Нефедов А.Ф., Высочин Л.Н. Планирование эксперимента и моделирование при исследовании эксплуатационных свойств автомобилей

Подождите немного. Документ загружается.

меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через

два, в третьем — через четыре и так дал-ее по степеням двойки.

Геометрическим представлением планов при k>3 являются

гиперкубы в ^-мерном пространстве.

Матрицы планирования полных факторных экспериментов обла-

дают свойством ортогональности, благодаря чему коэффициенты

регрессии искомой модели определяются по простой формуле

=i^—,

0,1

k, (1.2)

где yi — значение параметра оптимизации в t'-м опыте (строке);

Хц — значение /-го фактора в t-м опыте.

Как видим, для вычисления некоторого коэффициента модели,

например при Хи достаточно приписать знаки соответствующего

столбца матрицы планирования столбцу значений параметра опти-

мизации (выхода), произвести алгебраическое сложение и резуль-

тат разделить на число опытов.

Для того чтобы вычислить коэффициент модели Ь

по той же

формуле (1.2), в матрицу планирования вводят столбец с фиктив-

ной переменной х

, которой во всех опытах придается значение +1.

Тогда Ь

определяется как среднее арифметическое значение у.

Полученные оценки коэффициентов модели являются незави-

симыми друг от друга. Их численные значения и знаки указывают

на силу и характер влияния факторов. Чем больше величина

коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на пара-

метр оптимизации (выход). Если коэффициент имеет знак плюс,

то с увеличением значения фактора параметр оптимизации уве-

личивается, а если минус, то уменьшается.

Таблица 1.3

Полный факторный эксперимент типа 2

№

опыта

'о

Переменные

-*i

. .

•—

—

XlXi

—

Выход

У,

Ух

Уъ

У»

У4,

Полный факторный эксперимент позволяет при необходимости

оценить 'эффекты взаимодействия факторов. Для этого надо, поль-

зуясь правилом перемножения столбцов, получить столбцы про-

изведений факторов. С полученными вектор-столбцами обращаются

так же, как с вектор-столбцами любого фактора, так как при

добавлении столбцов взаимодействий все свойства матрицы

сохраняются. Для полного факторного эксперимента 2

матрица

планирования с учетом взаимодействий показана в табл. 1.3.

В этой матрице столбцы л^ и х

задают планирование (определяют

условия опытов), а столбцы Хо и Х\Х

используются, только для

расчетов.

Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом

взаимодействия первого порядка. При трех факторах может воз-

никнуть необходимость оценить эффект взаимодействия

Х\Х%Хг,

то

есть второго порядка, при четырех — третьего порядка и т. д.

Вообще эффект взаимодействия максимального порядка в полном

факторном эксперименте имеет порядок на единицу меньше числа

факторов, а полное число всех возможных эффектов, включая bo,

линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу

опытов. Из полного факторного эксперимента нельзя извлечь ин-

формацию о квадратичных членах модели, так как соответствую-

щие оценки смешаны с Ь

. Действительно, в матрице, показанной

в табл. 1.3, столбцы х\, х\ (если их дописать) совпадают друг

с другом и со столбцом х

. Поэтому нельзя сказать, за счет чего

получена величина bo. Она включает значение свободного члена

и вклады квадратичных членов.

1.3. Дробные реплики и их разрешающая способность

В полном факторном эксперименте число опытов превышает число

коэффициентов линейной модели тем больше, чем больше факто-

ров.

Если при этом не требуется оценивать эффекты взаимодей-

ствий или частью их можно пренебречь, то матрица будет обладать

избыточностью опытов и можно обойтись меньшим их числом.

В частности, матрица полного факторного эксперимента 2

(табл. 1.3) дает возможность вычислить четыре коэффициента и

получить интерполяционную формулу (модель) следующего вида:

У = b

+biXi + b2X2+b

XiX2. (1.3)

Между тем, если есть уверенность, что исследуемый процесс

может быть описан линейной моделью, то достаточно определить

только три коэффициента b

, bi и

Ь%.

