Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография
Подождите немного. Документ загружается.
2.2. Векторные пространства 31
Теорема 9 (о линейном комбинировании) Множество V является век-
торным пространством тогда и только тогда, когда оно вместе с любым
набором векторов содержит любую их линейную комбинацию.
Доказательство По сути, нам необходимо доказать два утверждения:
1. если множество V является векторным пространством, то оно вместе
с любым набором своих векторов содержит и любую их линейную
комбинацию,
2. если множество V вместе с любым набором своих элементов содер-
жит и любую их линейную комбинацию, то оно является векторным
простанством.
Начнем с первого утверждения. Итак, пусть V — векторное пространство.
Тогда, по определению (см. опр. 10, стр. 28), в силу устойчивости векторного
пространства относительно склярного кратного
α
1
v
1
∈ V, α
2
v
2
∈ V ∀ α
1
,α
2
∈ R, v
1
,v
2
∈ V.
Далее, в силу устойчивости векторного пространства относительно суммы,
мы можем сложить эти два элемента и снова получить вектор векторного
пространства V :
α
1
v
1
+ α
2
v
2
∈ V ∀ α
1
,α
2
∈ R, v
1
,v
2
∈ V.
Далее, в силу устойчивости векторного пространства относительно скаляр-
ного кратного
α
3
v
3
∈ V ∀ α
3
∈ R, v
3
∈ V.
Складывая полученный на предыдущем шаге элемент α
1
v
1
+ α
2
v
2
вектор-
ного пространства V с новым элементом α
3
v
3
, получим:
α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ α
3
v
3
∈ V ∀ α
1
,α
2
,α
3
∈ R, v
1
,v
2
,v
3
∈ V.
Рассуждая подобным образом n раз, в итоге мы придем к следующему
результату:
α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ ···+ α
n
v
n
∈ V ∀ α
1
,α
2
,...,α
n
∈ R, v
1
,v
2
,...,v
n
∈ V,
то есть — если множество V является векторным пространством, то оно
вместе с любым набором векторов содержит и любую их линейную комби-
нацию.
Перейдем ко второму утверждению. Пусть множество V вместе с любым
набором своих элементов содержит и любую их линейную комбинацию:
α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ ···+ α
n
v
n
∈ V ∀ α
1
,α
2
,...,α
n
∈ R, v
1
,v
2
,...,v
n
∈ V,
Тогда мы в частности можем рассмотреть линейную комбинацию с коэф-
фициентами
α
1
=1,α
2
=1,α
3
= ···= α
n
=0.
Отсюда v
1
+ v
2
∈ V , и множество V устойчиво относительно суммы. Точно
так же мы можем рассмотреть линейную комбинацию с коэффициентами
α
1
=1,α
2
= ···= α
n
=0.
32 Глава 2. Линейная алгебра
Отсюда α
1
v
1
∈ V , и множество V устойчиво относительно скалярного крат-
ного. По определению (см. опр. 10, стр. 28), устойчивость относительно сум-
мы и скалярного кратного означает, что множество V является векторным
пространством.
Теорема доказана.
Итак, устойчивость множества относительно двух операций — сложения и
скалярного кратного — эквивалентна устойчивости относительно одной опе-
рации — взятия линейной комбинации. Таким образом, мы можем дать еще
одно определение векторного пространства: множество V называется век-
торным пространством, если оно устойчиво относительно взятия линейной
комбинации.
Определение 12 (тривиальная комбинация) Линейная комбинация
α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
векторов векторного пространства V называется тривиальной, если все ее
коэффициенты равны нулю:
α
1
= ···= α
n
=0.
Определение 13 (нетривиальная комбинация) Линейная комбинация
α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
векторов векторного пространства V называется нетривиальной, если среди
ее коэффициентов найдется хотя бы один, отличный от нуля.
Определение 14 (линейная зависимость) Набор векторов v
1
,...,v
n
векторного пространства V называется линейно зависимым, если существу-
ет нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю:
α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
=0.
Определение 15 (линейная независимость) Набор векторов v
1
,...,v
n
векторного пространства V называется линейно независимым, его обращает
в ноль только тривиальная линейная комбинация.
Пример 16 Пусть V — пространство столбцов длины 2:
V =
x
1
x
2
x
1
,x
2
∈ R
.
Исследуем на линейную зависимость (независимость) набор из двух векторов:
v
1
=
1
−1
,v
2
=
2
1
.
