Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение профессионального образования

“Самарский государственный архитектурно-строительный университет”.

Допущено учебно-методическим советом

по специальности “Дизайн архитектурной среды”

учебно-методического объединения по образованию в области архитектуры

в качестве учебного посбия для студентов специальностей

052400 (070601) “Дизайн” и 290100 (270301) “Архитектура”

и направлений 530400 (070600) “Дизайн” и 521700 (270300) “Архитектура”.

Самара 2005

УДК 681.3.07

Мосин В. Г. Математические основы компьютерной графики: Монография.

— Самара: СГАСУ, 2005. — 227 с. ISBN 5-9585-0084-8

Книга позволяет изучить теоретические основы ключевых математических

разделов (алгебры и математического анализа) и, вместе с тем, получить

конкретные практические приложения математических принципов к зада-

чам компьютерной графики. Материал книги не требует от читателя пред-

варительной математической подготовки и доступен выпускнику средней

школы.

Книга предназначена для студентов первого курса специальностей “Ди-

зайн” и “Архитектура” для изучения математики в рамках курса “Мате-

матика и информатика”.

Рецензенты: док. арх. Ахмедова Е. А., к. ф.-м. н. Юсупова О. В.

ISBN 5-9585-0084-8

Редактор Л. И. Глезерова

Технический редактор А. И. Непогодина

Корректор Е. М. Фоменкова

Подписано в печать 20.03.05 г. Бумага офсетная. Печать оперативная.

Уч.-изд. л 14,75. Усл. печ. л 14,25. Тираж 100 экз. Заказ № 520.

Самарский государственный архитектурно-строительный университет.

443001, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

Отпечатано в ООО “СамЛЮКС”, г. Самара, ул. Бубнова, 3, тел. (8462) 92-67-97.

 Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 2005.

