Никитин А.А. Управление техническими системами
Подождите немного. Документ загружается.
>⋅
≤≤−
−
<
⋅
=
.при
;при0
;при
0
00
0
uuuK
uuu
uuuK
y
(13.3)
График статической характеристики с зоной нечувствительности, по-
строенный по зависимости (13.2), приведен на рис. 13.2.
.
Зависимость силы сухого трения от скорости движения описывается ха-
рактеристикой близкой к характеристике идеального реле. Характеристика
идеального реле показана на рис. 13.3.
0
(
)
0
=
.
Характеристика идеального реле, описывается уравнением
uyy sign
0
⋅
=
, (13.4)
где функция sing u определяется соотношением
u
0
─u
0
y
u
Рис. 13.2. Статическая характеристика с зоной нечувствительности
Зона нечувствительности
─y
0
y
0
y
u
Рис. 13.3. Характеристика идеального реле
>
=
<
−
=
.0при1
;0при0
;0при1
sign
u
u
u
u
. (13.5)
Нелинейная зависимость расхода Q(x, Δp) рабочей жидкости через рас-
пределитель от перепада давления Δp для двух значений смещения x золотни-
ка приведена на рис. 13.4.
.
Особенности поведения нелинейных систем. Устойчивость нелинейных
систем зависит от величины отклонения переменных, вызванных внешними
воздействиями. В нелинейных системах могут возникать автоколебания. Ав-
токолебаниями называют незатухающие колебания, которые возникают в сис-
теме при отсутствии периодических внешних воздействий. При изменении
входной величины по гармоническому закону изменения выходной величины
в нелинейных системах отличаются от гармонического закона. К нелинейным
системам не применим метод суперпозиции.
Для исследования нелинейных систем применяют точные методы (пря-
мой метод Ляпунова, метод фазовых траекторий, частотный метод В.
М. Попова) и приближённые (метод гармонической линеаризации, метод гар-
монического баланса).
Вопросы для самопроверки
1. Какая система называется нелинейной?
Δp
Q(x, Δp)
Рис. 13.4. Зависимость расхода от перепада давления
0
Q(x
1
, Δp)
Q(x
2
, Δp)
2. Типовые нелинейности.
3. Уравнения типовых нелинейностей.
4. Графики типовых нелинейностей.
5. Особенности нелинейных систем.
14. УСТОЙЧИВОСТЬ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Фазовая плоскость и фазовые траектории. Исследование процессов с
помощью фазовых плоскостей. Метод точечных преобразований. Метод гар-
монического баланса и гармонической линеаризации. Алгебраический метод
определения автоколебаний и устойчивости. Вынужденные колебания. Коле-
бательные переходные процессы. Частотные методы анализа автоколеба-
ний. Абсолютная устойчивость нелинейных систем.
Исследование нелинейной системы можно выполнять методом фазовой
траектории, когда математическую модель системы можно привести к системе
дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:
=
=
=
),,,,,,(
...........................................
);,,,,,(
);,,,,,(
21
212
2
211
1
fgxxxF
dt
dx
fgxxxF
dt
dx
gfxxxF
dt
dx
nn
n
n
n
K
K
K
(14.1)
где x
1
, x
2
, …, x
n
– переменные состояния системы; g и f – задающее и возму-
щающее воздействия.
Пусть установившееся состояние или установившееся движение систе-
мы описывается системой уравнений
=
=
=
),,,,,,(
...........................................
);,,,,,(
);,,,,,(
20100
0
201020
20
0201010
10
fgxxxF
dt
dx
fgxxxF
dt
dx
gfxxxF
dt
dx
nn
n
n
n
K
K
K
(14.2)
где x
10
, x
20
, …, x
n0
– значения переменных, описывающих установившееся со-
стояние или установившееся движение системы.
Вычтем из уравнения (14.1) уравнение (14.2), получим описание в от-
клонениях процессов, протекающих в исследуемой системе:
∆∆∆∆=
∆
∆∆∆∆=
∆
∆∆∆∆=
∆
),,,,,,(
...........................................
);,,,,,(
);,,,,,(
21
212
2
211
1
fgxxxF
dt
xd
fgxxxF
dt
xd
gfxxxF
dt
xd
nn
n
n
n
K
K
K
(14.3)
где Δx
1
, Δx
2
, …, Δx
n
– отклонения переменных состояния системы.
