Нефедов А.Ф., Высочин Л.Н. Планирование эксперимента и моделирование при исследовании эксплуатационных свойств автомобилей

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 2

ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

НА ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ

2.1.

Общее понятие о математическом

моделировании процессов

Понимая под моделированием исследование различных процессов

на моделях, всегда учитывают возможность значительного отличия

условий реализации процесса-модели от условий, свойственных про-

а б

Рис.

2.1. Механическая система и ее электрическая модель.

цессу-оригиналу. Это позволяет осуществлять моделирование, обес-

печивающее удобство и простоту эксперимента, сокращение мате-

риальных затрат и сроков исследований, а также устранение опас-

ностей, зачастую возникающих при натурном эксперименте [10].

Однако условия моделирования не являются произвольными.

Между процессом-оригиналом и процессом-моделью должны быть

соблюдены определенные соотношения подобия, обеспечивающие

возможность использования результатов моделирования для иссле-

дования свойств процесса-оригинала.

Наиболее жесткими в этом отношении являются требования

к непосредственному физическому моделированию, при котором

не только должна быть сохранена природа процесса, но и должны

быть постоянными отношения соответствующих величин натуры

и модели (например, линейных размеров при продувке в аэроди-

намической трубе). Такой метод моделирования, хотя и достаточ-

но известный, имеет ограниченное применение.

Значительно большую свободу выбора модели предоставляют

методы математического моделирования, требующие совпадения

только математических соотношений, описывающих поведение про-

цесса-модели и процесса-оригинала. Сами же сопоставляемые про-

цессы могут иметь разное физическое содержание.

В качестве примера на рис. 2.1 представлена механическая (ди-

намическая) система, включающая двигатель с моментом инерции

маховик с моментом инерции /

, рабочий орган с сопротивле-

нием 5

и упругий вал с податливостью е. На систему воздейст-

вует переменный момент M(t). Математическим аналогом такой

системы является электрическая цепь (рис. 2.1,6). В тождествен-

ности этих систем можно убедиться, сравнив уравнения исходной

механической системы с уравнениями электрической цепи.

Уравнения движения исходной системы запишутся как уравне-

ния моментов для каждой из масс, а именно:

e J

du>

1 Г

Для электрической цепи система уравнений будет следующей:

*аГ

- \ J

<*»-

м)

<"•

^м

0.'

(2-2)

В электрической модели имеются все элементы механической

системы: момент инерции / представлен индуктивностью L, подат-

ливость е — емкостью с, сопротивление 5

— сопротивлением R.

Распределение моментов сил имитируется распределением напря-

жений и т. д.

В общем случае под математической моделью реального про-

цесса понимается некоторый математический объект, поставленный

в соответствие данному физическому процессу. Иначе,

математи-

ческая модель — это совокупность соотношений (например, фор-

мул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т. д.),

которые связывают характеристики процесса с параметрами соот-

ветствующей системы, исходной информацией и начальными усло-

виями [10].

При этом не обязательно, чтобы математическая модель состоя-

ла только из соотношений, выражающих характеристики процесса

в виде явных функций от параметров системы, времени, исходной

информации и начальных условий. Это справедливо только для так

называемых детерминированных моделей. В общем же начальные

условия, параметры системы и сами процессы могут быть случай-

ными и задаваться распределениями вероятностей соответствую-

щих величин. Существенно также и то, что при решении приклад-

ных задач в большинстве случаев модели не отражают второсте-

пенные детали, а учитывают лишь основные стороны исследуемо-

го процесса.

Поэтому построению математических моделей, представляющих

собой формализованное (математическое) описание процесса,

предшествует обстоятельное изучение структуры явлений, состав-

ляющих этот процесс. Результатом этой работы является так назы-

ваемое содержательное описание процесса, дающее сведения о его

природе, составляющих элементах и взаимодействиях между ними,

а также о количественных характеристиках.

Методика проведения этого ответственного этапа, являющегося

собственно моделированием, достаточно полно рассматривается в

работах [10, 35].

Различают следующие основные способы использования мате-

матических моделей:

Аналитическое исследование процессов.

Исследование процессов при помощи численных методов, в

том числе с применением вычислительной техники.

Физическое моделирование процессов.

Моделирование процессов на вычислительных машинах не-

прерывного действия (аналоговых).

Моделирование процессов на вычислительных машинах диск-

ретного действия (цифровых).

Каждый из этих способов имеет специфические особенности и

сферу эффективного применения.

К аналитическому исследованию на практике стремятся в пер-

вую очередь, так как оно дает наиболее полное решение задачи.

