Никитин А.А. Управление техническими системами

Подождите немного. Документ загружается.

О.С

)(

asasasa

bsbsbsb

⋅

⋅⋅

+⋅++⋅+⋅

−

. (10.18)

Для определения ошибки при изменении входного воздействия с посто-

янной скоростью подставим изображение ошибки из формулы (10.18) в урав-

нение (10.4):

)19.10(

)(ε

O.C

О.С

limlim

sasasasa

bsbsbsb

⋅+

⋅













⋅+

=⋅

⋅⋅

+⋅++⋅+⋅

⋅=

→→

−

→∞→

Из формулы (10.19) следует, что для астатической системы при измене-

нии входного воздействия с постоянной скоростью ошибка ε(t) будет постоян-

ной и тем меньше, чем больше коэффициент K усиления разомкнутого конту-

ра.

Ошибки определяют частотными методами при изменении входного

воздействия по гармоническому закону

eatu

⋅⋅

⋅=

)(

, (10.20)

где

– амплитуда входного сигнала;

1−=j

– мнимая единица; ω – круго-

вая частота входного сигнала; t – время.

В этом случае ошибка в линейных системах тоже будет изменяться по

гармоническому закону

)ω(

)(ε

+⋅⋅

⋅=

eat , (10.21)

где

– амплитуда ошибки; φ – сдвиг по фазе ошибки относительно входного

сигнала.

Отношение ошибки к входному воздействию определяется амплитудно-

фазовой частотной характеристикой

)(

)(ε

)ω(

jФ

= . (10.22)

Для системы автоматического регулирования, структурная схема кото-

рой показана на рис. 10.1, амплитудно-фазовую частотную характеристику для

ошибки можно найти, подставив в формулу (10.2) s = j ∙ ω.

)ω(1

)ω()ω(1

)ω(

РСО,

jWjWjW

jФ

⋅+

= , (10.23)

где W

(jω) – амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутого кон-

тура;

)ω()ω()ω(

O.CР

jWjWjW

⋅

. (10.24)

Амплитудная частотная характеристика замкнутого контура определяет

зависимость отношения амплитуды ошибки к амплитуде входного воздействия

от частоты входного сигнала:

.ε

)ω( = . (10.25)

Из формулы (10.25) легко найти амплитуду ошибки

)ω(

.εε uu

Aaa

⋅

. (10.26)

Амплитудную частотную характеристику замкнутого контура можно

найти с учетом соотношения (10.23):

)ω(1

)ω()ω(

РР

.ε

jWjW

jФA

EUu

== . (10.27)

Обычно амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного сигнала,

поэтому

1)ω(

.ε

A . (10.28)

Из формул (10.27) и (10.28) следует, что

1)ω(1

>>+ jW . (10.29)

Поэтому в левой части неравенства (10.29) и в правой части знаменателя фор-

мулы (10.27) единицей можно пренебречь и амплитудную частотную характе-

ристику замкнутого контура определить по приближенной формуле

)ω(

)(

РР

.ε

AjW

=≈ω , (10.30)

где А

(ω) – амплитудная частотная характеристика разомкнутого контура.

Подставив в формулу (10.26) выражение для амплитудной частотной ха-

рактеристики замкнутого контура из уравнения (10.30), получим формулу для

определения амплитуды ошибки

)ω(

= . (10.31)

Если заданы максимальная ошибка и амплитуда входного воздействия,

то можно найти минимальное значение амплитудной частотной характеристи-

ки разомкнутого контура и минимальное значение логарифмической ампли-

тудной частотной характеристики при заданной частоте входного сигнала:

)ω(

= , (10.32)

lg20)ω(

⋅= , (10.33)

где L

(ω) – логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомк-

нутого контура;

)ω(lg20)(

РР

⋅

. (10.34)

Коэффициенты ошибок

Если входное воздействие изменяется по произвольному закону, ошибку

можно найти методом коэффициентов ошибок.

