Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография

Подождите немного. Документ загружается.

2.3. Линейные операторы 51

Пример 37 Рассмотрим проекторы, действующие на плоскости (см. пример 29,

стр. 45):

: π −→ π.

Покажем, что их суммой является единичный оператор. Действительно, так как

на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e

,то

+ p

)(v)=p

(v)+p

(v)=α

+ α

где (α

,α

) — координатное представление вектора v в базисе e

. Следователь-

но,

+ p

)(v)=v ∀ v ∈ π,

то есть — сумма операторов p

и p

есть единичный оператор, действующий на

плоскости π (см. пример 28, стр. 45).

Пример 38 Рассмотрим симметрии Q

, Q

относительно осей, действующие на

плоскости π (см. пример 31, стр. 46). Мы покажем сейчас, что их сумма Q

—

это нулевой оператор. Действительно, пусть v — произвольный вектор плоскости

π, и пусть (α

,α

) — его координатное представление в ортонормированном базисе

.Тогда

(v)=α

− α

(v)=−α

+ α

Следовательно, применяя определение (см. опр. 26, стр. 50), получим:

+ Q

)(v)=Q

(v)+Q

(v)=α

− α

+ α

=0. ∀ v ∈ π.

Следовательно (см. пример 28, стр. 45), сумма операторов Q

и Q

есть нулевой

оператор, действующий на плоскости π.

Теорема 17 (о сумме линейных операторов) Пусть V — векторное про-

странство, и пусть ϕ, ψ — два линейных оператора, действующих в V .То-

гда их сумма ϕ + ψ — также линейный оператор, действующий в векторном

пространстве V .

Доказательство Пусть u, v — два произвольных вектора пространства

V , α — произвольный числовой коэффициент. Нам нужно показать (см.

опр. 22, стр. 44), что отображение ϕ + ψ переводит сумму векторов u и v в

сумму их образов и скалярное кратное αu вектора u — в скалярное кратное

его образа. Подействуем суммой операторов ϕ и ψ на сумму векторов u и

(ϕ + ψ)(u + v)=ϕ(u + v)+ψ(u + v)=ϕ(u)+ϕ(v)+ψ(u)+ψ(v)=

=(ϕ(u)+ψ(u)) + (ϕ(v)+ψ(v)) = (ϕ + ψ)(u)+(ϕ + ψ)(v) .

Таким образом, показано, что отображение ϕ + ψ переводит сумму векто-

ров u и v в сумму их образов. Подействуем суммой операторов ϕ и ψ на

скалярное кратное вектора u:

(ϕ + ψ)(αu)=ϕ(αu)+ψ(αu)=αϕ(u)+αψ(u)=

= α(ϕ(u)+ψ(u)) = α(ϕ + ψ)(u) .

Тем самым, показано, что отображение ϕ + ψ переводит скалярное кратное

вектора u в скалярное кратное его образа.

Теорема доказана.

52 Глава 2. Линейная алгебра

Определение 27 (скалярное кратное линейного оператора) Пусть V

— векторное пространство, и пусть ϕ — линейный оператор, действующий

в V .Пустьα — некоторый числовой коэффициент. Скалярным кратным

αϕ линейного оператора ϕ называется отображение, действующее в V по

следующему правилу:

(αϕ)(u)=αϕ(u) .

Пример 39 Скалярным кратным единичного оператора (см. пример 28, стр. 45)

служит равномерное масштабирование (см. пример 32, стр. 47).

Теорема 18 (о скалярном кратном линейного оператора) Пусть V

— векторное пространство, и пусть ϕ — линейный оператор, действующий в

V .Пустьα — некоторый числовой коэффициент. Тогда скалярное кратное

αϕ линейного оператора ϕ является линейным оператором, действующим

в V .

