Нефедов А.Ф., Высочин Л.Н. Планирование эксперимента и моделирование при исследовании эксплуатационных свойств автомобилей

Подождите немного. Документ загружается.

6Т2.1

Н58

УДК 629.113.001.004.072

Нефедов А. Ф., В ы с о

и н Л. Н. Планирование

эксперимента и моделирование при исследовании

эксплуатационных свойств автомобилей. Львов, «Ви-

ща школа», Изд-во при Львов, ун-те, 1976, с. 160.

В монографии изложены методы моделирования ре-

жимов движения и планирования эксперимента,

применяемые при исследовании эксплуатационных

свойств автомобилей. Описаны математические мо-

дели для расчета показателей движения с учетом

типа продольного профиля дороги, извилистости

трассы, качества покрытия, интенсивности движения.

Рассмотрено моделирование условий движения. Про-

анализировано влияние условий движения на эф-

фективность использования автомобилей и даны

примеры оптимизации их конструктивных парамет-

ров.

Книга предназначена для инженеров и научных

работников, специализирующихся в области проекти-

рования, испытания и эксплуатации автомобилей.

Ил.

52. Табл. 32. Список лит.: 65 назв.

Рецензент

канд. техн. наук М. А. Петров

«*////^

ы 319-76 © Издательское объединение «Вища школа», 1976

М225(04)-76

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время при изучении сложных технических объектов,

в том .числе комплекса «Автомобиль—водитель—дорога» (А—В—

Д),

широко применяется системный подход, исходные предпосылки

которого заключаются в стремлении с максимальной полнотой

учесть все входные и выходные характеристики объекта и в проб-

лемно-ориентированной организации исследования [9, 13, 22, 44].

Наиболее разработанными и эффективными методами практи-

ческой реализации системного подхода являются методы матема-

тической теории эксперимента или планирования эксперимента,

представляющие собой развитие идей многофакторного анализа.

В общем виде задача исследования многофакторных процессов

математически формулируется следующим образом [38]:

Необходимо получить представление о функции

Т1=/(*ь Х

, . . • , Х

где ц — параметр процесса; х\, х

,...,

Хъ.

— независимые перемен-

ные (факторы), которые можно варьировать.

Если функция г) имеет вид полинома (это один из наиболее

разработанных способов ее представления)

•п

= к+|]РЛ + 2м**/+ £

«*?

•

•*

где р

, pi, Pij.i Pti»•

• -

— коэффициенты регрессии, то задачу ре-

шаем путем получения так называемой функции отклика у (выбо-

рочной оценки для

TI)

в виде

у =

+ £ b

lXi

+ £

+ J]

х\

+ ....

'</

Здесь

bo,

bi, Ьц, bu,... — являются оценками для теоретических

коэффициентов регрессии р

, р

-, p

Следовательно, решение задачи сводится к определению коэф-

фициентов bo, bi, bij, Ьц

которые можно найти путем обработки

результатов эксперимента методом регрессионного анализа. В ча-

стности, многомерный регрессионный анализ применяется при

обработке результатов экспериментов, связанных с исследованием

эксплуатационных свойств автомобилей и режимов их движения

[4,

11, 16].

Однако применение регрессионного анализа к обработке ре-

зультатов многофакторных экспериментов часто не приносит успе-

ха по следующим причинам [38]:

а) трудно оценить ошибку эксперимента и нельзя строго про-

верить гипотезу об адекватности (тождественности) представле-

ния результатов выбранной моделью, например полиномом;

б) невозможно построить критерий для отбрасывания измере-

ний, содержащих грубые ошибки;

в) независимые переменные или их часть оказываются попарно

коррелированы, и соответствующие эффекты взаимодействия

трудно разделить;

г) при варьировании переменных в узком диапазоне, что быва-

ет в производственных процессах, задача становится неразрешимой;

д) при большом числе независимых переменных, даже с по-

мощью ЭВМ, задача не решается, а если и решается, то трудно

интерпретируется.

Более эффективными для решения многофакторных задач, то

есть для исследования сложных систем, являются математические

методы, получившие общее название «планирование эксперимен-

та»,

или «теория эксперимента» [39], которые в противоположность

регрессионному анализу дают возможность проводить активный

(управляемый, планируемый) эксперимент. Под планированием

эксперимента в данном случае понимается выбор числа и условий

проведения опытов, необходимых и достаточных для решения по-

ставленной задачи [2].

