Никитин А.А. Управление техническими системами

Подождите немного. Документ загружается.

ω...)ω()ω()ω( ajajajajD

+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=

−

, (9.21)

где 1−=j – мнимая единица; ω – частота колебаний.

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы график

функции D(jω) при изменении частоты ω от 0 до + ∞ начинался на положи-

тельной части вещественной оси и в направлении против часовой стрелки по-

следовательно проходил n квадрантов комплексной плоскости. Графики функ-

ции D(jω) устойчивых систем второго, третьего, четвертого и пятого порядка

приведены на рис. 9.1.

Для построения графика в декартовых координатах комплексную функ-

цию D(jω) представим в виде суммы вещественной P(ω) и мнимой Q(ω) час-

тотных характеристик:

)

(

)

(

)

(

⋅

. (9.21а)

Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий Найквиста (1932 г.) отличается от критерия Михай-

лова тем, что устойчивость замкнутой системы проверяется по частотным ха-

рактеристикам её разомкнутого контура.

Рис. 9.1. Графики функции D(jω) для устойчивых систем

n = 3

n = 2

n = 4

n = 5

30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

jQ(ω)

(

)

Чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устой-

чива по критерию Найквиста, необходимо и достаточно выполнение следую-

щих условий:

1) при устойчивой разомкнутой системе автоматического регулирова-

ния её амплитудно-фазовая частотная характеристика W

(jω) при изменении

частоты ω от ─ ∞ до + ∞ не должна охватывать точку с координатами ─ 1, j0;

2) при неустойчивой разомкнутой системе автоматического регулиро-

вания её амплитудно-фазовая частотная характеристика W

(jω) при изменении

частоты ω от ─ ∞ до + ∞ должна охватывать точку с координатами ─ 1, j0

столько раз, сколько корней характеристического уравнения разомкнутой сис-

темы лежит справа от мнимой оси комплексной плоскости.

1 0 1

0.5

Для построения графика в декартовых координатах амплитудно-

фазовую частотную характеристику W

(jω) представим в виде суммы вещест-

венной P(ω) и мнимой Q(ω) частотных характеристик:

)ω()ω()ω(

ppp

QjPjW

⋅

. (9.22)

График амплитудно-фазовой частотной характеристики W

(jω) разомк-

нутого контура устойчивой замкнутой системы автоматического регулирова-

ния приведен на рис. 9.2.

Применение логарифмических частотных характеристик для

проверки устойчивости систем

(ω)

1 2

Рис. 9.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутого контура

устойчивой системы: 1 – не содержащей интегрирующего звена; 2 – содержащей

интегрирующее звено

W(s)

Wос(s)

U(s)

Y(s)

Рис. 9.3. Структурная схема САР

При исследовании устойчивости замкнутых систем по частотным харак-

теристикам их разомкнутых контуров особенно часто применяются логариф-

мические амплитудные и фазовые частотные характеристики.

Замкнутая система устойчива, если логарифмическая частотная характе-

ристика

(

)

ωL ее разомкнутого контура при частоте среза имеет запас устойчи-

вости по фазе

зап

, т. е. при

(

)

0ω

(

)

πω

−

и при этом запас устойчиво-

сти по фазе должен составлять не менее 30–40°, а запас по амплитуде – 6–8 дБ.

Таким образом, для проверки устойчивости системы необходимо по-

строить графики зависимостей

(

)

ωL и

(

)

, т. е. логарифмические амплитуд-

ную и фазовую частотные характеристики разомкнутого контура, определить

по ним запасы по амплитуде

зап

и фазе

зап

, и сравнить их с рекомендуемы-

ми значениями (

≥

зап

6–8 дБ,

≥

зап

30–40°).

Для определения логарифмических амплитудной и фазовой частотных

характеристик разомкнутого контура нужно найти передаточную функцию ра-

зомкнутого контура.

Пусть дана структурная схема

(рис. 9.3) замкнутой системы автомати-

ческого регулирования. Здесь

(

)

Ws –

передаточная функция прямой цепи;

(

)

o.c

– передаточная функция обрат-

ной цепи. Прямая и обратная цепи

могут состоять из нескольких звеньев, в этом случае

(

)

Ws и

(

)

o.c

опреде-

ляются в зависимости от вида соединения звеньев (определение передаточных

функций отдельных звеньев рассмотрено ранее).

Передаточная функция разомкнутой системы (разомкнутого контура)

определяется следующим соотношением:

(

)

(

)

(

)

sWsWsW

o.cp

⋅

. (9.23)

Далее определяем амплитудно-фазовую частотную характеристику, под-

ставляя в (9.23)

, получаем

(

)

(

)

(

)

ωωω

o.cp

jWjWjW

⋅

. (9.24)

Амплитудную частотную характеристику найдем как модуль амплитуд-

но-фазовой частотной характеристики

)ω()ω(

jWA =

. (9.25)

Затем находим логарифмические амплитудную и фазовую частотные ха-

рактеристики по соотношениям (6.31) и (6.32), приведенным выше.