Доказательство Доказательство здесь по сути мало чем отличается от

теоремы о сумме линейных операторов. Пусть u, v — два произвольных

вектора пространства V , k — произвольный числовой коэффициент. Нам

нужно показать (см. опр. 22, стр. 44), что отображение αϕ переводит сумму

векторов u и v в сумму их образов и скалярное кратное ku вектора u —в

скалярное кратное его образа. Подействуем скалярным кратным оператора

ϕ на сумму векторов u и v:

(αϕ)(u + v)=αϕ(u + v)=α(ϕ(u)+ϕ(v)) =

= αϕ(u)+αϕ(v)=(αϕ)(u)+(αϕ)(v) .

Таким образом, показано, что отображение αϕ переводит сумму векторов

u и v в сумму их образов. Подействуем скалярным кратным αϕ оператора

ϕ на скалярное кратное ku вектора u:

(αϕ)(ku)=αϕ(ku)=αkϕ(u)=

= kαϕ(u)=k(αϕ)(u) .

Тем самым, показано, что отображение αϕ переводит скалярное кратное

вектора u в скалярное кратное его образа.

Теорема доказана.

Определение 28 (произведение линейных операторов) Пусть V —

векторное пространство, и пусть ϕ, ψ — два линейных оператора, действу-

ющих в V . Тогда их произведение ϕψ — это отображение, действующее в

V как суперпозиция линейных операторов ϕ и ψ:

(ϕψ)(v)=ϕ(ψ(v)) ∀ v ∈ V.

Пример 40 Рассмотрим два поворота R

и R

, действующих на плоскости π

(см. пример 30, стр. 46). В силу данного определения (см. опр. 28, стр. 52), их

произведением является поворот на угол α + β. Действительно, суперпозиция

двух поворотов относительно общего центра (а именно — относительно начала

координат) — это поворот на сумму углов, то есть:

= R

α+β

2.3. Линейные операторы 53

Пример 41 Произведение линейных операторов не является коммутативной опе-

рацией. То есть для произвольных операторов ϕ и ψ, действующих в пространстве

V , равенство ϕψ = ψϕ, вообще говоря, не верно.

Рассмотрим в качестве примера пару операторов, действующих на плоскости π:

поворот R

π/2

плоскости на угол π/2 (см. пример 30, стр. 46) и проектор p

плос-

кости на горизонтальную ось (см. пример 29, стр. 45). Зафиксируем на плоскости

вектор e

(первый базисный вектор ортонормированного базиса) и будем действо-

вать на него нашими операторами в разном порядке.

π/2

)(e

)=R

π/2

)) = R

π/2

)=e

С другой стороны, при действии в обратном порядке получим:

π/2

)(e

)=p

π/2

)) = p

)=0.

Мы видим, что результат действия произведения линейных операторов на вектор

плоскости существенно зависит от порядка множителей.

Теорема 19 (о произведении линейных операторов) Пусть V —век-

торное пространство, и пусть ϕ, ψ — два линейных оператора, действующих

в V . Тогда их произведение ϕψ является линейным оператором, действую-

щим в V .

Доказательство Пусть u, v — два произвольных вектора пространства

V , α — произвольный числовой коэффициент. Нам нужно показать (см.

опр. 22, стр. 44), что отображение ϕψ переводит сумму векторов u и v в

сумму их образов и скалярное кратное αu вектора u — в скалярное кратное

его образа. Подействуем произведением операторов ϕ и ψ на сумму векторов

u и v:

(ϕψ)(u + v)=ϕ(ψ(u + v)) = ϕ(ψ(u)+ψ(v)) =

= ϕ(ψ(u)) + ϕ(ψ(v)) = (ϕψ)(u)+(ϕψ)(v) .

Таким образом, показано, что отображение ϕψ переводит сумму векторов

u и v в сумму их образов. Подействуем произведением ϕψ операторов ϕ и

ψ на скалярное кратное αu вектора u:

(ϕψ)(αu)=ϕ(ψ(αu)) = ϕ(αψ(u)) =

= αϕ(ψ(u)) = α(ϕψ)(u) .

Тем самым, показано, что отображение ϕψ переводит скалярное кратное

вектора u в скалярное кратное его образа.

Теорема доказана.

Теорема 20 (об алгебре линейных операторов) Множество линейных

операторов, действующих в данном вектороном пространстве V , образует

алгебру.