Методы теории эксперимента весьма разнообразны и использу-

ются для поиска оптимальных условий и оптимизации параметров,

для получения формул, отражающих взаимодействие факторов и

объясняющих механизм явлений, для выбора наиболее существен-

ных факторов и гипотез, оценки и уточнения констант математичес-

ких моделей. Они применимы к любым простым и сложным систе-

мам, обладающим свойствами управляемости (значение факторов

можно менять по желанию экспериментатора) и необходимой сте-

пенью воспроизводимости результата.

Теория эксперимента сочетает как известные разделы мате-

матической статистики (регрессионный и дисперсионный анализы),

так и одно из основных положений кибернетики, которое состоит

в том, что управление объектом возможно при отсутствии полной

информации о нем. При этом эффекты, обусловленные многочис-

ленными строго детерминированными, но не контролируемыми

факторами, рассматриваются как случайные. В то же время мно-

гие действия экспериментатора формализованы, эксперимент под-

чиняется определенной стратегии, основанной на последовательно-

сти логически осмысленных операций (после каждой серии

экспериментов принимаются обоснованные решения о дальнейших

шагах), и все влияющие факторы варьируются одновременно.

Благодаря этому интересующие исследователя параметры опре-

деляются со значительно меньшей ошибкой, эксперимент прово-

дится при малом числе опытов и его трудоемкость сокращается

в десятки раз. Оценка параметров и установление доверительных

границ для них производится некоторым стандартным образом, и

разные исследователи получают сопоставимые результаты.

Математическая теория эксперимента в общем случае не огра-

ничивает ни число исследуемых факторов, ни число оцениваемых

или оптимизируемых параметров. Однако при практической реали-

зации методов этой теории с целью повышения их работоспособно-

сти и эффективности стремятся уменьшить как число исследуемых

факторов, так и оптимизируемых параметров (выходных показате-

лей).

При этом широко используется априорная информация о по-

ведении объекта и применяются специально разработанные методы

отсеивания малозначимых факторов (метод ранжирования, слу-

чайный поиск и др.), переход к обобщенному параметру оптими-

зации и рассмотрение части параметров оптимизации как огра-

ничений.

Объектом исследования (моделью объекта) в планировании

эксперимента является используемый в кибернетике «черный

ящик», входы в который представляют собой факторы, соответст-

вующие способам воздействия на объект, а выходы — параметры

процесса (оптимизации). Каждый из факторов (в том числе ка-

чественные) должен иметь количественную оценку, а их совокуп-

ность должна удовлетворять требованиям совместимости и неза-

висимости (факторы должны быть осуществимы, безопасны и

определяться независимо друг от друга).

Таким образом, исследователь ищет связь между входными

и выходными параметрами системы на основе кибернетического

подхода, абстрагируясь от элементарных процессов, происходящих

в системе. Это избавляет от необходимости описывать явления в

терминах дифференциальных уравнений и позволяет в том слу-

чае,

когда их нельзя составить, то есть при исследовании сложных

систем, которые раньше рассматривались только на интуитивном

уровне, изучать и оптимизировать процесс. При этом меняется

отношение исследователя к стратегии эксперимента, а именно [39]:

В эксперимент вносится концепция случая. Благодаря этому

множество мешающих факторов, которые прежде необходимо было

стабилизировать, путем рандомизации превращаются в случайные

величины, и их влияние на результат поддается учету и контролю.

Исследователь хорошо знает, какие необходимо ставить

опыты и как интерпретировать результаты наблюдения, то есть

имеет возможность проводить управляемый (активный) экспери-

мент.

Активный эксперимент является хорошо организованным.

Он снимает нарушение тех предпосылок, к которым так чувствите-

лен многомерный регрессионный анализ.

Эти преимущества в совокупности с повышением точности

оценок столь ощутимы, что идеи математической теории экспери-

мента в короткий срок завоевали признание, были развиты для

практического применения и получали широкое распространение

при исследовании сложных объектов. Это позволяет отдать им

предпочтение перед многомерным регрессионным анализом и при

исследовании эксплуатационных свойств автомобилей.