Оглавление

1 Математика графических преобразований 11

1.1 Линейные задачи .......................... 11

1.2 Нелинейные задачи ......................... 12

I Преобразования плоскости 15

2 Линейная алгебра 17

2.1 Полная матричная алгебра . . ................... 18

2.1.1 Матрицы ........................... 18

2.1.2 Полная матричная алгебра ................ 21

2.1.3 Матричное обращение ................... 24

2.2 Векторныепространства...................... 27

2.2.1 Определения и примеры .................. 28

2.2.2 Линейная зависимость и линейная независимость си-

стемвекторов ........................ 30

2.2.3 Базис и размерность векторного пространства . . . . . 36

2.2.4 Подпространства векторных пространств ........ 40

2.2.5 Заменабазиса ........................ 41

2.3 Линейные операторы ........................ 44

2.3.1 Определения и примеры .................. 44

2.3.2 Ядро и образ линейного оператора . . .......... 48

2.3.3 Алгебра линейных операторов ............... 50

2.3.4 Матрицы линейных операторов .............. 54

2.3.5 Матрицы основных плоских преобразований ...... 59

3 Проективные операторы 63

3.1 Проективнаяплоскость....................... 64

3.2 Проективные операторы . . . ................... 65

3.3 Пример алгоритма покадровой анимации . . .......... 71

3.3.1 Геометрическаяверсияалгоритма ............ 72

3.3.2 Аналитическаяверсияалгоритма............. 72

II Плоские кривые 85

4 Криволинейные траектории 87

4.1 Различные способы задания кривых ............... 87

4 Оглавление

4.2 Интерполяция ............................ 91

5 Математический анализ 95

5.1 Пределы. Непрерывность функций . ............... 96

5.1.1 Предел последовательности . ............... 96

5.1.2 Бесконечно малые и бесконечно большие последова-

тельности........................... 99

5.1.3 Свойства сходящихся последовательностей . ......102

5.1.4 Монотонные последовательности .............105

5.1.5 Предел функции .......................108

5.1.6 Непрерывность .......................113

5.2 Производные.............................117

5.2.1 Производная.........................117

5.2.2 Правила дифференцирования ...............119

5.2.3 Производные простейших элементарных функций . . . 121

5.2.4 Производная сложной функции ..............129

5.2.5 Производныевысшихпорядков..............131

5.2.6 Производные функций, заданных параметрически . . . 132

5.3 Геометрическийсмыслпроизводной ...............133

5.3.1 Геометрический смысл производной явной функции . . 133

5.3.2 Геометрический смысл производной функции, задан-

нойпараметрически.....................135

6 Интерполяция кривых 139

6.1 Точнаяинтерполяция........................139

6.2 Интерполяция в форме Эрмита . . . ...............143

6.2.1 Кривые Безье . .......................148

6.3 Пример алгоритма интерполяции . . ...............149

6.3.1 Геометрическаяверсияалгоритма ............149

6.3.2 Аналитическаяверсияалгоритма.............150

III Приложения 155

A Определители, матрицы и линейные системы 157

A.1 Определители ............................157

A.1.1 Определители второго и третьего порядков . ......157

A.1.2 Свойстваопределителей ..................159

A.2 Действия с матрицами .......................164

A.2.1 Умножениематриц .....................165

A.2.2 Обратные матрицы .....................167

A.2.3 Матричные уравнения ...................170

A.3 Линейные системы . . .......................174

A.3.1 Метод Крамера решения линейных систем . ......175

A.3.2 Метод Гаусса решения линейных систем . . . ......177

A.3.3 Матричный метод решения линейных систем ......179

A.3.4 Вырожденные линейные системы .............181

A.4 Задачидлясамостоятельногорешения..............182

Оглавление 5

B Векторные пространства 187

B.1 Системывекторов..........................188

B.1.1 Линейная зависимость и линейная независимость си-

стемвекторов ........................188

B.1.2 Базисывекторныхпространств..............190

B.2 Линейные операторы ........................193

B.2.1 Матрицы линейных операторов ..............194

B.2.2 Действие линейного оператора в матричной форме . . 197

B.3 Проективные операторы . . . ...................198

B.4 Задачидлясамостоятельногорешения..............203

C Функции и графики 205

C.1 Дифференцирование функций ...................205

C.1.1 Дифференцирование функции, заданной явно.

Простейшиеслучаи.....................205

C.1.2 Дифференцирование сложной функции .........208

C.1.3 Дифференцирование функции, заданной

параметрически .......................212

C.2 Касательные к кривым .......................213

C.2.1 Уравнение касательной к графику явной функции . . . 214

C.2.2 Уравнение касательной к кривой, описанной парамет-

рически............................214

C.3 Алгоритмыинтерполяции .....................218

C.3.1 Точнаяинтерполяция....................218

C.3.2 Интерполяция в форме Эрмита ..............219

C.4 Задачидлясамостоятельногорешения..............223

6 Оглавление

Предисловие

В течение несколькоих лет я читаю авторский курс “Математические ос-

новы компьютерной графики” студентам-дизайнерам Самарского государ-

ственного архитектурно-строительного университета. Эта книга является

воспроизведением моих лекций и практических занятий.

Идея курса стостоит в том, чтобы изложить студентам классические основы

математики в компактной форме, причем так, чтобы в качестве приложений

можно было получить алгоритмы компьютерных графических систем. Эта

идея реализуется за счет следующего дуализма.

С одной стороны, графические преобразования плоскости монитора осно-

ваны на нескольких преобразованиях, таких, как симметричные отраже-

ния, повороты и или смещения объектов. С другой стороны, численный

механизм таких преобразований предоставляет линейная алгебра: теория

линейных операторов, их реализация в матричной форме и действие на

вектор (точку монитора) при помощи операции матричного умножения.

С одной стороны, движения объектов графических систем осуществляют-

ся по траекториям, которые редко бывают линейными, по криволинейным

траекториям. С другой стороны, математическое описание таких траекто-

рий осуществляется средствами математического анализа: в нем участвуют

параметрически заданные функции, их касательные векторы и, как след-

ствие, их производные.

Итак, для получения полноценных сведений об этих двух типах компьютер-

ных преобразований необходимо, как минимум, изучить основы линейной

алгебры и математического анализа, а алгебра и анализ — это две генераль-

ные линии математики в целом.

Эту книгу нельзя рассматривать как практическое руководство по написа-

нию программ для графических компьютерных систем. Эта книга о матема-

тике. Просто классические математические главы дополнены в ней прило-

жениями, которые находят применение в самом широком спектре компью-

терных разработок: от учебных программ по компьютерной графике, до-

ступных школьникам, до графических интерфейсов операционных систем,

в работе над которыми участвуют ведущие программисты мира.

Целевая аудитория

Книга предназначена прежде всего студентам нетехнических специально-

стей, которые так или иначе связаны с компьютерной графикой: архитек-

торам, дизайнерам, модельерам.

Я надеюсь, что она окажется интересна также и специалистам, реально

работающим на рынке компьютерных программ: программистам и разра-

ботчикам интерфейсов.