Передаточную функцию ошибки представим в виде степенного ряда:

+⋅++⋅+⋅+=

kEU

sCsCsCCsФ

210

)( , (10.35)

где

[

]

)(

sФC ; (10.36)

)(













sdФ

C ; (10.37)

)(













⋅=

sФd

; (10.38)

…………………………..

)(













⋅=

sФd

C ; (10.39)

………………………......

Величины С

, С

, …, С

, … называют коэффициентами ошибок.

Подставив в уравнение (10.3) выражение передаточной функции из фор-

мулы (10.35), получим изображение ошибки:

)()()(

ВХ

210

sUsCsCsCCsE

⋅+⋅++⋅+⋅+=

. (10.40)

Применив к уравнению (10.40) обратное преобразование Лапласа, с уче-

том его свойств получим выражение для установившейся ошибки

LL +⋅+⋅+⋅+⋅=

tud

tdu

CtuCt

)()()(

)()(ε

210

. (10.41)

Методы повышение точности систем

Среди общих методов повышение точности систем автоматического ре-

гулирования можно выделить следующие:

увеличение коэффициента усиления разомкнутого контура;

повышение степени астатизма системы;

применение регулирования по производной от ошибки.

Увеличение коэффициента усиления разомкнутого контура приводит к

уменьшению ошибок во всех типовых режимах. Увеличение коэффициента

усиления разомкнутого контура можно обеспечить за счет введения в систему

автоматического регулирования усилителей или за счет повышения коэффи-

циентов передачи отдельных звеньев.

При увеличении коэффициента усиления разомкнутого контура умень-

шается запас устойчивости. Поэтому при увеличении коэффициента усиления

необходимо проверять запасы устойчивости по фазе и амплитуде. Если их

значения становятся ниже допустимых, то может потребоваться введение кор-

ректирующих звеньев.

Повышение порядка астатизма системы приводит к устранению устано-

вившихся ошибок в типовых режимах. Для повышения порядка астатизма

системы вводят в регулятор интегрирующие звенья (например, гидравличе-

ский демпфер).

Однако повышение порядка астатизма системы ведет к снижению запаса

устойчивости. Поэтому при повышении порядка астатизма системы, если до-

пустимые значения запасов устойчивости по фазе и по амплитуде не обеспе-

чиваются, то необходимо вводить корректирующие звенья, повышающие за-

пас устойчивости.

Повышение порядка астатизма системы можно обеспечить за счет вве-

дения изодромных устройств. Они в меньшей степени снижают запас устойчи-

вости.

При введении регулирования по производной от ошибки система начи-

нает реагировать не только на ошибку, но и на изменение её. Поэтому система

регулирования более быстро реагирует на появление воздействий, что умень-

шает ошибку регулирования.

Для регулирования по производной в систему вводят дифференцирую-

щее звено (например устройство, состоящее из гидравлического демпфера и

пружины).

Чувствительность автоматических систем регулирования

Коэффициенты усиления и постоянные времени системы автоматиче-

ского регулирования зависят от параметров элементов, входящих в систему

(геометрических размеров каналов и подвижных элементов, физических

свойств рабочей жидкости, давлений, температур и т. п.). Значения этих пара-

метров могут иметь разброс вследствие допусков на изготовление. Также зна-

чения этих параметров могут изменяться со временем в процессе эксплуата-

ции.

Степень влияния изменения физических параметров элементов на стати-

ческие и динамические свойства системы автоматического регулирования на-

зывается чувствительностью системы.

Вопросы для самопроверки

1. Назовите показатели качества регулирования.

2. Назовите методы проверки качества регулирования.

3. Какие воздействия на систему относятся к типовым?

4. От каких факторов зависит точность систем автоматического регули-

рования в установившихся режимах?

5. Сравните величину ошибки для статической системы при постоянном

воздействии и воздействии с постоянной скоростью.