К сожалению, преобразование математической модели в систему

уравнений, обеспечивающую получение нужного результата, пред-

ставляет большие трудности, а в ряде случаев и невозможно. По-

этому при аналитическом исследовании часто идут на умышлен-

ное упрощение модели с целью получения приближенного реше-

ния. Но если эти упрощения приводят к погрешностям, то переходят

к другим способам использования математической модели, напри-

мер к исследованию процесса численными методами. Эти методы

применяются более широко, особенно в связи с распространением

быстродействующих вычислительных машин. Результаты иссле-

дования процессов численными методами обычно представлены

таблицами значений искомых величин для ограниченного набора

значений параметров системы и начальных условий, то есть час-

тичных реализаций процесса.

При физическом моделировании используются специальные мо-

делирующие установки (электрические, гидравлические, механи-

ческие, тепловые и др.)- Для воспроизведения процесса-оригинала

подбирается процесс-аналог подходящей природы и устанавли-

ваются соответствующие коэффициенты подобия.

Разновидностью физического моделирования является модели-

рование на электронных аналоговых вычислительных машинах

(ЭАВМ), которые представляют собой комплексы многих физиче-

ских моделей, способных имитировать разнообразные явления,

встречающиеся в тех или иных задачах. Структурные связи меж-

ду этими моделями могут меняться, благодаря чему ЭАВМ обла-

дают определенной универсальностью по отношению к типам ре-

шаемых задач.

БП

ОЭ

КП

ИУ

СУ

Эти машины широко распространены и применяются прежде

всего для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Моделирование на ЭАВМ можно представить как проведение опы-

тов средствами вычислительной техники. Аналоговые устройства

служат моделью, позволяющей оценить физическую сущность ис-

следуемого процесса и проверить гипотезы исследователя.

Для моделирования процесса на элект-

ронных цифровых вычислительных машинах

(ЭЦВМ) математическая модель преобра-

зуется в моделирующий алгоритм, в соот-

ветствии с которым в машине вырабатыва-

ется информация об исследуемом процессе.

Часть этой информации рассматривается

как результат моделирования и выводится

на печать в численном или графическом ви-

де.

При этом явления, происходящие в

ЭЦВМ, и явления исследуемого процесса

Рис

- м'ентыЭ^ВМ

6 ЭЛ6

различны по своей природе, но состав и

характер информации, описывающей поведение процесса-ориги-

нала и перерабатываемой в машине, близки.

Метод моделирования на ЭЦВМ с некоторым основанием мож-

но считать своеобразной разновидностью численных методов. При

обычных численных методах математическая модель преобразу-

ется в систему уравнений относительно искомых величин. Для их

решения применяется какой-либо численный метод, весьма дале-

кий по своей логической структуре как от математической модели,

так и от исследуемого процесса. Это сближает численные методы

с моделированием на ЭЦВМ. В то же время моделированию на

ЭЦВМ присуща имитация элементарных явлений, составляющих

исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры и

последовательности протекания во времени.

Натурный эксперимент и моделирование на ЭЦВМ аналогичны

и в том смысле, что в обоих случаях для решения поставленной

задачи можно использовать любую поддающуюся регистрации

информацию о процессе-оригинале. Поэтому ЭЦВМ используются

для решения самых разнообразных задач, в том числе для иссле-

дования случайных процессов. Возможность разнообразного при-

менения ЭЦВМ и их высокая точность обусловили большое их

распространение.

2.2.

Моделирование на электронных аналоговых

вычислительных машинах

Различают следующие основные элементы ЭАВМ (рис. 2.2):

— комплект линейных и нелинейных операционных элементов

(ОЭ);

_— коммутационный прибор (КП) для соединения отдельных

операционных элементов в моделирующую систему;

Элемент

Обозначение

Операция

Операционный

усилитель

>°—0^

=-ku,

Н^

Интегратор

и, R,

О^

=-aJu

dt+u

(X})

Сумматор

и,

а,

г^

"г и,

*Ж-

M^-ZaiUn

Сумматор

интегратор

Яп

-Ж?$>&

=-Ищ[и

dt+UgfO)

'*'

Масштабный

элемент (блок

умножения

на

постоянный

коэффициент)

±-\рЛ

U, jfy

г\и

=-Щ,

а>0

=аи

O^a^f

Инвертор

"^рл*

^Д^рЬ

Операционный

Элемент

(P)

Функциональ-

ный преобразо-

ватель

Множитель ный

элемент

Функциональ -

ный генератор

и,<

~Ф~У

f(U,)

°-

Uu<>-

К>—

и,-fit)

Рис.

