Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
1
M
2
M
1
h
2
f
2
f
1
a
2
a
h
1
M
2
M
1
l
2
l
1
h
1
1
f
f
2
h
2
M
2
M
1
h
2
h
1
1
Рис. .14 Рис. 4.2 Рис. 4.3
перпендикулярная плоскости ( ), для чего в последней были по-
строены горизонталь и фронталь , а затем проведены .
a b
h f l h l f
Перпендикуляр к проецирующей плоскости является прямой
уровня. Если плоскость перпендикулярна , то перпендикуляр к ней
является горизонталью (на рис. 4.3 плоскость ), а если
плоскость перпендикулярна , то фронталью .
дополнительно : две
плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через прямую, перпендикулярную второй плоскости.
На рис. 4.4 через прямую проходит плоскость , перпендику-
лярная плоскости ( ) и заданная прямыми и , где - перпен-
дикуляр к плоскости ( ), проходящий через произволь-
ную точку .
h h
f
a
h f a l l
l h l f
M a
При решении задачи на перпендикулярность двух плоскостей
используют признак их перпендикулярности
1 221
Ï
Ï
1
2
1
Ï
1 1
1 2
2
1
l
l
1
1
1
2
2
2
2
Ã
1
1
a
2
a
l
1
2
2
2
2
1
1
1
l
1
2
2
A
2
A
1
1
2
1
1
Рис. 4.4
Рис. 4.5
На рис. 4.5 плоскость , одновременно
перпендикулярная плоскостям ( , ) и . Плоскость задана
фронталью - перпендикуляром к плоскости (
- перпендикуляром к плоскости (построена горизонталь и
проведены ).
Ã
A f Ï Ã
f f
l h l f
через точку проходитM
) и прямой
l h
2
2 2
31
1
1
1
1
1 2 21
4.3. Решение 2ОМЗ
Пусть заданы некая ПП , отрезок , и его проекция ,[ [ ]A B A B]
на (рис. 4.6). Проведем , , и получим прямоугольный тре
угольник , в котором отрезок , является гипотенузой. Сформу-
лируем
равна длине гипотенузы
[ ] [ ]
[ ]
A D A B
ABD A B
-
правило прямоугольного треугольника для решения 2ОМЗ:
длина отрезка прямой общего положения
, прямоугольного треугольника, один из катетов которого есть
проекция отрезка на плоскость проекций ( , = , ) а второй
разность расстояний концов отрезка до этой ПП ( , = , , );
(прямой) измеряется углом между
отрезком и его ( её) проекцией на эту ПП.
A B
A D A B -
B D B B - A A
,
угол между отрезком и ПП
прямой и
Ï
n
n
n
Ï
n
n
n
n
n
n n
B
B
D
A
A,B
A
N
M
Z
Z
Рис. 4.6 Рис. 4.7
n
n
A
1
A
2
B
2
B
1
На рис. 4.7 для определения длины отрезка , в поле по двум
катетам , и , построен прямоугольный треугольник .
Длина катета , определялась графически как разность коор-
динат точек и : провели ( , ) ( , ) и приняли , =
= , . Длина отрезка , равна длине гипотенузы , , а
угол определяет угол между отрезком и . Прямой угол
треугольника может быть и при вершине вместо .
,
A B
A B A M B A M
A M
Z A B A N B B B N
Z A M A B B M
A B Ï
B A
[ ] [ ]
[ ]
Аналогично
1 1 1 1 1
Z
1
2
1
2
2
1
1
Ï
1
1
1
B
B
A,B
A
K
F
Y
Y
Рис. 4.8
A
2
1
1
2
32
на рис. 4.8 для определения длины отрез-
ка , и угла наклона его к в поле
по катетам и построен
прямоугольный треугольник , где
, = , = ( - разность коор-
динат точек и ).
