Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни Теорія автоматичного керування
Подождите немного. Документ загружается.
КОЛИВАЛЬНА ЛАНКА
Мета: зняти часові характеристики, виконати математичний
аналіз та провести ідентифікацію коливальної ланки.
Дану ланку можна змоделювати такою системою:
Передаточна функція схеми має вигляд:
pW
pW
kpW
р
р
1
, де
1
0
0
pTp
k
pW
р
1
1
1
1
1
1
1
0
2
0
0
00
0
0
0
0
0
p
k
p
k
T
k
kpTp
k
k
pTp
k
pTp
k
kpW
.
Умова коливальності ланки має вигляд:
0
00
00
0
2
0
4
1
4
1
04
1
T
kT
kk
T
k
D
.
Тобто, задавшись певним значенням постійної часу аперіодичної
ланки треба коефіцієнт підсилення збільшити доти, поки система не стане
коливальною.
Звідси видно, що параметри коливальної ланки виражаються через
параметри даної системи наступним чином:
00
4
1
Tk
,
0
0
k
T
T
.
ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ НАСТРОЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ СТЕНДУ СУЛ-
3
Вхідна напруга, В G 2
Коефіцієнт підсилення k 1
Постійна часу (1 варіант), с T
1
1
Постійна часу (2 варіант), с T
2
0,5
Постійна часу для ідентифікації, с T
X
T
X3
81
12
)(
22
TppT
k
pW
X
Y
p
k
0
Y
X
(–)
1
1
0
pT
k
Щоб система була коливальною в обох випадках, тобто при
1
1
T
і
при
5,0
2
T
візьмемо
4
0
k
Виходячи з цього, одержимо коефіцієнти
приведеної передаточної функції:
T
1
ξ
1
T
2
ξ
2
1,12 с 0,25 0,35 с 0,79
Передаточна функція має вигляд:
12
)(
22
TppT
k
pW
Диференційне рівняння ланки:
)()(
)(
2
)(
2
2
2
tkxty
dt
tdy
T
dt
tyd
T
Із взаємної відповідності динамічних характеристик відомо, що
перехідна функція може бути знайдена як зворотне перетворення Лапласа
частки, діленим якої є передаточна функція, а дільником – оператор р.
Тобто:
p
pW
Lth
)(
)(
1
Знайдемо перехідну функцію. Для цього отриманий дріб розкладемо
методом невизначених коефіцієнтів на прості дроби, але при цьому
визначимо комплексні корені характеристичного рівняння:
jj
TTTT
T
TTT
TT
22
2
222
2,1
22
11
2
442
012
Тут
T
– коефіцієнт затухання;
T
2
1
– кругова частота
затухаючих коливань, рад/с.
Маємо:
jpjpp
T
k
p
pW
1)(
2
З таблиці зворотного перетворення Лапласа видно, що
btat
e
bab
e
baaab
a
bpapp
a
L
111
0
0
1
Перетворивши отриману формулу, знаходимо h(t):
tj
e
jjjjj
T
k
jpjpp
T
k
Lth
111
)(
22
1
j
e
j
e
j
e
T
k
e
jjj
tjtjt
tj
2
11
222
Застосуємо формулу Ейлера:
sincos je
j
222
1
)(
T
k
th
82
22
sincossincossincossincos
2
ttjtjtttjtjt
j
e
t
tt
e
T
ktjtj
j
e
T
k
tt
cossin1
cos2sin2
2
1
22222222
tt
e
T
k
t
cossin1
2222
22
222
t
e
T
k
t
sin1
22
222
де
arccosarccos
22
.
За теоремою Вієта для приведеного характеристичного квадратного
рівняння можемо стверджувати, що:
T
T
jj
11
22
2
22
Одержали перехідну функцію в остаточному вигляді:
te
T
kth
t
sin
1
1)(
.
Як бачимо період затухаючих коливань дорівнює:
2
1
22
T
T
з
Чим більше коефіцієнт ξ і менше постійна Т, тим швидше затухають
коливання. Якщо коефіцієнт демпфірування ξ=0, то на виході ланки після
подачі одиничного ступінчатого збурення виникають незатухаючі
коливання з частотою
T1
0
.
Швидкість затухання коливальних процесів оцінюється ступенем
затухання:
1
31
A
AA
,
де
1
A
і
3
A
– дві сусідні амплітуди над усталеним значенням
перехідної функції.
З рівняння перехідної функції легко отримати верхню вітку огинаючої
:
t
o
e
T
kth
1
1)(
Оскільки амплітуди
1
A
і
3
A
відповідають деяким моментам часу
t
і
з
Tt
, то маємо:
2
1
1
1
1
)(
)()(
3
e
e
T
k
ee
T
k
kth
Tthth
t
T
t
o
зoo
83
Підставивши в дану формулу значення
і
, одержимо степінь
затухання у вигляді:
2
1
2
1
e
Знайдемо тепер імпульсну перехідну функцію. Як відомо, вона
представляє собою похідну від перехідної функції, тобто:
te
T
te
T
kte
Tdt
d
k
dt
tdh
tw
ttt
cos
1
sinsin
1
1
)(
)(
te
T
k
tte
T
k
tt
sin1cos
1
1
sin
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
,
де кут
arccosarccos
22
. З цього витікає наступний вираз
для імпульсної перехідної функції:
te
T
k
tw
t
sin
1
2
Амплітудно-фазова характеристика може бути отримана шляхом
підстановки в передаточну функцію
jp
.
j
TT
Tk
TT
Tk
TT
jTTk
jTT
k
TjT
k
TjjT
k
jW
2
2
22
2
2
22
22
2
2
22
22
22222
2
41
2
41
1
41
21
2112
12
)(
Звідси видно, що дійсна і уявна частотні характеристики дорівнюють
відповідно:
2
2
22
22
41
1
)(
TT
Tk
P
;
2
2
22
41
2
)(
TT
Tk
Q
.
Амплітудно-частотна характеристика представляє собою модуль
вектора амплітудно-фазової характеристики і знаходиться за формулою:
22
QPA
Підставивши в дану формулу вирази для
P
та
Q
, отримаємо:
2
2
2
22
2
2
2
22
22
41
2
41
1
TT
Tk
TT
Tk
A
2
2
22
2
2
22
2
2
22
41
21
41
TT
k
TT
TT
k
44222
2
2
2222
241
421
TT
k
TTT
k
84
Проаналізувавши графік функції
A
, можна побачити, що
коливальна ланка має властивості фільтру низьких частот, тобто
гармонічні сигнали малої частоти пропускаються ланкою добре, а сигнали
великої частоти зазнають сильного ослаблення.
Знайдемо точку максимуму амплітудно-частотної характеристики:
0
241
2424
2
241
2/3
44222
2234
44222
TT
TTk
TT
k
d
d
d
dA
T
2
max
21
Фазочастотна характеристика може бути отримана за формулою:
0,
1
2
0,
1
2
;
0,
0,
22
22
P
T
T
arctg
P
T
T
arctg
P
P
Q
arctg
P
P
Q
arctg
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика описується
виразом:
;41lg20lg20
41
lg20lg20
2
2
22
2
2
22
TTk
TT
k
AL
Асимптотична логарифмічна амплітудно-частотна характеристика
характеризується тим, що її перша асимптота при
0
(
lg
)
представляє пряму паралельну осі
lg
:
kL lg20
1
,
а при
(
lg
) представляє пряму, яка має нахил
дек
Дб
40
:
TkTkTkL lg40lg20lg20lg20lg20lg20
2
2
22
2
Частота спряження:
T
c
1
.
85
86
87
88
89
90