Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография
Подождите немного. Документ загружается.
B.1. Системы векторов 191
Определение 79 (матрица перехода) Пусть V — векторное простран-
ство, и пусть e
1
, e
2
,...,e
n
— его базис. Рассмотрим еще один базис про-
странства V : пусть он состоит из векторов f
1
, f
2
,...,f
n
. Векторы f
i
,будучи
векторами векторного пространства V , раскладываются по базису E:
f
1
= a
11
e
1
+ a
12
e
2
+ ··· + a
1n
e
n
f
2
= a
21
e
1
+ a
22
e
2
+ ··· + a
2n
e
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
n
= a
n1
e
1
+ a
n2
e
2
+ ··· + a
nn
e
n
Матрицей A
E→F
перехода от базиса e
1
, e
2
, ..., e
n
к базису f
1
, f
2
,...,f
n
называется матрица коэффициентов разложений, выписанных по столбцам:
A
E→F
=
a
11
a
21
··· a
n1
a
12
a
22
··· a
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
··· a
nn
.
Теорема 93 (о замене базиса) Пусть V — векторное пространство и пусть
e
1
, e
2
, ..., e
n
— его базис. Пусть f
1
, f
2
, ..., f
n
— еще один базис простран-
ства V .Тогда
x
F
= A
−1
x
E
∀x ∈ V,
где x
F
— координатное представление вектора x в базисе f
1
, f
2
, ..., f
n
,
x
E
— координатное представление вектора x в базисе e
1
, e
2
, ..., e
n
, A —
матрица перхода от базиса E к базису F .
Пример 131 Пусть R
2
— двухмерное векторное пространство с базисом e
1
, e
2
.
Пусть f
1
, f
2
— новый базис в R
2
, и пусть
f
1
=2e
1
+ e
2
f
2
= e
1
+ e
2
Требуется найти координаты вектора x в базисе f
1
, f
2
, если в базисе e
1
, e
2
вектор
x имеет координаты (1, −1).
Будем действовать согласно теореме о замене базиса (см. теор. 93, стр. 191). Мы
можем выразить координатное представление вектора x в новом базисе через его
координатное представление в старом базисе при помощи матрицы перехода (см.
опр. 79, стр. 191):
x
F
= A
−1
x
E
.
Матрица перехода выписывается из разложений базиса F по базису E:
A =
21
11
, следовательно, x
F
=
21
11
−1
1
−1
.
Для нахождения матрицы, обратной к матрице перехода, восползуемся методом
Гаусса (см. теор. 88, стр. 169):
21
11
10
01
−II
∼
10
11
1 −1
01
−I
∼
10
01
1 −1
−12
.
Окончательно выражение для координат вектора x в базисе F имеет следующий
вид:
x
F
=
21
11
−1
1
−1
=
1 −1
−12
1
−1
=
2
−3
.
192 Приложение B. Векторные пространства
Пример 132 Усложним задачу. Пусть на плоскости R
2
фиксирован базис e
1
, e
2
,
и пусть имеются еще два базиса:
f
1
=3e
1
+ e
2
f
2
=2e
1
+ e
2
h
1
= e
1
+ e
2
h
2
= − e
2
Требуется найти координатное представление ветора x в базисе H, если известны
его координаты в базисе F : x
F
=(1, 2).
Задача опять-таки решается при помощи матрицы перехода (см. опр. 79, стр. 191).
Только на этот раз переходить придется от базиса F к базису H:
x
H
= A
−1
x
F
, где A — матрица перехода от базиса F к базису H.
Для того, чтобы выписать матрицу A, нужно знать, как выражаются базисные
векторы h
1
, h
2
через базисные векторы f
1
, f
2
. Исходя из разложений этих векто-
ров по базису e
1
, e
2
, мы можем получить нужное нам выражение. Прежде всего,
запишем разложения h
1
, h
2
и f
1
, f
2
в матричной форме:
f
1
f
2
=
31
21
e
1
e
2
,
h
1
h
2
=
11
0 −1
e
1
e
2
.
Из этих двух матричных соотношений мы можем получить выражения для e
1
,
e
2
:
e
1
e
2
=
31
21
−1
f
1
f
2
,
e
1
e
2
=
11
0 −1
−1
h
1
h
2
.
Приравнивая левые части, получим матричное соотношение, связывающее векто-
ры f
1
, f
2
и h
1
, h
2
:
31
21
−1
f
1
f
2
=
11
0 −1
−1
h
1
h
2
.