2.3. Основные операционные элементы ЭАВМ.

— блок стабилизированного питания

(БП)

операционных эле-

ментов;

— измерительное устройство (ИУ), выдающее решение задачи;

— система управления (СУ), предназначенная

для

пуска, оста-

новки

возврата

исходное положение.

Операционные элементы строятся на основе электронных (опе-

рационных) усилителей с большим коэффициентом усиления, снаб-

женных внешними цепями для формирования требуемых зави-

симостей между входными и выходными напряжениями эле-

мента.

На рис. 2.3 показаны обозначения основных операционных эле-

ментов ЭАВМ и выполняемые ими математические операции. Сле-

дует заметить, что масштабный элемент и инвертор являются

модификациями суммирующего элемента. Масштабный элемент —

это сумматор с одним входом (напряжения на остальных входах

равны нулю), а инвертор получается из масштабного элемента при

Линейные операционные элементы (интеграторы и сумматоры)

составляют набор элементов, необходимых для решения линейных

дифференциальных уравнений. Все они дают результат в виде на-

пряжения обратного знака. Начальные условия в интеграторах и

интеграторах-сумматорах задаются обычно путем предваритель-

ного (перед началом решения задачи) заряда интегрирующего

конденсатора.

Усложняя цепи на входе и в обратной связи усилителя, полу-

чают линейные операционные элементы для воспроизведения раз-

личных передаточных функций.

К нелинейным операционным элементам относятся: функцио-

нальный элемент, множительный элемент и функциональный ге-

нератор.

Функциональный элемент выдает выходное напряжение, про-

порциональное заданной функции входного напряжения. Дости-

гается это с помощью диодных схем, которые осуществляют кусоч-

но-линейную аппроксимацию требуемой зависимости. На базе тех

же диодных схем могут создаваться и множительные элементы,

имеющие два входа и один выход, напряжение на котором про-

порционально произведению мгновенных значений входных на-

пряжений.

Функциональный генератор является источником ЭДС, его на-

пряжение изменяется по заданному закону во времени. Для полу-

чения функционального генератора на входе функционального

элемента включается генератор напряжения, изменяющегося во

времени. Для осуществления заданного закона изменения этого

напряжения набирается вспомогательная модель.

Программирование на ЭАВМ включает:

Определение вида и числа решающих элементов;

Определение последовательности их соединения (получение

структурной схемы);

Определение параметров настройки решающих элементов

(конкретного вида нелинейных функций, начальных условий на

интеграторах, коэффициентов передачи, масштабов переменных

и т. д.).

Рассмотрим порядок программирования линейного уравнения

с постоянными коэффициентами (простейший случай) в соответ-

ствии с общим методом, пригодным также и для систем линейных

и нелинейных уравнений [30].

Пусть задано уравнение

a^+a&^fit). (2.3)

Решив уравнение относительно производной высшего порядка

(первый шаг), получим

7j£--°i!Jr-«»y+

/(<)•

dt-

Полагая, что есть производная —- , на втором шаге (рис. 2.4)

соединяем необходимое число интеграторов, равное порядку урав-

нения, для получения производной нулевого порядка.

tfi

Ё^У ESL

0>—^-ЧШ>-^ —^ 4£>—^-Н£>-*

Рис. 2.4. Первый шаг програм-

мирования уравнения (2.4).

Рис. 2.5. Промежуточный шаг 'ftj-a,^

зания

(2.4).

программирования уравнения

—

На третьем шаге умножим каждую из производных на соответ-

ствующий коэффициент, на четвертом сложим найденные резуль-

таты и добавим функцию f(t). В результате имеем схему, изобра-

женную на рис. 2.5.

В соответствии

уравнением (2.4) на пятом шаге, соединяя

выход усилителя

4 с

входом интегратора 1, получаем замкнутый

контур. Шестой шаг состоит в задании начальных условий на вы-

ходах соответствующих интеграторов.

Окончательный вид структурной схемы программы решения

уравнения (2.4) показан на рис. 2.6.

Аналогично выполняем программирование задач, заданных си-

стемой уравнений первого или более высокого порядка. В част-

ности, составление программы решения системы уравнений

^ = МУ..Л); ^-/.(Л.У.)

(2-5)

также начинается с предположения того, что производные первого

порядка

и -^- известны. Однократно их интегрируя и исполь-

зуя переменные у± и г/г

качестве входных величин, образуем

функции fi(t/u

У2)

и !г{УъУг)- Выходные величины этих функцио-

нальных блоков fi и /г подаются на входы интеграторов. Выход-

ными величинами последних являются переменные у± и

уг

которые

и замыкают контуры.