Оставшаяся одна степень

свободы (разность между числом опытов и числом констант, опре-

деляемых независимо друг от друга) и может быть употреблена

для минимизации числа опытов. Если линейное приближение

&12-»~0, вектор-столбец

Х{Х%

можно использовать для нового фак-

тора х

. Мысленно подставим его в табл. 1.3. Оценки смешаются

следующим образом:

^i-^Pi +

Ргз;

&2-^Рг+р1з;

Ьз~+$з

$12,

где Ь

Ьг и Ь

— вычисленные нами коэффициенты, а греческими

буквами обозначены неизвестные истинные значения коэффициен-

тов регрессии.

Однако в данном случае этому факту не следует придавать

значения, так как постулируется линейная модель и все парные

взаимодействия незначимы. Существенно то, что для изучения трех

факторов можно ограничиться четырьмя опытами вместо восьми.

При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных

свойств.

Таким образом, чтобы сократить число опытов, нужно новому

фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаи-

модействию, которым можно пренебречь. Пренебрегая одним

взаимодействием, получаем полуреплику (половину) от полного

факторного эксперимента, двумя — четвертьреплику (четвертую

часть) и т. д. Регулярные дробные реплики получают делением

планов полных факторных экспериментов на число, кратное двум,

пользуясь обозначением 2

~P, где р — число линейных эффектов,

приравненных к эффектам взаимодействия. Соответственно по-

луреплика от 2

запишется в виде 2

3-1

, а четвертьреплика от 2

—

в виде 2

5-2

Дробная реплика может иметь разную систему смешивания.

Экспериментатор всегда стремится к тому, чтобы максимальное

число линейных эффектов не смешивалось с парными взаимодейст-

виями. Число таких линейных эффектов называется разрешающей

способностью дробной реплики.

Для оценки разрешающей способности используют генерирую-

щие соотношения, которые показывают, с какими столбцами за-

коррелирован (смешан) столбец данного фактора.

Например, планирование 2

3-1

может быть представлено двумя

полурепликами (половинами полного факторного эксперимента),

каждая из которых задается одним из генерирующих соотношений

*3 = *iX2 И Х

= —#1*2-

Если обе части этих соотношений умножить на Хз, то получим

х\

1 —ХлХгХъ

_JC|=1=—XiX

так как всегда xf = \.

Соотношения Х^х^ХгХз и l=—xix

называются определяющи-

ми контрастами.

По определяющим контрастам легко найти все смешанные оцен-

ки.

Для этого необходимо последовательно умножить все незави-

симые переменные на определяющий контраст

—

Хз;

—х

;