Домножим это соотношение на
11
0 −1
слева. Тем самым — выразим h
1
, h
2
:
h
1
h
2
=
11
0 −1
31
21
−1
f
1
f
2
.
Для нахождения матрицы
31
21
−1
воспользуемся методом Гаусса (см. теор. 88,
стр. 169):
31
21
10
01
−II
∼
10
21
1 −1
01
−I ∗2
∼
10
01
1 −1
−23
.
Таким образом, мы получили выражение для векторов h
1
, h
2
через f
1
, f
2
:
h
1
h
2
=
11
0 −1
1 −1
−23
f
1
f
2
=
−12
2 −3
f
1
f
2
.
Разложение векторов h
1
, h
2
по базису f
1
, f
2
таково:
h
1
= −f
1
+2f
2
h
2
=2f
1
− 3f
2
и матрица перехода нам известна: A =
−12
2 −3
.
Теперь мы можем вернуться к нахождению координатного представления вектора
x в базисе F :
x
H
= A
−1
x
F
=
−12
2 −3
−1
1
2
.
B.2. Линейные операторы 193
Для нахождения матрицы
−12
2 −3
−1
воспользуемся методом Гаусса (см.
теор. 88, стр. 169):
−12
2 −3
10
01
+I ∗2
∼
−12
01
10
21
−II ∗ 2
∼
∼
−10
01
−3 −2
21
(−1)
∼
10
01
32
21
.
Таким образом, координатное представление вектора x в базисе F таково:
x
H
= A
−1
x
F
=
32
21
1
2
=
7
4
.
B.2 Линейные операторы
Линейные операторы образуют обширный класс преобразований плоскости,
или, в более общем смысле, векторного пространства произвольной размер-
ности. Во второй главе (см. главу 2, стр. 17) мы развили теоретический ап-
парат, посвященный таким преобразованиям. Здесь мы подробно разберем
конкретные примеры.
Определение 80 (линейные операторы) Пусть V — векторное про-
странство, и пусть ϕ : V → V — некоторое преобразование пространства V .
Оно называется линейным оператором, если
ϕ(x + y)=ϕ(x)+ϕ(y) и ϕ(αx)=αϕ(x)
для любых векторов x, y из пространства V и для любого числового коэф-
фициента α.
Пример 133 Рассмотрим несколько важных примеров (см. раздел 2.3, стр. 44).
В качестве векторного пространства возьмем плоскость R
2
. Такие преобразования
плоскости как:
1. поворот плоскости на угол α относительно начала координат (мы будем
обозначать его в дальнейшем R
α
),
2. симметричное отражение плоскости относительно прямой l, проходящей че-
рез начало координат (обозначаемое в дальнейшем Q
l
),
3. масштабирование плоскости относительно начала координат с коэффици-
ентами k
1
по горизонтали и k
2
по вертикали (обозначаемое в дальнейшем
S
k
1
,k
2
)
являются линейными операторами, действующими на плоскости. Большинство
разумных преобразований плоскости могут быть получены как суперпозиция этих
в некотором смысле основных линейных операторов.
С другой строны, такое важное преобразование плоскости, как
4. смещение (или трансляция) плоскости на вектор a (обозначаемое в даль-
нейшем T
a
), не является линейным оператором.
194 Приложение B. Векторные пространства
B.2.1 Матрицы линейных операторов
Численный механизм работы с линейными операторами состит в том, что
если в векторном пространстве фискирован базис, то любой линейный опе-
ратор, действующий в нем, описывается как матрица соответствующего по-
рядка (на плоскости — второго, в физическом пространстве — третьего и
т. д.).
В данном разделе мы разберем конкретные примеры построения матриц
линейных операторов. Теоретический аппарат, обосновывающий эти дей-
ствия, был разработан нами в первой части книги (см. главу 2, стр. 17).
Здесь мы продублируем необходимый теоретический минимум.
