Ляпидов В.C. Теоретические основы кибернетики. Методы оптимизации
Подождите немного. Документ загружается.
Рассмотрим отработку координаты х. Подадим на
1
Д
максималь-
ное управляющее воздействие
max
U
. Движок
1
x
будет перемещаться с
постоянной скоростью, а движок х - с постоянным ускорением
2
2
kut
x
при нулевых начальных условиях. Очевидно, чтобы остановить
движок х, требуется движок
1
x
вернуть в нулевое положение. Для
этого на
1
Д
следует изменить знак управляющего воздействия, т.е.
среверсировать его. Тогда движок
1
x
будет двигаться к нулю, а
движок х—тормозиться. При попадании движка
1
x
в нулевое
положение, управляющее воздействие следует сделать равным нулю.
Движение всех координат объекта показано на рис. 4.6, б. Видно, что
и в этом случае требуется два интервала управления
max
U
и
одна
смена знака.
Продолжая такие исследования для систем более высоких по-
рядков, придем к выводу, что количество интервалов управления и
смены их знака зависят от порядка дифференциального управления,
которым описывается объект управления. Точное количество
интервалов управления дается теоремой об «п» - интервалах. Теперь
понятен и ее физический смысл: число интервалов должно быть
равно порядку дифференциального уравнения, так как порядок его
определяется количеством звеньев, в которых может запасаться тот
или иной вид энергии или совершаться работа.
61
Если рассматривать параллельное соединение звеньев, то, про-
водя аналогичные рассуждения о балансе энергий, можно дать фи-
зическое объяснение полученных алгоритмов оптимального
управления.
Наряду с физическим толкованием оптимального управления по
быстродействию, дадим и его геометрическое толкование. Функции
i
являются импульсами и указывают направление движения
системы. Рассмотрим схему (см. рис. 4.2, а) и уравнения (4.3),
характеризующие объект управления, состоящий' из двух звеньев.
Для такого объекта управление будет определяться вектором
21
211
T
t
T
t
eСeС
, который один раз меняет знак, и вектором
2
02
T
t
eС
,
который знака не меняет. Рассмотрим оптимальное управление на
фазовой плоскости с осями
2
x
и
1
x
(рис. 4.). Исходя, из начальных
условий предположим, что первый интервал положительный, значит
функции
1
и
2
также положительные, так как они задают
направление разгона. Построим на плоскости участок фазовой
62
Рис. 4.6. Оптимальное управление двумя интегрирующими звеньями:
Д — двигатель; Р — редуктор
траектории, которая соответствует положительному управлению
(кривая 1).
Наметим на этой кривой точку а, из которой отложим вектор
фазовой скорости
x
, касательной к траектории. Этот вектор имеет
составляющие по осям
dt
dx
x
1
1
и
dt
dx
x
2
2
.
Запишем функцию Гамильтона
2
2
1
1
dt
dx
dt
dx
H
Рис. 4.7. Связь между
векторами
и
x
при оптимал.
управлении
Проекции
1
x
и
2
x
будут со ответствовать проекциям вектора
,
1
и
2
.
Для максимума гамильтониана Н требуется, чтобы знаки
1
x
,
2
x
и
1
,
2
совпадали. Поэтому векторы
и
x
параллельны (см. рис.
4.7).
В некоторый момент времени, соответствующий точке b,
функция
1
изменит знак на отрицательный. Вектор
изменит свое
положение в пространстве. Теперь проекция
1
будет отрицательной,
а
2
по-прежнему — положительной.
Для максимума гамильтониана Н требуется, чтобы изменила знак
проекция скорости
1
x
. Но знак
1
x
может измениться только за счет
изменения управляющего воздействия и. После изменения уп-
равляющего воздействия с и на - и движение системы пойдет по
участку траектории 2. Направления векторов
x
и
после смены
63
знака и совпадают, следовательно, на любом участке фазовой
траектории
x
. Поэтому соотношения, определяющие максимум
функции Гамильтона, можно проверять на любом участке
оптимальной траектории.
64
4.3. Определение моментов переключения в линейных
оптимальных управлениях.
Принцип максимума дает только качественную сторону измене-
ния управляющего воздействия. Инженеру, проектирующему систему
управления, этого явно недостаточно. Он должен знать и
количественные характеристики оптимального алгоритма, чтобы на
их основании сконструировать управляющее устройство. Если пред-
полагается применить разомкнутую систему, то для конструирования
управляющего устройства достаточно знать моменты переключения
t
1
, t
2
, . . ., t
n
и максимальное значение управляющего воздействия U
max
.
Максимальное управляющее воздействие обычно бывает задано,
а моменты переключения необходимо определить.
Определение моментов переключения будем излагать, следуя, в
основном, работе [8].