Прямоугольные треугольники, по
строенные в одном поле проекций для
определения длин отрезков данной
A B Ï
Ï A B B F
A B F
B F A K Y Y
Y A B
[ ] [ ], ,
-
2
2
2 2 2
2 2
2 1
1
прямой, подобны. Это обстоятель-
ство используют для откладывания
на прямой отрезков заданной дли-
ны. Пусть от точки на
прямой надо отложить отрезок
длиной , (рис. 4.9). Для этого
на прямой берут произвольную
точку и ищут, например, в по-
ле длину отрезка , , равную
M a
a
M N
a
K
M K
M E M N, , а затем сравнивают эту длину с заданной длиной , . Если
, = , , то . Если , , (как в примере), то наM K M N N K M K M N
продолжении отрезка от точки откладывают отрезок ,
длина которого равна , и, строя треугольник , подобный
треугольнику , определяют точку . Если , , , то
точка находится между точками и и для её определения от
точки по откладывают отрезок длиной , и строят
треугольник, подобный треугольнику .
[ ] [ ]
[ ]
M E M M F
M N M N F
M K E N M K M N
N M K
M M E M N
M K E
, ,
,
Заданы проекция отрезка , точка
и угол наклона отрезка к . Найти (рис. 4.10).
ПРИМЕР 4.1. [ ] [ ]
[ ]
A B A B A
A B B
, ,
,
Ï
1
1 1 1
1 1
1 1 1
1
1
1
Ï
1
1
1
В поле по катету и углу строят прямоугольный тре
угольник : из точки проводят луч перпендикулярно ,
из точки - луч, составляющий с угол , получая в точке
пересечения лучей вершину . Длина катета , равна разности
координат точек и . Откладывая от точки по линии
связи ( , ), находят точку (дано одно решение).
,
,
,
[ ]
[ ]
[ ]
A B
A B E B A B
A A B
E B E
Z Z A B Z N
B B B
-Ï
1
1
1
1 1 1 1
1 1 1
1
2 2
Рис. 4.10
Y
F
K
A,B
N
E
Z
A
1
A
2
B
2
B
1
Z
A,B
A,B
Рис. 4.11
A
1
A
2
B
2
B
1
B
1
1
Y
Y
33
1
1
M,N
K
K
M
M
N
N
F
E
Рис. 4.9
2
1
a
2
2
2
a
1
1
1
2
1
2
1
Заданы проекция отрезка , длина
, этого отрезка и точка . Найти (рис. 4.11).
ПРИМЕР 4.2. [ ] [ ]A B A B
A B
, ,
A B
1
В поле по катету и гипотенузе , длина которой
равна , , строится прямоугольный треугольник , катет
которого есть разность координат точек и . Откладывая
от точки по линии связи ( ), получают два решения и .
A B A F
A B A B F B F
Y Y A B Y
K B B B B
, ,
,
,
[ ] [ ]
[ ]
2 2
2
Ï
2 2 2
2 2
2
2 1
1
1
1
4.4. Главные позиционные задачи для прямой и плоскости
(принадлежность одних ГО другим - принадлежность точки линии,
точки и линии поверхности и т. д.), (пере-
сечение линии и линии, линии и поверхности, поверхности и
поверхности) (на размещение ГО в
пространстве и расположение одних ГО относительно других).
Главное содержание раздела позиционных задач составляют
задачи на взаимное пересечение, называемые поэтому главными
позиционными задачами (ГПЗ). Различают
и
(задача на пересечение линии и линии имеет очевид-
ное решение, опирающееся на свойство операции проецирования).
Решение ГПЗ осуществляется согласно трем алгоритмам, со-
ответствующим трем возможным случаям расположения пересекаю-
щихся ГО относительно плоскостей проекций. Но во всех случаях
.