Логарифмические амплитудная

(

)

ωL

и фазовая

(

)

частотные харак-

теристики разомкнутого контура устойчивой системы приведены на рис. 9.4.

L(ω)

Lзап

ϕ(ω)

зап

-π

ср

пер

Рис. 9.4. Логарифмические частотные характеристики

разомкнутого контура устойчивой системы

L(ω)

φ(ω)

─ π

─ ω

пер

ЗАП

Рис. 9.5. ЛЧХ неустойчивого разомкнутого контура устойчивой САР

В общем случае, когда разомкнутая система неустойчива и имеет K кор-

ней справа от мнимой оси, замкнутая система будет устойчива, если разность

положительных (+) и отрицательных (–) переходов фазовой характеристики

разомкнутой системы через прямую «

−

» (рис. 9.5) равна

при значениях

частот

, при которых

(

)

0ω

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под устойчивостью системы?

2. Перечислите критерии устойчивости.

3. Запишите условие устойчивости по Гурвицу для системы третьего по-

рядка.

4. Чем отличаются критерии устойчивости Михайлова и Найквиста.

5. Какой вид имеют АФЧХ устойчивых замкнутых систем третьего и чет-

вертого порядка.

6. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.

7. Нарисуйте логарифмические частотные характеристики устойчивых

систем и покажите на них запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

10. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Показатели качества регулирования. Методы проверки качества регу-

лирования. Типовые воздействия на систему.

Точность систем автоматического регулирования в установившихся

режимах. Статические и астатические системы. Коэффициенты ошибок.

Чувствительность систем к изменению параметров. Методы повышения

точности.

Система автоматического регулирования должна на установившемся

режиме поддерживать заданные значения регулируемых величин с требуемой

точностью, а в переходных процессах, возникающих вследствие внешних воз-

действий на систему, отклонения регулируемых величин обеспечивать в до-

пустимых пределах. Кроме того, продолжительность переходных процессов не

должна превышать заданных значений.

К показателям качества переходного процесса относятся вид переходно-

го процесса, максимальное значение, которое принимает регулируемая вели-

чина в этом процессе, и время, за которое регулируемая величина достигает

заданного установившегося значения.

Для исследования качества переходного процесса применяют следую-

щие методы:

1) частотные;

2) интегральные;

3) корневые.

В реальных условиях воздействия на систему бывают случайными, и ха-

рактер их заранее неизвестен. Поэтому при исследованиях динамических

свойств систем применяют типовые воздействия. К типовым воздействиям

относятся: ступенчатое, импульсное и гармоническое.

Точность регулирования систем зависит от многих факторов: силы тре-

ния, утечек рабочей жидкости, люфтов в механических соединениях и др., а

также от структурной схемы системы.

Система, замкнутый контур которой не содержит интегрирующих звень-

ев, называется статической. Система, замкнутый контур которой имеет одно

или несколько интегрирующих звеньев, называется астатической.

Сравним ошибки на установившемся режиме для статической и астати-

ческой систем.

Пусть статическая система имеет структурную схему, показанную на

рис. 10.1.

Согласно определению передаточная для ошибки равна отношению изо-

бражения ошибки к изображению входного воздействия при нулевых началь-

ных условиях:

)(

ВХ

sФ

= . (10.1)

где E(s) – изображение ошибки; U

ВХ

(s) – изображение входной величины.

Для системы автоматического регулирования, структурная схема кото-

рой изображена на рис. 10.1, передаточная функция ошибки, согласно форму-

ле (8.9), определяется соотношением

)()(1

)(

СО,

sWsW

sФ

⋅+

, (10.2)

где W(s) – передаточная функция прямой цепи; W

О.С

(s) – передаточная функ-

ция обратной связи (обратной цепи).

Из формулы (10.1) найдем изображение ошибки:

)()()(

ВХ

sUsФsE

⋅

. (10.3)

Для линейных систем в переходных процессах регулируемая величина

стремится к установившемуся значению при t → ∞. Поэтому ошибку для ли-

нейных систем находят также при t → ∞. Для определения ошибки воспользу-

емся свойством Лапласа (6.14):

)()(εlim

lim

sEst

⋅

→

∞→

. (10.4)

Определим ошибку для случая, когда входное воздействие описывается

ступенчатой функцией:

ВХ

(s)

Рис. 10.1. Структурная схема статической системы

E(s)

О.С

(s)

Y(s)

W(s)

О.С

(s)







≥

.0при

,0при0

)(

ВХ

tu (10.5)

Изображение по Лапласу функции (10.5) найдём с помощью интеграла

Лапласа (6.2):

dtUedttuesU

tsts

ВХВХ

)()( =

⋅

−=⋅⋅=⋅⋅=

∞

⋅−

∞

⋅−

∞

⋅−

∫∫

. (10.6)

Пусть передаточная функция W(s) прямой цепи определяется соотношением

)(

asasasa

bsbsbsb

+⋅++⋅+⋅

−

, (10.7)

а обратная цепь содержит только пропорциональное звено, и её передаточная

функция W

О.С

(s) определяется соотношением

О.СО.С

)( KsW

, (10.8)

где К

О.С

– коэффициент обратной связи.

