Ляпидов В.C. Теоретические основы кибернетики. Методы оптимизации

Подождите немного. Документ загружается.

координата достигнет максимального значения, и время момента

переключения

Запишем следующие решения. Для участка 2 (см. рис. ) и точки

максимума при

tt 

;

2221

eCeCCxx







(5.2)

2221



 tt

eCeCx





где

kUC 

Рис.5.1. Управление близкое

к оптимальному, приуменьшении

числа интервалов.

Здесь



- максимальное значение координаты при

tt 

;

- входное управляющее воздействие, соответствующее

номинальному значению выходной координаты.

Для начала движения при

0t

 CCC

(5.3)

 CC





где

max

kUС 

101

В момент переключения при

tt 

12111211

tttt

eCeCCeCeCC







;

(5.4)

12111211

tttt

eCeCeCeС







Имея шесть уравнений и шесть неизвестных, решаем полученные

системы относительно

. Из уравнений системы (5.4)

определяем

CC 

, а из (5.2) и (5.3) -

. После

подстановки получим уравнения относительно

01)1(

1121

maxmax





kUxx



(5.4)

01)1(

1222

maxmax





kUxx



Осталось два трансцендентных уравнения с двумя неизвестными

. Уравнения (5.5) решаются численным методом. Будем за-

даваться, допустим, временем

и определять из уравнений (5.5)

время

. Далее построим две функции

)(

211

tft





)(

221

tft





со-

ответствующие двум уравнениям. Точка пересечения этих функций

даст значения

. Существенным, конечно, является время

Таким образом, задача определения момента переключения в

зависимости от перерегулирования

x

решена.

Процесс, показанный на рис.5.1, не является оптимальным, так

как теоретически он заканчивается за бесконечное время. Но

практически его можно назвать близким к оптимальному, так как в

заданную область вектор

попадает за конечное и минимальное

время.

Если для объектов, которые описываются уравнением (5.1), мож-

но найти момент переключения для одного интервала, то для объек-

тов, которые описываются дифференциальными уравнениями более

высоких порядков, это сделать не так престо. Объясняется это тем,

102

что в процессах, близких к оптимальным, при одном интервале уп-

равления известно значение только координаты



и ее про-

изводной

0x



. Высшие же производные неизвестны и поэтому

системы уравнений, из которых исключаются постоянные интегриро-

вания, неразрешимы. Для определения длительности одного интер-

вала управления при высоком порядке дифференциального уравне-

ния, описывающего объект, приходится проводить несколько раз

расчеты переходных процессов и из них выбирать тот, который

отвечает заданной ошибке

x

Рассмотрим объект, который описывается дифференциальным

уравнением:

T 

(5.6)

Для оптимального управления

требуется два интервала и одна смена

знака. Зададимся целью управлять

объектом одним интервалом. Тогда

при отключении управляющего

воздействия возникнет свободное дви-

жение, в результате которого вектор

, вообще говоря, не попадет в задан-

ную область. Но если как-то снизить

запас энергии или вещества перед

отключением, то можно достигнуть

заданной области. Запас энергии или

вещества снижается уменьшением

управляющего воздействия. Следовательно, надо выявить

зависимость между допустимой областью

x

и управляющим

воздействием, при отключении которого вектор

не выйдет за эту

область. Зададим эту область в виде

x

(рис. 5.2), т.е. допустимого

отклонения самой координаты. Скорость х и сама координата связаны

103

Рис. 5.2. Управление, близкое к

оптимальному, при уменьшении

величины и

зависимостью х = хТ. Отсюда, если задано

x

, получаем значение

скорости





(5.7)

Таким образом, скорость следует снизить до значения

за счет

уменьшения управляющего воздействия до величины



(5.8)

Так как система инерционна, то после снижения управляющего

воздействия с скорость, изменяясь по экспоненте

exxxtx

0max0

)()(





(5.9)

примет значение

за бесконечно большое время.

Принято считать, что процесс заканчивается за 3Т. Тогда время,

за которое скорость снизится от значения

max

до

будет



=3T.

Проинтегрировав выражение (5.9), получим изменение за время



 

Txxexdtexxxx

TTt

))(1()(

0max

0max0









Вид алгоритма управления и переходного процесса x(t) показан

на рис. 5.2. Алгоритм управления значительно проще оптимального,

так как не требуется реверсировать объект управления. Для

электрических двигателей предварительное снижение скорости

осуществляется включением добавочных сопротивлений.