К позиционным задачам относятся задачи на принадлежность
на взаимное пересечение
и на взаимный порядок
1ГПЗ - задачу на
пересечение линии и поверхности 2ГПЗ - задачу на пересечение
поверхностей
в
основе решения ГПЗ - задача на принадлежность точек поверхности
(ОПЗ) и условие: точка пересечения и линия пересечения
одновременно принадлежат каждому из пересекающихся ГО
4.4.1. Общие замечания
4.4.2. Первый случай ГПЗ (ГПЗ-1)
В первом случае ГПЗ пересекаются два проецирующих ГО.
Алгоритм решения ГПЗ-1:
1. Обе проекции точки или линии пересечения заданы на КЧ.
2. Они принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО.
3. Решение сводится к простановке обозначений.
Дано , (рис. 4.12). - найти
точку пересечения прямой и плоскости .
: решение опирается на
ПРИМЕР 4.3. a a
K a
K a K a K K
K=
2
Ï Ï
1
12 2 1
34
1
собирательное свойство основной проекции проецирующих ГО и
действительно сводится к простановке обозначений.
Рис. 4.12
a
2
x
1
Ê
1
Ê
2
l
Ã
1
2
Рис. 4.13 Рис. 4.14
x x
a
1
2 2
l
1
1
Ã
1
1
Дано: , (рис. 4.13). (найти .ПРИМЕР 4.4. l l =)
Пояснения к решению: .
l
l
Ï
1 2
ÏÃ Ã
l l
1
à Ã
1
l l
2 2
Дано: , (рис. 4.14). .ПРИМЕР 4.5. l=
Пояснения к решению: .
Ï
1
à Ã
l l
1
ÃÃ
1
l
2
Ï
1
1
l Ï
1
l x
4.4.3. Второй случай ГПЗ (ГПЗ-2)
Во втором случае ГПЗ один пересекающийся ГО проецирую-
щий, а второй непроецирующий. Алгоритм решения ГПЗ-2:
1. Одна проекция точки или линии пересечения задана на КЧ.
2. Она принадлежит основной проекции проецирующего ГО и
её надо только обозначить.
3. Неизвестная проекция точки или линии пересечения ищется
из условия принадлежности точки или линии непроецирующему ГО.
Во втором случае ГПЗ необходимо определять видимость
пересекающихся ГО относительно одной из ПП.
ПРИМЕР 4.6. Дано:
a,
(рис. 4.15).
K = a
.
- обозначается известная проекция . Неиз-
вестная проекция ищется из условия : , ) . Точка
делит прямую на две части, одна из которых видна отно-
сительно , а вторая нет. Для определения видимости прямой
проекциями задаются две конкурирующие относительно
K K K
K K a K K K a
K a
1 2
a
=(
точки и . Так как точка выше точки (см. на и ), то
точка и вся часть прямой, на которой она находится, видна
относительно .
1 2 a 2 1 2 1
2
2
2
Ï
2 2 2
1 1 12
Ï
1
Ï
1
1 1
Ï
1
35
2 2
. , поэтому ищут с помощью точек
и . Для определения взаимной видимости плоскостей и
относительно споль-
зовали конкурирующие точки
l l l l
l
1 = a
2= b
3
(границей видимости является прямая ) иl
и . Точка выше точки ,
поэтому относительно видны точка и часть плоскости до
границы , на которой находится точка .
4 3 4
3
l 3
2
2
1
1
1
1
2
2
3
3 4
4
b
b
b
b
t
t
Рис. 4.15 Рис. 4.16 Рис. 4.17
x
2
1
Ê
1
Ê
2
1 1
a
2
2
Ê
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
Ê
1
1
1
2
1
1
2 2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1 1
36
. Проекция ищется из условия с помощью
прямой (решается ОПЗ). Для определения видимости
прямой использовали конкурирующие относительно точки
и , задаваемые проекциями . Точка плоскости
дальше от , чем точка прямой, поэтому точка и часть прямой ,
на которой она находится, относительно не видны.
K a K a K K
t t K
a 1 a
2 d 2 1 2 2
1 1 a
1 1 2
ПРИМЕР 4.7. Дано: , (d b) (рис. 4.16). K= .