Допустим, что существует некая линейная комбинация, обращающая этот набор
в нулевой вектор: α
1
v
1
+ α
2
v
2
=0. Переходя к конкретным числовым значениям,
получим векторное соотношение:
α
1
1
−1
+ α
2
2
1
=
0
0
, или
α
1
+2α
2
−α
1
+ α
2
=
0
0
.
2.2. Векторные пространства 33
Последнее равенство эквивалентно линейной системе
14
относительно переменных
α
1
, α
2
:
α
1
+2α
2
=0
−α
1
+ α
2
=0
решая которую, обнаруживаем, что α
1
=0, α
2
=0. Это означает, что набор
векторов v
1
, v
2
обращается в ноль только тривиальной линейной комбинацией.
Следовательно, он линейно независим.
Пример 17 Пусть V — пространство столбцов длины 3:
V =
x
1
x
2
x
3
x
1
,x
2
,x
3
∈ R
.
Исследуем на линейную зависимость (независимость) набор из трех векторов:
v
1
=
1
−2
1
,v
2
=
0
−1
1
,v
3
=
1
−3
2
.
Допустим, что существует некая линейная комбинация векторов v
1
, v
2
, v
3
, обра-
щающаяся в ноль: α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ α
3
v
3
=0.Тогда:
α
1
1
−2
1
+ α
2
0
−1
1
+ α
3
1
−3
2
=
0
0
0
.
Выполняя почленное сложение в правой части, получим векторное равенство:
α
1
+ α
3
−2α
1
− α
2
− 3α
3
α
1
+ α
2
+2α
3
=
0
0
0
.
Оно эквивалентно однородной линейной системе:
α
1
+ α
3
=0
−2α
1
− α
2
− 3α
3
=0
α
1
+ α
2
+2α
3
=0
Применим для ее решения метод Гаусса
15
:
101
−2 −1 −3
112
0
0
0
+I ∗2
−I
∼
101
0 −1 −1
011
0
0
0
(−1)
∼
∼
101
011
011
0
0
0
−II
∼
101
011
000
0
0
0
.
Возвращаясь снова к традиционной записи линейной системы, получим неопреде-
ленную систему: она содержит три переменные и всего два уравнения. Выразим
переменные α
1
и α
2
через α
3
.
α
1
+ α
3
=0
α
2
+ α
3
=0
Следовательно,
α
1
= −α
3
α
2
= −α
3
14
О методах решения таких линейных систем (как однородных, так и неоднородых)
мы говорим в приложении A.3, стр. 174.
15
Метод Гаусса решения линейных систем подробно рассматривается в приложе-
нии A.3.2, стр. 177. Тот же метод в приложении к вырожденным системам рассмат-
ривается в приложении A.3.4, стр. 181.
34 Глава 2. Линейная алгебра
Придавая переменной α
3
произвольные значения, будем получать соответствую-
щие значения переменных α
1
и α
2
. Например, если α
3
= −1,тоα
1
= α
2
=1.
Таким образом, мы отыскали нетривиальную линейную комбинацию, обращаю-
щую в ноль данную систему векторов.
v
1
+ v
2
− v
3
=0.
Следовательно, исходный набор векторов v
1
, v
2
, v
3
является линейно зависимой
системой векторов.
Пример 18 Рассмотрим геометрическую серию векторных пространств (см. при-
мер 11, стр. 28).
0
v
1
v
2
l
(a) Прямая.
0
v
1
v
3
v
2
π
(b) Плоскость.
Рис. 2.2: Линейная зависимость систем векторов на прямой и на плоскости.
1. Начнем с прямой l.Пустьv
1
, v
2
— два вектора, лежащие на l. Тогда, в силу
того, что они параллельны, они пропорциональны: v
1
= αv
2
. Следовательно,
существует нетривиальная линейная комбинация v
1
−αv
2
, обращающая эту
пару векторов в ноль. Значит, по определению (см. опр. 14, стр. 32), они
линейно зависимы.
2. Рассмотрим далее плоскость π.Пустьv
1
, v
2
, v
3
— три вектора, лежащие на
π. Тогда, в силу того, что они компланарны, мы можем подобрать числовые
коэффициенты α и β таким образом, что вектор v
3
окажется диагональю па-
раллелограмма со сторонами αv
1
, βv
2
. Тогда, по правилу параллелограмма,
v
3
= αv
1
+ βv
2
Следовательно, существует нетривиальная линейная комби-
нация αv
1
+ βv
2
− v
3
, обращающая эту тройку векторов в ноль. Значит, по
определению (см. опр. 14, стр. 32), они линейно зависимы.