/С

>-(Ж-о

1С

(0)

rW dt

№-*$-

ОоУ

«шАн^

-a*

#-n

•fit)

Рис.

2.6. Структурная схема программы решения уравнения

на ЭАВМ, составленная по общему методу.; ;

Рассмотрим применение общего метода программирования для

построения структурной схемы ранее рассмотренной динамической

системы (рис. 2.1). Математическое описание этой системы пред-

ставим системой дифференциальных уравнений, разрешенных отно-

сительно высших производных (первый шаг)

- - М (t)

-f

—

<р

;

е1

Фм

—

4>д

гФм-

eL eL

ЗдеСЬ —^=С0г,фг

Sjdtyu

4 dt'

(2.6)

угол поворота вала.

Полагая, что производные первого порядка существуют, полу-

чим схему, показанную

dt* ГТ\ dt

fl>

. dt

<Рэ

4>м

на рис. 2.7.

На последующих ша-

гах образуем выражения,

стоящие в правой части

уравнений (2.6), и пода-

дим их соответственно на

входы интеграторов 1 и

Для этого нужно умно-

жить у

и фм на соответ-

ствующие коэффициенты,

добавить функции М (t) и

(со своими знаками) и инвертировать ряд величин. Первые две

величины получим с интеграторов, а другие две воспроизводятся

с помощью нелинейных операционных элементов. Задавшись на-

чальными условиями, имеем структурную схему, представленную

на рис. 2.8.

Рис.

2.7. Первый шаг программирования си-

стемы уравнений 2.6.

Кроме рассмотренного общего метода, применяются и другие

методы составления структурных схем для решения систем диффе-

ренциальных уравнений. В частности, при исследовании динами-

ческих явлений в трансмиссии автомобиля удобно пользоваться

№,

Та

*~($\-0

= <P„<0)

е/.

-ОКЕ!

&<Н

0«i

Рис.

2.8. Структурная схема решения системы

уравнений общим методом.

методом динамических аналогий, предложенным Проблемной авто-

мобильной лабораторией Белорусского политехнического инсти-

тута [55].

Сущность этого метода рассмотрим на примере динамической

системы (рис. 2.9), состоящей из трех масс с моментами инерции

h, h, двух упругих звеньев с податливостями e

и е^ и нагру-

женной моментами М

и М

/ 2 3

Рис.

2.9. Крутильная динамическая система.

Уравнения движения масс этой системы относительно произ-

водных можно записать в следующем виде:

_ __„

^У1\2 >

2 — ; »

= ^—'

; ^з=

(2.7)

Структурная схема решения этой системы уравнений, состав-

ленная общим методом, показана (с некоторыми упрощениями) на

рис 2.10. На этом рисунке, кроме известных обозначений, вели-

чины k

• • •

, k

— коэффициенты передачи на входах в интег-

раторы, равные

= k

= у'» &з

- —; k

= k

= —; k

••k

—

На рис. 2.11 показана струк-

турная схема той же системы,

составленная методом динамиче-

ских аналогий. Элементы этой си-

стемы изображены под соответ-

ствующими элементами динами-

ческой системы (сравни рис. 2.9 и

2.11). Эту структурную схему

можно составить и без уравнений

движения, пользуясь следующи-

ми правилами.

Рис.

2.10. Структурная схема модели-

рования общим методом динамической

системы, представленной на рис. 2.9.

«^^h

Ф>

-Mr.

Й>*Ч-0-1

=ф^-£>п

-м„

Ли

-w

Каждая масса динамической системы заменяется интеграто-

ром, на выходе которого напряжение моделирует угловую скорость

массы.

-м,

К,

tc>.

к*

*б

к* -м.

+м.

-со

^*лк

+1*2

+M23 -Мж

+ь>

Рис.

2.11. Структурная схема моделирования методом

динамических аналогий динамической системы, представ-

ленной на рис. 2.9.

Каждое упругое звено системы заменяется последовательна

соединенными интегратором и инвертором, на выходе которых

напряжение моделирует упругий момент, нагружающий звено.

Выходы интеграторов, моделирующих массы, соединяются

с входами интеграторов, моделирующих упругие звенья, соединяю-

щие в динамической системе соответствующие массы.

Важной задачей при моделировании на ЭАВМ является опре-

деление коэффициентов передачи интеграторов и масштабов пере-