Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 6.1

У образующей при образо-

вании поверхности могут непре-

рывно меняться как параметры

положения, так и параметры

формы (сравните , , ..., ).

Различные элементы каркаса

связывают между собой величи-

ной, называемой параметром

каркаса. Каждому конкретному

параметру каркаса соответствует в

пространстве конкретная по фор-

ме и положению линия каркаса

a a a

(образующая). Если параметр каркаса меняется непрерывно, то

каркас поверхности непрерывен, а если дискретно, то каркас

поверхности дискретен.

Различают - каркас,

совокупность всех линий которого покрывает всю поверхность, и

- каркас, полностью

заполняющий часть поверхности, которой принадлежит.

, так как он состоит из бесконечного числа линий, а каждая

линия на чертеже должна иметь определенную толщину. Поэтому на

рис. 6.1 приведен дискретный каркас поверхности , в то время как

образующая перемещается непрерывно.

полный непрерывный каркас поверхности

неполный непрерывный каркас поверхности

Непрерыв-

ный каркас поверхности изобразить на чертеже нельзя принци-

пиально

При движении образующей каждая её точка описывает в

пространстве некоторую линию ( , , ..., , ...). Например, линия

на рис. 6.1 образуется перемещением точки . Но тогда можно

считать, что поверхность образуется перемещением образующей

, которая при движении во всех своих положениях пересекает

линии , называемые направляющими линиями (

- линия, которую при перемещении постоянно

пересекает образующая поверхности).

b b b b

b A

a a

b направляющая

линия поверхности

Таким образом, на любой кинематической поверхности мож

но выделить два семейства линий - подвижные линии семейства

образующих и неподвижные линии семейства направляющих .

Каждая линия одного семейства пересекает линии другого

семейства, но никакие две линии одного семейства на пересекаются

между собой. В свою очередь, через любую точку поверхности

a b

1 2

можно провести линию семейства образующих и линию семейства

направляющих. Поменяв местами линии семейств и , считая

линии семейства неподвижными направляющими, по которым

скользят образующие семейства , получим ту же поверхность .

Дискретный каркас поверхности может быть линейным и

состоять из некоторого количества линий семейства или , либо

может формироваться одновременно линиями обоих семейств,

образующими на поверхности сетку (сетчатый каркас).

Всякая поверхность несет на себе сколько угодно каркасов

различных линий, так как образующая поверхности и закон её

образования могут быть самыми разными. Из возможных способов

образования поверхности выбирают такие, которые являются

наиболее простыми и удобными для изображения или решения

конкретной задачи.

На рис. 6.2 дано наглядное изображение отсека (части) кони-

ческой поверхности вращения, ограниченного окружностями и .

a b

c c

Рис. 6.2

Эта поверхность может быть образована

вращением прямой вокруг пересекающей её

оси вращения ; перемещением окружности

переменного радиуса, плоскость которой

перпендикулярна оси , а центр находится на

ней (к семейству этой образующей относятся

окружности и ); перемещением эллипса,

гиперболы или параболы по определенным

законам, а также перемещением любой

линии, расположенной на поверхности.

Окружность приведена на рис. 6.2

для иллюстрации решения основной пози-

c c

ционной задачи - построения произвольной

точки на поверхности.M

В данном пособии будут рассмотрены

- плоскость, цилиндрическая, призматическая, коническая и

пирамидальная поверхности, а также поверхности Каталана

(цилиндроид, коноид и гиперболический параболоид);

, к которым отнесем

(цилиндрическую, коническую, однополостный гиперболоид враще-

ния); (только торы) и

;

- геликоиды.

линейчатые поверх-

ности

поверхности

вращения линейчатые поверхности вращения

циклические поверхности вращения

поверхность вращения общего вида линейчатые винтовые

поверхности

Тот факт, что одна и та же поверхность может быть образована

различным образом, делает классификацию поверхностей весьма

условной. Так, упомянутая коническая поверхность вращения может

быть отнесена и к линейчатым поверхностям, и к циклическим

поверхностям (поверхностям, образованным перемещением

окружности), и к поверхностям вращения.

