту ПП в прямой угол ( ).

2. Если хотя бы одна из прямых

параллельна ПП ( ), а их

проекции на эту ПП перпендикулярны

( ), то данные прямые

a b

( )

перпен-

дикулярны ( ).a b

n n

3. Если перпендикулярны ( ) и перпендикулярны их

проекции ( ) на ПП ( ), то хотя бы одна из данных прямых

параллельна этой ПП ( ( ) ).

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести

бесконечное множество прямых перпендикулярно данной прямой,

но только одна из этих прямых пересекает данную, а остальные

скрещиваются с ней.

прямые a b

a b

n n

проекций ( ) и проекцию прямого угла на эту ПП, то можноÏ

сформулировать три теоремы:

Рис. 2.18 Рис. 2.19

ПРИМЕР 2.1. Заданы прямая ( , ) и точка ( , ).

Через точку провести прямую перпендикулярно прямой (рис. 2.18).

a a a M M M

M a

1 2

Если дана прямая общего положения, то без дополнительных

построений, используя только теорему о проецировании прямого

угла, через точку можно провести лишь две прямые перпендику

лярно данной прямой, причем в общем случае обе они будут

скрещиваться с .

ней Одна из этих двух прямых - горизонталь на

рис. 2.18 ( ), а второй прямой могла бы быть

фронталь ( ).

h Ï h a h a

f a f a

2 2

Рис. 2.17

1. Задали новую ПП и перевели прямую в

положение прямой уровня. Для построения проекции на прямой

Ï a Ï a

a a

взяли произвольные точки и

A A A

B B B

( , )

( , ) нанесли старую ось проекций

( , и новую ось проекций

(можно было задать ), нашли проек-

ции точек , , и через и прове-

ли прямую .

M M

A B M A B

)

ПРИМЕР 2.2. Даны точка ( ) и горизонталь ).

Построить прямую , проходящую через точку и пересекающую

под прямым углом (рис. 2.19).

Порядок построения на рис. 2.19 был следующим:

M M M h h h

t M h

, ( ,

1 2 1 2

1. t M t h .

4. t M , .

3. K h .

2 2

1 1 1

2. .

2 2 2

В примере через точку без дополнительных построений

можно было провести любую из бесконечного множества прямых,

перпендикулярных горизонтали, причем горизонтальные проекции

всех перпендикуляров совпадали бы с .

ПРИМЕР 2.3. Даны прямая ( , ) и точка ( , ).

Через точку провести прямую , пересекающую под прямым

a a a M M M

M l a

углом (рис. 2.20).

Последовательность выполнения примера:

1 2

2. В поле применили теорему о

проецировании прямого угла: через точку

провели и нашли точку

( - точка пересечения прямых и ).

Проекции и определялись точками ,

и , соответственно.

M l a K =l a

K=l a l a

l l M

K M K

3 3 3 3 3 3

2 1

Рис. 2.20

1 2 2

ПЛОСКОСТЬ

Плоскость относят к линейчатым поверхностям, которые могут

образовываться при перемещении в пространстве прямой линии.

Подробнее вопросы образования и задания поверхностей рассмотрены

3.1. Задание плоскости общего положения

Л Е К Ц И Я 3

в лекции 6. Здесь отметим только, что плоскость и

другие поверхности не задаются на чертеже, как точки и линии,

своими проекциями (проекциями всех своих точек), представляю-

щими собой бесконечное множество точек.

в общем случае

- это плоскость, не

и, следовательно, не . Из элемен-

тарной геометрии известно, что не лежащие на

одной прямой - ( ); -

Плоскость общего положения

плоскость определяют

три точки две пересекающиеся прямые

перпендику-

лярная параллельная ни одной из ПП

A B D, ,

( ); - ( );

- ( , ); - ( , , , ) или ( ), реже

(в скобках после обозначающей плоскость

a b a b

a A A B D A ABD

две параллельные прямые прямая и не лежащая

на ней точка треугольник

другая плоская фигура

буквы условно указан способ задания плоскости).

