Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография
Подождите немного. Документ загружается.
3.3. Пример алгоритма покадровой анимации 71
нужного нам плоского преобразования η в матричной форме необходимо снача-
ла преобразовать плоскость так, чтобы прямая l совпала с одной из осей. Проще
всего совместить ее с горизонтальной осью Ox, для этого достаточно сместить
плоскость на вектор b =(0, −2). После этого можно будет выполнить горизон-
тальное отражение Q
x
, и, наконец, обратное смещение на вектор −b =(0, 2).
η = T
−b
Q
x
T
b
=
100
012
001
100
0 −10
001
10
01−2
00 1
=
=
100
0 −14
001
.
Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при
помощи матричного умножения.
A
= η (A)=
100
0 −14
001
2
3
1
=
2
1
1
таким образом A
(2, 1).
B
= η (B)=
100
0 −14
001
2
5
1
=
2
−1
1
и, значит, B
(2, −1).
C
= η (C)=
100
0 −14
001
4
3
1
=
4
1
1
следовательно, C
(4, 1).
3.3 Пример алгоритма покадровой анимации
В этом разделе мы, пользуясь по-
A
B
C
D
H
x
y
0
Рис. 3.4: Квадрат ABCD, коллапси-
рующий в точку H.
лученными выше знаниями о плос-
ких преобразованиях выполним по-
кадровое движение плоской фигу-
ры.
Такую задачу мы можем рассмат-
ривать с различных точек зрения.
Если перед нами — чистый лист бу-
маги, то покадровое движение изоб-
ражения по нему мы с вами будем
осуществлять не более, чем инту-
итивно, пользуясь представления-
ми о геометрической природе объ-
екта изображения и навыками гео-
метрических построений.
Однако, если перед нами стоит задача осуществить программную реали-
зацию целого класса однотипных преобразований, то нам понадобится ме-
ханизм формализации данных о точках плоскости и ее преобразованиях.
Такой механизм мы получили, пользуясь средствами линейной алгебры и
72 Глава 3. Проективные операторы
проективной геометрии. Они позволяют передать процессору данные в чис-
ленном виде: в виде одномерных (координаты точек и векторов) или дву-
мерных (компоненты матриц проективных операторов) массивов чисел.
Мы отдельно рассмотрим геометрический, аналитический и программный
подход к решинию задачи.
Постановка задачи
Квадрат ABCD с вершинами A(3, 3), B(3, 5), C(5, 3), D(5, 3) движется из
своего исходного положения в точку H(−2, 1), при этом происходит равно-
мерное масштабирование квадрата до его полного вырождения в точке H
(см. рис. 3.4, стр. 71).
3.3.1 Геометрическая версия алгоритма
С геометрической точки зрения нужно решить задачу на построение (не
самую сложную). Нам достаточно соединить вершины исходного квадра-
та с точкой полного коллапса отрезками прямых и каждый такой отрезок
разбить на n равных частей (это, напомню, делается при помощи цирку-
ля и линейки по теореме Фалеса). После этого точки на прямых и будут
вершинами квадрата в его промежуточных стадиях.
3.3.2 Аналитическая версия алгоритма
Выполним десять кадров движения.
a
b
H
G
b
k
x
y
0
Рис. 3.5: Векторы смещений, участву-
ющие в анимации.
В каждом кадре происходят одно-
типные операции (что позволит нам
в следующем разделе построить про-
граммный цикл), которые состоят
в следующем.
Пусть G — центр квадрата. Совер-
шенно нетрудно вычислить его ко-
ординаты:
G(4, 4)
(см. рис. 3.5, стр. 72). Тогда в каж-
дом кадре сначала происходит сме-
щение T
b
плоскости на вектор
b = GO =(−4, −4) .
При этом центр квадрата совмещается с началом координат.
Затем происходит равномерное масштабирование плоскости с коэффициен-
том, зависящим от номера кадра: в первом кадре это 0.9, во втором — это
0.8 ит.д.
И, наконец, отмасштабированный квадрат возвращается в точку, промежу-
точную между G и H.
3.3. Пример алгоритма покадровой анимации 73
Вектор b
k
соответствующей трансляции также зависит от номера кадра:
b
k
= −b +(k/10)a,
где a — это вектор, соединяющий центр квадрата с точкой H (нетрудно
подсчитать, что в нашем случае a =(−6, −3)).