6.2. Определитель поверхности

при выполнении

следующих условий: образующая и направляющие линии геометри-

чески определены и заданы, а образование поверхности подчинено

определенному закону. У закономерных поверхностей информация

об образующей, изменении её формы при перемещении, взаимо-

расположении и форме направляющих и условиях перемещения

образующей выражена аналитически или четко сформулирована

словесно. Отсутствие хотя бы одного из указанных условий делает

. Обычно информация о незакономер

ных поверхностях задается графически или в словесной форме.

Поверхность считается закономерной

поверхность незакономерной -

Согласно кинематическому способу образования поверхность,

рассматриваемая как множество всех положений двигающейся

образующей, определена, если в любой момент движения

образующей известны её положение и форма. Это обстоятельство

приводит к понятию определителя поверхности.

- это совокупность геометрических образов и условий,

позволяющих реализовать заданный закон образования поверхнос-

ти (строить её образующую в любой момент перемещения) .

Определитель

поверхности

Так, определителем конической поверхнос-

ти вращения при образовании её вращением

прямой вокруг оси является образующая и

ось , а также уточняющее условие .

Коническая поверхность общего вида

может быть образована перемещением прямой

по закону образования , , где - точка,

- кривая линия (рис. 6.3). Определителем

поверхности являются и .

t j t

j t j

l T l a T

Ô T a

Рис. 6.3

i i

Часто для закономерных поверхностей используют

- специальным образом организованную знаковую

запись, в которой указаны: вид образующей, определитель и закон

образования поверхности. Формула поверхности имеет структуру:

формулу

поверхности

Ô{ ... ( ... ) ( ... ) }.

обозначение

поверхности

образующая

поверхности

определитель

поверхности

закон образования

поверхности

Примеры формул: - коническая поверх-

ность коническая поверхность

вращения; -

общего вида

{l(T,a)

(

l T, l a)}

Ô{ (t,j; t j)(t =t j)}

6.3. Задание поверхности на чертеже

Поверхности в отличие от точек и линий в общем случае не

задаются на чертеже своими проекциями - проекциями всех своих

точек. Дело в том, что чертеж в общем определении есть некая

точек и линий, изображенных на плоскости.

Но проекция поверхности представляет собой совокупность

проекций всех её точек, являющуюся в общем случае бесконечным

множеством точек, которое обычно на чертеже не задаётся

непосредственно из-за бессмысленности этого.

Существует : поверхность

задана на чертеже, если он содержит такие её элементы, которые

позволяют точно или с достаточной степенью приближенности ре-

шать для поверхности основную позиционную задачу - однозначно

строить любую точку поверхности и решать вопрос о принад-

лежности поверхности .

В свою очередь, существует

: точка принадлежит поверхности, если она принад-

лежит одной из линий поверхности; сначала на поверхности строят

линию, а затем на ней задают точку.

Таким образом,

. Тогда для того, чтобы задать поверхность,

достаточно задать на чертеже один из её полных непрерывных

каркасов, который полностью покрывает поверхность и целиком ей

принадлежит. В этом случае через каждую точку поверхности

проходит линия каркаса, что позволяет строить любую точку

поверхности. Принципиально каркасами можно представлять

любые поверхности, силовые поля, закономерные процессы и др.

Однако уже отмечалось, что полный непрерывный каркас

конечная совокупность

критерий заданности поверхности

условие принадлежности точки

поверхности

чертеж поверхности должен быть таким, чтобы

на нем можно было выделять и строить линии и точки, принадле-

жащие поверхности

заданной точки данной

задать графически нельзя. Поэтому для задания поверхности на

чертеже используют другие способы.

6.3.1. Задание поверхности элементарным чертежом

называют двухкартин-

ный чертеж её определителя.

Проекции элементов определителя являются чертежом

поверхности только при условии, что закон её образования задан.