Если плоскость задана не удобно для решения задачи, то надо

перейти к другому способу её задания. При этом от способа задания

плоскости тремя точками всегда переходят к какому-нибудь другому

способу, чаще всего треугольником

3.2. Построение прямой линии в плоскости общего положения

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две

точки плоскости или если она проходит через точку плоскости

параллельно одной из прямых плоскости

На рис. 3.1 в плоскости ( ) построена произвольная прямая ,a b l

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3

проходящая через точку прямой и точку прямой : ;

; . Обычно одну из проекций или

проводят произвольно, а вторую строят, используя проекции точек

и . Если плоскость задана прямой и точкой (плоскость

( ) на рис. 3.2), то прямую целесообразно проводить через

данную точку ( ). На рис. 3.3 в плоскости ( ) построена прямая

: ;

1 a 2 b 1 a 1

2 b 2 l 1 l 2 l l l

1=l a 2=l b

a A l

A a b

t 1 a 1 t 1 t b t

1 2

Горизонталь плоскости начинают строить с проекции , а

фронталь плоскости - с проекции ( , ). Проекции

и строят по точкам, используя проекции и и условие при-

надлежности и плоскости. На рис. 3.4 в плоск ти ( , , , )

построены горизонталь и линия ската , проходящие через

вершины и соответственно:

h h x

f f x h Ï f Ï h

f h f

h f A B D A

h t

A B

ос

- это горизонталь плоскости, фрон-

таль плоскости и линии наклона плоскости к плоскостям проекций.

- прямая, параллельная и принадлежащая

плоскости. - прямая, параллельная и при-

надлежащая плоскости.

Главные линии плоскости

Горизонталь плоскости

Фронталь плоскости

Линии наклона плоскости

линией ската

- прямые

плоскости, перпендикулярные к линиям уровня плоскости. Линию

наклона плоскости к плоскости , перпендикулярную горизонтали

плоскости, называют также . Линия наклона плоскости

образует с соответствующей плоскостью проекций угол, по величине

равный углу наклона плоскости к этой ПП.

1 1

2 2 1

Рис. 3.4 Рис. 3.5

1. - через параллельно оси провели .

2. - нашли точку пересечения и , .

3. - нашли из условия её принадлежности , .

4. провели через точки и .

5. - через перпендикулярно провели .

6. . .

h A h x A x h

1 =h [B ,D ] 1 h [B D ]

1 [B ,D ] 1 [B D ]

A ,1 h A 1

t B t h B h t

2 =t [A ,D ] 2 [A ,D ] t B ,2

7. 8. .

2 2 2

1 1

1 1 1

2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

На рис. 3.5 в плоскости ( ) построена произвольная фрон-

таль : , а где

Все горизонтали плоскости параллельны друг другу. Это же от-

носится к фронталям плоскости и линиям наклона плоскости к ПП.

a b

f f x f 1 ,2 1=f a 2=f b, , .

1 2 2 2

(ОПЗ). ОПЗ является одной из

ключевых задач НГ: возможность решения ОПЗ на чертеже под-

тверждает то, что поверхность на этом чертеже задана (лекция 6).

Существуют три формулировки ОПЗ:

Задача на принадлежность точки поверхности называется

основной позиционной задачей

3.3. Принадлежность точки плоскости общего положения

1. На чертеже задана поверхность. Построить проекции произ-

вольной точки, принадлежащей поверхности.

2. На чертеже заданы поверхность и одна проекция точки, при-

надлежащей поверхности. Построить вторую проекцию точки.

3. На чертеже заданы поверхность и точка. Определить, принад-

лежит точка поверхности или нет.

Для решения ОПЗ используется

: точка принадлежит поверхности, если она

принадлежит линии этой поверхности. Поэтому ОПЗ выполняется в

соответствии с таким пространственным алгоритмом (ПА):

условие принадлежности

точки поверхности

. - на поверхности строится некая линия .

. - на линии задается (ищется, берется) точка .

a Ô Ô a

M a a M

- последовательность

геометрических построений в пространстве, приводящих к решению

задачи. Для пояснения порядка выполнения многих задач на черте-

же условными знаками будет записываться

(ГА) их решения - последовательность графических построений на

чертеже, приводящих к решению задачи. При этом одна и та же

задача обычно имеет несколько ГА её выполнения.

В общем случае ПА решения задачи

графический алгоритм

В плоскости точки строят с помощью прямых линий, и для

плоскости ПА решения ОПЗ имеет вид: . l M l. ..