Определение 81 (матрица линейного оператора) Пусть V — вектор-
ное пространство, в котором фиксирован базис e
1
, e
2
,...,e
n
,ипустьвV
действует линейный оператор ϕ : V → V . Под действием оператора ϕ ба-
зисные векторы e
1
, e
2
,...,e
n
переходят в векторы ϕ(e
1
), ϕ(e
2
),...,ϕ(e
n
),
которые, будучи векторами векторного пространства V , допускают разло-
жение по базису:
ϕ(e
1
)=a
11
e
1
+ a
21
e
2
+ ··· + a
n1
e
n
ϕ(e
2
)=a
12
e
1
+ a
22
e
2
+ ··· + a
n2
e
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ϕ(e
n
)=a
1n
e
1
+ a
2n
e
2
+ ··· + a
nn
e
n
Коэффициенты этих разложений, выписанные по столбцам, называются
матрицей оператора ϕ. Как явствует из определения, матрица оператора
зависит от выбора базиса в векторном пространстве. Поэтому правильнее
говорить о матрице линейного оператора, выписанной в данном базисе:
Matr
E
(ϕ)=
a
11
a
12
··· a
1n
a
21
a
22
··· a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
··· a
nn
.
Пример 134 Пусть на плоскости R
2
фиксирован базис e
1
, e
2
. Пусть на плоскости
действует отображение ϕ:
ϕ :
x
1
x
2
−→
x
1
+ x
2
x
1
− x
2
.
В этом примере мы сначала докажем, что отображение ϕ : R
2
→ R
2
является
линейным оператором, а затем выпишем его матрицу в том базисе, в котором
даны координаты векторов.
Для доказательства линейности ϕ достаточно показать, что этот оператор обла-
дает свойствами, указанными в определении (см. опр. 80, стр. 193). Пусть векторы
x и y имеют следующие координаты
x =
x
1
x
2
,y=
y
1
y
2
B.2. Линейные операторы 195
в базисе e
1
, e
2
. Тогда выписывается действие оператора ϕ на их сумму x + y:
ϕ (x + y)=ϕ
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= ϕ
x
1
+ y
1
x
2
+ y
2
=
x
1
+ y
1
+ x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
− x
2
− y
2
=
=
(x
1
+ x
2
)+(y
1
+ y
2
)
(x
2
− x
2
)+(y
1
− y
2
)
=
x
1
+ x
2
x
2
− x
2
+
y
1
+ y
2
y
1
− y
2
=
= ϕ (x)+ϕ (y) .
Аналогично можно расписать действие ϕ на скалярное кратное αx:
ϕ (αx)=ϕ
α
x
1
x
2
= ϕ
αx
1
αx
2
=
αx
1
+ αx
2
αx
2
− αx
2
=
=
α (x
1
+ x
2
)
α (x
2
− x
2
)
= α
x
1
+ x
2
x
2
− x
2
= αϕ(x) .
Эти соотношения в совокупности означают, что, согласно определению (см. опр. 80,
стр. 193), отображение ϕ, действующее на плоскости, действительно является ли-
нейным оператором.
Наша следующая цель — выписать матрицу этого оператора в указанном базисе.
Для этого надо знать, во что переходят базисные векторы e
1
, e
2
под действием
оператора ϕ. Заметим, что в базисе e
1
, e
2
базисные векторы имеют следующие
координаты:
e
1
=
1
0
,e
2
=
0
1
.
Поэтому:
ϕ (e
1
)=ϕ
1
0
=
1+0
1 −0
=
1
1
= e
1
+ e
2
,
ϕ (e
2
)=ϕ
0
1
=
0+1
0 −1
=
1
−1
= e
1
− e
2
,
и мы можем записать разложения образов базисных векторов по базису:
ϕ(e
1
)=e
1
+ e
2
ϕ(e
2
)=e
1
− e
2
Отсюда Matr (ϕ)=
11
1 −1
.
Пример 135 Пусть в физическом пространстве R
3
фиксирован базис e
1
, e
2
, e
3
ипустьвR
3
действует оператор
ϕ :
x
1
x
2
x
3
−→
x
1
+2x
2
− x
3
2x
1
+ x
2
+ x
3
x
2
+ x
3
.
Доказательство того, что этот оператор является линейными, проводится так же,
как и в предыдущем примере. Здесь мы ограничимся тем, что выпишем матрицу
оператора в том базисе, в котором указаны координаты всех векторов. Для этого
подействуем оператором ϕ на базисные векторы e
1
, e
2
, e
3
, координаты которых
таковы:
e
1
=
1
0
0
,e
2
=
0
1
0
,e
3
=
0
0
1
.
