Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография
Подождите немного. Документ загружается.
A.3. Линейные системы 181
A.3.4 Вырожденные линейные системы
Выше мы рассматривали только невырожденные линейные системы, то есть
такие системы, в которых, во-первых, число уравнений совпадало с числом
переменных, и во-вторых, матрицы, составленные из коэффициентов таких
систем, обладали ненулевым определителем.
Однако часто возникают ситуации, когда приходится решать выроженные
системы (то есть — системы, обладающие нулевым определителем). Мы, на-
пример, решаем такие системы при исследовании систем векторов на пред-
мет линейной зависимости или независимости (см. раздел 2.2.2, стр. 30)
13
.
Следует иметь в виду, что в этих случаях нельзя найти единственное ре-
шение системы. Наоборот: вырожденная система либо вообще не обладает
решениями, либо имеет бесконечно много решений.
Решить вырожденную систему каким-либо методом, помимо метода Гаусса,
невозможно. Метод же Гаусса позволяет как найти общее решение вырож-
денной системы (то есть — указать закон, по которому выписываются все
решения из бесконечной серии решений), так и установить ее несовмест-
ность (то есть — доказать отсутствие решений у данной системы).
Пример 128 Решить однородную систему:
3x +2y − 4z =0
x − y +2z =0
4x +3y − 2z =0
Это — однородная система, то есть система с нулевым столбцом свободных чле-
нов. Она заведомо совместна. Действительно, нетрудно убедиться, что нулевые
значения переменных обращают все уравнения системы в тождества.
Однако остается открытым вопрос, иемеет ли система какие-либо решения поми-
мо нулевого. Выпишем расширенную матрицу системы и проебразуем ее левую
часть:
32−4
1 −12
41−2
0
0
0
← II
← I
∼
1 −12
32−4
41−2
0
0
0
−I ∗3
−I ∗4
∼
∼
1 −12
05−10
05−10
0
0
0
−II
∼
1 −12
05−10
00 0
0
0
0
∗(1/5)
∼
∼
1 −1
01
−2
2
+II
∼
10
01
0
2
.
Последние два звена выкладки можно содержательно интерпретировать так: пре-
образуя по методу Гаусса строки расширенной матрицы, мы фактически преоб-
разуем уравнения системы. При этом на определнном шаге мы получаем нулевую
строку. Это означает, что в системе фактически остается два уравнения, содержа-
щие три переменные. одну из этих переменных (конкретно — переменную z)мы
переносим в правую часть, меняя при этом знак на противоположный. После чего
13
Те же задачи (то есть — решение вырожденных линейных систем) возникают при
описании векторных подпространств (см. раздел 2.2.4, стр. 40) или при вычислении ядра
и образа линейного оператора (см. раздел 2.3.2, стр. 48).
182 Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
— окончательно преобразуем левую часть расширенной матрицы к единичному
виду (то есть — выражаем переменные x и y через переменную z):
x =0
y =2z
Таким образом — возникает бесконечная серия решений: придавая переменной z
произвольные значения, будем получать соответствующие значения для перемен-
ных x и y.
Все решения системы имеют вид: x =0, y =2α, z = α,гдеα — произвольное
число.
A.4 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1 Вычислить следующие определители второго порядка, пользуясь опре-
делением (см. опр. 66, стр. 158):
1)
2 −1
32
,2)
61
−47
,3)
30
−39
,4)
46
33
,5)
86
36
,
6)
1 −t
2
1+t
2
2t
1+t
2
−2t
1+t
2
1 −t
2
1+t
2
,7)
(1 −t)
2
1+t
2
2t
1+t
2
2t
1+t
2
−
(1 + t)
2
1+t
2
,8)
1+t
2
1 −t
2
2t
1 −t
2
2t
1 −t
2
1+t
2
1 −t
2
,
9)
sin α cos α
sin β cos β
, 10)
sin α − sin β cos β +cosα
cos β − cos α sin α − sin β
.
Задача 2 Вычислить следующие определители третьего порядка, пользуясь опре-
делением (см. опр. 67, стр. 158):
1)
2 −43
067
3 −25
,2)
345
−352
329
,3)
35 7
56−4
22 1
,4)
35 6
86−7
41 6
,
5)
111
123
136
,6)
011
101
110
,7)
1525
1749
1864
,8)
abc
bca
cab
,
9)
0 a 0
bcd
0 e 0
, 10)
axx
xbx
xx c
, 11)
a + xx x
xb+ xx
xxc+ x
.