6. Сравните величину ошибки для астатической системы при постоян-

ном воздействии и воздействии с постоянной скоростью.

7. Как определяется ошибка при гармоническом воздействии?

8. Назовите методы повышения точности САР.

9. Дайте определение чувствительности САР.

11. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Основные виды переходных процессов и их связь с качеством процесса

регулирования. Постановка задачи расчета переходного процесса при типо-

вых воздействиях. Применение вычислительных машин для расчетов переход-

ных процессов. Моделирование переходного процесса и оценка качества.

Качество переходного процесса характеризуется максимальным значе-

нием выходной величины при переходном процессе, видом этого процесса и

временем, за которое выходная величина достигнет заданного значения. Виды

переходных процессов определяются характером графика выходной величины

y(t). Можно выделить следующие виды: колебательный, монотонный и апе-

риодический. На рис. 11.1 показаны виды переходных процессов, вызванных

ступенчатым входным воздействием на систему.

В устойчивой линейной системе выходная величина y(t) при переходном

процессе достигает установившегося (заданного) значения y

∞

за бесконечно

большое время t → ∞. Поэтому за время t

переходного процесса принимается

время, за которое выходная величина y(t) достигает установившегося значения

∞

с заданной погрешностью (отклонением) δ.

Это можно записать в виде

δ≤−

∞

yty )( . (11.1)

К показателям, характеризующим колебательный процесс, дополнитель-

но относят: время t

, за которое регулируемая величина первый раз достигает

∞

, время t

, за которое регулируемая величина достигает максимального зна-

чения y

max

, число периодов T, находящихся в пределах t

, и максимальную ди-

намическую ошибку σ

max

100

max

⋅

−

∞

σ %. (11.2)

Вопросы для самопроверки

1. Виды переходных процессов и время переходного процесса.

2. Показатели качества колебательного процесса.

3. Формула для определения динамической ошибки.

0 2 4

max

∞

Рис. 11.1. Переходные процессы: 1 – колебательный; 2 – монотонный;

3 – апериодический

12. КОРРЕКТИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Частотный метод синтеза последовательных и параллельных коррек-

тирующих звеньев с использованием логарифмических характеристик. Синтез

корректирующих звеньев по желаемому расположению корней характери-

стического уравнения системы. Примеры корректирующих звеньев, определе-

ние их характеристик. Выбор корректирующих звеньев с помощью вычисли-

тельных машин.

Для повышения точности на установившемся режиме и изменения пока-

зателей качества переходного процесса, а также для обеспечения устойчивости

применяют два способа. Первый способ заключается в увеличении или

уменьшении коэффициентов и постоянных времени за счет изменения значе-

ний параметров системы. Если путём изменения значений параметров не уда-

ется достичь устойчивости, заданной точности и качества переходного про-

цесса, то необходимо ввести дополнительные (корректирующие) звенья, т. е.

изменить структуру системы. В этом состоит второй способ.

Корректирующие звенья могут устанавливаться в прямой цепи или в об-

ратной, параллельно или последовательно относительно основных звеньев.

Синтез корректирующих звеньев можно выполнять по желаемому рас-

положению корней характеристического уравнения системы или частотным

методом с использованием логарифмических характеристик.

Элементы и системы, у которых каждому значению амплитудной час-

тотной характеристики А(ω) соответствует наименьшее значение фазовой час-

тотной характеристики φ(ω), называются минимально-фазовыми. Чтобы в

элементах или системах выполнялось такое соотношение между значениями

амплитудной А(ω) и фазовой φ(ω) частотными характеристиками, корни опе-

раторов M(s) и D(s) передаточной функции W(s) должны иметь отрицательную

вещественную часть.

Для синтеза корректирующих звеньев в минимально-фазовых системах

можно использовать логарифмическую амплитудную частотную характери-

стику разомкнутого контура.