1
Ï
2
Ï
2 2
2
Ï
2
Ï
ПРИМЕР 4.8. Дано: , (рис. 4.17). l = .
2
Ï ÃÃ(a b)
l
2 2
Ã
1
1
Ï
Ã
1
Ï Ã
a
2
1
a
4.4.4. Третий случай 1ГПЗ(1ГПЗ-3)
для прямой и плоскости
a
2
Рис. 4.18
В этом случае пересекаются не-
проецирующие прямая и плоскость и
обе проекции точки их пересечения
неизвестны. Рассмотрим ход решения
задачи, используя наглядное изобра-
жение на рис. 4.18. Заданы прямая и
плоскость общего положения. Надо
построить точку .
Заключим прямую в проецирую-
щую плоскость :
l
l
K=l K l K
l
1
Ï
2
Ï
l
l
a
a
d
d
a a
Ã
tl
K
K
t
l
1 1 1
1
37
(пусть для определенности ). Так как , а , то . Но
раз , то точка должна находиться на прямой -
линии пересечения плоскостей и , для построения которой надо
решить 2ГПЗ-2. И, наконец, поскольку , то есть точка
пересечения прямых и : . Сформулируем теперь общий ал-
горитм решения 1ГПЗ-3 для прямой и плоскости:
1. Прямая заключается во вспомогательную проецирующую
плоскость.
2. Строится линия пересечения заданной плоскости и вспомо-
гательной проецирующей (2ГПЗ-2).
3. Искомая точка - точка пересечения данной прямой и по-
строенной.
K l l K
K K K t=
K t K l K
l t K=t l
Ï
1
ПРИМЕР 4.9. Дано: d, (h h ) (рис. 4.1 ).9 K= d .
Точка ищется согласно алгоритму:K=d
1. K
=
dt
2. K d .
6. t 1 ,2 .
.
1. t .
.
ПА ГА
d
1
2
Ï
t.
=
K =
.d
t
.
2
2
5. 2 h .
1
1
1
.
1 1 1
2 2
1 1
2. 1 ht .
=
2 2 2
4. 2 ht .
1
2 2 2
=
1
1
1
1
1
5
5
4
4
d
d
d
d
t
t
K
K
K
K
K
2
2
2
2
2
3
3
h
h
h
h
h
h
h h
h
hA
A
A
B
B
B
3
Рис. 4.19
d
Рис. 4.20
2
1
1
x
21
x
31
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
21
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
33
3
3
33
3
3. 1 h .
11
1
. 1. .
22
d.
. .
38
Для определения видимости прямой относительно исполь-
зовали конкурирующие точки и , а относительно - конку-
рирующие точки и .
На рис. 4.20 этот же пример выполнен с применением новой
ПП. Задав (новая ось ), плоскость перевели
в проецирующее положение. В результате вместо 1ГПЗ-3 в системе
ПП ( , ) решалась 1ГПЗ-2. Проекция плоскости построена с
помощью точек и , а проекция прямой - помощью точек и
3 4 d
1 5 d
h
A B d 1 2c .
Ï
1
2
Ï
3
Ï Ï
13
Ï x
31
1
Ï
1 3
Ï
3
3
4.4.5. Третий случай 2ГПЗ(2ГПЗ-3) для плоскостей
В этом случае пересекаются непроецирующие плоскости и обе
проекции линии их пересечения неизвестны. 2ГПЗ для плоскостей
общего положения решается
, основанным на том, что линии пересечения данных
плоскостей со вспомогательной пересекаются в точке, лежащей на
линии пересечения данных плоскостей. Поэтому алгоритм решения
2ГПЗ-3 для плоскостей формулируется так:
методом вспомогательных проецирую-
щих плоскостей
1. Задается вспомогательная проецирующая плоскость, пере-
секающая данные плоскости.
2. Строятся линии пересечения вспомогательной плоскости с
каждой из данных.
3. Определяется точка пересечения построенных в пункте 2
прямых.
