Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни Теорія автоматичного керування
Подождите немного. Документ загружается.
Міністерство освіти і науки України
Кафедра інформатики, автоматики і систем управління
М е т о д и ч н і в к а з і в к и
до виконання лабораторних та контрольних робіт
з дисципліни
"Теорія автоматичного керування".
для студентів спеціальностей
7.091401 "Системи управління і автоматики"
усіх форм навчання
Дані методичні вказівки дають змогу детально ознайомитися з
динамічними ланками систем автоматичного керування. В роботі
наводиться повний аналіз часових, частотних характеристик та розглянуті
питання ідентифікації типових ланок САК з застосуванням математичних
пакетів MathCAD та Matlab. Наведено різноманітні приклади технічної
реалізації елементів САК.
Будуть корисними при вивченні матеріалу самостійно, при виконанні
лабораторних, контрольних та курсових робіт студентами 3-го та 4-го
курсів спеціальності "Системи управління і автоматики".
2
ВСТУП
Існує декілька класифікацій елементів систем автоматичного
керування (САК). Найбільш зручно елементи класифікувати за їх
динамічними властивостями, оскільки однією з найважливіших задач
теорії автоматичного керування є вивчення динамічних процесів в
автоматичних системах. Тому в даному випадку доцільним є принцип
класифікації елементів за ланками.
Динамічною ланкою, або просто ланкою, називається елемент
(частина) автоматичної системи, який має визначені динамічні властивості.
Не дивлячись на велику різноманітність елементів, які відрізняються
між собою за фізичною природою, конструктивним оформленням,
потужністю, видом енергії живлення тощо, можна виділити тільки
декілька типових ланок.
Типовими ланками доцільно вважати такі, котрі можуть слугувати для
побудови будь-яких інших ланок, що зустрічаються на практиці. Звичайно
за основу приймають ланку, яка має одну ступінь вільності. Математичні
процеси в такій ланці описуються диференційним рівнянням 2-го порядку:
ВХ
ВХВХ
ВИХ
ВИХВИХ
xb
dt
dx
b
dt
xd
bxa
dt
dx
a
dt
xd
a
01
2
2
201
2
2
2
,
де
ВХ
x
і
ВИХ
x
– відповідно вхідна і вихідна величини; a
i
і b
i
– постійні
коефіцієнти.
Якщо прийняти це рівняння за вихідне, то легко вивести рівняння
різних типових ланок.
Типові ланки є ланками направленої дії: сигнали передаються ланкою
в одному напрямі – зі входу на вихід. При зміні вхідного сигналу
змінюється і вихідний, якщо вхідний сигнал не змінюється, не повинен
змінюватися і вихідний сигнал. Для того, щоб елемент САК зображувався
направленою ланкою, необхідно враховувати навантаження на її виході.
При з’єднанні ланок напрямленої дії вони зберігають свої попередні
властивості.
Типові ланки ділять на пропорційні (підсилюючі), аперіодичні
(інерційні), коливальні, інтегруючі, диференцюючі і форсуючі.
Деякі елементи автоматичних систем мають передаточні функції
1Tp
kp
або
1Tpp
k
. Такі ланки називають відповідно реальною
диференцюючою і реальною інтегруючою.
3
Наявність множника Тр+1 в знаменнику передаточної функції
реальних ланок вказує на інерційність процесів диференціювання та
інтегрування. Тому реальні диференцюючі та інтегруючі ланки інколи
називають відповідно інерційно-диференцюючими та інерційно-
інтегруючими.
Реальною може бути і форсуюча ланка першого порядку з
передаточною функцією:
1
1
2
1
pT
pT
kpW
, при
21
TT
.
Фактично реальні ланки не є типовими, оскільки вони представляють
собою послідовне з’єднання відповідних ідеальних і аперіодичних ланок.
Слід зауважити, що в залежності від того, які величини будуть
прийняті за вхідну та вихідну, а також від прийнятих при складанні
диференційного рівняння припущень один і той же елемент можна описати
різними рівняннями, а значить, і зобразити різними типовими ланками.
Дійсно, безінерційний електричний двигун при вхідній величині –
напрузі на якорі U і вихідній – швидкості обертання валу ω є
пропорційною ланкою:
Д
k
pu
p
pW
1
Цей же двигун при вихідній величині – куті повороту α валу буде вже
інтегруючою ланкою:
p
k
pu
p
pW
Д
2
Якщо для тих же вхідних та вихідних величин врахувати інерційність
двигуна, то він буде зображений аперіодичною ланкою:
1
3
pT
k
pu
p
pW
Д
Д
або реальною інтегруючою ланкою:
1
4
pTp
k
pu
p
pW
Д
Д
Елемент автоматичної системи не обов’язково зображувати однією
типовою ланкою. В залежності від складності рівняння елементу він може
бути представлений декількома типовими ланками, з’єднаних між собою.