Х2 —

Х1Х3',

=—XiXs\

Xz — XiXz', Хз —

~~~Х\Х%.

Вычисленные коэффициенты будут оценками следующих истин-

ных коэффициентов регрессии:

6i =

f3i

;

6i'

= pi—Р23;

^2~Р2+р13;

Й2

Р2—Pl3j

&з

—fb+PiaJ Ьз'=$з—Pi2-

Разрешающая способность реплик всегда тем выше, чем боль-

ше символов входит в генерирующее соотношение. Исследуем раз-

решающую способность четвертьреплики. Рассмотрим пять неза-

висимых переменных Хи х

, х

, А и х$. Для того чтобы использо-

вать четвертьреплики, то есть план типа 2

, исключим одно парное

и одно тройное взаимодействие. Пусть

Х^ =

Х\Х

X*,—

Х\_Х

Х^\

Xi =

XiX

#5 — X\X

Xi±

= —X1X3; x$ = XiX

;

Х^=—Х1Х3)

X$ =

—X\X

Определяющими контрастами будут соответственно

XiXsXb;

XiX

;

l^XiX

Xi,

\ =

—XiX

;

—X1X3X4; 1

XiX

;

~—X\X

X^\

1 ——XiX

X$.

Попарно перемножив эти определяющие контрасты, находим

для каждой реплики третье соотношение — обобщающий опре-

деляющий контраст

—

X^XzX^

X\.X

XitX<o >

=-Х\_х

х^

—

Х\Х

ХгХъ=—ХчХ&ь,

= —

Х^Х-^Хц,

Х\Х

Х^

—XiXiiXb

—X\X

Xk —

—х&гХъХ*,

х^Хъ.

Для планирования можно выбрать любую из четырех реплик.

В качестве примера рассмотрим первую.

Все смешанные оценки находим, умножая обобщающий конт-

раст сначала на xi, потом на х

и т. д. Следовательно,

+ 034+0235+01245; &2= 02+ 01234+

0135

0451

Ьз

= 03+

014

0125

023455

013

012345

0255

Ьь

01345

+ 0123+024-

Если пренебречь всеми взаимодействиями выше второго поряд-

ка, то получим следующие оценки:

= 01+034, &2=02+045,

= 03+014, ^4=04+013+025,

024.

Дробные реплики широко используются при получении линей-

ных моделей. Эффективность их применения возрастает с увели-

15.

чением количества факторов. Вместе с тем, успех применения дроб-

ных реплик зависит от выбора интервалов варьирования факторов

и системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимо-

действий. Искусство экпериментатора определяется умением удачно

выбрать систему смешивания. При этом большое значение имеют

априорные сведения о значимости взаимодействий.

1.4. Оценка адекватности модели

Вычисление коэффициентов регрессии еще не означает решения

поставленной задачи, так как отсутствуют сведения о качестве

модели. Для выяснения качества модели необходимо найти стати-

стические оценки.

Основой всех суждений о качестве модели служит ошибка опы-

та. Для того чтобы можно было экспериментально установить

ошибку опыта, необходимо в каждой точке ставить параллельные

опыты, причем не менее двух, так как иначе совершенно невоз-

можно сделать какую-либо оценку погрешности.

Если экспериментатор, приступая к работе, заранее знает

ошибку опыта, то необходимость ставить параллельные опыты отпа-

дает. Однако обычно приходится ставить параллельные опыты.

При этом важным обстоятельством является близость ошибок в

разных точках факторного пространства, то есть однородность дис-

персий.

Уверенность экспериментатора в однородности дисперсий дает

возможность ставить параллельные опыты только в нулевой точке

и по их результатам вычислять дисперсию и утверждать, что она

справедлива для всех точек факторного пространства.

Если экспериментатор не уверен в однородности дисперсии,

то приходится ставить параллельные опыты во всех или по край-

ней мере в нескольких точках, вычислять дисперсии и проверять

их однородность. Обычно для этой цели используют критерий Кох-

рена (применяется только в случае одинакового числа параллель-

ных опытов).

Дисперсии вычисляют по формуле

lzl (1.4)

т—\

где о] — дисперсия в *-й точке; т — число параллельных опы-

тов;

уц — значение параметра оптимизации в j-u параллельном

опыте; щ — среднее значение параметра оптимизации в данной

серии параллельных опытов.

Считают, что дисперсии однородны, если значение критерия

Кохрена G не превышает табличного

«S

/~>

max

—

, (1.5)

о:

£»_

max

где 0

2 — наибольшая среди всех дисперсий.