Однако математическая теория эксперимента требует проведе-

ния опытов с высокой точностью и управления факторами, под

которыми понимается возможность осуществления определенной

их комбинации при каждом опыте. Но так как геометрические и

другие элементы реальных дорог сочетаются случайным образом,

то управлять факторами, определяющими условия движения при

дорожных испытаниях автомобилей, в равной мере и при их испы-

таниях на существующих полигонах, невозможно. Поэтому одним

из наиболее доступных путей реализации методов планирования

эксперимента с целью определения показателей движения и оценки

эффективности использования автомобилей является математичес-

кое моделирование.

Наибольшие возможности имеет моделирование с помощью

ЭЦВМ, одинаково пригодное для воспроизведения как вероятност-

ных, так и детерминированных моделей. Так как движение авто-

мобилей в транспортных потоках носит вероятностный характер,

а тяговые расчеты предполагают воспроизведение той или иной

детерминированной модели, то указанный метод моделирования

обеспечивает воспроизведение процесса движения автомобилей со

всеми присущими ему особенностями, определяющимися влиянием

технических, геометрических, психофизиологических и общих

факторов.

ЭЦВМ применяются также для решения задач, связанных с

исследованием нагрузочных режимов трансмиссии и ходовой части,

управляемости и устойчивости автомобиля. Но в ряде случаев для

решения этих задач весьма эффективно применение электронных

аналоговых вычислительных машин (ЭАВМ).

В книге рассматривается общая методология планирования эк-

сперимента, основы моделирования на ЭВМ обоих типов, методика

воспроизведения процесса движения автомобилей и рабочих про-

цессов некоторых агрегатов и систем и анализируются результаты

применения этих методов для определения показателей движения

и оценки эффективности автомобилей.

Глава 1

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1.1.

Выбор факторов и их отсеивание.

Параметры оптимизации

Выбор факторов при планировании эксперимента, то есть пере-

менных, воздействующих на объект исследования, является одной

из важных задач. Факторы должны быть управляемы и однознач-

ны.

Под управляемостью фактора понимается возможность уста-

навливать его нужные значения при данном опыте или менять по

заданному плану.

Факторы должны непосредственно воздействовать на объект

исследования. Их нужно определять операционно (должен быть

известен способ придания фактору любого возможного значения).

Кроме того, факторы не должны быть коррелируемыми между

собой, то есть каждый фактор следует устанавливать на любой

уровень независимо от других. Последнее обстоятельство не озна-

чает, что между факторами не существует никакой связи. Доста-

точно, чтобы связь между ними не была линейной. Наконец, сово-

купность факторов должна быть совместимой, то есть все

комбинации значений факторов должны быть осуществимы.

Различают количественные и качественные факторы. Примеры

количественных факторов очевидны. Если экспериментатор опери-

рует с качественными факторами, то необходимо или рассматри-

вать их на всех интересующих экспериментатора уровнях в одном

эксперименте, или ставить независимые эксперименты для каждого

уровня и сравнивать результаты. При этом всегда качественные

факторы можно сделать количественными, например, путем их

оценки по пятибалльной системе.

Приступая к исследованию, необходимо включить в рассмот-

рение все возможные факторы, то есть получить полный их спи-

сок. При неполном списке факторов в случае, когда один или не-

сколько существенных факторов не включены в рассмотрение,

эксперимент может потерять всякий смысл. Однако увеличение

числа факторов приводит к значительному увеличению количества

экспериментов и стоимости исследования. Поэтому существенным

является отсеивание малозначимых факторов.

На первом этапе для этой цели можно использовать априорную

информацию. Использование априорной информации заключается

в формализации опыта специалистов, которые ранжируют факто-

ры,

то есть располагают в порядке убывания их влияния на иссле-

дуемый параметр. Ранжировка факторов дает возможность по-

строить статистически среднюю априорную диаграмму рангов.

Рассмотрение последней дает ответ на вопрос, какие из факторов

можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

При равномерном распределении на диаграмме рангов необхо-

димо рассматривать все факторы, так как, если объект исследова-

ния плохо изучен, каждый из факторов может быть как сущест-

венным, так и несущественным. Если распределение неравномерное,

то следует ставить вопрос о быстроте падения степени влияния

факторов. Плавное падение говорит о том, что различие между

факторами незначительно и все они должны быть рассмотрены.

Быстрое, экспоненциальное падение степени влияния дает воз-

можность отсеять ряд факторов и тем самым упростить экспери-

мент.

Дальнейшее отсеивание факторов производится эксперимен-

тально. Для экспериментального отсеивания факторов можно

использовать полный факторный эксперимент или дробные репли-

ки.