4. Задается вторая вспомогательная плоскость и повторяются
построения по пунктам 2,3.
5. Искомая линия пересечения проходит через две построен-
ные точки.
Дано: ( , , , ), ( ) .ПРИМЕР: 4.10. à A B D A b (рис. 4.21)a l à .
При решении примера использовали вспомогательные
плоскости и , параллельные и пересекающие плоскости и
по горизонталям. Построения выполнялись согласно ПА:
, .
1
Ï
1
. .
.
h
Ã
.
Ã
.
h
Ã
Ê h
.
1
h
.
1
.
1
Ï
1
. . Ê
1
h
Ã
.
1
h
1
.
.
h
.
h
Ã
Ã
1
..
1
l Ê. Ê
1
Ï
1
Ã
В примере не рассматривался вопрос взаимной видимости
плоскостей и относительно ПП и .
Ï
1
Ã
2
Ï
39
A
B
D
D
K
K
K
K
1
1
2
2
A
B
h
h
h
h
h
h
3
3
5
5
4
4
b
b
Рис. 4.21
1
2
Ã
1
l
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
à 1
2
h h
2 2
Ã
2
1
1
1
a
l
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Ã
1
1
1
1
Комплексные позиционно-метрические задачи составляют
важнейший раздел курса, связанный с решением обратной задачи
НГ. Эти задачи получили свое название в силу того, что для
выполнения большинства из них необходимо последовательно
решать определенные позиционные и метрические задачи.
Рассматриваемые комплексные задачи можно условно
разбить на четыре группы, выделив в каждой группе ключевую
задачу, на базе которой решаются остальные задачи группы.
Сформулируем эти ключевые задачи:
1. Определение расстояния от точки до плоскости.
2. Определение расстояния от точки до прямой линии.
3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
4. Определение натурального вида треугольника.
Комплексные позиционно-метрические задачи могут решаться без
преобразования КЧ с использованием основных метрических и главных
Л Е К Ц И Я 5
5.1. Общие замечания
КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЗИЦИОННО-МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
40
5.2. Определение расстояния от точки до плоскости
равно длине отрезка ,Расстояние от точки до плоскостиM M K
перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость (рис. 5.1).
Задача решается согласно ПА (не зависит от способа решения):
l
1. Через точку проводят перпендикуляр к плоскости -1ОМЗ.M l
2. Ищут точку пересечения перпендикуляра с плоскостью -
1ГПЗ.
K l
3. Определяют длину отрезка , перпендикуляра - 2ОМЗ.M K l
Рассматриваемая задача является ключевой для группы
задач, в которую, в частности, входят задачи: определить расстоя-
ние между прямой и параллельной ей плоскостью; определить
расстояние между параллельными плоскостями; через точку
плоскости провести к плоскости отрезок перпендикуляра заданной
длины; построить плоскость, параллельную данной плоскости и
удаленную от неё на указанное расстояние.
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскостиa
определяется длиной отрезка , перпендикуляра , опущенного
из произвольной точки прямой на плоскость (рис. 5.2). Поэтому,
чтобы найти ,
достаточно на прямой взять точку и найти расстояние от неё до
плоскости, то есть решить ключевую задачу. Расстояние между
параллельными плоскостями и измеряется длиной отрезка
M K l
M
расстояние от прямой до параллельной ей плоскости
, перпендикуляра , опущенного из произвольной точки одной
плоскости на другую (рис. 5.3). Следовательно, чтобы найти
, достаточно в одной
из плоскостей взять точку и найти расстояние от неё до второй
плоскости, то есть опять же решить ключевую задачу.
M K l M
расстояние между параллельными плоскостями
Ã
позиционных задач или с преобразованием КЧ с использованием
четырех ОЗПЧ и свойств прямых и плоскостей частного положения.
K
M
l
K
M
l
a
M
K
l
Рис. 5.1 Рис. 5.2 Рис. 5.3