Зная определитель и закон образования поверхности, принципиаль-

но можно строить проекции образующей линии в любой момент её

движения и, следовательно, реализовать критерий заданности

поверхности, строя на чертеже проекции любой её точки. Элемен-

тарный чертеж поверхности - обратимый и метрически определен-

ный чертеж, позволяющий решать любую задачу с поверхностью.

На рис. 6.4 задан элементарный чертеж конической поверх-

ности вращения (заданы и ). Покажем, как

Элементарным чертежом поверхности

Ô{t(t,t,j;t j)(t =t j)} t j

Рис. 6.4

Рис. 6.5

на элементарном чертеже решается ОПЗ, построив проекции произ-

вольной точки конической поверхности вращения (рис. 6.5).M

Нетрудно представить, что плоскости, перпендикулярные оси

вращения, пересекают коническую поверхность вращения по окруж-

ностям. Эти окружности, принадлежащие рассматриваемой поверх-

ности, удобно использовать для построения точек на ней (подробнее

см. раздел 7.2.1). Поэтому точку на конической поверхности задают

1. 1

3. m C,

2. 1

4. ,

2 2 2

}

- на проекциях и образующей берут

и произвольной точки .

t t t

1 1 1

проек-

ции

1 2

- через точку из центра проводят окружность .1 j m

1 1 1

- через точку перпендикулярно проводят1 j

отрезок , в который проецируется наm Ï окружность .m

m 1

m j

2 2

M m

- на окружности берут проекцию произвольнойm M

точки .M

1 1

- на отрезке находят проекцию точки .m M M

2 2

- строят произвольную окружность на поверхности .

- произвольную точку берут на окружности .

ГА построения проекций точки (рис. 6.5):M

Заметим, что задача имеет бесконечное множество решений.

6.3.2. Задание поверхности основным чертежом

Элементарный чертеж поверхности - самый простой по испол-

нению её чертеж. Но он обладает плохой наглядностью: по нему

достаточно сложно представить форму заданной поверхности,

особенно начинающим изучать НГ. Более наглядным является

основной чертеж поверхности.

называют элементарный чертеж

поверхности, дополненный проекциями контурных линий.

относят: линии

точек касания поверхности проецирующими лучами; линии обреза

или границы поверхности; ребра многогранных поверхностей

(призматических и пирамидальных); линии пересечения поверх-

ностей (для составных поверхностей) и т. д.

Для гладкой поверхности линия точек касания поверхности

проецирующими лучами является линией видимости, лежащей на

поверхности и отделяющей её видимую часть от невидимой.

Линия видимости образована множеством точек касания поверх-

ности проецирующими относительно ПП лучами (рис. 6.6).

Основным чертежом поверхности или её отсека (отсек

поверхности - часть поверхности)

К контурным линиям поверхности и её отсека

Контурные линии

принадлежат самой поверхности, а на чертеже даются их проекции

Ô Ï s

с помощью окружности (рис. 6.2 и 6.5), проецирующуюся на

плоскость в окружность, а на плоскость - в отрезок прямой.

Задача решалась согласно ПА:

1 2

Из множества контурных

линий выделяют

- это контурные

линии или их части, все точки

которых обладают свойством:

проецирующий луч, проведен-

ный через точку линии, не имеет

больше общих точек с поверх-

ностью (исключение - конкури-

рующие контурные линии).

крайние кон-

турные линии

Линия видимости является

крайней контурной линией гладкой

поверхности (линия на рис. 6.6) или

составной частью крайних контурных

линий поверхности. Какие контурные

линии поверхности являются крайни-

ми, а также положение и форма

линии видимости зависит от направ-

ления взгляда (проецирования).

На рис. 6.7 приведен основной

чертеж отсека конической поверх-

ности вращения,

Контурными линиями отсека относи-

тельно являются линии , , отно-

сительно - линии , , , , где

и - линии точек касания поверх-

ности проецирующими лучами,

наглядное изобра-

жение которого показано на рис. 6.2

c c

c c g g

g g

Рис. 6.7

2 2

перпендикулярными . Л - крайние контурные

относительно ( и - конкурирующие линии: их видимые перед-

ние половины на конкурируют с невидимыми задними), а линия

- крайняя контурная относительно .

