Никитин А.А. Управление техническими системами

ωlg20ωlg20)ω(

C.ЖЖ

⋅

−

⋅

=

L

. (12.10)

Частоты ω

1

и ω

2

, ограничивающие среднечастотную область определяют

из уравнений:

16ωlg20ωlg20)ω(

1C.Ж1

=

⋅

−

⋅

=

L

, (12.11)

16ωlg20ωlg20)ω(

2C.Ж2

−

=

⋅

−

⋅

=

L . (12.12)

Соответственно для левой (ω

1

) и правой (ω

2

) границы среднечастотной

области получим:

8,0

С.Ж1

10ωω

−

⋅=

, (12.13)

8,0

С.Ж2

10ωω ⋅=

. (12.14)

Для статической системы сопряжение асимптот, описываемых уравне-

ниями (12.2) и (12.10), соответственно в низкочастотной области и среднечас-

тотной можно выполнить прямой с углом наклона ─40 дБ/дек:

ωlg40lg40)ω(

1Ж

⋅

−

⋅

=

aL

. (12.15)

Коэффициент

1

a

определяется из условия равенства значений функций

(12.10) и (12.15) при частоте ω

1

, которое равно 16 дБ:

16ωlg40lg40)ω(

111

=

⋅

−

⋅

=

aL . (12.16)

Из уравнения (12.16) получим

4,0

11

10ω ⋅=a . (12.17)

Правая граница участка сопряжения, равная частоте ω

1

, а левая граница

– частоте ω

0

, определяется из условия равенства значений функций (12.2) и

(12.15) при данной частоте:

01

ωlg40lg40lg20

⋅

−

⋅

=

⋅

aK

. (12.18)

Из уравнения (12.18) получим

K

a

1

0

ω = . (12.19)

Для участка сопряжения должно выполняться очевидное неравенство

10

ωω

<

. (12.20)

Условие (12.20) накладывает ограничение на коэффициент усиления К.

Подставим в уравнение (12.20) выражение для частоты ω

0

из формулы (12.19),

с учетом соотношения (12.17) получим

1

4.0

1

ω

10ω

<

⋅

K

. (12.21)

Из неравенства (12.21) легко получить ограничение на коэффициент

усиления К:

8.0

10

>

K

. (12.22)

Для астатической системы, содержащей одно интегрирующее звено, со-

пряжение асимптот, описываемых уравнениями (12.4) и (12.10), соответствен-

но в низкочастотной области и среднечастотной можно выполнить, как для

статической системы, прямой с углом наклона ─40 дБ/дек, описываемой урав-

нением (12.15). При этом левая граница участка сопряжения, равная частоте

ω

0

, определяется из условия равенства значений функций (12.4) и (12.15) при

данной частоте:

010

ωlg40lg40ωlg20lg20

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

aK

υ

. (12.23)

Из уравнения (12.23) получим

υ

2

1

0

ω

K

a

=

. (12.24)

Из неравенство (12.20) вытекает связь между добротностью по скорости

К

υ

и частотой среза ω

СР

. Подставим в уравнение (12.20) выражение для часто-

ты ω

0

из формулы (12.24), с учетом соотношения (12.17) получим

1

υ

24.0

1

ω

)10ω(

<

⋅

K

. (12.25)

Из неравенства (12.25) следует

8.0

1υ

10ω ⋅>K . (12.26)

Подставив в неравенство (12.26) выражение для частоты ω

1

из формулы

(12.13), окончательно получим

CPυ

ω

>

K

. (12.27)

Для астатической системы, содержащей два интегрирующих звена, со-

пряжение асимптот, описываемых уравнениями (12.7) и (12.10), соответствен-

но в низкочастотной области и среднечастотной можно выполнить прямой с

углом наклона ─60 дБ/дек.

ωlg60lg60)ω(

1Ж

⋅

−

⋅

=

aL

. (12.28)

Коэффициент

1

a

определяется из условия равенства значений функций

(12.10) и (12.28) при частоте ω

1

, которое равно 16 дБ.

16ωlg60lg60)ω(

111

=

⋅

−

⋅

=

aL

. (12.29)

Из уравнения (12.29) получим

15

4

11

10ω ⋅=a

. (12.30)

Правая граница участка сопряжения, равная частоте ω

1

, а левая граница

– частоте ω

0

, определяется из условия равенства значений функций (12.7) и

(12.28) при данной частоте:

010

ωlg60lg60ωlg40lg40

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

aK

a

. (12.31)

Из уравнения (12.31) получим

2

3

1

0

ω

a

K

a

=

. (12.32)

Из неравенства (12.20) вытекает связь между добротностью по ускоре-

нию

a

K

и частотой среза ω

СР

. Подставим в уравнение (12.20) выражение для

частоты ω

0

из формулы (12.32), с учетом соотношения (12.30) получим

1

2

3

15

4

1

ω

10ω

<













⋅

a

K

. (12.33)

Из неравенства (12.33) следует

4.0

1

10ω ⋅>

a

K

. (12.34)

Подставив в неравенство (12.34) выражение для частоты ω

1

из формулы

(12.13), окончательно получим

4.0

CP

10ω

−

⋅>

a

K . (12.35)

В высокочастотной области наклон асимптоты желаемой логарифмиче-

ской амплитудной частотной характеристики должен быть как можно боль-

шим для уменьшения влияния помех; часто для статических и астатических

систем его принимают равным ─60 дБ/дек. В этом случае уравнение асимпто-

ты в высокочастотной области будет иметь вид

ωlg60lg60)ω(

2Ж

⋅

−

⋅

=

aL . (12.36)

Коэффициент

2

a

определяется из условия равенства значений функций

(12.10) и (12.36) при частоте ω

2

, которое равно ─16 дБ.