196 Приложение B. Векторные пространства
Будем действовать по тому правилу, которое указано в определении данного опе-
ратора:
ϕ (e
1
)=ϕ
1
0
0
=
1+2· 0 − 0
2 ·1+0+0
0+0
=
1
2
0
= e
1
+2e
2
,
ϕ (e
2
)=ϕ
0
1
0
=
0+2· 1 − 0
2 ·0+1+0
1+0
=
2
1
1
=2e
1
+ e
2
+ e
3
,
ϕ (e
3
)=ϕ
0
0
1
=
0+2· 0 − 1
2 ·0+0+1
0+1
=
−1
1
1
= −e
1
+ e
2
+ e
3
.
Теперь мы можем записать разложения образов базисных векторов по базису:
ϕ (e
1
)= e
1
+2e
2
+0· e
3
ϕ (e
2
)= 2e
1
+ e
2
+ e
3
ϕ (e
3
)=−e
1
+ e
2
+ e
3
Отсюда Matr (ϕ)=
12−1
21 1
01 1
.
Пример 136 Рассмотрим в трехмерном физическом пространстве R
3
тройку ли-
нейно независимых векторов a
1
, a
2
, a
3
и тройку произвольных векторов b
1
, b
2
, b
3
.
Заметим, что тогда существует единственный линейный оператор ϕ, переводящий
векторы a
i
в b
i
. Требуется найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором
даны координаты всех векторов, если:
a
1
=(0, 0, 1) a
2
=(0, 1, 1) a
3
=(1, 1, 1)
b
1
=(1, 3, −2) b
2
=(−1, 1, 1) b
3
=(2, 2, 1)
Итак, по условию, оператор ϕ переводит векторы a
i
в векторы b
i
:
ϕ (a
1
)=b
1
ϕ (a
2
)=b
2
ϕ (a
3
)=b
3
то есть
ϕ ( e
3
)= e
1
+3e
2
− 2e
3
ϕ ( e
2
+ e
3
)=−e
1
+ e
2
+ e
3
ϕ (e
1
+ e
2
+ e
3
)= 2e
1
+2e
2
+ e
3
Мы можем в левой части последней системы воспользоваться свойствами ли-
нейного оператора (см. орп. 80 на стр. 193) и записать ее в терминах образов
ϕ (e
1
),ϕ (e
2
), ϕ (e
3
) базисных векторов, разложения которых нам нужны для за-
писи матрицы оператора ϕ:
ϕ (e
3
)= e
1
+3e
2
− 2e
3
ϕ (e
2
)+ϕ (e
3
)=−e
1
+ e
2
+ e
3
ϕ (e
1
)+ϕ (e
2
)+ϕ (e
3
)= 2e
1
+2e
2
+ e
3
Для разрешения этой системы относительно ϕ (e
1
),ϕ (e
2
), ϕ (e
3
) мы воспользуемся
еще одним вариантом метода Гаусса, который состоит в следующем. Выпишем в
виде единой таблицы коэффициенты при ϕ (e
1
),ϕ (e
2
), ϕ (e
3
) и при e
1
, e
2
, e
3
,после
чего при помощи элементарных преобразований строк приведем левую часть к
единичному виду. Тогда в правой части окажутся как раз коэффициенты нужных
B.2. Линейные операторы 197
нам разложений:
001
011
111
13−2
−11 1
22 1
← III
← I
∼
∼
111
011
001
22 1
−11 1
13−2
−II
−III
∼
100
010
001
310
−2 −23
13−2
.
Таким образом, мы выписываем разложения образов базисных векторов:
ϕ (e
1
)= 3e
1
+ e
2
ϕ (e
2
)=−2e
1
− 2e
2
+3e
3
ϕ (e
3
)= e
1
+3e
2
− 2e
3
Отсюда Matr (ϕ)=
3 −21
1 −23
03−2
.
B.2.2 Действие линейного оператора в матричной фор-
ме
Матричная реализация линейного оператора позволяет свести его действие
к элементарной алгебраической операции: матричному умножению. Коор-
динаты вектора, который получается при действии линейного оператора —
это результат умножения матрицы линейного оператора на вектор-столбец,
составленный из координат исходного вектора
1
.
В переделах теоретического блока (см. раздел 2.3.4, стр. 54) мы получили
соответствующее утверждение: теорему о действии линейного оператора в
матричной форме.