Однако при большом количестве факторов это нецелесообраз-

но,

так как придется проводить большое число экспериментов.

Поэтому более целесообразно для этой цели применять метод

случайного баланса. Этот метод основывается на предположении

того,

что среди всех рассматриваемых факторов влияние лишь

некоторых существенно, все остальные могут быть отнесены к не-

существенным, к так называемому шумовому полю. Таким обра-

зом, если расположить эффекты влияния факторов в порядке

убывания их вклада в дисперсию (рассеивание) параметра опти-

мизации, то получим ранжировочный ряд с быстрым убыванием.

Цель эксперимента методом случайного баланса состоит в том,

чтобы выявить истинную ранжировочную кривую и произвести

расщепление модели.

Расщепление модели математически означает следующее. Если

исходная математическая модель

biXi

bzX2+

•.. +b

+ b

+ ... +bh-i,hXk-iXk + e,

где bi (i = \,

2,...,

k) — коэффициенты при линейных членах;

bii (i, j= 1, 2,... ,k, i¥=j) — коэффициенты при взаимодействиях

факторов; е — остаточная ошибка модели, то, считая, что некото-

рые Хг означают взаимодействия, модель можно записать в сле-

дующем виде:

Ь!Х1

Х2+

. . .

+ d

m+i

+ . . . +d

Xi +

Здесь т — число эффектов, отнесенных к значимым; /•—т — число

эффектов, отнесенных к «шумовому полю»; /= (£+1) +С^.

Относительно значимых эффектов расщепленная модель примет

вид

У =

Ьо

biXi

b2X2+

. . . + Ь

тХт

где

l=dm+iXm+i-\-

• • •

+diXi + z — остаточная ошибка модели.

Другой не менее важной задачей при планировании экспери-

мента является выбор параметра оптимизации, под которым пони-

мается количественная характеристика цели исследования.

Параметр оптимизации должен быть эффективным с точки

зрения достижения цели, что эквивалентно корректной постановке

задачи, количественным, однозначным (каждому состоянию объек-

та должно соответствовать одно значение параметра оптимизации)

и статистически эффективным. Последнее связано с вопросом раз-

личимости параметров, если их несколько. Статистически эффек-

тивными являются параметры с наименьшей дисперсией.

Кроме того, параметр оптимизации должен быть простым, иметь

ясный физический смысл и легко вычисляться, а также существо-

вать для всех различимых состояний системы.

Необходимо стремиться к тому, чтобы параметр оптимизации

был единственным. Объясняется это простотой решения однопара-

метричных задач. Однако в практике встречаются и многопарамет-

рические задачи. В случае их возникновения необходимо прежде

всего искать возможность уменьшения количества параметров

оптимизации путем их обобщения и рассмотрения части парамет-

ров как ограничений. При решении многопараметрических задач

применяют метод последовательного решения. Иногда прибегают

к переформулированию задачи.

Наиболее часто используются экономические параметры (себе-

стоимость, затраты). Применяются также технико-экономические

параметры (производительность, надежность), технологичес-

кие и др.

1.2. Полный факторный эксперимент

Традиционным и до сего времени господствующим способом испы-

таний является однопараметрический эксперимент, при котором

все переменные, кроме исследуемой, фиксируются на постоянных

уровнях. Поочередно варьируя переменными, получают зависимо-

сти,

трудно сопоставимые и не отражающие взаимодействия пере-

менных. Вместе с тем поочередное варьирование переменными

требует много труда, времени и затрат. Факторное планирование

эксперимента как раз и предназначено для устранения этих не-

достатков.

При факторном планировании число уровней для каждого из

факторов не может быть меньше двух. Но так как выбор числа

уровней определяет число различимых состояний «черного ящика»

и, следовательно, сложность эксперимента, то число уровней редко

бывает больше трех. Экспериментальные планы, в которых все

факторы варьируются на двух уровнях, называются планами

типа 2

, где k — количество факторов.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные комбина-

ции уровней всех факторов, называют полным факторным экспе-

риментом.

Основой для матрицы планирования полного факторного экспе-

римента служат факторные планы типа 2

. Это означает, что

каждый из факторов, включенных в эксперимент, рассматривается

в некотором интервале и в эксперименте варьируют двумя его

значениями, соответствующими границам интервала. Выбор интер-

валов варьирования в области определения факторов фактически

означает выбор некоторой подобласти, предназначенной для экспе-

риментального изучения. Эта подобласть симметрична относи-

тельно нулевого уровня, то есть ее центра. Для качественных

факторов нулевой уровень часто не имеет физического смысла, что,

однако, не существенно.