16ωlg60lg60)ω(

222

−

=

⋅

−

⋅

=

aL

. (12.37)

Из уравнения (12.16) получим

15

4

22

10ω

−

⋅=a . (12.38)

Объединив уравнения (12.2), (12.10), (12.15) и (12.36), получим зависи-

мость, описываемую во всем диапазоне частот желаемую логарифмическую

амплитудную частотную характеристику для статической системы:











≥⋅

<<⋅

≤≤⋅

<⋅

=

.ωω,

ω

lg60

;ωωω,

ω

lg20

;ωωω,

ω

lg40

;ωω,lg20

)ω(

2

21

CP

10

1

0

Ж

a

K

L (12.39)

В формуле (12.30) частота ω

0

и коэффициент

1

a

определяют по соотно-

шениям:

K

a

1

0

ω =

, (12.40)

4,0

11

10ω ⋅=a , (12.41)

причём коэффициент усиления ограничен снизу:

8.0

10

>

K

. (12.42)

Объединив уравнения (12.4), (12.10), (12.15) и (12.36), получим зависи-

мость, описываемую во всем диапазоне частот желаемую логарифмическую

амплитудную частотную характеристику для астатической системы с одним

интегрирующим звеном:











≥⋅

<<⋅

≤≤⋅

<⋅

=

.ωω,

ω

lg60

;ωωω,

ω

lg20

;ωωω,

ω

lg40

;ωω,

ω

lg20

)ω(

2

21

CP

10

1

0

υ

Ж

a

K

L

(12.43)

В формуле (12.43) частоту ω

0

и коэффициент

1

a

определим по соотно-

шениям:

υ

2

1

0

ω

K

a

= , (12.44)

4,0

11

10ω ⋅=a , (12.45)

причём добротность по скорости должна быть больше частоты среза:

CPυ

ω

>

K . (12.46)

Объединив уравнения (12.7), (12.10), (12.22) и (12.36), получим зависи-

мость, описываемую во всем диапазоне частот желаемую логарифмическую

амплитудную частотную характеристику для астатической системы с двумя

интегрирующими звеньями:











≥⋅

<<⋅

≤≤⋅

<⋅

=

.ωω,

ω

lg60

;ωωω,

ω

lg20

;ωωω,

ω

lg60

;ωω,

ω

lg40

)ω(

2

21

CP

10

1

0

Ж

a

K

L

a

(12.47)

В формуле (12.47) частота ω

0

и коэффициент

1

a

определяют по соотно-

шениям:

2

3

1

0

ω

a

K

a

=

, (12.48)

15

4

11

10ω ⋅=a

, (12.49)

причём добротность по ускорению должна быть связана с частотой среза со-

отношением

4.0

CP

10ω

−

⋅>

a

K

. (12.50)

График желаемой логарифмической амплитудной частотной характери-

стики для статической системы, построенный по уравнению (12.39), приведен

на рис. 12.1. Из графика (рис. 12.1) видно, что желаемая логарифмическая ам-

плитудная частотная характеристика статической системы в низкочастотной

области (ω < ω

0

) представлена горизонтальной прямой, а в среднечастотной

ω

1

ω

0

ω

СР

ω

2

ω

L

Ж

(ω)

L

Ж

(ω)

области (ω

1

< ω

2

) и в высокочастотной области (ω > ω

2

) наклонными прямы-

ми. Причём наименьший наклон характеристика имеет в среднечастотной об-

ласти (ω

1

< ω

2

), а наибольший – в высокочастотной области (ω > ω

2

).

1 10 100 1

.

10

3

40

20

40

.

График желаемой логарифмической амплитудной частотной характери-

стики для системы с астатизмом первого порядка, построенный по уравнению

(12.43), приведен на рис. 12.2.

Из графика (рис. 12.2) видно, что желаемая логарифмическая амплитуд-

ная частотная характеристика астатической системы представлена ломаной

прямой. В низкочастотной области (ω < ω

0

) и в среднечастотной области (ω

1

<

ω

2

) характеристика имеет одинаковый наклон, наибольший же наклон харак-

теристика имеет в высокочастотной области (ω > ω

2

).

Рис. 12.1. Желаемая ЛАЧХ статической системы

ω

1

ω

0

ω

СР

ω

2

ω

L

Ж

(ω)

1 10 100 1

.

10

3

40

20

40

.

График желаемой амплитудной частотной характеристики для системы с

астатизмом второго порядка, построенный по уравнению (12.47), приведен на

рис. 12.3.