В дальнейшем буквами и будут обозначаться только

прямые линии

l t

Задана плоскость ( ). Построить проекцииПРИМЕР 3.1. a b M

и произвольной точки , принадлежащей этой плоскости (рис. 3.6).M M

Условимся, что точка считается произвольной, если она не

принадлежит ГО, задающему поверхность (здесь ). Точка

строилась с помощью произвольной прямой согласно ГА:

M a M b

M l

1. l a l b .

2 .. 1 =l a

3 .. 1 a

7 .. M l

8 .. M l

4 .. 2 =l b

5 .. 2 b

6 .. l 1 ,2

11 1 1

1 1 1

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

2 2

1 1

x x

Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8

Заданы плоскость ( ) и проекция точки

, принадлежащей плоскости (рис. 3.7). Построить .

Сначала, соединив три точки , и , переходят к способу

задания плоскости треугольником. Далее задача решается с

использованием прямой :

ПРИМЕР 3.2. A,B,D M

M M

A B D

3. .1 [B ,D ] 5. M l .

1 1 1

1. l M ,A .

2 2 2

2. 1 =l [B ,D ].

2 2 2 2

1 1

4. .l A ,1

1 1 1

Заданы плоскость ( ) и точка (рис. 3.8).

Определить, принадлежит точка плоскости или нет.

При ответе на вопрос о принадлежности точки плоскости

делается попытка построить в плоскости прямую, проходящую

через точку :

ПРИМЕР 3.3. A,a M

M l M l M .

1 1

1. l A ,M .

2 2 2

2. 1 =l

2 2 2

3. 1 a .

1 1

4 .. Оказалось, чтоl A ,1

1 1 1

3.4. Плоскости частного положения

К плоскостям частного положения относят проецирующие

плоскости и плоскости уровня.

- это плоскость, перпендикулярная

какой-либо ПП. Плоскость, перпендикулярную , называют гори-

зонтально проецирующей, а перпендикулярную - фронтально

проецирующей.

, к которой она

перпендикулярна,

. На рис. 3.9 основной проекци-

ей задана плоскость , а проекцией - плоскость .

Проецирующая плоскость

Проецирующая плоскость проецируется на ПП

в прямую линию, называемую её основной проек-

цией Чтобы задать проецирующую плоскость, достаточно задать

основную проекцию этой плоскости

ÏÏ

1 2 2

x x

1 1 1

Основная проекция обладает собирательным свойством: на

ней расположены проекции всех точек и линий проецирующей

плоскости. Поэтому

. На рис. 3.10 в плоскости заданы

точка , прямая , горизонталь и фронталь : , ,

. При этом фронталь горизонтально проецирующей плоскости

. На рис. 3.10 в плоскости заданы точка , прямая ,

горизонталь ( ) фронталь

фигура принадлежит проецирующей плоскости,

если её соответствующая проекция принадлежит основной

проекции этой плоскости

M l h f M l h

f Ï N t

h f .h и

Плоскость уровня

Плоскость уровня - частный слу-

чай проецирующей плоскости

- это плоскость, параллельная какой-либо

ПП. Плоскость, параллельную , называют горизонтальной, а

параллельную - фронтальной.

: если , то , а если ,

то . Поэтому плоскости уровня задаются своими основными

проекциями, параллельными оси проекций: на рис. 3.11 проекци-

ей задана плоскость , а на рис. 3.12 проекцией -

плоскость . На рис. 3.11 также заданы прямые , и плоскос-

ти . Так как , то все эти прямые фронтали, а прямая еще и

горизонталь ( ).

x x

l t b

b b

1 1

1 11

Ï Ï

Ã Ï

1 1

2 2 2 2

Расположенная в плоскости уровня фигура проецируется на

ПП, которой эта плоскость параллельна, в натуральную величину.

Проецирующая прямая параллельна проецирующей плоскости,

если прямая и плоскость перпендикулярны одной ПП. Непроецирую-

щая прямая параллельна проецирующей плоскости, если

соответствующая проекция прямой параллельна основной проекции

плоскости. На рис. 3.15 и .e e d d

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся

прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересе-

кающимся прямым другой. На рис. 3.16 заданы параллельные

плоскости ( ) и ( ), у которых и .a b Ã l t l a t b

Так, , расположенный в плоскости , проецируется на без

искажения: (рис. 3.12).

ABD

ABD = A B D

Ã Ï

1 1 1

3.5. Параллельность прямой и плоскости,

параллельность плоскостей

. На рис. 3.13 прямая параллельна

плоскости ( ), поскольку .