3. Рассуждая аналогично, можно показать, что любые четыре вектора физи-
ческого пространства R
3
линейно зависимы.
Итак, вывод: любые два вектора, лежащие на прямой, линейно зависимы; любые
три вектора, лежащие на плоскости, линейно зависимы; любые четыре вектора,
лежащие в физическом пространстве, линейно зависимы.
Теорема 10 (о пополнении линейно зависимой системы) Если линей-
но зависимую систему векторов пополнить любым набором векторов, то
результирующая система окажется линейно зависимой.
Доказательство Пусть, v
1
,...,v
n
— линейно зависимая система векторов
векторного пространства V . По определению (см. опр. 14, стр. 32) это озна-
чает, что существует нетривиальная линейноая комбинация этих векторов,
такая что:
α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
=0.
2.2. Векторные пространства 35
Напомним (см. опр. 13, стр. 32), что тогда среди коэффициентов α
1
,...,α
n
этой линейной комбинации хотя бы один окажется отличным от нуля. Рас-
смотрим теперь пополненный набор векторов:
v
1
,...,v
n
,v
n+1
,...,v
m
и составим их линейную комбинацию, приписывая векторам коэффициенты
α
1
,...,α
n
,α
n+1
= ···= α
m
=0.
Тогда линейная комбинация, обращающая в ноль пополненный набор век-
торов
α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
+ α
n+1
v
n+1
+ ···+ α
m
v
m
,
является нетривиальной, так как содержит хотя бы один ненулевой коэф-
фициент. Отсюда, в силу определения (см. опр. 14, стр. 32), пополненная
система векторов является линейно зависимой.
Теорема доказана.
Пример 19 Теперь мы можем обобщить геометрическую серию примеров ли-
нейной зависимости (см. пример 18, стр. 34) следующим образом:
1. Любая система, содержащая более одного вектора прямой, линейно зависи-
ма.
2. Любая система, содержащая более двух векторов плоскости, линейно зави-
сима.
3. Любая система, содержащая более трех векторов физического простран-
ства, линейно зависима.
Теорема 11 (о нулевом векторе) Любая система векторов, содержащая
нулевой вектор, линейно зависима.
Доказательство Рассмотрим произвольную систему векторов, содержа-
щую ноль v
1
,...,v
n
, 0, и составим линейную комбинацию:
0 · v
1
+ ···+0· v
n
+1· 0 .
Очевидно, что результатом такой линейной комбинации будет ноль. Оче-
видно также, что она нетривиальна. Отсюда (см. опр. 14, стр.32) — система
векторов v
1
,...,v
n
, 0 линейно зависима.
Теорема доказана.
Теорема 12 (о линейном выражении) В любой линейно зависимой си-
стеме векторов хотя бы один из векторов может быть линейно выражен
через остальные.
Доказательство Пусть, v
1
,...,v
n
— линейно зависимая система векторов
векторного пространства V . По определению (см. опр. 14, стр. 32) это озна-
чает, что существует нетривиальная линейноая комбинация этих векторов
такая, что
α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
=0.
36 Глава 2. Линейная алгебра
Напомним (см. опр. 13, стр. 32), что тогда среди коэффициентов α
1
,...,α
n
этой линейной комбинации хотя бы один окажется отличным от нуля. Пусть
α
k
=0.Тогда
α
k
v
k
= −α
1
v
1
−···−α
k−1
v
k−1
− α
k+1
v
k+1
−···−α
n
v
n
.
Разделим это соотношение на ненулевой коэффициент α
k
v
k
= −
α
1
α
k
v
1
−···−
α
k−1
α
k
v
k−1
−
α
k+1
α
k
v
k+1
−···−
α
n
α
k
v
n
и обозначим β
1
= −α
1
/α
k
,...,β
n
= −α
n
/α
k
:
v
k
= β
1
v
1
+ ···+ β
k−1
v
k−1
+ β
k+1
v
k+1
+ ···+ β
n
v
n
.
Теорема доказана.
2.2.3 Базис и размерность векторного пространства
Для того, чтобы оперировать с числами (с геометрической точки зрения) на
числовой прямой отмечается нулевая точка (начало координат) и вводится
единица масштаба, то есть — вектор, с которым сравниваются все остальные
векторы прямой (или, что то же самое, точки числовой прямой, числа).