Більш того, ланки не обов’язково представляти конкретним елементом
САК. Вони можуть відповідати деякій математичній залежності.
4
АПЕРІОДИЧНА ЛАНКА
Мета: зняти часові характеристики, виконати математичний
аналіз та провести ідентифікацію аперіодичної ланки.
Вихідні дані для настроювання параметрів стенду СУЛ-3
Вхідна напруга, В G 1
Коефіцієнт підсилення k 2
Постійна часу (1 варіант), с T
1
1
Постійна часу (2 варіант), с T
2
0,5
Постійна часу для ідентифікації, с T
X
T
X1
Передаточна функція має вигляд:
1
)(
Tp
k
pW
Диференційне рівняння ланки:
tkxty
dt
tdy
T
, де k -
передаточний коефіцієнт, який характеризує властивості ланки в
статичному режимі; T - стала часу, яка характеризує інерційні властивості
ланки.
Із взаємної відповідності динамічних характеристик відомо, що
перехідна функція може бути знайдена як зворотне перетворення Лапласа
частки, діленим якої є передаточна функція, а дільником – оператор р.
Тобто:
p
pW
Lth
)(
)(
1
Знайдемо перехідну функцію. Для цього отриманий дріб розкладемо
методом невизначених коефіцієнтів на прості дроби:
1
1
)1()1(
1
)1(
1
)1(
)(
Tp
T
p
k
Tpp
Tp
Tpp
Tp
k
Tpp
TpTp
k
Tpp
k
p
pW
З таблиці зворотного перетворення Лапласа видно, що
)(1
0
0
1
ta
p
a
L
,
t
e
p
L
1
1
Перетворивши отриману формулу, знаходимо h(t):
T
p
L
p
Lk
Tp
T
p
kLth
1
11
1
1
)(
111
, або
T
t
ekth 1)(
Застосувавши методи аналітичної геометрії, можна впевнитися в
тому, що дотична до кривої
)(th
в точці
0t
відтинає на горизонтальній
прямій
kh
відрізок, що дорівнює постійній часу
T
. Перехідна функція
5
1
)(
Tp
k
pW
X
Y
при
Tt
дорівнює
k632.0
, а при
Tt 3
досягає значення
k95.0
.
Вважається, що при
Tt 3
перехідний процес практично закінчився.
Знайдемо тепер імпульсну перехідну функцію. Як відомо, вона
представляє собою похідну від перехідної функції, тобто:
T
t
T
t
e
T
k
e
dt
d
k
dt
tdh
tw
1
)(
)(
Амплітудно-фазова характеристика може бути отримана шляхом
підстановки в передаточну функцію
jp
.
j
T
kT
T
k
T
Tjk
Tj
Tj
Tj
k
Tj
k
jW
222222
111
1
1
1
11
)(
Звідси видно, що дійсна і уявна частотні характеристики дорівнюють
відповідно:
1
)(
22
T
k
P
;
1
)(
22
T
kT
Q
Амплітудно-фазова характеристика має вигляд півкола. Для
доведення цього, піднесемо до квадрату обидва вирази та складемо їх:
)(
1
1
)()(
222
22
2222
22
kP
T
k
k
T
Tkk
QP
Звідси доповнивши до квадрату, отримаємо рівняння кола:
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
2
)(
4
)(
4
)(
2
2)(
k
Q
k
P
k
Q
k
P
k
P
Радіус дорівнює
2/k
, а центр знаходиться в точці
0;2/k
. На графіку
залежність виглядає півколом (нижче осі абсцис), оскільки для
0)(0
Q
.
Амплітудно-частотна характеристика представляє собою модуль
вектора амплітудно-фазової характеристики і знаходиться за формулою:
22
QPA
Підставивши в дану формулу вирази для
P
та
Q
, одержимо:
22
2222
22
2
22
2
22
1
1
1
11
T
k
Tkk
TT
kT
T
k
A
Проаналізувавши графік функції
A
, можна побачити, що
аперіодична ланка має властивості фільтру низьких частот, тобто
гармонічні сигнали малої частоти пропускаються ланкою добре, а сигнали
великої частоти зазнають сильного ослаблення.
Фазочастотна характеристика може бути отримана за формулою:
)( Tarctg
P
Q
arctg
6
Чим більша частота вхідного сигналу, тим більше відставання по фазі
вихідного сигналу по відношенню до вхідного. Максимально можливе
відставання
90
.
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика описується
виразом:
22
1lg20lg20lg20
TkAL
Асимптотична логарифмічна амплітудно-частотна характеристика
характеризується тим, що її перша асимптота при
0
(
lg
)
представляє пряму паралельну осі
lg
:
lg20
нч
L
, а при
(
lg
)
представляє пряму, яка має нахил
дек
Дб
20
:
TkL
вч
lg20lg20
.
7
8
9
10