Тогда ошибка опыта в случае однородности дисперсий равна

/ \ i

*•=*—

• (1.6)

При вычислении ошибки опыта только в нулевой точке, то есть

когда наперед известна однородность дисперсий, используют фор-

мулу (1.4).

Неоднородные дисперсии не усредняются, поэтому нельзя ис-

пользовать формулу (1.6). В случае неоднородности дисперсий

необходимо искать такое преобразование параметра оптимизации,

которое приводит к однородности. Однако методы такого преобра-

зования пока изучены недостаточно.

Располагая ошибкой опыта, можно выяснить вопрос о пригод-

ности модели, то есть о ее адекватности. Для проверки адекват-

ности обычно используют /•'-критерий Фишера

F=^f

(1.7)

где

—

дисперсия адекватности:

>!(У/-У/)

,2 *-!

— k —

(1.8)

vA&.tji

— значение параметра оптимизации, предсказываемое урав-

нением для i-ro опыта.

Сравнение F-критерия, вычисленного по формуле (1.7), с таб-

личным дает ответ на вопрос об адекватности модели. Если для

выбранного уровня значимости расчетное значение не

•

превышает,

табличного, то модель адекватна. Для отыскания табличного зна-

чения /"-критерия требуется знать число степеней свободы (равное

величине знаменателя в формулах (1.6) и (1.8) соответственно).

Для оценки значимости коэффициентов строят доверительные

интервалы

A6i = =F^ - (1.9)

где -Abi — доверительный интервал i-то коэффициента; t — зна-

чение критерия Стьюдента для выбранного уровня значимости,

2-з1зз

обычно равного 5%;

фициента

В случае линейной или неполной квадратичной модели дове-

рительные интервалы для коэффициентов равны друг другу.

Коэффициенты, меньшие по абсолютному значению соответ-

ствующих доверительных интервалов, являются незначимыми. Не-

значимыми получаются коэффициенты у факторов, не влияющих

на параметр оптимизации.

Итак, с помощью статистических оценок полученной модели

можно сделать выводы о значимости исследуемых факторов и каж-

дого коэффициента, о вкладе каждого фактора в конечный резуль-

тат, о воспроизводимости исследуемого процесса моделью.

Задача интерпретации модели решается в несколько приемов.

Сначала устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет

на параметр выхода. Количественной мерой этого влияния служит

величина соответствующего данному фактору коэффициента мо-

дели. Чем он больше, тем сильнее влияет фактор. О характере

влияния говорят знаки коэффициентов (плюс свидетельствует о

росте величины параметра, а минус — об убывании). Затем выяс-

няется, как располагается совокупность факторов по силе их

влияния.

Дальнейшие этапы интерпретации модели состоят в проверке

правильности априорных представлений, а также в проверке и вы-

движении гипотез о механизме процесса (при необходимости). Ре-

шения принимаются на основе анализа возможных ситуаций, кото-

рые различаются по адекватности и неадекватности модели, зна-

чимости и незначимости коэффициентов модели [2, 3, 38].

При построении интерполяционной формулы получение адекват-

ной модели означает конец решения задачи, а при оптимизации —

возможность перехода к движению по градиенту, то есть к крутому

восхождению [3].

Рассмотрим пример получения интерполяционной формулы для

определения расхода топлива автомобилем ЗИЛ-130.

Расход топлива как параметр оптимизации удовлетворяет

требованиям, выдвигаемым к последним, а именно: он прост, имеет

ограниченную область определения, количественный и одно-

значный.

Для решения поставленной задачи методом полного факторного

эксперимента рассмотрим четыре фактора: x

— пересеченность

продольного профиля П;

х%

— коэффициент сопротивления каче-

'Нию /; х

— помехонасыщенность маршрута К и % — удельная

мощность Ы

уп

. Все факторы удовлетворяют требованиям, предъяв-

ляемым к ним.

Принятые значения нулевого уровня, интервала варьирования,,

верхнего и нижнего уровней факторов приведены в табл. 1.4.

— средняя квадратическая ошибка козф-