Теорема 94 (о действии линейного оператора в матричной форме)
Пусть в векторном пространстве V фиксирован базис e
1
,...,e
n
.Ипусть
вектор x имеет в этом базисе координатное представление в виде вектора-
столбца x
E
. Пусть, кроме того, линейный оператор ϕ, действующий в V ,
имеет в базисе e
1
,...,e
n
матрицу A = Matr
E
(ϕ). Тогда образ вектора x,
который получается при действии на него оператра ϕ, имеет координатное
представление (ϕ(x))
E
, вычисляемое по формуле:
(ϕ(x))
E
= Matr
E
(ϕ)x
E
.
Другими словами, действие линейного оператора (при фиксированном ба-
зисе) равносильно матричному умножению.
Пример 137 Оператор ϕ, действующий в двумерном векторном пространстве с
базисом e
1
,e
2
, имеет в этом базисе матрицу
2 −1
41
.
Требуется вычислить координаты вектора ϕ(x), если x =(1, 2).
Для решения достаточно применить приведенное выше утверждение (см. теор. 94,
стр. 197):
ϕ(x)=
2 −1
41
1
2
=
0
6
.
1
Разумеется, при этом мы предполагаем, что в пространстве фиксирован некоторый
базис, в котором и вычисляются как координаты векторов, так и компоненты матрицы.
198 Приложение B. Векторные пространства
Пример 138 Пусть оператор ϕ действует в трехмерном пространстве и перево-
дит при этом векторы a
i
в векторы b
i
:
a
1
=(0, 0, 1) a
2
=(0, 1, 3) a
3
=(−1, 2, 1)
b
1
=(2, 3, 2) b
2
=(1, 0, 2) b
3
=(−2, 3, 1)
Требуется найти координаты вектора ϕ(x), если x =(1, 0, −1).
Здесь мы, прежде всего, вычислим матрицу оператора ϕ в том базисе, в котором
указаны координаты всех векторов так же, как мы это уже делали выше (см.
пример 136, стр. 196), а затем применим теорему о действии линейного оператора
в матричной форме (см. теор. 94, стр. 197).
Так как оператор ϕ перводит векторы a
i
в векторы b
i
,то
ϕ ( e
3
)= 2e
1
+3e
2
+2e
3
ϕ ( e
2
+3e
3
)= e
1
+ e
3
ϕ (−e
1
+2e
2
+ e
3
)=−2e
1
+3e
2
+ e
3
Пользуясь свойсвами, характеризующими оператор ϕ как линейный оператор (а
именно, его действие на суммы и скалярные кратные векторов), получим:
ϕ (e
3
)= 2e
1
+3e
2
+2e
3
ϕ (e
2
)+3ϕ (e
3
)= e
1
+ e
3
−ϕ (e
1
)+2ϕ (e
2
)+ ϕ (e
3
)=−2e
1
+3e
2
+ e
3
Из полученной системы можно выразить образы базисных векторов через сами
базисные векторы:
ϕ (e
1
)=−6e
1
− 18e
2
− 9e
3
ϕ (e
2
)=−5e
1
− 9e
2
− 5e
3
ϕ (e
3
)= 2e
1
+3e
2
+2e
3
Отсюда Matr (ϕ)=
−6 −52
−18 −93
−9 −52
.
Дальнейшее решение, согласно теореме о действии линейного оператора в мат-
ричной форме (см. теор. 94, стр. 197), сводится к матричному умножению:
ϕ(x)=
−6 −52
−18 −93
−9 −52
1
0
−1
=
−8
−21
−11
.
B.3 Проективные операторы
Переход к проективной плоскости (от плоскости как векторного простран-
ства) позволяет реализовать в матричной форме еще одно важнейшее пре-
образование плоскости: смещение на некоторый вектор
2
.
В данном разделе мы разберем примеры работы с произвольными линейны-
ми преобразованиями плоскости, в которых участвует смещение: повороты
относительно произвольной точки (а не отностительно начала координат),
масштабирования относительно произвольной точки и симметрии относи-
тельно произвольной прямой (не проходящей через начало координат).
2
Напомним, что, как было показано выше (см. пример 33, стр. 48), смещение не яв-
ляется линейным оператором и, следовательно, не реализуется в виде матрицы второго
порядка.
B.3. Проективные операторы 199
Все эти преобразования являются проективными. Теоретические основы ра-
боты с проективными пространствами и проективными операторами полу-
чены нами в завершающей главе первой части (см. главу 3, стр. 63). Здесь
мы продублируем остновные понятия и утверждения, доказанные нами вы-
ше.