инии , , ,c c g g

c c

Крайние контурные линии всегда видны.

Проекции крайних контурных линий образуют

. Очерк поверхности - замкнутая линия на чертеже.

Поверхность рассматривается как тончайшая непрозрачная

оболочка.

очерк поверх-

ности

1 2

1 12 2

Рис. 6.6

Точки на поверхности строят одинаково, не зависимо от того,

задана она основным чертежом или элементарным. На рис. 6.7

проекцией была задана точка . Проекция точки строи-

лась с помощью окружности . Оказалось, что проекцией на

поверхности заданы две точки, одна из которых определяется

проекциями и , а вторая - и . Относительно видимой

является первая точка, расположенная в передней части

поверхности.

Элементарным и основным чертежами обычно задают

закономерные поверхности.

M M Ô M

m M

M M M M Ï

6.3.3. Задание поверхности дискретным каркасом

На рис. 6.8 тот же отсек конической

поверхности вращения задан дискретным

каркасом, элементами которого являются

концентрические окружности , , ...,

задаваемые на чертеже своими проек-

циями.

Обычно закономерные поверхности

таким способом не задаются, поскольку

поверхность, задаваемая дискретным кар-

касом, не вполне определена: поверхности

могут иметь один и тот же дискретный

каркас, но несколько отличаться друг от

друга, а точки таких поверхностей, не

лежащие на линиях каркаса, строятся

приближенно.

А вот незакономерные поверхности,

называемые иногда каркасными, графичес-

кими или нерегулярными, можно задать на

чертеже только дискретным каркасом -

c c

Рис. 6.8

некоторым числом принадлежащих им линий. Часто элементами

каркаса являются плоские кривые, расположенные в плоскостях,

параллельных друг другу. Для более точного задания нерегулярной

поверхности, её каркас задают двумя семействами линий, образую-

щих на поверхности сеть.

Примерами поверхностей, задаваемых каркасами, являются

поверхности корпусов судов, летательных аппаратов, автомобилей

и т. д. К каркасным поверхностям относятся и топографические

поверхности, раскрывающие рельеф земной коры и рассматривае-

мые во второй части курса.

Часто при изготовлении различных сооружений

некоторые поверхности . Например, при постройке

крыши сначала выполняют её каркас - обрешетку, которую затем

покрывают кровельным материалом.

дискретным

каркасом задают

Л Е К Ц И Я 7

7.1. Линейчатые поверхности

ПОВЕРХНОСТИ (продолжение)

К линейчатым поверхностям относят поверхности, которые

могут быть образованы перемещением прямой линии.

Точку на линейчатой поверхности удобно строить с по-

мощью её образующих - прямых линий согласно ПА:

l - по закону образования поверхности строят её образующую.

l - точку поверхности берут (ищут) на этой образующей.

7.1.2. Цилиндрическая и призматическая поверхности

Формула цилиндрической поверхности имеет вид:

.{ l (a, l)(l a, l l)}

Когда - кривая линия, формула представляет цилиндричес-

кую поверхность; когда - ломаная линия, - призматическую ( в

обоих случаях направляющая и образующая не лежат в од-

ной плоскости); когда - прямая линия, формула представляет

плоскость.

a l

На рис. 7.1 приведен элементарный чертеж цилиндрической

поверхности общего вида (изображены только проекции элементов

её определителя), а на рис. 7.2 - основной чертеж отсека той же

поверхности. Линии , , и - линии обреза, а линия - линия,

по которой поверхности касаются проецирующие лучи, перпендику-

лярные и , и .

a a l l g

Аналогично на рис. 7.3 приведен элементарный чертеж

призматической поверхности, на рис. 7.4 - основной чертеж её

отсека. Контурными линиями отсека являются ломаные и (гра-

ницы отсека) и ребра , , .

a a

l l l

i i

1 2

1 2 3

7.1.1. Общие замечания

Рис. 7.1

Рис. 7.3

Рис. 7.2

Рис. 7.4