Рассмотрим синтез последовательных корректирующих звеньев. В этом

случае логарифмическую амплитудную частотную характеристику L

(ω) кор-

ректирующего звена определяют по разности значений желаемой ЛАЧХ L

(ω)

и ЛАЧХ L(ω) некорректированной разомкнутой системы.

)ω()ω()ω(

ЖK

LLL

−

По логарифмической амплитудной частотной характеристике корректи-

рующего звена находят его параметры.

При построении желаемой логарифмической амплитудной частотной

характеристики используют асимптоты, наклон которых определяют из усло-

вий обеспечения заданных показателей переходного процесса и требуемой

точности на установившемся режиме.

В низкочастотной области наклон асимптоты определяют по заданной

точности на установившемся режиме.

Для статической системы (не содержащей интегрирующих звеньев) по

заданной установившейся ошибки ε

и заданному задающему воздействию g

находят коэффициент усиления К:

−=

K . (12.1)

Асимптоту желаемой логарифмической амплитудной частотной харак-

теристики в низкочастотной области находят по соотношению

KL lg20)ω(

Ж.0

⋅

. (12.2)

Из соотношения (12.2) видно, что асимптота L

0.Ж

(ω) в низкочастотной

области проходит параллельно оси частот на расстоянии 20 ∙ lgK.

Для астатической системы, содержащей одно интегрирующее звено, по

заданной установившейся ошибке ε

и заданной скорости g

изменения за-

дающего воздействия находят добротность по скорости К

K = . (12.3)

Асимптота желаемой логарифмической амплитудной частотной харак-

теристики для системы с астатизмом первого порядка (одно интегрирующее

звено) в низкочастотной области имеет вид

ωlg20lg20)ω(

υЖ.1

⋅

−

⋅

KL . (12.4)

Из соотношения (12.4) видно, что асимптота L

1.Ж

(ω) в низкочастотной

области имеет наклон ─20 дБ/дек, и продолжение асимптоты пересекает ось

частот при частоте, равной добротности по скорости

υυ

ω К

, (12.5)

а при частоте, равной единице, имеет ординату 20 ∙ lgK

Для астатической системы, содержащей два интегрирующих звена, по

заданной установившейся ошибки ε

и заданному ускорению изменения g

за-

дающего воздействия находят добротность по ускорению

= . (12.6)

Асимптота желаемой логарифмической амплитудной частотной харак-

теристики для системы с астатизмом второго порядка (два интегрирующих

звена) в низкочастотной области имеет вид

ωlg40lg20)ω(

Ж.2

⋅

−

⋅

. (12.7)

Из соотношения (12.7) видно, что асимптота L

2.Ж

(ω) в низкочастотной

области имеет наклон ─40 дБ/дек, и продолжение асимптоты пересекает ось

частот при частоте, связанной с добротностью по ускорению соотношением

K=ω , (12.8)

а при частоте, равной единице, имеет ординату

Klg20

⋅

В среднечастотной области расположение асимптоты желаемой лога-

рифмической амплитудной характеристики определяют по рекомендуемым

запасам устойчивости и минимально допустимым значениям времени пере-

ходного процесса. Поэтому асимптота желаемой логарифмической амплитуд-

ной характеристики для рассматриваемых систем, статической и астатических

(с астатизмом 1-го и 2-го порядка), будет одинаковой. Для обеспечения запа-

сов устойчивости наклон асимптоты в среднечастотной области принимают

равным ─20 дБ/дек. Значение частоты среза можно выбрать с учетом неравен-

ства, рекомендуемого Д. Н. Поповым:

C.Ж

⋅

≥ , (12.9)

где t

– время переходного процесса; b – коэффициент, определяемый по табл.

12.1 в зависимости от максимальной динамической ошибки (максимального

перерегулирования) σ

max

Таблица 12.1

max

, % 15 20 25 30 35

b 1,7 2,2 3 4 5

Уравнение, описывающее асимптоту желаемой логарифмической ам-

плитудной характеристики в среднечастотной области, имеет вид