Доказательство Так как множество линейных операторов, действующих

в данном векторном пространстве, замкнуто относительно:

1. суммы (см. теор. 17, стр. 51),

2. скалярного кратного (см. теор. 18, стр. 52),

54 Глава 2. Линейная алгебра

3. умножения (см. теор. 19, стр. 53),

то, в силу определения алгебры (см. опр. 6, стр. 21), оно является алгеброй.

Теорема доказана.

Алгебра линейных операторов обнаруживает ряд свойств, характерных для

полной матричной алгебры: например, она некоммутативна (см. пример 41,

стр. 53 и сравни с теор. 2, стр. 22). Нетрудно показать, что она ассоциативна,

это напрямую вытекает из определения произведения линейных операторов

как их суперпозиции (сравни с теор. 3, стр. 23). Наконец, она содержит

делители нуля (см. следующий пример 42, стр. 54 и сравни с теор. 4, стр. 24).

Далее мы увидим, что это сходство не случайно. Алгебра линейных опера-

торов окажется алгебраически изоморфной полной матричной алгебре (см.

теор. 25, стр. 58).

Пример 42 Рассмотрим проекторы p

, p

, действующие на плоскости π (см. при-

мер 29, стр. 45). Их произведение (взятое, кстати, в любом порядке) является, со

всей очевидностью, нулевым оператором. При этом оба множителя не являются

таковыми.

Определение 29 (обратные операторы) Пусть ϕ — невырожденный ли-

нейный оператор, действующий в векторном пространстве V . Тогда опера-

тором, обратным к нему, называется оператор, обозначаемый ϕ

−1

и обла-

дающий следующими свойствами:

∀u ∈ Vϕϕ

−1

(u)=ϕ

−1

ϕ(u)=u.

Другими словами, произведение взаимно-обратных операторов ϕ и ϕ

−1

(взя-

тое в произвольном порядке) дает тождественный оператор.

Пример 43 Рассмотрим оператор поворота R

плоскости π на угол α относи-

тельно начала координат. Очевидно, что для того, чтобы преобразовать плоскость

после поворота к начальному состоянию, необходимо повернуть ее на тот же угол

в противоположном направлении. Поэтому, по определению (см. опр. 29, стр. 54),

обратным оператором в данном случае служит поворот на противоположенный

угол:





−1

= R

−α

Отметим, что не любой оператор обладает обратным. Критерий обратимо-

сти линейного оператора заложен в определении: для обратимости оператор

должен быть невырожден (см. опр. 25, стр. 50).

2.3.4 Матрицы линейных операторов

Допустим, в векторном пространстве V фиксирован базис e

,...,e

.Тогда

каждый вектор этого пространства может быть описан в виде набора чисел

— его координат, вычисленных в данном базисе.

Точно так же, если в векторном пространстве фиксирован базис, то любой

линейный оператор, действующий в этом пространстве, может быть описан

в виде набора чисел, конкретно — в виде матрицы. В этом разделе мы

получим вычислительный механизм, который позволит нам строить такие

матрицы (см. опр. 30, стр. 55), а также — численно выполнять действие

линейного оператора путем матричного умножения (см. теор. 21, стр. 56).

2.3. Линейные операторы 55

Определение 30 (матрица линейного оператора) Пусть в векторном

пространстве V фиксирован базис e

,...,e

, и пусть в векторном простран-

стве V действует линейный оператор ϕ. Под его действием базис e

,...,e

перейдет в набор векторов ϕ(e

),...,ϕ(e











ϕ(e

)=a

+ a

+ ··· + a

ϕ(e

)=a

+ a

+ ··· + a

ϕ(e

)=a

+ a

+ ··· + a

Тогда матрицей линейного оператора ϕ в базисе e

,...,e

называется мат-

рица коэффициентов разложений, выписанных по столбцам:

A =







··· a







Заметим, что матрица линейного оператора, так же, как и координаты век-

тора (см. теор. 15, стр. 42), зависит от выбора базиса. При смене базиса

матрица оператора изменится. Однако детальное изучение этого вопроса

не входит в наши планы (подробнее об этом см. [V], [M], [KM]).