Из графика (рис. 12.3) видно, что желаемая логарифмическая амплитуд-

ная частотная характеристика системы с астатизмом второго порядка пред-

ставлена ломаной прямой. Причём наименьший наклон характеристика имеет

в среднечастотной области (ω

1

< ω

2

), а наибольший – в высокочастотной

области (ω > ω

2

) и на участке сопряжения (ω

0

< ω

1

) низкочастотной среднечас-

тотной областей. В низкочастотной области (ω < ω

0

) наклон характеристики

больше чем наклон её в среднечастотной области (ω

1

< ω

2

) но меньше чем на-

клон в высокочастотной области (ω > ω

2

).

Рис. 12.2. Желаемая ЛАЧХ системы с астатизмом 1-го порядка

ω

1

ω

0

ω

СР

ω

2

ω

1 10 100 1

.

10

3

40

20

40

60

.

Сравнение графиков желаемой логарифмической амплитудной частот-

ной характеристики, приведенных на рис. 12.1 – 12.3, показывает, что характе-

ристики для статической системы, астатической системы и системы с астатиз-

мом второго порядка имеют одинаковый наклон в среднечастотной (ω

1

<

ω

2

) и в высокочастотной (ω > ω

2

) областях.

Вопросы для самопроверки

1. В каких случаях возникает необходимость в корректирующих звеньях?

2. Как могут устанавливаться корректирующие звенья относительно ос-

новных звеньев?

3. Назовите основные принципы построения желаемой логарифмической

амплитудной частотной характеристики.

4. Как выбирается наклон асимптот желаемой логарифмической амплитуд-

ной частотной характеристики?

5. Как определяют логарифмическую амплитудную частотную характери-

стику L

K

(ω) корректирующего звена?

Рис. 12.3. Желаемая ЛАЧХ системы с астатизмом 2-го порядка

13. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВЕНЬЯ

Типовые нелинейности. Примеры нелинейных звеньев и систем. Уравне-

ния нелинейных звеньев. Особенности поведения нелинейных систем. Предель-

ные циклы и автоколебания. Прямой метод А. М. Ляпунова. Основные методы

расчета и исследования нелинейных систем.

Нелинейной называется система, математическая модель которой со-

держит одно или несколько нелинейных уравнений. Уравнения, содержащие

произведения переменных, деление переменных, возведение в степень, извле-

чение корня, тригонометрические, логарифмические и другие нелинейные

функции, относятся к нелинейным.

К нелинейным уравнениям сводится описание сил трения, движения

подвижных элементов, при наличии в соединениях люфтов, течения рабочей

жидкости, при неравномерной подаче насосов, и другие процессов, протекаю-

щие в системах управления или регулирования.

Статические характеристики нелинейных звеньев могут содержать типо-

вые нелинейности: насыщение, зону нечувствительности, релейное переклю-

чение, люфт, петлю гистерезиса.

Гидравлические, пневматические, электромагнитные усилители имеют

нелинейные статические характеристики. Если статические характеристики

имеют вид плавных кривых, то их можно аппроксимировать кусочно-

линейными характеристиками с переменными значениями коэффициентов

усиления на отдельных участках.

Примером нелинейной функции может служить зависимость расхода

Q(x, Δp) рабочей жидкости через золотниковый распределитель от смещения x

золотника и перепада давления Δp:

ρ

2

πμ),(

p

xdpxQ

∆⋅

⋅⋅⋅⋅=∆

, (13.1)

где μ – коэффициент расхода; d – диаметр золотника; ρ – плотность жидкости.

Зависимость расхода Q(x, Δp) рабочей жидкости через золотниковый

распределитель (с малыми перекрытиями) от смещения x золотника при по-

стоянном перепаде давления может описываться статической характеристикой

с насыщением. Зона насыщения определяется той частью характеристики, где

выходная величина не изменяется при изменении входной величины. Наличие

зоны насыщения объясняется тем, что гидравлическое сопротивление каналов

от золотникового распределителя к гидравлическому двигателю значительно

превышает гидравлическое сопротивление окон, открываемых во втулке при

смещениях золотника от нейтрального положения, близких к максимальным.

Статическая характеристика с насыщением описывается уравнением











−<−

>

<

−

⋅

=

,при

;при

00

uuy

uuuuK

y

(13.2)

где u – входной сигнал; y – выходной сигнал; K – коэффициент усиления

(передачи).

График статической характеристики с насыщением, построенный по за-

висимости (13.2), приведен на рис. 13.1.

2 0 2

4

.

Зависимость расхода Q(x, Δp) рабочей жидкости через распределитель

от смещения x золотника при постоянном перепаде давления при наличии у

золотника положительных перекрытий описывается в случае малых открытий

окон статической характеристикой с зоной нечувствительности. При малых

смещениях золотника, меньших значений положительных перекрытий, рабо-

чая жидкость почти не поступает к гидравлическому двигателю через распре-

делитель.

Статическая характеристика с зоной нечувствительности описывается

уравнением

u

0

─u

0

─y

0

y

0

y

u

Рис. 13.1. Статическая характеристика с насыщением

Никитин А.А. Управление техническими системами

Подождите немного. Документ загружается.