Задача 3 Вычислить следующие определители сведением их к треугольному ви-
ду по методу Гаусса (см. раздел A.1.2. стр. 159 и соответствующие примеры):
1)
213
532
143
,2)
321
253
342
,3)
4 −35
3 −28
4 −7 −5
,4)
42−1
53−2
32−1
.
A.4. Задачи для самостоятельного решения 183
Задача 4 Вычислить следующие определители при помощи разложений: 1) по
второй строке, 2) по третьему столбцу, 3) по первой стороке, 4) по второму столбцу
(см. теор. 86, стр. 163).
1)
21−1
20 2
14 1
,2)
533
−452
201
,3)
13−3
22 8
47 1
,4)
423
330
3 −61
.
Задача 5 Вычислить следующие определители четвертого порядка, предвари-
тельно преобразовав их (см. раздел A.1.2. стр. 159 и соответствующие примеры).
1)
1111
1 −111
11−11
111−1
,2)
0111
1011
1101
1110
,3)
2 −512
−37−14
5 −927
4 −612
.
Задача 6 Выполнить матричные действия (см. раздел A.2.1. стр. 165 и соответ-
ствующие примеры):
1)
3 −2
5 −4
34
25
,2)
2 −3
4 −6
9 −6
6 −4
,
3)
43
75
−28 93
38 −126
73
21
,4)
1 −2
34
3
,5)
4 −1
5 −2
5
,
6)
1 −32
3 −41
2 −53
256
125
132
,7)
58−4
69−5
47−3
325
4 −13
965
.
Задача 7 Вычислить матрицы, обратные к данным матрицам, при помощи ал-
гебраических дополнений (см. теор. 87, стр. 168).
1)
21
3 −2
−1
,2)
46
32
−1
,3)
11
32
−1
,4)
45
31
−1
,
5)
23−2
31 1
24 7
−1
,6)
112
−401
342
−1
,7)
332
313
233
−1
.
Задача 8 Вычислить матрицы, обратные к данным матрицам, при помощи ме-
тода Гаусса (см. теор. 88, стр. 169).
1)
12
01
−1
,2)
43
32
−1
,3)
11
32
−1
,4)
45
11
−1
,
5)
132
011
001
−1
,6)
122
21−2
2 −21
−1
,7)
111
11−1
1 −11
−1
.
184 Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
Задача 9 Решить матричные уравнения (см. раздел A.2.3, стр. 170 и соотвтет-
ствующие примеры):
1)
23
11
X =
14
12
,2)X
10
31
=
23
1 −2
,
3)
23
34
X
21
31
=
21
0 −4
,
4)
11
01
X
10
11
=
22
14
,
5)
123
324
110
X =
130
10 2 7
10 7 8
,6)X
531
132
521
=
830
590
2150
.
Задача 10 Решить следующие линейные системы методом Крамера (см. теор. 90,
стр. 175).
1)
2x +3y =1,
−3x + y =2;
2)
x − 2y =2,
2x +2y =1;
3)
x +4y =0,
2x − y = −3;
4)
x − y +2z =1,
2x + y +3z =2,
x +2y − 2z =3;
5)
3x +2y − z =0,
x + y +3z = −2 ,
2x − y − 2z =1.
Задача 11 Решить следующие линейные системы методом Гаусса (см. теор. 91,
стр. 178).
1)
x + y =1,
2x + y =2;
2)
3x +2y =2,
−2x − y =0;
3)
−x +2y =0,
2x + y =3;
4)
3x + y +2z = −1 ,
x +3y + z = −2 ,
2x + y − 2z =0;
5)
−x − 2y − 2z =1,
2x + y +3z =0,
x − 3y − 2z =1.
Задача 12 Решить следующие серии линейных систем при помощи матричного
обращения (см. теор. 92, стр. 179).
1)
x +5y = −1 ,
3x − y =2;
x +5y =0,
3x − y =3;
x +5y =5,
3x − y = −2;
2)
x − y +2z =1,
2x + y +3z =2,
x +2y − 2z =3;
x − y +2z =5,
2x + y +3z =0,
x +2y − 2z = −3;
x − y +2z =3,
2x + y +3z =1,
x +2y − 2z =3.
