Ляпидов В.C. Теоретические основы кибернетики. Методы оптимизации

Подождите немного. Документ загружается.

Стабилизация

)(k

доп

должна осуществляться специальными мето-

дами в случае условных ограничений, например применением про-

граммного способа в функции времени, с помощью обратной связи

по ограничиваемой координате, т. е. введением отсечек.

При наличии безусловных ограничений специальных мер по

стабилизации

)(k

доп

не требуется, так как сама система не может

достигнуть значений

)( k

)(k

доп

Проведем синтез алгоритма управления для объекта, который

описывается линейным дифференциальным уравнением третьего

порядка

max

)( kU

TT 

(4.67)

Требуется перевести координату объекта из начального по-

ложения

0,0,0  xxx



в положение

0,0,  xxxx



при ограничении

доп





Количество интервалов, необходимое для вывода координаты на

доп



, n - k=2. Число участков стабилизации скорости k = 1. Общее

количество интервалов управления

4)1)((  kknN

. Вид алгоритма

управления показан на рис.4.11, а. Требуется определить

.,,,,

54321

ttttt

Обозначим

допдоп

yxyx





Тогда уравнение (4.67) можно переписать

max21

)( kUy

TT 

(4.68)

Требуется координату

перевести из положения

0y

в поло-

жение

доп

yy 

. По теореме об п интервалах для этого требуется два

интервала и одна смена знака. Моменты переключения определяются

из функции оптимального управления

0121

1121

max

















доп



0121

1222

max

















доп



(4.69)

Рис.4.11. Процессы в системе третьего порядка при ограничении

а — изменение управляющего сигнала, б — изменение координат в

фазовом пространстве, в — изменение выходной координаты

При подходе к заданной точке следует затормозить объект, т.е.

перевести его из положения

доп

в положение у = 0. Для этого также

требуется два интервала управления. Моменты переключения

находятся из функции оптимального управления













0)1(2

max

4151

доп



(4.70)

Значение

, отработанное за время вывода на допустимое

значение

доп

 



1 2

211

)()(

t t

dttydttyx

(4.71)

где

)(

решения уравнения для первых двух интервалов.

Значение

, отработанное за время торможения,

dttydttyx

)()(

543

 



(4.72)

где

)(

решения уравнения для последних двух

интервалов. Значение

, пройденное с постоянной скоростью,

231

xxxx



Время интервала стабилизации

доп



(4.73)

На интервале стабилизации

доп



Таким образом, за два интервала

было достигнуто

допустимое значение скорости

доп

; в течение времени

tt 

координата изменилась с постоянной скоростью и за два интервала

произошло торможение.

На рис.4.11, б показана оптимальная фазовая траектория.

Плоскость S отделяет ту область фазового пространства, в которую

по условиям задачи не должны попадать координаты объекта. На

рис.4.11, в показан процесс во времени.

Чтобы подчеркнуть сложность алгоритмов управления с огра-

ничением координат, рассмотрим объект, который описывается диф-

ференциальным уравнением

доп

xxkUx

TT 

max,21

)(

(4.74)

Очевидно, и для такого объекта следует иметь два интервала

управления и один интервал стабилизации, если ограничена первая

производная



. На первом интервале система разгоняется до

доп



максимальным управляющим воздействием

max

. Чтобы сделать

constx

доп





, нужно управляющее воздействие изменять с постоянной

скоростью

const



. При подходе к заданному значению

производится торможение отрицательным управляющим

воздействием -

max

. Примерный вид алгоритма управления показан

на рис. 4.12. Такой алгоритм осуществить, конечно, очень сложно,

особенно на участке, где и меняется с постоянной скоростью.

Рассмотрим вкратце управления с

ограничением координат для объекта,

который характеризуется структурной

схемой, представленной на рис. . Так

как ограничение координат

достигается уменьшением общего

управляющего воздействия и, то,

ограничивая одну какую-либо ί-ю

координату, мы тем самым

ограничиваем и все остальные. В силу

этого дать четкие рекомендации о

количестве интервалов управления, как это было сделано ранее, не

представляется возможным. В каждом конкретном случае нужно

подвергнуть оптимальное управление анализу.

Сделаем это на примере двух параллельно включенных звеньев.

Анализ проведем на фазовой плоскости. Объект описывается

системой уравнений:

;





;





(4.75)

где

доп

xxUu

22max21

;;1 



Начальные условия нулевые, объект за минимальное время пе-

реводится в точку









. Используя третий способ

нахождения фазовых траекторий, имеем для положительного

интервала и нулевых начальных условий

2max2

max2

1max1

max1

lnln









(4.76)

Для отрицательного интервала из условия прохождения траек-

тории через точку

получим

2max2

1max1

lnln









(4.77)

Рис.4.12. Изменение

управляющего сигнала в системе

второго порядка при ограничении



Фазовые траектории, соответствующие оптимальному процессу,

показаны на рис. 4.13 а.