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-

либо прямой этой плоскости g

a b g a

x x

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Рис. 3.15

Заданы плоскость ( ), точка ( ) и

проекция прямой , , . Построить .

ПРИМЕР 3.4. a b M M

t t t M t t(рис. 3.14)

Для решения задачи в плоскости строилась некая прямая :l t

1. l t l a b .

1 1 1 1

2. 1 =l ,

1 1

2 =l

1 1 1

b .

3. 1, a 2 b .

2 2 2 2

4 , .. l 1 2

2 2 2

5. t M t l .

2 2 2 2

Рис. 3.16 Рис. 3.17

На рис. 3.17 через точку проведена плоскость , параллель-

ная плоскости ( ). Для этого в плоскости построили произ

вольную прямую и задали плоскость прямыми и , ).

E Ã

a b -

d Ã l t l d t a(

3.6. Решение 3-ей и 4-ой основных задач преобразования

чертежа способом задания новой ПП

: преобразовать КЧ так, чтобы плоскость

общего положения стала проецирующей плоскостью.

Чтобы плоскость общего положения стала проецирующей,

новую ПП задают перпендикулярно горизонтали плоскости и

(новая ось проекций ) или перпендикулярно фронтали

плоскости и (новая ось проекций ).

Условие 3ОЗПЧ

Ï h Ï

3 1

Рис. 3.18

3 3

В примере на рис. 3.18 в

плоскости ( ) проведена

произвольная горизонталь и

задана новая ПП . Основ-

ную проекцию плоскости

строили с использованием оси

и точек и ( - произ-

вольная точка плоскости). Угол

определяет величину угла

наклона плоскости к .

a b

Ï h

1 3 3

: преобразовать КЧ так, чтобы проецирующая

плоскость стала плоскостью уровня.

Условие 4ОЗПЧ

Для решения 4ОЗПЧ новую

ПП задают параллельно данной

плоскости и перпендикулярно той

ПП, на которую данная плоскость

является проецирующей (новую

ось проекций проводят параллель-

но основной проекции плоскости).

На рис. 3.19 плоскость

заданием переведена

в положение плоскости уровня.

При этом любая фигура, лежащая

в плоскости , например,

проецируется на ПП в натураль-

ную величину: .

Ã Ï

ABD

Рис. 3.19

Ï Ã

A B D

A B D ABD

3 3 3

ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ГЛАВНЫЕ

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

4.1. Основные метрические задачи

Л Е К Ц И Я 4

Всякая задача, в условии или в процессе решения которой

встречается численная характеристика, называется

. К метрическим задачам относят задачи на определение

расстояний, углов, натурального вида фигур и т. д.

Из множества метрических задач выделяют две, лежащие в

основе решения других метрических задач и называемые поэтому

1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости.

2ОМЗ - задача на определение длины отрезка или расстояния

между двумя точками.

метрической

задачей

основными метрическими задачами (ОМЗ)

4.2. Решение 1ОМЗ

1ОМЗ имеет две возможные формулировки:

- через точку провести прямую перпендикулярно данной плос-

кости (точка может принадлежать плоскости или нет);

- через точку провести плоскость перпендикулярно данной

прямой (точка может принадлежать прямой или нет).

: прямая перпендикулярна плоскости (всем пря-

мым плоскости), если она перпендикулярна двум пересекающимся

прямым этой плоскости, .

Эта теорема позволяет использовать при построении взаимно

перпендикулярных прямой и плоскости на чертеже прямых уровня,

существенно облегчая решение 1ОМЗ. Сформулируем с учетом

теоремы

Решение 1ОМЗ базируется на признаке перпендикулярности

прямой и плоскости

и теореме о проецировании прямого угла

признак перпендикулярности прямой и плоскости для

чертежа

- : чтобы построить прямую , перпенди-первая формулировка l

кулярную плоскости , в строят горизонталь и фронтальÃ Ã h f

(если они не заданы) и проводят ;l h l f

- : плоскость , перпендикулярную прямой

, задают горизонталью и фронталью , проводя .

вторая формулировка

l h f h l f l

На рис. 4.1 через точку перпендикулярно прямой

проведена плоскость , заданная горизонталью ( ) и фрон-

талью ( ). На рис. 4.2 через точку проходит прямая ,

M a

h a h a

f a f a M l

1 1

2 2