Аналогичную роль в произвольном векторном пространстве V играет его
базис: это инструмент, при помощи которого можно описывать векторы
векторного пространства.
В этом разделе мы введем понятие базиса векторного пространства (см.
опр. 17, стр. 36) и тесно связанное с ним понятие размерности векторного
пространства (см. опр. 18, стр. 38).
Определение 16 (система образующих векторного пространства)
Пусть v
1
... v
n
— некоторая система векторов векторного пространства V .
Она называется системой его образующих, если любой вектор v векторного
пространства V линейно выражается через векторы v
1
... v
n
:
v = α
1
v
1
+ ···+ α
n
v
n
.
Определение 17 (базис векторного пространства) Базисом векторно-
го пространства V называется любая линейно независимая система его об-
разующих.
Пример 20 Вернемся снова к геометрической серии примеров векторных про-
странств (см. пример 11, стр. 28) и выясним, что может служить базисом для
прямой, плоскости и физического пространства.
1. Зафиксируем на прямой l какой-нибудь ненулевой вектор e
1
.Тогда,какмы
выяснили ранее (см. пример 18, стр. 34), любой вектор v прямой l линейно
выражается через вектор e
1
. Следовательно, по определению (см. опр. 16,
стр. 36), система векторов прямой, содержащая единственный ненулевой
вектор e
1
, является системой ее образующих. Кроме того, эта система со
всей очевидностью (см. опр. 15, стр. 32) является линейно независимой. Это
означает (см. опр. 17, стр. 36), что базисом прямой может служить любой
ненулевой вектор.
2.2. Векторные пространства 37
С другой стороны, если мы расмотрим какую-либо пару в екторов e
1
, e
2
,то
любой вектор v прямой l также будет линейно выражаться через e
1
, e
2
(дей-
ствительно, как мы только что установили v линейно выразится даже через
один вектор e
1
, поэтому достаточно приписывать второму вектору e
2
всегда
нулевой коэффициент, чтобы получить нужное выражение). Однако набор
из двух векторов прямой линейно зависим (см. пример 18, стр. 34). Следо-
вательно, два вектора, являясь системой образующих прямой, не являются
ее базисом.
Более того, любой набор векторов прямой, содержащий более одного векто-
ра — это система ее образующих, но не базис.
2. Далее, зафиксируем на плоскости π пару ненулевых векторов e
1
, e
2
,непа-
раллельных друг другу. Выше мы установили (см. пример 18, стр. 34), что
любой вектор v плоскости π линейно выражается через векторы e
1
, e
2
.Зна-
чит (см. опр. 16, стр. 36), система векторов прямой, содержащая пару нену-
левых векторов e
1
, e
2
, является системой ее образующих. Кроме того, эта
система, как можно заключить, исходя из геометрических соображений,
является линейно независимой (см. опр. 15, стр. 32). Следовательно, (см.
опр. 17, стр. 36), базисом плоскости может служить любая пара непарал-
лельных векторов.
С другой стороны, если мы рассмотрим какую-либо тройку непараллельных
векторов e
1
, e
2
, e
3
, то любой вектор v плоскости π также будет линейно вы-
ражаться через e
1
, e
2
, e
3
. Однако набор из трех векторов плоскости линейно
зависим (см. пример 18, стр. 34). Следовательно, три непараллельных век-
тора, являясь системой образующих плоскости, не являются ее базисом.
Более того, любой набор векторов плоскости, содержащий более двух непа-
раллельных векторов — это система ее образующих, но не базис.
3. Наконец, аналогичные (но более громоздкие) рассуждения приводят к вы-
воду, что базисом физического пространства может служить любая тройка
ненулевых векторов, не лежащих в одной плоскости. Вместе с тем, любая си-
стема векторов физического простанства, содержащая более трех ненулевых
векторов, не лежащих в одной плоскости, служит системой его образующих
и не служит базисом.
Итак, вывод: любой базис прямой состоит из единственного ненулевого вектора;
любой базис плоскости состоит из двух непараллельных векторов; любой базис
физического пространства состоит их трех ненулевых векторов, не лежащих в
одной плоскости. Эти факты сыграют существенную роль в дальнейшем, при
изучении размерностей векторных пространств (см пример 21, стр. 38).