1-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0, 9. После этого плос-
кость смещается на вектор b
1
:
b
1
= −b +
1
10
· a =(4, 4) +
1
10
(−6, −3) = (3.4, 3.7) .
Следовательно, оператор η
1
, который действует в первом кадре, обладает
следующей матрицей:
η
1
= T
b
1
S
0.9
T
b
=
=
103.4
013.7
00 1
0.900
00.90
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.90−0.2
00.90.1
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в первом кадре:
A
1
= η
1
(A)=
0.90−0.2
00.90.1
00 1
3
3
1
=
2.5
2.8
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
1
в первом кадре
таковы: A
1
(2.5, 2.8). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
1
= η
1
(B)=
0.90−0.2
00.90.1
00 1
3
5
1
=
2.5
4.6
1
.
Значит, декартовы координаты второй вершины B
1
в первом кадре таковы:
B
1
(2.5, 4.6). Далее — аналогичным образом поступим с третьей вершиной:
C
1
= η
1
(C)=
0.90−0.2
00.90.1
00 1
5
5
1
=
4.3
4.6
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
1
в первом кадре
таковы: C
1
(4.3, 4.6). Наконец, аналогично поступим с четвертой вершиной:
D
1
= η
1
(D)=
0.90−0.2
00.90.1
00 1
5
3
1
=
4.3
2.8
1
.
74 Глава 3. Проективные операторы
Поэтому, декартовы координаты четвертой вершины D
1
в первом кадре
таковы: D
1
(4.3, 2.8). Окончательно, координаты вершин квадрата в первом
кадре:
A
1
(2.5, 2.8) ,B
1
(2.5, 4, 6) ,C
1
(4.3, 4.6) ,D
1
(4.3, 2.8) .
2-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.8. После этого плос-
кость смещается на вектор b
2
:
b
2
= −b +
2
10
· a =(4, 4) +
2
10
(−6, −3) = (2.8, 3.4) .
Следовательно, оператор η
2
, который действует во втором кадре, обладает
следующей матрицей:
η
2
= T
b
2
S
0.8
T
b
=
=
102.8
013.4
00 1
0.800
00.80
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.80−0.4
00.80.2
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата во втором кадре:
A
2
= η
2
(A)=
0.80−0.4
00.80.2
00 1
3
3
1
=
2
2.6
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
2
во втором кадре
таковы: A
2
(2, 2.6). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
2
= η
2
(B)=
0.80−0.4
00.80.2
00 1
3
5
1
=
2
4.2
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
2
во втором кадре
таковы: B
2
(2, 4.2). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
2
= η
2
(C)=
0.80−0.4
00.80.2
00 1
5
5
1
=
3.6
4.2
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
2
во втором кад-
ре таковы: C
2
(3.6, 4.2). Далее —аналогично поступим с четверотой верши-
ной:
D
2
= η
2
(D)=
0.80−0.4
00.80.2
00 1
5
3
1
=
3.6
2.6
1
.
3.3. Пример алгоритма покадровой анимации 75
Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D
2
во втором
кадре таковы: D
2
(3.6, 2.6). Окончательно, координаты вершин квадрата во
втором кадре:
A
2
(2, 2.6) ,B
2
(2, 4, 2) ,C
2
(3.6, 4.2) ,D
2
(3.6, 2.6) .
3-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.7. После этого плос-
кость смещается на вектор b
3
:
b
3
= −b +
3
10
· a =(4, 4) +
3
10
(−6, −3) = (2.2, 3.1) .
Следовательно, оператор η
3
, который действует в третьем кадре, обладает
следующей матрицей:
η
3
= T
b
3
S
0.7
T
b
=
=
102.2
013.1
00 1
0.700
00.70
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.70−0.6
00.70.3
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в третьем кадре:
A
3
= η
3
(A)=
0.70−0.6
00.70.3
00 1
3
3
1
=
1.5
2.4
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
3
в третьем кадре
таковы: A
3
(1.5, 2.4). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
3
= η
3
(B)=
0.70−0.6
00.70.3
00 1
3
5
1
=
1.5
3.8
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
3
в третьем кадре
таковы: B
3
(1.5, 3.8). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
3
= η
3
(C)=
0.70−0.6
00.70.3
00 1
5
5
1
=
2.9
3.8
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
3
в третьем кад-
ре таковы: C
3
(2.9, 3.8). Далее — аналогично поступим с четверотой верши-
ной:
D
3
= η
3
(D)=
0.70−0.6
00.70.3
00 1
5
3
1
=
2.9
2.4
1
.