Пример 44 (матрицы тривиальных операторов) Нулевой оператор в любом

базисе обладает нулевой матрицей. Действительно, по определению (см. при-

мер 28, стр. 45), под его действием любой вектор переходит в ноль. Следовательно,

все коэффициенты в разложениях образов базисных векторов (см. опр. 30, стр. 55)

равны нулю, и, значит, матрицей нулевого оператора является нулевая матрица.

Матрицей единичного оператора в любом базисе служит единичная матрица. Дей-

ствительно, пусть

ε : V −→ V

— единичный оператор, действующий в пространстве V с базисом e

,...,e

.По

определению (см. пример 28, стр. 45) под его действием любой вектор переходит

в себя. В частности — это справедливо и для базисных векторов e

,...,e











ε(e

)=1· e

+0·e

+ ··· +0· e

ε(e

)=0· e

+1·e

+ ··· +0· e

ε(e

)=0·e

+0·e

+ ··· +1· e

Выписывая коэффициенты разложений по столбцам (см. опр. 30, стр. 55), полу-

чим единичную матрицу.

Пример 45 (матрицы проекторов) Пусть на плоскости π фиксирован орто-

нормированный базис e

, и пусть на π действуют проекторы p

и p

(см. при-

мер 29, стр. 45). Мы покажем, что

Matr





, Matr





Действительно, по определению, проектор p

переводит первый базисный вектор

в себя, а второй базисный вектор e

— в ноль:



)=1· e

+0· e

)=0· e

+0· e

56 Глава 2. Линейная алгебра

Выписывая коэффициенты разложений по столбцам (см. опр. 30, стр. 55), полу-

чим требуемое. Аналогично — для матрицы оператора p

Теорема 21 (действие в матричной форме) Пусть в некотором вектор-

ном пространстве V с фиксированным базисом e

,...,e

действует линей-

ный оператор

ϕ : V −→ V,

и пусть известна матрица этого оператора: Matr

(ϕ)=A. Тогда для любого

вектора x ∈ V координатное представление его образа, который получает-

ся под действием оператора ϕ, может быть вычислено путем матричного

умножения:

(ϕ(x))

= Ax

где x

— координатное представление вектора x в базисе e

,...,e

Доказательство Итак, допустим, нам известны координаты вектора x в

базисе e

,...,e

: x =(x

,...,x

). Тогда, действуя на вектор x оператором

ϕ, получим:

ϕ(x)=ϕ(e

+ ···+ e

)=x

ϕ(e

)+···+ x

ϕ(e

= x

+ ···+ a

)+···+ x

+ ···+ a

=(x

+ ···+ x

+ ···(x

+ ···+ x

Значит, координатное представление образа вектора x в базисе e

,...,e

имеет вид:

(ϕ(x))







+ ··· +x













... a

··· a



















= Ax

Теорема доказана.

Пример 46 Пусть на плоскости π фиксирован произвольный базис e

, и пусть

на π действует линейный оператор ϕ, причем известны разложения образов ба-

зисных векторов:

ϕ(e

)=3e

− 2e

ϕ(e

)= e

+ e

Пусть, кроме того, известны координаты вектора x в базисе e

: x



−1



Требуется вычислить координаты вектора ϕ(x) в базисе e

. Воспользуемся

только что доказанной теоремой (см. теор. 21, стр. 56). Нам необходимо знать

матрицу оператора ϕ в данном базисе, но выписать ее очень легко, исходя из

разложений образов базиса (см. опр. 30, стр. 55):

Matr

(ϕ)=



−21



Следовательно, вычисление координат результирующего вектора сводится к мат-

ричному умножению:

(ϕ(x))



−21



−1





−3



2.3. Линейные операторы 57

Теорема 22 (о матрице скалярного кратного линейного оператора)

Пусть в векторном пространстве с фиксированным базисом e

,...,e

дей-

ствует линейный оператор

ϕ : V −→ V.

Тогда матрица его скалярного кратного равна скалярному кратному его

матрицы:

Matr

(αϕ)=α Matr

(ϕ) ∀ α.

