Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография
Подождите немного. Документ загружается.
C.3. Алгоритмы интерполяции 221
Определение 89 (гладкость сопряжения сегментов) Пусть кривая p(u) про-
ходит через три точки опорного ансамбля: A, B и C. С точки зрения эрмитовой
интерполяции мы можем рассматривать ее как состоящую из двух сегментов: AB
и BC.
1. Если вектор финиша сегмента AB не параллелен вектору старта сегмента
BC, то сопряжение сегментов не является гладким.
2. Если вектор финиша сегмента AB сонаправлен вектору старта сегмента
BC, то сопряжение сегментов называется геометрически гладким.
3. Если же вектор финиша сегмента AB в точности равен вектору старта сег-
мента BC, то сопряжение сегментов называется параметрически гладким.
Отметим, что с точки зрения точной интерполяции вопрос о гладкости сопря-
жения сегментов вообще не встает: она подразумевается как данность. Но если
опорный ансамбль состоит из достаточно большого числа точек, то точная интер-
поляция приводит к огромному числу вычислений. Эрмитов же алгоритм позво-
ляет рассматривать двухточечные ансамбли как отдельные сегменты и сопрягать
их с любой гладкостью при помощи одних и тех же действий.
Пример 167 Пусть требуется провести кривую через три точки данного опор-
ного ансамбля A
1
(1, 1), A
2
(3, 1), A
3
(5, 1) так, чтобы кривая начиналась в точке A
1
в направлении вектора v
1
=(0, 1), проходила через точку A
2
в направлении век-
тора v
2
=(0, −1) и заканчивалась в точке A
3
в направлении вектора v
3
=(1, 0).
Фактически, нам придется решить дважды задачу об эрмитовой интерполяции
ансамбля из двух точек:
1. для точек A
1
(1, 1) и A
2
(3, 1) с направлениями v
1
=(0, 1) и v
2
=(0, −1),
2. для точек A
2
(3, 1) и A
3
(5, 1) с направлениями v
2
=(0, −1) и v
2
=(1, 0).
Приступим к решению первой задачи. Будем искать эрмитову интерполяционную
кривую p(u) в виде кубической параметризации:
p(u)=
a
10
+ a
11
u + a
12
u
2
+ a
13
u
3
a
20
+ a
21
u + a
22
u
2
+ a
23
u
3
,
где коэффициенты координатных полиномов вычисляются матричным умноже-
нием:
a
10
a
11
a
12
a
13
=
1000
0010
−33− 2 −1
2 −211
1
3
0
0
=
1
0
6
0
для первого координатного полинома и, аналогично, для второго:
a
20
a
21
a
22
a
23
=
1000
0010
−33− 2 −1
2 −211
1
1
1
−1
=
1
1
−1
0
.
Таким образом, интересующая нас параметризация найдена:
p(u)=
1+6u
2
− 4u
3
1+u −u
2
.
Выполним проверку. Должно выполняться четыре условия: два условия прохож-
дения кривой через ансамбль, и два условия направления прохождения.
p(0) =
1
1
= A
1
,p(1) =
1+6− 4
1+1− 1
=
3
1
= A
2
.
222 Приложение C. Функции и графики
Что касается направлений прохождения, то эти направления определяются каса-
тельными векторами к кривой p(u) при u =0и при u =1. Вычислим производную
p
(u):
p
(u)=
12u −12u
2
1 −2u
,
после чего найдем векторы, касательные к кривой p(u) в точках A
1
и A
2
:
p
(0) =
0
1
= v
1
,p
(1) =
12 −12
1 −2
=
0
−1
= v
2
.
Все четыре условия выполнены. Задача решена верно. Теперь параметризуем кри-
вую на втором сегменте за счет функции q(u). Будем искать эрмитову интерпо-
ляционную кривую q(u) в виде кубической параметризации:
q(u)=
a
10
+ a
11
u + a
12
u
2
+ a
13
u
3
a
20
+ a
21
u + a
22
u
2
+ a
23
u
3
,
где коэффициенты координатных полиномов вычисляются матричным умноже-
нием:
a
10
a
11
a
12
a
13
=
1000
0010
−33−2 −1
2 −211
3
5
0
1
=
3
0
5
−3
для первого координатного полинома и, аналогично, для второго:
a
20
a
21
a
22
a
23
=
1000
0010
−33−2 −1
2 −211
1
1
−1
0
=
1
−1
2
−1
.
Таким образом, интересующая нас параметризация найдена:
q(u)=
3+5u
2
− 3u
3
1 −u +2u
2
− u
3
.
Выполним проверку. Должно выполняться четыре условия: два условия прохож-
дения кривой через ансамбль, и два условия направления прохождения.
q(0) =
3
1
= A
2
,q(1) =
3+5− 3
1 −1+2− 1
=
5
1
= A
3
.
Что касается направлений прохождения, то эти направления определяются каса-
тельными векторами к кривой q(u) при u =0и при u =1. Вычислим производную
q
(u):
q
(u)=
10u −9u
2
−1+4u − 3u
2
,
после чего найдем векторы, касательные к кривой q(u) в точках A
2
и A
3
:
q
(0) =
0
−1
= v
2
,q
(1) =
10 −9
−1+4− 3
=
1
0
= v
3
.
Все четыре условия выполнены. Итак, окончательно кривая параметризуется на
интервале [0, 1] двумя эрмитовыми интерполяциями p(u) и q(u):
p(u)=
1+6u
2
− 4u
3
1+u −u
2
,q(u)=
3+5u
2
− 3u
3
1 −u +2u
2
− u
3
.