76 Глава 3. Проективные операторы
Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D
3
в третьем
кадре таковы: D
3
(2.9, 2.4). Окончательно, координаты вершин квадрата в
третьем кадре:
A
3
(1.5, 2.4) ,B
3
(1.5, 3.8) ,C
3
(2.9, 3.8) ,D
3
(2.9, 2.4) .
4-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.6. После этого плос-
кость смещается на вектор b
4
:
b
4
= −b +
4
10
· a =(4, 4) +
4
10
(−6, −3) = (1.6, 2.8) .
Следовательно, оператор η
4
, который действует в четвертом кадре, облада-
ет следующей матрицей:
η
4
= T
b
4
S
0.6
T
b
=
=
101.6
012.8
00 1
0.600
00.60
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.60−0.8
00.60.4
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в четвертом кадре:
A
4
= η
4
(A)=
0.60−0.8
00.60.4
00 1
3
3
1
=
1
2.2
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
4
в четвертом
кадре таковы: A
4
(1, 2.2). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
4
= η
4
(B)=
0.60−0.8
00.60.4
00 1
3
5
1
=
1
3.4
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
4
в четвертом
кадре таковы: B
4
(1, 3.4). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
4
= η
4
(C)=
0.60−0.8
00.60.4
00 1
5
5
1
=
2.2
3.4
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
4
в четвертом
кадре таковы: C
4
(2.2, 3.4). Далее — аналогично поступим с четвертой вер-
шиной:
D
4
= η
4
(D)=
0.60−0.8
00.60.4
00 1
5
3
1
=
2.2
2.2
1
.
3.3. Пример алгоритма покадровой анимации 77
Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D
4
в четвертом
кадре таковы: D
4
(2.2, 2.2). Окончательно, координаты вершин квадрата в
четвертом кадре:
A
4
(1, 2.2) ,B
4
(1, 3.4) ,C
4
(2.2, 3.4) ,D
4
(2.2, 2.2) .
5-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.5. После этого плос-
кость смещается на вектор b
5
:
b
5
= −b +
5
10
· a =(4, 4) +
5
10
(−6, −3) = (1, 2.5) .
Следовательно, оператор η
5
, который действует в пятом кадре, обладает
следующей матрицей:
η
5
= T
b
5
S
0.5
T
b
=
=
10 1
012.5
00 1
0.500
00.50
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.50−1
00.50.5
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в пятом кадре:
A
5
= η
5
(A)=
0.50−1
00.50.5
00 1
3
3
1
=
0.5
2
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
5
в пятом кадре
таковы: A
5
(0.5, 2). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
5
= η
5
(B)=
0.50−1
00.50.5
00 1
3
5
1
=
0.5
3
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
5
в пятом кадре
таковы: B
5
(0.5, 3). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
5
= η
5
(C)=
0.50−1
00.50.5
00 1
5
5
1
=
1.5
3
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
5
в пятом кадре
таковы: C
5
(1.5, 3). Далее — аналогично поступим с четвертой вершиной:
D
5
= η
5
(D)=
0.50−1
00.50.5
00 1
5
3
1
=
1.5
2
1
.
78 Глава 3. Проективные операторы
Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D
5
в пятом кад-
ре таковы: D
5
(1.5, 2). Окончательно, координаты вершин квадрата в пятом
кадре:
A
5
(0.5, 2) ,B
5
(0.5, 3) ,C
5
(1.5, 3) ,D
5
(1.5, 2) .
6-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.4. После этого плос-
кость смещается на вектор b
6
:
b
6
= −b +
6
10
· a =(4, 4) +
6
10
(−6, −3) = (0.4, 2.2) .