Ограничим координату

значением

доп

. Начнем оптимальное

управление максимальным сигналом

max

. Система будет двигаться

по участку 1 фазовой траектории. При достижении координаты

доп

управляющее воздействие скачком изменяется до значения



доп

U 

Координата

сразу примет значение

доп

и движение системы

далее пойдет по участку 3 фазовой траектории. В точке пересечения

отрезков фазовых траекторий 3 и 2 нужно подать на объект

максимальное отрицательное управляющее воздействие -

max

. Тогда

дальнейшее изменение координат до точки

произойдет по

отрезку 2 фазовой траектории. Оптимальная траектория с

ограничением координаты

выделена на рис.4.13, а жирными

линиями и стрелками. Алгоритм управления и переходный процесс

показаны на рис.4.13, б. Моменты переключения и изменения

управляющего воздействия с

max

на

доп

находятся способами,

рассмотренными выше. Если ограничения наложены на две

координаты, т.е. имеются

доп

алгоритм усложняется. На

Рис. 4.13. Фазовые траектории, алгоритм управления и переходные

процессы при параллельном включении звеньев и ограничении одной

координаты

рис.4.14 показана фазовая траектория и управляющее воздействие для

случая ограничения двух координат. Как видно из рисунка, алгоритм

управления значительно усложнился и требует реализации четырех

моментов переключения.

Рис. 4.14. Алгоритм управления

и фазовые траектории при

параллельном соединении звеньев

и ограничении двух координат

4.5. Нахождение моментов переключения в нелинейных

оптимальных управлениях.

Как уже отмечалось, анализ и синтез управления объектами,

которые описываются нелинейными дифференциальными

уравнениями, представляет большие трудности. Это связано с тем,

что нет общих методов решения системы нелинейных

дифференциальных уравнений. Если система нелинейных

дифференциальных уравнений интегрируется, то определение

моментов переключения можно найти аналитически. В противном

случае следует применить тот или иной приближенный метод. Чтобы

показать методику определения моментов переключения, обратимся к

простейшему объекту, состоящему из двух последовательно

соединенных звеньев, которые описываются следующей системой

уравнений:















(4.78)

где

1u

Последним уравнением описываются резервуары со свободным

истечением жидкости.

Требуется перевести координаты объекта из начального состоя-

ния при

0,0

 xxt

в конечное



за минимальное время.

Как показывалось, для оптимального управления необходимо два

интервала и одна смена знака. Следовательно, необходимо

определить моменты переключения

Находим по первому способу уравнения фазовых траекторий при

1u









(4.79)

Сделаем в (4.79) замену для разделения переменных



xx 

Подставляя

в нелинейное уравнение, имеем при и = 1



2 xx

xx 

(4.80)

или









(4.81)

Интегрируя (4.81)

ln C

x 











(4.82)

Для сведения интеграла к табличному делаем новую подстановку

и=z

в (4.82)

ln C

zdz

x 







(4.83)

Интегрируя (4.83) и делая обратные замены, получим

0ln)2ln(

5,0

2121







Cxxxx

(4.84)

Проведя такое же решение при u = - 1, имеем

0ln)2ln(

2121





Cxxxx

arctg

(4.85)

Постоянную интегрирования

находим из начальных условий, a

из условия прохождения фазовой траектории через точку

Рис.4.15.

Фазовые траектории

при управлении нелинейным

объектом.

Вид фазовых траектории в координатных осях

, xx

показан на

рис.4.15. Из оптимальной фазовой траектории ОАВ находим

координаты переключения

2111

, xx

Так как известны

, то, зная характер движения координаты

, можно определить моменты переключения из следующих

соотношений:



















max

111

max

(4.86)

Моменты переключения определены относительно легко, так как

координата

имеет простой закон изменения во времени. Однако

построить фазовые траектории трудно, поскольку выражения для них

достаточно громоздки. Кроме этого, само уравнение фазовых

траекторий, хотя и с помощью двух подстановок, удалось про-

интегрировать. Если уравнения для фазовых траекторий не

интегрируются, то целесообразнее всего применить для нахождения

моментов переключения и фазовых траекторий графоаналитический

метод.

Запишем уравнения (4.78) в приращениях:





















(4.87)

Так как имеется два звена, то и построения следует вести в двух

координатных системах

 

)(,

uxux

. Отметим, что зависимость

 

представляет собой прямую линию, совпадающую с осью ординат.

Отложим в координатных осях

 

значения

max

U

. Отметим

точки начального и конечного состояний

0,0

 xx

xxxx

2211

, 

на

статических характеристиках. Определяем угол наклона лучей

построения, учитывая, что

max

U



















arctg



(4.88)

Начнем построение одновременно с начала первого и с конца

второго интервала. Из точек а и 1 в осях

проводим лучи по-

строения под углом



. Получим приращения

x

x

. Прираще-

ние

x

откладываем от точки О, а приращение

x

от точки



осях

. Теперь из этих точек под углом



проводим лучи по-

строения. Построение ведем до тех пор, пока не получим в коорди-

Рис.4.16. Нахождение фазовых траекторий и процессов в оптимальной

системе графоаналитическим методом