Определение 82 (проективная плоскость) Пусть в физическом про-
странстве R
3
фиксирован ортонормированный базис e
1
, e
2
, e
3
. Плоскость,
проведенную через точку (0, 0, 1) параллельно векторам e
1
, e
2
, будем назы-
вать проективной плоскостью и обозначать P
2
.
Определение 83 (проективые координаты) Согласно данному выше
определению (см. опр. 82, стр. 199), все точки, лежащие в P
2
, имеют коорди-
наты (α
1
,α
2
, 1), а все векторы, лежащие в P
2
, имеют координаты (α
1
,α
2
, 0).
Эти координаты (снабженные одной “лишней” компонентой) называются
соответственно проективными координатами точки и вектора.
Определение 84 (проективный оператор) Пусть проективная плос-
кость вложена в объемлющее трехмерное пространство P
2
⊂ R
3
,снабжен-
ное ортонормированным базисом e
1
, e
2
, e
3
, и пусть в объемлющем простран-
стве действует линейный оператор ϕ. Он называется проективным опера-
тором, действующим на проективной плоскости P
2
, если под его действием
плоскость P
2
переходит в себя: ϕ (P
2
)=P
2
.
Так как проективный оператор является, по сути, линейным оператором,
действующим в объемлющем пространстве, то при фиксированном орто-
нормированном базисе в объемлющем пространстве он реализуется в виде
матрицы 3 × 3, причем справедлива следующая теорема.
Теорема 95 (матрицы основных проективных операторов) Мы от-
несем к основным преобразованиям проективной плоскости:
1. трансляцию T
a
на вектор a с координатами (a
1
,a
2
, 1),
2. поворот относительно начала координат R
α
,
3. симметричные отражения относительно осей Q
x
, Q
y
,
4. масштабирование вдоль осей S
k
1
,k
2
с коэффициентами k
1
по горизон-
тали и k
2
по вертикали.
Все эти преобразования являются проективными операторами, причем, их
матрицы в ортонормированном базисе следующие:
Matr ( T
a
)=
10a
1
01a
2
00 1
Matr ( R
α
)=
cos α −sin α 0
sin α cos α 0
001
Matr ( Q
x
)=
100
0 −10
001
Matr ( Q
y
)=
−100
010
001
200 Приложение B. Векторные пространства
Отметим здесь же, что преобразования отражения являются частными слу-
чаями масштабирования. Действительно:
Matr ( S
k
1
,k
2
)=
k
1
00
0 k
2
0
001
, поэтому
Q
x
= S
1,−1
Q
y
= S
−1,1
Значит, отражение относительно горизонтальной оси — это маштабирова-
ние плоскости с единичным коэффициентом по горизонтали и с коэффици-
ентом (−1) по вертикали: Qx = S
1,−1
, отражение относительно вертикаль-
ной оси — аналогично: Q
y
= S
−1,1
. Тем не менее, традиционно отражения
так же относят к основным преобразованиям плоскости и, соответственно,
к основным проективным операторам.
x
y
G
0
π/2
(a) Поворот на угол π/2 относи-
тельно точки G.
x
y
0
C
(b) Двукратное масштабирование
относительно точки C.
Рис. B.1: Примеры проективных преобразования плоскости.
Пример 139 Треугольник с вершинами A(1, 1), B(1, 2), C(3, 1) вращается отно-
сительно точки G(−2, −1) на угол π/2 (см. рис. B.1, стр. 200). Найти координаты
вершин результирующего треугольника A
B
C
.
Поворот плоскости как проективный оператор возможен только относительно на-
чала координат. Поэтому для реализации нужного нам плоского преобразования
η в матричной форме необходимо сначала сместить центр вращения G(−2, −1) на
вектор b = {2, 1} (то есть — выполнить трансляцию T
b
), затем выполнить пово-
рот плоскости R
π/2
на угол π/2 и после этого — выполнить обратное смещение:
трансляцию T
−b
на вектор −b = {−2, −1}.
η = T
−b
R
π/2
T
b
=
10−2
01−1
00 1
cos π/2 −sin π/20
sin π/2cosπ/20
001
102
011
001
=
=
10−2
01−1
00 1
0 −10
100
001
102
011
001
=
0 −1 −3
101
001
.
Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при
помощи матричного умножения: для этого нужно предварительно перейти к про-