Теорема 13 (о разложении по базису) Пусть в векторном простанстве
V фиксирован некоторый базис e
1
,...,e
n
. Тогда любой вектор v векторного
пространства V допускает разложение по этому базису:
v = α
1
e
1
+ ···+ α
n
e
n
,
причем это разложение единственно. Коэффициенты разложения вектора
v по базису e
1
,...,e
n
называются координатами вектора v, вычисленными
в базисе e
1
,...,e
n
.
Доказательство Фактически, нам нужно установить два факта:
1. что такое разложение вообще существует,
38 Глава 2. Линейная алгебра
2. и что оно единственно.
Докажем существование. Так как e
1
,...,e
n
— базис пространства V , то, по
определению (см. опр. 17, стр. 36), этот набор векторов является, в частно-
сти, и системой образующих пространства V . Следовательно (см. опр. 16,
стр. 36), любой вектор v векторного пространства V допускает разложение
по этому набору векторов:
v = α
1
e
1
+ ···+ α
n
e
n
,
и, тем самым, существование разложения доказано. Докажем его един-
ственность. Допустим, что существуют два разложения одного и того же
вектора v по базису e
1
,...,e
n
:
v = α
1
e
1
+ ···+ α
n
e
n
,
v = β
1
e
1
+ ···+ β
n
e
n
;
и что они различны. Вычтем второе равенство из первого:
(α
1
− β
1
)e
1
+ ···+(α
n
− β
n
)e
n
=0.
Таким образом, возникает линейная комбинация, обращающая в ноль набор
векторов e
1
,...,e
n
. Но этот набор является базисом, и, следовательно (см.
опр. 17, стр. 36) он линейно независим. Следовательно, (см. опр. 15, стр. 32),
эта линейная комбинация должна быть тривиальной, то есть (см. опр. 12,
стр. 32) все ее коэффициенты должны равняться нулю:
α
1
− β
1
=0,
α
2
− β
2
=0,
··· ···
α
n
− β
n
=0;
отсюда
α
1
= β
1
,
α
2
= β
2
,
··· ···
α
n
= β
n
;
и мы пришли к противоречию: ведь изначально мы предполагали, что раз-
ложения различны.
Теорема доказана.
Итак, базис векторного пространства позволяет устраивать разложения век-
торов векторного пространства по базису и тем самым вычислять их коор-
динаты. Базис — это инструмент, при помощи которого можно описывать
численно векторы векторных простанств, причем при фиксированном ба-
зисе это описание однозначно.
Определение 18 (размерность векторного пространства) Пусть V —
векторное пространство, e
1
,...,e
n
— его базис. Размерностью векторного
пространства V называется число n элементов его базиса. Она обозначает-
ся символом dim (от английского dimension — размерность):
dim V = n.
Пример 21 Рассмотрим еще раз геометрическую серию примеров (см. пример 11,
стр. 28). Как мы установили выше (см. пример 20, стр. 36),
1. базис прямой l состоит из единственного вектора, следовательно, dim l =1,
2. базис плоскости π состоит из двух векторов, следовательно, dim π =2,
2.2. Векторные пространства 39
3. базис физического пространства R
3
состоит из трех векторов, следователь-
но, dim R
3
=3.
Пример 22 Рссмотрим пространство строк длины n.
R
n
= {(α
1
,α
2
,...,,α
n
) | α
i
∈ R ∀ i}.
Как мы уже отмечали выше (см. пример 12, стр. 29), это множество является
векторным пространством. Выясним, что может служить его базисом и, соответ-
ственно, какова его размерность. Пусть
e
1
=(1, 0, 0,...,0); e
2
=(0, 1, 0,...,0); ... e
n
=(0, 0, 0,...,1) .
Тогда любой вектор v =(α
1
,α
2
,...,α
n
) из V может быть представлен в виде:
v = α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ···+ α
n
e
n
,
причем это представление единственно. Отсюда (см. опр. 17, стр. 36 и теор. 13,
стр. 37) набор векторов e
1
,...,e
n
является базисом в R
n
. Размерность же R
n
равна числу элементов его базиса, то есть, dim R
n
= n.
Пример 23 Рассмотрим множество R
≤n
[x] многочленов, степень которых не пре-
восходит n. Выше мы уже отмечали (см. пример 15, стр. 30), что это множество
является векторным пространством. Опишем его базис и вычислим размерность.