Моменты переключения зависят от многих факторов, например:
1) от вектора состояний объекта в начальной
0
x
и конечной
n
x
точках. Этот факт не требует особых пояснений, так как чем больше
расстояние между
0
x
и
n
x
, тем больше потребуется времени на его
преодоление при прочих равных условиях;
2) от допустимого значения вектора управляющих воздействий
U
max
. Чем больше абсолютная величина этого вектора, тем быстрее
будет протекать процесс;
3) от параметров, характеризующих объект управления, т. е. от
его постоянных времени T
1
, Т
2
, . . ., Т
n
и коэффициента передачи k;
4) от вектора возмущающих воздействий
z
, т.е. от помех. Таким
образом, следует получить функцию вида
zkTuxxft
in
,,,,,
0
(4.37 )
Определение зависимости моментов переключения от многих
параметров довольно сложно. Трудности возрастают при
определении влияния на них возмущающих воздействий.
65
Упростим несколько задачу и будем искать моменты переключе-
ния как функцию
0
x
,
n
x
при неизменных параметрах объекта управ-
ления и отсутствии возмущений. Тогда будем иметь линейное диф-
ференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое
описывает некоторый объект, соответствующий структурной схеме,
изображенной на рис. 4.2, а:
max1
1
1
... kUxa
dt
xd
a
dt
xd
n
n
n
n
n
. (4.38)
Начальное состояние объекта при t = 0 характеризуется вектором
)...,,,(
)1(
0000
n
xxxx
, конечное - вектором
)...,,,(
)1(
n
nnnn
xxxx
Требуется за минимальное время перевести вектор состояния из
0
x
в
n
x
. Известно, что для этого нужно п интервалов управления, где
знаки должны чередоваться (n - 1) раз. На интервалах управления |u| =
U
max
, следовательно, требуется определить п моментов
переключения, включая время окончания управления. Для этого
воспользуемся методом стыкования решений дифференциальных
уравнений со знакопеременной правой частью.
Решение уравнения (4.37) хорошо известно
t
n
tt
n
eCeCeCCtx
...)(
21
210
,
где α
i
- корни характеристического уравнения - вещественные и
неположительные.
Записываем решение на конце последнего интервала управления
при t = t
n
. В этот момент все координаты должны соответствовать
вектору
n
x
,1
...11
............................................................................
...
;...
11
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2211
max21
21
21
21
n
n
t
n
n
n
n
n
t
nn
n
t
nn
n
n
t
n
nn
t
n
t
n
n
tn
n
tntn
xeC
eCeC
xeCeCeC
kUxeCeCeC
nn
nn
nnnn
nnn
(4.39)
где
n
i
C
- постоянные интегрирования на последнем интервале.
Верхний индекс в постоянных
n
i
C
обозначает номер интервала.
Имеем п неизвестных постоянных интегрирования и п уравнений.
Из (4.39) находим постоянные интегрирования
n
n
nn
CCC ,...,,
21
. Стыкуем
решения на границе последнего и предпоследнего интервалов
66
.01...)
(11
...........................................................................
;0...
;2
...
112
11
1
1211
1
1211
11
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
221
1
11
max
1
2
1
21
1
1
nnn
n
nn
nn
nn
nn
tn
n
n
n
n
n
n
tn
nn
n
t
nnn
n
tn
n
n
nn
tnntnn
tn
n
n
n
tnntnn
eCCeC
CeCC
eCC
eCCeCC
kUeCC
eCCeCC
(4.40)
Стыкование решений можно произвести, так как все координаты
непрерывны. Система (4.40) решается относительно
.,...,2,1,
1
niCC
n
i
n
i
Подставляя значение
,
n
i
C
i=1,2,... ,п из системы
(4.39) в систему (4.40), получаем п уравнений с неизвестными
1n
i
C
,
которые и определяем.
Стыкуем решения на следующем интервале
.0)
(1...)
(11
;0...
...
;2...
...
2
22
21
2
2221
2
2221
1
21
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
12
1
2
2
22
1
1
2
11
max
12
1
2
2
2
1
1
2
1
nn
n
n
nn
nn
nn
nn
tn
n
n
n
n
n
n
t
n
nn
n
tnnn
n
tn
n
n
nn
t
nn
t
nn
tn
n
n
n
tnntnn
eC
CeC
CeCC
eCC
eCCeCC
kUeCC
eCCeCC
(4.41)
Отсюда определяем
.,...,2,1,
12
niCC
n
i
n
i
. Значения
1n
i
C
,
определенные из (4.40), подставляем в (4.41) и получаем n уравнений,
содержащих п неизвестных
2n
i
C
. Продолжаем делать такие
исключения до первого интервала. Значения
1
i
C
, определяются из
начальных условий при t = 0:
.
1...11
;...
;...
1
0
11
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
0
11
22
1
11
max0
11
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
xC
CC
xCCC
UxCCC
(4.42)
В результате этих действий исключаются постоянные интегри-
рования. Остается система из п трансцендентных уравнений с не-
известными t
1
, t
2
,…, t
n
. Полученную систему уравнений назовем
функцией оптимального управления, которая в общем виде имеет вид
.,,,,...,,
max
0
21
UxxfT
nn
(4.43)
Рассмотренная система уравнений разрешима относительно мо-
ментов переключения, так как число неизвестных равно числу урав-
нений. При стыковании решений дифференциальных уравнений
получается
nn
2
неизвестных, из них n
2
— неизвестных постоянных
интегрирования, п — неизвестных моментов переключения. Но также
получается и
nn
2
уравнений. Действительно, имеется (п - 1)
моментов смены знака и два момента, определяющих начало и конец
управления, т.е. всего n-1+2=n+1 моментов времени. Для каждого
момента составляется n уравнений. Таким образом, всего будем
67
иметь
nnnn
2
1
уравнений, которых достаточно для исключения
постоянных интегрирования и определения моментов переключения.