A.4. Задачи для самостоятельного решения 185
Задача 13 Найти общие решения следующих вырожденных систем (см. раз-
дел A.3.4, стр. 181):
1)
3x − 2y + z =0,
2x + y +3z =0,
5x − y +4z =0;
2)
x + y − 2z =0,
x +2y +3z =0,
y +5z =0;
3)
3x +2y +2z =0,
2x + y +3z =0,
x − y + z =0.
186 Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
Приложение B
Векторные пространства.
Линейные и проективные
опреаторы
Данный раздел посвящен численным методам исследования векторных про-
странств и преобразований, действующих в векторных пространствах.
Резюмируя сказанное выше, в теоретическом блоке (см. раздел 2.2, стр. 27
а также — раздел 2.3, стр. 44), можно заключить:
1. любая точка векторного пространства (или, что то же самое — лю-
бой вектор векторного пространства) реализуется численно в виде
вектора-столбца своих координат;
2. любое линейное преобразование векторного пространства реализуется
численно в виде квадратной матрицы, порядок которой соответствует
размерности пространства (на плоскости это матрицы второго поряд-
ка, в физическом пространстве — третьего и т. д.);
3. действие линейного оператора на точку (вектор) векторного простран-
ства численно реализуется в виде матричного умножения.
Эти идеи мы демонстрируем здесь разбирая подробно множество конкрет-
ных примеров (см. приложение B.1, стр. 188 и приложение B.2, стр. 193).
Далее — при построении проективных пространств (см. главу 3, стр. 63),
мы убедились, что:
1. любая точка проективного пространства реализуется численно в ви-
де вектора-столбца своих координат плюс еще одна, дополнительная
координата, которая для точки всегда равна единице, и любой век-
тор проективного пространства реализуется численно в виде вектора-
столбца своих координат плюс еще одна, дополнительная координата,
которая для вектора всегда равна нулю;
2. любое проективное преобразование проективного пространства реа-
лизуется численно в виде квадратной матрицы, порядок которой на
187
188 Приложение B. Векторные пространства
единицу больше размерности пространства (на плоскости это матрицы
третьего порядка, в физическом пространстве — четвертого и т. д.).
Практические примеры на эту тему мы подробно разбираем в соответству-
ющем разделе (см. раздел B.3, стр. 198). Задачи, которые мы там рассмат-
риваем (всевозможные преобразования плоских фигур), являются нашей
конечной целью, по сути, кульминацией первой части книги.
B.1 Системы векторов
В этом разделе мы работаем с системами векторов векторных пространств,
уделяя особое внимание задаче о замене базиса. Необходимые теоретиче-
ские сведения представлены в соответствующих разделах (см. раздел 2.2,
стр. 27).
B.1.1 Линейная зависимость и линейная независимость
систем векторов
Исходя из соображений удобства, мы продублируем здесь понятия, которые
ввели ранее в теоретических блоках книги (см. раздел 2.2.2, стр. 30).
Определение 74 (линейные комбинации) Рассмотрим вектороное про-
странство V ,ипустьa
1
,a
2
,...,a
n
— набор векторов из V . Их линейная
комбинация
α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ ···+ α
n
a
n
называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю:
α
1
= α
2
= ···= α
n
=0.
Если же среди коэффициентов найдется хотя бы один отличный от нуля
a
k
=0, то такая линейная комбинация называется нетривиальной.
Определение 75 (линейная зависимость и независимость) Пусть V
— вектороное пространство, и пусть a
1
,a
2
,...,a
n
— набор векторов из V .
Этот набор называется линейно зависимой системой векторов, если суще-
ствует нетривиальная линейная комбинация, обращающая его в ноль:
α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ ···+ α
n
a
n
=0
Если же этот набор обращает в ноль только тривиальная линейная комби-
нация, то он называется линейно независимой системой веторов.
Пример 129 Пусть a
1
=
1
−2
1
,a
2
=
0
−1
1
,a
3
=
1
−3
2
.
Требуется выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой.
Воспользуемся определением (см. 75, стр. 188). Допустим, что существует некая
линейная комбинация векторов a
1
, a
2
, a
3
, обращающаяся в ноль: α
1
a
1
+ α
2
a
2
+
α
3
a
3
=0.Тогда:
α
1
1
−2
1
+ α
2
0
−1
1
+ α
3
1
−3
2
=
0
0
0
.
B.1. Системы векторов 189
Выполняя почленное сложение в правой части, получим векторное равенство:
α
1
+ α
3
−2α
1
− α
2
− 3α
3
α
1
+ α
2
+2α
3
=
0
0
0
.