В каждый момент времени t состояние системы определяется значения-
ми n отклонений Δx
1
, Δx
2
, …, Δx
n
. При этом в n-мерном пространстве (Δx
1
,
Δx
2
, …, Δx
n
) каждому состоянию системы соответствует точка, которая назы-
вается изображающей. С течением времени координаты Δx
1
, Δx
2
, …, Δx
n
изо-
бражающей точки изменяются и описывают её движение, т. е. траекторию, на-
зываемую фазовой траекторией. Пространство (Δx
1
, Δx
2
, …, Δx
n
) называется
фазовым пространством. Если n = 2, то фазовое пространство превращается в
фазовую плоскость.
Если система находится в установившемся состоянии или в установив-
шемся движении, то значения отклонений переменных равны нулю:
Δx
1
= Δx
2
= … = Δx
n
= 0, (14.4)
а изображающая точка совпадает с началом координат фазового пространства
или фазовой плоскости (n = 2). Поэтому фазовые траектории устойчивых сис-
тем должны стремиться к началу координат при неограниченном возрастании
времени, а фазовые траектории неустойчивых систем должны неограниченно
удаляться от начала координат фазового пространства.
Решая систему (14.3) аналитически или численно, можно найти зависи-
мости
Δx
1
= Δx
1
(t); Δx
2
= Δx
2
(t); …; Δx
n
= Δx
n
(t). (14.5)
Используя соотношения (14.5) в фазовом пространстве (Δx
1
, Δx
2
, …, Δx
n
) или
на фазовой плоскости (n = 2), можно построить фазовые траектории.
Примеры фазовых траекторий для систем второго порядка приведены на
рис. 14.1–14.3. На рис. 14.1 показана фазовая траектория устойчивой системы,
когда в системе происходят затухающие колебания. Из рис. 14.1 видно, что
фазовая траектория представляет собой спираль, свертывающуюся к началу
координат при неограниченном возрастании времени. Начало координат фазо-
вой плоскости соответствует установившемуся режиму. Поэтому начало коор-
динат в данном случае называется устойчивым фокусом (рис. 14.1).
.
На рис. 14.2 приведена фазовая траектория неустойчивой системы, в ко-
торой протекают расходящиеся колебания. Из рис. 14.2 видно, что фазовая
траектория представляет собой спираль, удаляющуюся от начала координат
при неограниченном возрастании времени. Начало координат фазовой плоско-
сти соответствует неустойчивому установившемуся режиму. Поэтому нача-
ло координат в данном случае называется неустойчивым фокусом (рис.
14.2).
Δ
x
1
Δx
2
Рис. 14.1. Фазовая траектория устойчивой системы
Δ
x
1
Δx
2
Рис. 14.
2
. Фазовая траектория неустойчивой сист
е
мы
.
На рис. 14.3 показана фазовая траектория консервативной системы, в ко-
торой после внешнего воздействия возникают незатухающие колебания с по-
стоянной амплитудой. Из рис. 14.3 видно, что фазовые траектории представ-
ляют собой замкнутые кривые. Разные фазовые траектории соответствуют
разным начальным условиям. Начало координат фазовой плоскости в данном
случае называется центром.
.
В нелинейных системах расходящиеся колебания могут переходить в ав-
токолебания, при этом амплитуда расходящихся колебаний увеличивается до
определенного значения, затем остаётся постоянной. Автоколебаниям на фазо-
вой плоскости соответствует замкнутая кривая, называемая предельным цик-
Δ
x
1
Δx
2
Рис. 14.3. Фазовая траектория устойчивой системы
лом. Автоколебания могут быть устойчивыми или неустойчивыми. Устойчи-
вым автоколебаниям на фазовой плоскости соответствуют устойчивые пре-
дельные циклы. Неустойчивым автоколебаниям соответствуют неустойчивые
предельные циклы.
.
Если на фазовой плоскости фазовая траектория приближается к замкну-
том кривой в виде спирали, расходящейся от начала координат, а снаружи к
этой кривой приближается фазовая траектория в виде навивающейся спирали,
то замкнутая кривая будет устойчивым предельным циклом. Фазовая траекто-
рия, содержащая устойчивый предельный цикл, показана на рис. 14.4. Такая
фазовая траектория соответствует системе, имеющей устойчивые автоколеба-
ния.
Δ
x
1
Δx
2
.