Доказательство Рассмотрим произвольный вектор x векторного простран-

ства V и подействуем на него скалярным кратным оператора ϕ (см. опр. 27,

стр. 52). При этом нас будет инетересовать координатное представление ре-

зультата в базисе e

,...,e

Matr

(αϕ)x

=(αϕ(x))

=(α(ϕ(x)))

= α(ϕ(x))

= α Matr

(ϕ)x

Теорема доказана.

Теорема 23 (о матрице суммы линейных операторов) Пусть в век-

торном пространстве с фиксированным базисом e

,...,e

действуют ли-

нейные операторы

ϕ,ψ : V −→ V.

Тогда матрица их суммы равна сумме их матриц:

Matr

(ϕ + ψ) = Matr

(ϕ) + Matr

(ψ) .

Доказательство Рассмотрим произвольный вектор x векторного простран-

ства V и подействуем на него суммой операторов ϕ и ψ (см. опр. 26, стр. 50).

Тогда координатное представление результата в базисе e

,...,e

будет иметь

вид:

Matr

(ϕ + ψ)x

=((ϕ + ψ)(x))

=(ϕ(x))

+(ψ(x))

= Matr

(ϕ)x

+ Matr

(ψ)x

= (Matr

(ϕ) + Matr

(ψ))x

Теорема доказана.

Теорема 24 (о матрице произведения линейных операторов) Пусть

в векторном пространстве с фиксированным базисом e

,...,e

действуют

линейные операторы

ϕ,ψ : V −→ V.

Тогда матрица их произведения равна произведению их матриц:

Matr

(ϕψ) = Matr

(ϕ)Matr

(ψ) .

Доказательство Рассмотрим произвольный вектор x векторного простран-

ства V и подействуем на него произведением операторов ϕ и ψ (см. опр. 28,

стр. 52). Тогда:

Matr

(ϕψ)x

=((ϕψ)(x))

=((ϕ(ψ(x)))

=(ϕ(Matr

(ψ)x

)

= Matr

(ϕ)Matr

(ψ)x

Теорема доказана.

58 Глава 2. Линейная алгебра

Теорема 25 Алгебра линейных операторов, действующих в векторном про-

странстве размерности n, изоморфна полной матричной алгебре n-го поряд-

ка.

Доказательство Прежде всего заметим, что по определению матрицы

линейного оператора (см. опр. 30, стр. 55), а также в силу того, что раз-

ложение по базису единственно (см. теор. 13, стр. 37), каждому линейному

оператору отвечает единственная матрица.

Кроме того, те факты, что:

1. матрица скалярного кратного линейного оператора равна скалярному

кратному его матрицы (см. теор. 22, стр.57),

2. матрица суммы линейных операторов равна сумме их матриц (см.

теор. 23, стр.57),

3. матрица произведения линейных операторов равна произведению их

матриц (см. теор. 24, стр.57),

демонстрируют алгебраическую неразличимость двух множеств: множе-

ства квадратных матриц проядка n и множества линейных операторов,

действующих в векторном пространстве размерности n. Это и означает изо-

морфность полной матричной алгебры и алгебры линейных операторов.

Теорема доказана.

Итак, если в векторном пространстве фиксирован базис, то каждому ли-

нейному оператору, действующему в нем, единственным образом отвечает

квадратная матрица, и действие оператора на вектор сводится к матрично-

му умножению (см. теор. 21, стр. 56).

Кроме того, если матрица невырождена, то ее можно обратить (см. теор. 7,

стр. 26). Возникает вопрос, не продолжается ли алгебраический изомор-

физм полной матричной алгебры и алгебры линейных операторов на опе-

рацию обращения? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 26 (матрица обратного оператора) Пусть в векторном про-

странстве V фиксирован базис e

,...,e

ипустьвV действует линейный

оператор

ϕ : V −→ V.

Тогда, если существует линейный оператор ϕ

−1

, обратный к оператору ϕ,

то его матрица вычисляется как обратная к матрице оператора ϕ:

Matr

(ϕ

−1

) = Matr

−1

(ϕ) .