C.4. Задачи для самостоятельного решения 223
C.4 Задачи для самостоятельного решения
Задача 20 Вычислить производные следующих функций:
1) y = x
4
+3x
2
− 6 , 2) y =6x
3
− x
2
,
3) y =6x
7/2
+4x
5/2
+2x, 4) y =
√
3x +
3
√
x +
1
x
,
5) y =
(x +1)
3
x
3/2
, 6) y =(1+4x
3
)(1 + 2x
2
) ,
7) y =(a + x)
√
a −x, 8) y =
1+x
1 −x
,
9) y =
2x
−
1
x
√
1+x
2
, 10) y =
3
√
x
2
+ x +1,
11) y =
x +
x +
√
x, 12) y =(1+
3
√
x)
3
,
13) y =sin
2
x, 14) y =
sin x
1+cosx
,
15) y =sin2x cos 3x, 16) y =ctg
2
5x,
17) y =sin
3
x cos x, 18) y =lnsin
2
x,
19) y =ln
1+sinx
1 −sin x
, 20) y = sin ln x,
21) y =log
2
(x
2
− 1) , 22) y =ln(x
2
− sin x) ,
23) y =ln(x +
√
1+x
2
) , 24) y =lnlnx,
25) y = −
cos x
2sin
2
x
+lntg
x
2
, 26) y =2e
√
x
,
27) y = e
sin x
cos x, 28) y = e
cos x
sin x,
29) y =
e
x
− 1
e
x
+1
, 30) y = e
x
ln sin x,
31) y =tg
1 −e
x
1+e
x
, 32) y =sin
√
1 −2
x
,
33) y =10
x tg x
, 34) y =arcsin
2
x,
35) y =arctg(x
2
+1), 36) y =
1
√
3
arctg
x
√
3
1 −x
2
,
37) y =arcsin
x +1
√
2
, 38) y =arcsin
√
sin x,
39) y =arctg
e
x
− e
−x
2
, 40) y =arctg
4sinx
3+5cosx
,
41) y =ln
1+x
1 −x
1/4
−
1
2
arctg x, 42) y = arccos
x
4
− 1
x
4
+1
.
Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующих разделов (см.
раздел C.1.1, стр. 205 и раздел C.1.2, стр. 208).
Задача 21 Вычислить производные следующих функций, заданных параметри-
224 Приложение C. Функции и графики
чески:
1) p(u)=
e
3u
sin 2u
e
−u
cos u
2
, 2) p(u)=
arctg u
2
sin
2
u
,
3) p(u)=
arctg
e
u
e
u
+1
log
2
(u
2
+2u)
, 4) p(u)=
4
√
u
2
+1
(u
2
+2)
3
,
5) p(u)=
3
√
u −1
(u
3
+ u)
2
(u −1)
, 6) p(u)=
ln tg 3u
e
3u−1
.
Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующего раздела (см.
раздел C.1.3, стр. 212).
Задача 22 Записать уравнения касательных к графикам следующих функций:
1) y = x
3
− 3x
2
− x +5 при x =3,
2) y = x
4
+2x
2
− x − 3 при x =1,
3) y =ln
2
(x −1) при x =2,
4) y = e
3x
+ x
2
при x =0,
5) y =sin4x +cos
2
3x при x = π/2 .
Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующего раздела (см.
раздел C.2.1, стр. 214).
Задача 23 Записать уравнения касательных к следующим параметрически опи-
санным кривым:
1) p(u)=
sin 2u
cos 3u
при u =0,
2) p(u)=
a(u −sin u)
a(1 −cos u)
при u = π/2 ,
3) p(u)=
a cos
3
u
a sin
3
u
при u = π/4 ,
4) p(u)=
2cosu
sin u
при u = −π/3 .
Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующего раздела (см.
раздел C.2.2, стр. 214).
Для решения следующих задач воспользуйтесь результатами соответствующих
разделов (см. раздел C.3.1, стр. 218 и раздел C.3.2, стр. 219).
Задача 24 Кривая проходит через точки A(1, −1), B(2, 3), C(−3, 5). Выполнить
точную интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.
Задача 25 Кривая проходит через точки A(2, 1), B(5, 3), C(3, −2). Выполнить
точную интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.
C.4. Задачи для самостоятельного решения 225
Задача 26 Кривая проходит через точки A(0, 3), B(2, −3), C(3, 5). Выполнить
точную интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.
Задача 27 Кривая стартует в точке A(1, 1) в направлении вектора v
1
= {1, 1}
и финиширует в точке B(3, 0) в направлении вектора v
2
= {0, −3}. Выполнить
эрмитову интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.
Задача 28 Кривая стартует в точке A(2, −1) в направлении вектора v
1
= {1, 2}
и финиширует в точке B(−1, 0) в направлении вектора v
2
= {−1, −1}. Выполнить
эрмитову интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.
Задача 29 Кривая стартует в точке A(−2, 1) в направлении вектора v
1
= {0, 1}
и финиширует в точке B(4, 1) в направлении вектора v
2
= {0, 1}. Выполнить
эрмитову интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.
226 Приложение C. Функции и графики
Литература
Компьютерные графические системы
[E] Э. Энджел, Интерактивная компьютерная графика, М.: Издательский дом
“Вильямс”, 2001.
Линейная алгебра
[V] Б. Л. Ван-дер-Варден, Алгебра, М.: Наука, 1979.
[M] А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Государственное издательство
технико-теоритической литературы, 1956.
[KM] А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, Линейная алгебра и геометрия, М.: Изда-
тельство московского университета, 1980.
Математический анализ
[F] Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, М.: Наука, 1968.
[N] С. М. Никольский, Курс математического анализа, М.: Наука, 1991.
[P] Н. М. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, М.:
Интеграл-пресс, 2000.
Общематематические курсы
[Sh] В. С. Шипачев, Высшая математика, М.: Высшая школа, 1990.
[KD] В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, Краткий курс высшей математики, М.:
Наука, 1975.
227