Основная трудность в определении оптимальных управлений
состоит в том, что уравнения, определяющие функцию Т, являются
трансцендентными и разрешить их относительно моментов переклю-
чения можно только численными методами.
Для закрепления методики получения функции оптимального
управления решим конкретный пример для объекта, который опи-
сывается дифференциальным уравнением второго порядка
.
max21
2
2
21
kUx
dt
dx
TT
dt
xd
TT
(4.44)
Корни характеристического уравнения:
2
2
1
1
1
,
1
TT
По теореме об «п» - интервалах для оптимального управления не-
обходимо иметь два интервала управления и одну смену знака. Обоз-
начим конец второго интервала через t
2
, момент переключения – t
1 .
Начальные условия при
0:0
00
xxt
. Конечное значение
координат:
.0,
nn
xxx
Управление сделаем максимально возможным,
т.е.
.
max
Uu
Примем, что первый интервал положительный, а второй
— отрицательный. Запишем решение на конце второго интервала
,0
;
2221
2221
2
22
2
11
2
2
2
1
2
0
tt
n
tt
n
eCeCx
eCeCCx
(4.45)
где
max
2
0
kUC
, так как последний интервал отрицательный.
Стыкуем решение на момент переключения t
1
.0)(
;2
1211
1211
2
2
1
22
2
1
1
11
max
2
2
1
2
2
1
1
1
tt
tt
eCCeCC
kUeCCeCC
(4.46)
Запишем решение на начало первого интервала при t=0
,0
;0
1
22
1
11
1
2
1
1
1
0
CC
CCC
(4.47)
где
max
1
0
kUC
, так как первый интервал положительный.
Исключим из полученных шести уравнений постоянные ин-
тегрирования
2
1
1
1
2
2
1
2
,,, CCCC
. Из системы (4.45) находим:
21
21
2max2
1
t
n
e
kUx
C
;
68
.
22
21
1max2
2
t
n
e
kUx
C
Из системы (4.46) получаем
;
2
21
21
max2
2
1
1
1
t
e
kU
CC
.
2
12
21
max12
2
1
2
t
e
kU
CC
Из системы (4.47) определяем
;
21
max2
1
1
kU
C
.
21
max1
1
2
kU
C
После подстановки значений
2
2
1
2
2
1
1
1
,,, CCCC
в их разности получим
.0121
;0121
1222
1121
max
max
tt
n
tt
n
ee
kU
x
ee
kU
x
(4.48)
В приведенном частном случае функция оптимального управле-
ния содержит два неизвестных в виде моментов времени t
1
и t
2
. Из
(4.48) видно, что функция оптимального управления зависит от
n
xU ,
max
и
.,
21
Рассмотрим теперь объект управления, который описывается
дифференциальным уравнением
.
max
2
2
kU
dt
xd
(4.49)
По теореме об п интервалах следует иметь два интервала управ-
ления и одну смену знака. Опять необходимо получить систему
уравнений для определения t
1
и t
2 .
Это делается с помощью
исключения постоянных интегрирования. Примем начальные условия
при t=0,
0
0
xx
: первый интервал положителен, второй отрицателен,
конечное значение координат
n
xx
и
0
n
x
,
max
Uu
.
Записываем решение на конце второго интервала
.0
;
2
2
1max2
2
22
2
1
2
2
max
CkUtx
CtCt
kU
x
n
n
(4.50)
Стыкуем решение в момент времени t
1
69
2
21
2
1
2
1
max
2
CtCt
kU
1
21
1
1
2
1
max
2
CtCt
kU
или
1
11max
2
11max
2
1max
1
2
2
21
1
1
2
1
;
CtkUCtkU
tkUCCtCC
(4.51)
или
.2
1max
1
1
2
1
tkUCC
Записываем решение на начало первого интервала, т. е. при t=0,
.0,0
2
1
1
1
CC
Исключая постоянные интегрирования
2
2
C
и
2
1
C
из систем (4.50) и
(4.51), получаем функцию оптимального управления
.0
2
2
;2
max
1
2
2
12
kU
x
tt
tt
n
(4.52)
В данном случае функция оптимального управления выражается
системой двух алгебраических уравнений. Это говорит о том, что
совершается только полезная работа, а энергия в объекте управления
не запасается.
В таблице приведены функции оптимального управления для
дифференциальных уравнений до третьего порядка включительно с
нулевыми начальными условиями. Данные таблицы взяты из [8].
Из найденной функции оптимального управления необходимо
определить моменты переключения. Если система
70