В качестве базиса этого пространства можно выбрать символы:
e
1
=1,e
2
= x, e
3
= x
2
, ... e
n+1
= x
n
.
Действительно, пусть f(x) — произвольный многочлен из R
≤n
[x]. Тогда он имеет
вид
f(x)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
n
x
n
или f(x)=a
0
e
1
+ a
1
e
2
+ a
2
e
3
+ ···+ a
n
e
n+1
,
причем это представление единственно. Отсюда (см. опр. 17, стр. 36 и теор. 13,
стр. 37) набор векторов e
1
,...,e
n
является базисом в R
≤n
[x]. Размерность вычис-
ляется как число элементов базиса: dim R
≤n
[x]=n +1.
Пример 24 Рассмотрим полную матричную алгебру второго порядка Matr
2
.
Как всякая алгебра, она является векторным пространством. Здесь нас интере-
сует ее базис и размерность. В качестве базиса можно выбрать следующий набор
из четырех матриц:
E
11
=
10
00
,E
12
=
01
00
,E
21
=
00
10
,E
22
=
00
01
.
Действительно, пусть A — произвольная матрица из Matr
2
. Тогда она может быть
представлена в виде линейной комбинации матриц E
1
, E
2
, E
3
, E
4
:
A =
ab
cd
= a
10
00
+ b
01
00
+ c
00
10
+ d
00
01
,
причем это разложение единственно. Отсюда, так же как и выше, мы заключаем,
что набор матриц E
11
, E
12
, E
21
, E
22
является базисом в полной матричной алгебре
Matr
2
. Размерность вычисляется как число элементов базиса: dim Matr
2
=4.
Легко можно показать, что в общем случае dim Matr
n
= n
2
.
40 Глава 2. Линейная алгебра
2.2.4 Подпространства векторных пространств
Векторные пространства, как множества, обладают некоторыми подмноже-
ствами, свойства которых аналогичны свойствам объемлющих пространств.
Такие подмножества получаются, например, при действии линейных опе-
раторов на вектороное пространство, что понадобится нам в дальнейшем.
В этом разделе мы рассмотрим векторные подпространства, уделяя особое
внимание геометрической серии примеров (см. пример 25, стр. 40)
Определение 19 (векторное подпространство) Пусть V — векторное
пространство, U — некоторое его подмножество. U называется векторным
подпространством пространства V , если оно замкнуто относительно суммы
и скалярного кратного (то есть, если оно само является векторным про-
странством).
Определение 20 (собственные и несобственные подпространства)
По определению, само пространство V и множество, состоящее из одно-
го нулевого вектора, являются подпространствами в V . Они называются
несобственными. Все остальные подпространства называются собственны-
ми.
Теорема 14 (об образующих векторного подпространства) Пусть V
— векторное пространство, u
1
,...,u
n
— произвольный набор векторов из V .
Тогда множество всевозможных линейных комбинаций векторов u
1
,...,u
n
образуют в векторном пространстве V векторное подпространство U .
Доказательство Покажем, что множество U замкнуто относительно опе-
раций сложения и скалярного кратного. Пусть
α
1
u
1
+ ···+ α
n
u
n
; β
1
u
1
+ ···+ β
n
u
n
— две линейные комбинации векторов u
1
,...,u
n
. Тогда их сумма
α
1
u
1
+ ···+ α
n
u
n
+ β
1
u
1
+ ···+ β
n
u
n
=(α
1
+ β
1
)u
1
+ ···+(α
n
+ β
n
)u
n
— это тоже некоторая линейная комбинация векторов u
1
,...,u
n
. Следо-
вательно, множество U замкнуто относительно сложения. Далее, если мы
домножим какую-нибудь линейную комбинацию векторов на коэффициент
α,то
α(α
1
u
1
+ ···+ α
n
u
n
)=αα
1
u
1
+ ···+ αα
n
u
n
.
В результате мы снова получим линейную комбинацию векторов u
1
,...,u
n
.
Следовательно, множество U замкнуто относительно скалярного кратного.
Таким образом (см. опр. 19, стр. 40), множество U является векторным
подпространством в V .
Теорема доказана.
Пример 25 Рассмотрим снова геометрическую серию примеров векторных под-
пространств (см. пример 11, стр. 28).
1. Прямая l не обладает собственными векторными подпространствами. В ка-
честве подпространств прямой выступают только ноль (нулевое подпро-
странство) и сама прямая l.