Таким образом, в эксперименте используют значения,- соответ-

ствующие верхней и нижней границам интервала варьирования.

Их обычно называют верхним и нижним уровнями и обозначают

соответственно +1 и

— 1

или просто ~Ь и —. Для перехода от

действительных значений факторов к значениям ±

производится

кодирование факторов. Кодирование определяется соотношением

*£ZL*«L, (1.1)

где Xi — кодированное текущее значение фактора; х-

— натураль-

ное значение нулевого уровня; Xi — натуральное текущее значение,

фактора; /^ — натуральное значение интервала варьирования.

Кодирование представляет собой линейное преобразование фак-

торного пространства, а именно перенос начала координат в ну-

левую точку и выбор масштабов по осям в единицах интервалов

Таблица

1.1 варьирования.

План эксперимента *•

Запись

значений границ интервалов в

относительных единицах ±

приводит к

стандартной форме записи матрицы пла-

нирования, использующей только знаки.

Допустим, что мы имеем дело с двумя

независимыми переменными Xi и

х%,

каж-

дую из которых варьируем на двух уров-

нях ±1.

План факторного эксперимента для

двух независимых факторов, варьируе-

мых на двух уровнях, показан в табл. 1.1.

Принимая в координатах Хи х

некоторую точку за основную

(нулевой уровень факторов) и имея в виду, что значения х± и

х%

могут быть представлены в относительных единицах, получаем

геометрическое изображение плана в виде квадрата, вершины

которого соответствуют номерам и условиям опытов (рис. 1.1).

Применительно к хорошо известным однофакторным зависимо-

стям «средняя скорость—удельная мощность» и «средняя ско-

рость—передаточное число главной передачи» (V

—Л^

уд

и У

ср

—ц)

план эксперимента в соответствии с табл. 1.1, обеспечивающий

получение зависимости вида

cp(./Vy

to), то есть средней ско-

рости при одновременном варьировании обоих факторов, например,

удельной мощности в диапазоне от 0,75 до 1,50 Вт/Н и передаточ-

№

опыта

Переменные

—

Выход

У/

Ух

Уг

Уз

УА

1х

r-.-o

(-.-)

(-,+,-)

(+,+>

(+,-)

(-,-,-)

{-,-,+)

l+.+.-J

---?>(•*•,+ +)

(+г+)

Рис.

1.1. Геометрическое

изображение двухфакторно-

го эксперимента.

Рис.

1.2. Геометрическое изображе-

ние трехфакторного эксперимента.

ного числа главной передачи от 6 до 10, определяем в результате

их кодирования

ЛГ -1,12

0,37

Хч

—~-

В соответствии с этим планом эксперимент будет включать

четыре опыта, которые должны проводиться при следующих соче-

таниях натуральных значений переменных:

УУ

УД

= 0,75,

= 6, (xi =

—1,

= —1)

= 1,50,

/о

= 6, (*i= + l, х

= — 1)

Л^

уд

0,75,

=I0,

(Xi

= — \, л*= + 1)

уд

=1,50, i

=10, (x,= + l, x

= + l).

Путем последующей обработки результатов этих опытов можно

получить интерполяционную формулу (полиномиальную модель),

позволяющую определить среднюю скорость при любом значении

переменных.

Рассмотрим эксперимент с тремя

независимыми переменными Х\, Хг,

варьируемыми на двух уровнях.

Чтобы исчерпать все комбинации

трех факторов на двух уровнях, нуж-

но поставить восемь опытов

= 8).

Матрица планирования для трех пе-

ременных приведена в табл. 1.2, а

геометрическое представление этого

плана показано на рис. 1.2.

Матрицу планирования для лю-

бого числа независимых переменных

можно получить из матрицы плани-

рования для двух независимых пе-

ременных, используя разные приемы. Один из них основан на пра-

виле чередования знаков. В табл. 1.2 знаки в первом столбце

Таблица 1-2

План эксперимента V

№

опыта

Переменные

- 1 +

_ :

1 +

Выход

У1

Уг

Уч

Уг

•V*

Уь

У,

Уч

Уъ