Если на фазовой плоскости фазовая траектория удаляется от замкнутой
кривой в виде спирали, сходящейся к началу координат, а снаружи от этой
кривой удаляется фазовая траектория в виде сматывающейся спирали, то
замкнутая кривая будет неустойчивым предельным циклом. Фазовая траекто-
рия, содержащая неустойчивый предельный цикл, показана на рис. 14.5. Такая
фазовая траектория соответствует системе, имеющей неустойчивые автоколе-
бания.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется фазовой плоскостью?
2. Что называется фазовой траекторией?
3. Какой вид имеет фазовая траектория устойчивой системы?
4. Какой вид имеет фазовая траектория неустойчивой системы?
5. Траектории каких систем имеют вид замкнутых кривых?
6. Что называется предельным циклом?
7. Какой вид имеет фазовая траектория системы с устойчивыми автоко-
лебаниями?
8. Какой вид имеет фазовая траектория системы с неустойчивыми авто-
колебаниями?
9. Как отличить устойчивый предельный цикл от неустойчивого?
15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
Системы с дискретной обработкой информации. Математическое
описание линейных дискретных систем. Устойчивость линейных импульсных
систем. Расчет переходных процессов в дискретных системах.
К системам дискретного действия относятся импульсные и цифровые
системы. Импульсными системами называются системы, содержащие хотя бы
один импульсный элемент. В импульсном элементе входной и выходной сиг-
налы представляют последовательность отдельных импульсов, следующих че-
рез одинаковые или разные промежутки времени. При этом амплитуда и дли-
тельность отдельных импульсов должны быть разными по величине. Если в
системе кроме импульсных элементов есть непрерывные элементы, то для
преобразования непрерывных сигналов в импульсные сигналы должны быть
импульсные модуляторы.
Цифровой системой называется система, содержащая электронную вы-
числительную машину (ЭВМ) или цифровое вычислительное устройство. Ав-
томатическая система управления или регулирования, включающая ЭВМ,
обычно содержит и непрерывные элементы. В этом случае для преобразования
непрерывных сигналов в дискретный применяется аналого-цифровой преобра-
зователь (АЦП), а для обратного преобразования применяется цифровой ана-
логовый преобразователь (ЦАП). Один из вариантов структурной схемы
цифровой системы автоматического регулирования приведен на рис.
15.1. Данная система содержит: электронную вычислительную машину (ЭВМ),
цифровой аналоговый преобразователь (АЦП), усилитель электрических сиг-
налов (УЭС), электрогидравлический усилитель (ЭГУ), исполнительный дви-
гатель (ИД), датчик обратной связи (ДОС), аналого-цифровой преобразователь
(АЦП). Регулируемая величина обозначена y.
При преобразовании непрерывного сигнала в импульсный сигнал при-
меняется амплитудно-импульсная модуляция и широтно-импульсная модуля-
ция.
При амплитудно-импульсной модуляции амплитуда импульсов равна
амплитуде непрерывного сигнала в соответствующие моменты времени, а
продолжительность импульсов остается постоянной. Кроме того, импульсы
появляются через равные промежутки времени.
При широтно-импульсной модуляции амплитуда импульсов постоянна, а
продолжительность импульсов изменяется пропорционально амплитуде не-
прерывного сигнала, взятой в моменты времени появления импульсов. Так же
как и при амплитудно-импульсной модуляции, импульсы появляются через
равные промежутки времени.
Амплитудно-импульсный модулятор является линейным звеном, а ши-
ротно-импульсный модулятор – нелинейным.
Для исследования импульсных систем вместо дифференциальных урав-
нений применяют разностные уравнения.
Вопросы для самопроверки
1. Какие системы называются импульсными?
2. Какие системы называются цифровыми?
3. Какие элементы входят в состав цифровых систем?
4. Приведите пример структурной схемы цифровой системы.
5. Какую функцию выполняет аналого-цифровой преобразователь?
6. Какую функцию выполняет цифровой аналоговый преобразователь?
7. Чем отличается амплитудно-импульсная модуляция от широтно-
импульсной модуляции.
8. Каким звеном является амплитудно-импульсный модулятор?
9. Каким звеном является широтно-импульсный модулятор?
10. Какие уравнения применяют для исследования импульсных
систем?
ЭВМ
ЦАП
УЭС ЭГУ ИД
АЦП
ДОС
y
Рис. 15.1. Структурная схема цифровой системы регулирования