После подстановки в уравнение (10.3) изображения входного воздейст-

вия из формулы (10.6) и передаточной функции из формулы (10.2) с учетом

соотношений (10.7) и (10.8) получим изображение ошибки:

asasasa

bsbsbsb

О.С

)( ⋅

⋅

+⋅++⋅+⋅

−

. (10.9)

Для определения ошибки при ступенчатом входном воздействии подста-

вим изображение ошибки из формулы (10.9) в уравнение (10.4):

)10.10(

)(ε

О.С

limlim

asasasa

bsbsbsb

⋅+

=⋅

⋅

+⋅++⋅+⋅

⋅=

−

→∞→

где

О.С

K ⋅= – общий коэффициент усиления разомкнутого контура.

Из формулы (10.10) следует, что при ступенчатом входном воздействии

на статическую систему (не содержащую интегрирующих звеньев) ошибка ε(t)

будет постоянной и тем меньше, чем больше коэффициент K усиления ра-

зомкнутого контура.

Определим ошибку для случая, когда входное воздействие изменяется с

постоянной скоростью

tUtu

⋅

1ВХ

)( . (10.11)

В этом случае изображение по Лапласу входного воздействия, описы-

ваемого функцией (10.10), будет иметь вид

ВХВХ

)()(

dttUedttuesU

tsts

⋅

−=⋅⋅⋅=⋅⋅=

∞

⋅−

∞

⋅−

∞

⋅−

∫∫

. (10.12)

После подстановки в уравнение (10.3) изображения входного воздейст-

вия из формулы (10.12) и передаточной функции из формулы (10.2) с учетом

соотношений (10.7) и (10.8) получим изображение ошибки:

О.С

)(

asasasa

bsbsbsb

⋅

+⋅++⋅+⋅

−

. (10.13)

Для определения ошибки при изменении входного воздействия с посто-

янной скоростью подставим изображение ошибки из формулы (10.13) в урав-

нение (10.4):

)14.10(

)(ε

О.С

lim

limlim

∞=

⋅













⋅+

=⋅

⋅

+⋅++⋅+⋅

⋅=

→

−

→∞→

asasasa

bsbsbsb

Из формулы (10.14) следует, что для статической системы при измене-

нии входного воздействия с постоянной скоростью ошибка ε(t) будет неогра-

ниченно возрастать.

Определим ошибки на установившемся режиме для астатической систе-

мы. Пусть замкнутый контур астатической системы имеет одно интегрирую-

щее звено (рис. 10.2).

Передаточную функцию ошибки для астатической системы, изображен-

ной на рис. 10.2, можно найти, согласно формуле (8.9), по соотношению

)()(

)(

O.C

sWsW

sФ

⋅⋅+

, (10.15)

После подстановки в уравнение (10.3) изображения входного воздейст-

вия из формулы (10.6) и передаточной функции из формулы (10.15) с учетом

соотношений (10.7) и (10.8) получим изображение ошибки:

asasasa

bsbsbsb

О.С

)( ⋅

⋅⋅

+⋅++⋅+⋅

−

. (10.16)

Для определения ошибки при ступенчатом входном воздействии на ас-

татическую систему подставим изображение ошибки из формулы (10.16) в

уравнение (10.4):

)17.10(

)(ε

О.С

lim

limlim

⋅⋅+

=⋅

⋅⋅

+⋅++⋅+⋅

⋅=

→

−

→∞→

sasasasa

bsbsbsb

Из формулы (10.17) следует, что при ступенчатом входном воздействии

на астатическую систему (содержащую интегрирующее звено) ошибка ε(t) бу-

дет равна нулю.

Определим ошибку для астатической системы, когда входное воздейст-

вие изменяется с постоянной скоростью (10.10).

После подстановки в уравнение (10.3) изображения входного воздейст-

вия из формулы (10.12) и передаточной функции из формулы (10.15) с учетом

соотношений (10.7) и (10.8) получим изображение ошибки:

ВХ

(s)

Рис. 10.2. Структурная схема астатической системы

E(s)

О.С

(s)

Y(s)

W(s)

О.С

(s)