(1.10)

Значения уровней и интервала варьирования переменных

Таблица 1.4

Уровни и интервал

варьирования факторов

Нулевой уровень

Интервал варьирования

Нижний уровень

Верхний уровень

Факторы

Ху.

П, %„

33,7

17,1

16,6

50,9

х*

0,0265

0,0135

0,0130

0,0400

К, град/км

30,0

25,0

5,0

55,0

х*

ЛГ

уд

Вт/Н

1Д7

0,15

1,02

1,33

Используя формулу (1.1), перейдем от действительных значе-

ний переменных к кодированным

П* -33,7 _ /-0,0265 _ К* - 30 _7У

уд

-1,17

17,1

0,0135

25 0,15

Матрица полного факторного эксперимента для четырех фак-

торов приведена в табл. 1.5.

В этой таблице у и уг,

Уг

— результаты параллельных опытов

(получены моделированием). По ним определялись дисперсии G\

для каждой из шестнадцати серий опытов по формуле (1.4). На-

пример, для девятого опыта

Таблица 1.5

Полный факторный эксперимент типа 2

опыта

4 '

Переменные и взаимодействия

-*0

—

х»

—

•+

—

_|„

-*а

—

—•

—

дг^Хц

—

_j_

—

XiXAx

—

_|_

—

Д"

ДГз

—

-h

„

—

ХзХ,

—

40,0

53,0

58,5

67,6

52,1

60,7

63,0

71,2

43,1

57,8

61,6

72,4

55,2

65,2

66,1

76,0

Расход топлива.

Уа

40,7

52,5

59,0

67,0

52,8

60,5

64,0

70,7

43,8

57,3

62,1

71,8

55,9

65,3

67,1

75,1

Уз

39,0

53,5

57,6

68,2

51,9

61,2

63,5

71,8

42,1

58,3

60,7

73,0

55,1

66,0

66,6

76,6

л/100 км

ср

39,9

53,0

58,4

67,6

52,3

60,8

63,5

71,2

43,0

57,8

61,5

72,4

55,4

65,6

66,6

76,0

40,28

52,60

58,03

67,98

51,90

61,18

63,88

70,80

43,38

57,42

61,12

72,80

55,00

66,00

66,98

75,62

* Метод количественной оценки пересеченности продольного профиля и по-

мехонасыщенности маршрута рассмотрен в главе 4.

о*

У(У

(

-УСР)

2 _ /-i _ (43,1 -43,0)

+(43,8 -43,0)

+(42.1-43,0)

2 2

= 1^=0,73.

Для определения однородности дисперсий найдем значение кри-

терия Кохрена по формуле (1.5)

0 = 5^ = 0,127,

5,74

что меньше табличного значения.

Следовательно,' дисперсии однородны и ошибка опыта будет

равна

o2=5^

o,179.

Коэффициенты модели найдем по формуле (1.2). В частности,

'.,'.,

-76

—

66,6 - 39,9 + 53.0 - 58,4 + 67,6—52,3+60.8-63,5 +

+ 71,2-43,0+57,8 - 61,5 + 72,4-55,4 + 65,6

е пл

X т • — о,24.

Аналогично:

6^-60,31,

=6,84,

6з=3,61,

=1,98, 6

= — 0,59, 6

=— 0,76,

6i4=

0,43,

623

—1,44,

0, Ьз4

= 0.

: Ошибка определения коэффициентов равна 0,0112. Незначимы-

ми оказались два парных взаимодействия

и Ьи-

Зная коэффициенты модели,

можно вычислить значения рас-

хода топлива, то есть у (записаны в последнем столбце табл. 1.5),

и!

исследовать адекватность модели.

;Г1о формуле (1.8) вычислим дисперсию адекватности. Она

равна

!-.', о

^§?i = 0,5966.

ад

„ / _. 0,5966 ___

r-критерии равен F=

=3,33,

что значительно меньше таб-

Н F H

0,179

личного.

2Ц

Следовательно, модель адекватна и формула для определения

расхода топлива будет иметь следующий вид:

= 60,31+5,24*4 + 6,84*2+ 3,61

+1,98*

—

—0,59*1*2—0,76*!*

+0,43^*4—1,44*2*з. (1.11)

Эта формула справедлива для переменных в интервалах варьи-

рования, указанных в табл. 1.4. По ней можно определить расход

топлива при любом сочетании переменных. По силе влияния на

расход топлива факторы располагаются в следующем порядке:

коэффициент сопротивления качению, пересеченность продольного

профиля, помехонасыщенность маршрута и удельная мощность.

При возрастании этих факторов расход топлива увеличивается.

Эффекты взаимодействий, за исключением *2*з> примерно на по-

рядок меньше линейных эффектов.

Наряду с рассмотренными сравнительно простыми методами

планирования, обеспечивающими получение линейных и неполных

квадратичных моделей, применяется более сложное (рототабельное

и композиционное) планирование, предназначенное для получения

моделей второго порядка. Эти модели используются как при опи-

сании сложных процессов, так и при отыскании области оптимума

методом «крутого восхождения» [2].