Оно эквивалентно однородной линейной системе:
α
1
+ α
3
=0
−2α
1
− α
2
− 3α
3
=0
α
1
+ α
2
+2α
3
=0
Применим для ее решения метод Гаусса (см. раздел A.3.4, стр. 181):
101
−2 −1 −3
112
0
0
0
+I ∗2
−I
∼
101
0 −1 −1
011
0
0
0
(−1)
∼
∼
101
011
011
0
0
0
−II
∼
101
011
000
0
0
0
.
Возвращаясь снова к традиционной записи линейной системы, получим неопреде-
ленную систему: она содержит три переменные и всего два уравнения. Выразим
пременные α
1
и α
2
через α
3
.
α
1
+ α
3
=0
α
2
+ α
3
=0
Следовательно,
α
1
= −α
3
α
2
= −α
3
Придавая переменной α
3
произвольные значения, будем получать соответствую-
щие значения переменных α
1
и α
2
. Например, если α
3
= −1,тоα
1
= α
2
=1.
Таким образом, мы отыскали нетривиальную линейную комбинацию, обращаю-
щую в ноль данную систему векторов:
a
1
+ a
2
− a
3
=0.
Следовательно, исходный набор векторов a
1
, a
2
, a
3
является линейно зависимой
системой векторов.
Пример 130 Тот же вопрос относительно другой системы векторов:
a
1
=
1
1
−1
,a
2
=
2
3
1
,a
3
=
7
1
0
.
Допустим, имеется линейная комбинация, обращающая в ноль эту систему:
α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ α
3
a
3
=0.
Если окажется, что эта линейная комбинация тривиальна, то система векторов a
1
,
a
2
, a
3
линейно независима, если же окажется, что существует такая нетривиаль-
ная линейная комбинация, то система векторов линейно независима (см. опр. 75,
стр. 188).
α
1
1
1
−1
+ α
2
2
3
1
+ α
3
7
1
0
=
0
0
0
.
Выполняя почленное сложение в правой части, получим векторное равенство:
α
1
+2α
2
+7α
3
α
1
+3α
2
+ α
3
−α
1
+ α
2
=
0
0
0
.
190 Приложение B. Векторные пространства
Оно эквивалентно однородной линейной системе:
α
1
+2α
2
+7α
3
=0
α
1
+3α
2
+ α
3
=0
−α
1
+ α
2
=0
Применим для ее решения метод Гаусса (см. раздел A.3.2, стр. 177):
127
131
1 −10
0
0
0
−I
+I
∼
12 7
01−6
03 7
0
0
0
−II ∗ 3
∼
∼
12 7
01−6
00 25
0
0
0
1/25
∼
12 7
01−6
00 1
0
0
0
−III ∗ 7
+III ∗6
∼
∼
120
010
001
0
0
0
−II ∗ 2
∼
100
010
001
0
0
0
.
Итак, система имеет единственное решение: α
1
=0, α
2
=0, α
3
=0. Это означает,
что линейная комбинация, обращающая в ноль исходный набор векторов, явля-
ется тривиальной, и, следовательно, он (набор) образует линейно независимую
систему векторов.
B.1.2 Базисы векторных пространств
Базис векторного пространства — это инструмент, при помощи которого
можно численно описывать векторы пространства. Понятно, что при пере-
ходе к новому базису, векторы пространства получат новое описание. За-
даче вычисления новых координат вектора (то есть координат оносительно
нового базиса) посвящен этот раздел.
Необходимые теоретические сведения представлены в соответствующем тео-
ретическом блоке (см. раздел 2.2, стр. 27). Исходя из соображений удобства,
мы продублируем здесь основные понятия и утверждения.
Определение 76 (системы образующих векторного пространства)
Пусть имеются: V — векторное пространство, a
1
, a
2
, ..., a
n
— набор век-
торов из V . Этот набор называется системой образующих векторного про-
странства V , если любой вектор этого пространства молжет быть представ-
лен в виде линейной комбинации векторов a
1
, a
2
, ..., a
n
:
v = α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ ···+ α
n
a
n
∀v ∈ V
Определение 77 (базис векторного пространства) Базисом векторно-
го пространства называется любая линейно независимая система образую-
щих.
Определение 78 (координаты векторы) Любой вектор векторного про-
станства V может быть разложен по базису:
v = α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ ···+ α
n
a
n
∀v ∈ V
причем это разложение единственно. Коэффициенты разложения называ-
ются координатами вектора в данном базисе.