Полученный алгоритм широко применяется для управления

транспортными механизмами (шахтными подъемными машинами,

вагоно-весами и т. д.). Таким образом, показана возможность умень-

шения количества интервалов, однако с проигрышем качества опти-

мального управления.

Идею уменьшения интервалов управления можно использовать и

для синтеза оптимального автомата. Если уменьшается количество

интервалов управления, то уменьшается и число переходов функции

104

переключения

)(t



через нуль. Этим достигается сокращение

количества обратных связей. Определить количество интервалов

управления, обеспечивающих необходимую точность, можно

методами, рассмотренными выше. А, зная количество интервалов,

обычным методом синтезируют оптимальный автомат.

Некоторые трудности вызывает выбор контролируемых коорди-

нат вектора

. Но, учитывая сложность замера высших производных,

в качестве контролируемых составляющих вектора

выбирают саму

координату, ее первую и, редко, вторую производные. Синте-

зированный таким образом автомат является автоматом, близким к

оптимальному.

105

Перечень заданий для самостоятельной работы.

В работу входят расчётная и графическая части.

По заданному дифференциальному уравнению (А и В),

описывающему объект управления, требуется перевести объект из

начального положения

 

в конечное

 

за минимальное время (т.е.

решить задачу оптимального управления с использованием критерия

максимального быстродействия).

В процессе выполнения работы следует:

1. Обосновать количество интервалов управления.

2. Обосновать знак первого интервала управления.

3. Определить моменты переключения управения

 

,tt

4. Построить график оптимального управления

 

5. Построить график оптимального процесса

 

kUx

TT 

(А)

T 

(В)

где

, Т

- постоянные времени;

х- выходная координата объекта управления;

U- управляющее воздействие на объект;

k- коэффициент.

Перечень заданий приведён в таблице.

106

№ Варианта Т

,с Т

,с k U

max

ед.

1 0,40 0,20 2,0 110 200

2 0,65 - 2810

-4

195 2,1

3 0,60 0,40 2,4 120 205

4 0,67 - 2910

-4

200 2,2

5 0,75 0,55 3,0 135 215

6 0,41 - 1910

-4

205 2,3

7 0,80 0,60 3,1 160 260

8 0,42 - 2010

-4

210 2,4

9 0,43 0,22 2,0 140 220

10 0,44 - 2110

-4

215 2,5

11 0,55 0,35 2,3 142 230

12 0,47 - 2210

-4

225 2,6

13 0,45 0,25 2,2 145 240

14 0,50 - 2410

-4

230 2,7

15 0,51 0,30 2,1 147 245

16 0,53 - 2510

-4

235 2,8

17 0,70 0,50 3,0 150 250

18 0,57 - 2610

-4

240 2,9

19 0,65 0,45 2,5 130 210

20 0,60 - 2710

-4

245 3,0

21 0,42 0,32 2,2 115 203

22 0,66 - 2810

-4

197 2,15

23 0,67 0,51 2,7 125 212

24 0,45 - 2310

-4

212 2,0

25 0,72 0,62 3,2 143 225

0;0;0



xxx



для всех вариантов.

107

Список литературы

1. Методы классической и современной теории автоматического

управления: Т.4: Теория оптимизации систем автоматического

управления / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Э. Баумана, 2004.

2. Оптимизационный подход в теории управления. / Под ред. А.А.

Колесникова. – Таганрог.; Изд. ТРТУ, 2000

3. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах

оптимизации. – М.: Наука, 2000

4. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. – М: Высш.

школа, 1987.

5. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем

автоматического управления. 1981.

6. Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы. – М.:

Высш. школа, 1980.

7. Алексеев В.Н., Тихомиров В.Н., Фомин С.В. Оптимальное

управление. – М.: Высш. школа, 1979.

8. Олейников В.А, и др. Основы оптимального и экстремального

управления. – М.: Высш. школа, 1969.

9. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. – М.:

Изд. МАИ, 1998.

10. Петров Ю.П. Оптимальное управление электроприводом. – Л.:

Энергия, 1971.

108

Пособие к самостоятельной работе студентов по курсу «Теоретические основы кибернетики».

Методы оптимизации.

Составитель ЛЯПИДОВ Валерий Сергеевич

Редактор____________________

Технический редактор____________________

Подписано в печать___________

Формат______ Бумага_______ Печать_______

Усл.п.л._____ Усл.кр.-отт._____ Уч. – изд.л.________

Тираж 100 экз.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

«Самарский государственный технический университет»

Главный корпус

Отпечатано в типографии

Самарского государственного технического университета

443100, Самара, ул. Молодогвардейская,244. Корпус №8

109