Следовательно, оператор η
6
, который действует в шестом кадре, обладает
следующей матрицей:
η
6
= T
b
6
S
0.4
T
b
=
=
100, 4
01 2.2
00 1
0.400
00.40
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.50−1.2
00.50.6
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в шестом кадре:
A
6
= η
6
(A)=
0.40−1.2
00.40.6
00 1
3
3
1
=
0
1.8
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
6
в шестом кадре
таковы: A
6
(0, 1.8). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
6
= η
6
(B)=
0.40−1.2
00.40.6
00 1
3
5
1
=
0
2.6
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
6
в шестом кадре
таковы: B
6
(0, 2.6). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
6
= η
6
(C)=
0.40−1.2
00.40.6
00 1
5
5
1
=
0.8
2.6
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
6
в шестом кадре
таковы: C
6
(0.8, 2.6). Далее — аналогично поступим с четвертой вершиной:
D
6
= η
6
(D)=
0.40−1.2
00.40.6
00 1
5
3
1
=
0.8
1.8
1
.
3.3. Пример алгоритма покадровой анимации 79
Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D
6
в шестом
кадре таковы: D
6
(0.8, 1.8). Окончательно, координаты вершин квадрата в
шестом кадре:
A
6
(0, 1.8) ,B
6
(0, 2.6) ,C
6
(0.8, 2.6) ,D
6
(0.8, 1.8) .
7-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.3. После этого плос-
кость смещается на вектор b
7
:
b
7
= −b +
7
10
· a =(4, 4) +
7
10
(−6, −3) = (−0.2, 1.9) .
Следовательно, оператор η
7
, который действует в седьмом кадре, обладает
следующей матрицей:
η
7
= T
b
7
S
0.3
T
b
=
=
10−0.2
01 1.9
00 1
0.300
00.30
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.30−1.4
00.30.7
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в седьмом кадре:
A
7
= η
7
(A)=
0.30−1.4
00.30.7
00 1
3
3
1
=
−0.5
1.6
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
7
в седьмом кадре
таковы: A
7
(−0.5, 1.6). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
7
= η
7
(B)=
0.30−1.4
00.30.7
00 1
3
5
1
=
−0.5
2.2
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
7
в седьмом кадре
таковы: B
7
(−0.5, 2.2). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
7
= η
7
(C)=
0.30−1.4
00.30.7
00 1
5
5
1
=
0.1
2.2
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
7
в седьмом кад-
ре таковы: C
7
(0.1, 2.2). Далее — аналогично поступим с четверотой верши-
ной:
D
7
= η
7
(D)=
0.30−1.4
00.30.7
00 1
5
3
1
=
0.1
1.6
1
.
80 Глава 3. Проективные операторы
Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D
7
в седьмом
кадре таковы: D
7
(0.1, 1.6). Окончательно, координаты вершин квадрата в
седьмом кадре:
A
7
(−0.5, 1.6) ,B
7
(−0.5, 2.2) ,C
7
(0.1, 2.2) ,D
7
(0.1, 1.6) .
8-й кадр
Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b =(−4, −4) для
совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плос-
кость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.2. После этого плос-
кость смещается на вектор b
8
:
b
8
= −b +
8
10
· a =(4, 4) +
8
10
(−6, −3) = (−0.8, 1.6) .
Следовательно, оператор η
8
, который действует в восьмом кадре, обладает
следующей матрицей:
η
8
= T
b
8
S
0.2
T
b
=
=
10−0.8
01 1.6
00 1
0.200
00.20
001
10−4
01−4
00 1
=
=
0.20−1.6
00.20.8
00 1
.
При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квад-
рата в восьмом кадре:
A
8
= η
8
(A)=
0.20−1.6
00.20.8
00 1
3
3
1
=
−1
1.4
1
.
Следовательно, декартовы координаты первой вершины A
8
в восьмом кадре
таковы: A
8
(−1, 1.4). Аналогично поступим со второй вершиной:
B
8
= η
8
(B)=
0.20−1.6
00.20.8
00 1
3
5
1
=
−1
1.8
1
.
Следовательно, декартовы координаты второй вершины B
8
в восьмом кадре
таковы: B
8
(−1, 1.8). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:
C
8
= η
8
(C)=
0.20−1.6
00.20.8
00 1
5
5
1
=
−0.6
1.8
1
.
Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C
8
в восьмом кад-
ре таковы: C
8
(−0.6, 1.8). Далее — аналогично поступим с четверотой вер-
шиной:
D
8
= η
8
(D)=
0.20−1.6
00.20.8
00 1
5
3
1
=
−0.6
1.4
1
.