Доказательство По определению (см. опр. 29, стр. 54), операторы вза-

имно обратны, если

ϕϕ

−1

= ε,

то есть, если их произведение дает тождественный оператор. Следовательно

Matr

(ϕϕ

−1

) = Matr

(ε) .

2.3. Линейные операторы 59

Применяя в левой части теорему о матрице произведения линейных опе-

раторов (см. теор. 24, стр. 57), а в правой части — результат, полученный

выше в одном из примеров (см. пример 44, стр. 55), получим:

Matr

(ϕ)Matr

(ϕ

−1

)=E

(где в правой части E означает единичную матрицу). Теперь умножим дан-

ное матричное равенство на матрицу Matr

−1

(ϕ) слева:

Matr

(ϕ

−1

) = Matr

−1

(ϕ) .

Теорема доказана.

Мы видим, что обратный оператор существует тогда и только тогда, когда

матрица исходного оператора является обратимой. Именно поэтому про-

екторы (см. пример 29, стр. 45) не обладают обратными — их матрицы

вырожденны (см. пример 45, стр. 55).

2.3.5 Матрицы основных плоских преобразований

К основным преобразованиям плоскости мы отнесем: повороты (см. при-

мер 30, стр. 46), симметрии (см. пример 31, стр 46) и масштабирования (см.

пример 32, стр. 47).

Строго говоря, симметрии в этом

)

Рис. 2.8: Действие оператора R

пово-

рота на угол α на базисные векторы.

списке вообще оказываются излиш-

ними, так как симметрию относи-

тельно горизонтальной оси можно

рассматривать как масштабирова-

ние с коэффициентами (1, −1), а сим-

метрию относительно вертикальной

оси — как аналогичное масштаби-

рование.

Однако традиционно симметрии так

же относят к основным преобразо-

ваниям плоскости.

После того как в следующей гла-

ве мы получим матричное выражение для плоскопараллельного смещения

плоскоти, список основных плоских преобразований окажется исчерпыва-

ющим.

Сечас же, исходя из геометрических соображений, мы убедимся в том, что

справедливы следующие утверждения относительно матриц основных пре-

образований плоскости.

Теорема 27 (матрица оператора поворота) В ортонормированном ба-

зисе e

матрица оператора R

поворота плоскости π на угол α относи-

тельно начала координат имеет вид:

Matr



cos α −sin α

sin α cos α



60 Глава 2. Линейная алгебра

Доказательство Под действием оператора поворота вектор e

переходит

в вектор R

), координаты которого равны длинам отрезков OA и OC

(см. рис.2.8, стр. 59). Так как гипотенуза прямоугольных треугольников

OAB и OCB имеет единичную длину, то, из известных тригонометрических

соотношений в прямоугольных треугольниках, заключаем:



) = cos α · e

+sinα · e

)=−sin α · e

+cosα · e

;

Здесь выражение для координат вектора R

) получается из расмотрения

треугольников ODE и OFE. Теперь, используя известные нам разложения

образов базисных векторов, выпишем матрицу оператора:

Matr



cos α −sin α

sin α cos α



Теорема доказана.

Теорема 28 (матрицы операторов симметрии) В ортонормированном

базисе e

матрица оператора Q

симметрии плоскости π относительно

оси Ox имеет вид:

Matr



0 −1



а матрица оператора Q

симметрии плоскости π относительно оси Oy имеет

соответственно вид:

Matr



−10



Доказательство Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный

базис e

. Подействуем оператором Q

симметричного отражения отно-

сительно горизонтальной оси на базисные векторы e

и e

)

(a) Симметрия относительно

горизонтальной оси

)

(b) Симметрия относительно

вертикальной оси

Рис. 2.9: Действие операторов симметрий Q

(относительно горизонтальной

оси) и Q

(относительно вертикальной оси) на базисные векторы.

При этом вектор e

, как вектор, лежащий на горизонтальной оси, перейдет

в себя, а вектор e

— перейдет в проитивоположенный вектор (см. рис. 2.9,