Структура книги

Книга состоит из теоретического блока (воспроизводящего мой лекцион-

ный курс) и блока демонстрационных задач и задач для самостоятельной

работы (воспроизводящего практический курс).

Задачи сгруппированы по темам и представлены в приложениях, каждое

из которых содержит необходимый теоретический минимум, примеры с по-

дробно разобранным решением и задачи для самостоятельного решения.

Теоретический блок разбит на две части, первая из которых посвящена

линейной алгебре и ее методам, используемым в практике машинных алго-

ритмов, а вторая — математическому анализу.

Глава 1 Общая постановка задачи, рассуждения на тему математики, лежа-

щей в основе графических компьютерных систем.

Глава 2 Достаточно подробный курс линейной алгебры. Включены разделы,

посвященные полной матричной алгебре, векторным пространствам,

линейным операторам, действующим в векторных пространствах, и

их реализации в виде матриц. Через всю главу в качестве генераль-

ной линии изложения проведена серия геометрических примеров век-

торных пространств (прямая, плоскость, физическое пространство) и

основных преобразований плоскости (повороты, симметрии, масшта-

бирования).

Глава 3 Посвящена в основном проективной плоскости, проективным опера-

торам, действующим в ней (включая смещение) и их матричной ре-

ализации. Кульминацией первой части является пример алгоритма

покадровой 2d-анимации, реализованный средствами линейной и про-

ективной алгебры.

Глава 4 Описаны различные способы задания кривых (явный, неявный, па-

раметрический). Дана классификация задач интерполяции, исполь-

зуемых для постороения криволинейных траекторий в графических

системах.

Глава 5 Начала математического анализа: теоретическое обоснование диффе-

ренцирования (теория пределов, классы непрерывных, дифференци-

руемых и гладких функций), приемы дифференцирования, геометри-

ческий смысл производной.

Глава 6 Посвящена алгоритмам интерполяции кривых (точная интерполяция,

интерполяция в форме Эрмита, кривые Безье). Кульминацией вто-

рой части книги служит пример алгоритма эрмитовой интерполяции

двух гладко сопряженных сегментов кривой, реализованный средства-

ми математического анализа.

A Разбор типичных алгебраических задач: различные методы вычисле-

ния определителей, матричные операции, различные методы решения

линейных алгебраических систем, включая вырожденный случай.

B Задачи линейной алгебры: линейная зависимость и линейная незави-

симость систем векторов, замена базиса, действие линейного операто-

ра в матричной форме. Представлены приемы работы с проективными

операторами в матричной форме.

C Задачи математического анализа: дифференцирование функций, за-

данных явно и парметрически, уравнения касательных к графикам

функций. Здесь же разобраны задачи точной интерполяции и интер-

поляции в форме Эрмита, включая вопросы гладкого сопряжения сег-

ментов.

Работая с теоретическими главами следует параллельно обращаться к при-

ложениям. Первая часть книги (то есть главы с первой по третью) изучает-

ся праллельно с приложениями A и B, а вторая часть книги (то есть главы

с четвертой по шестую) — параллельно с приложением C.

Слова благодарности

Я хочу поблагодарить всех людей, которые в той или иной стпени помогли

мне написать эту книгу.

Я выражаю благодарность своему учителю, доктору физико-математичес-

ких наук, профессору Самарского государственного университета Алексан-

дру Николаевичу Панову. Без его участия я никогда бы не достиг сколько-

нибудь значимого математического уровня.

Я выражаю благодарность своим коллегам — Ольге Викторовне Юсуповой

и Аяту Крымовичу Кайракбаеву, за понимание и поддержку моих идей.

Я благодарен студентам групп “7д” Самарского государственного архитек-

турно-строительного университета, на которых я обкатывал книгу, за тер-

пение, с которым они перенесли все мои математические издевательства.

Я благодарю сотрудников вычислительного центра Самарского государ-

ственного архитектурно-строительного университета и лично Олега Вяче-

славовича Георгиевского за идеальные условия, в которых я работал над

макетом рукописи.

Я хочу сказать спасибо своему товарищу Алексею Рысаеву и своей первой

жене Нине за помощь в области высоких T

Xнологий при верстке.

Я благодарю своего близкого друга Светлану Боровик за тепло и заботу,

которыми она окружала меня во время работы над книгой.

Отдельное спасибо группе Агата Кристи за музыкальное сопровождение

творческого процесса и, вообще — процесса жизни.

В. Мосин