Ляпидов В.C. Теоретические основы кибернетики. Методы оптимизации

Подождите немного. Документ загружается.

Возьмем на статической характеристике точку О. Отложим от нее

отрезок

x

и проведем луч под углом α до пересечения со

статической характеристикой. Рассмотрим полученный треугольник

АВС. Катет АС равен приращению

x

, катет А В — разности

xx 

Определяем угол а

 

121



mxx







(3.63)

где т

х2

и т

х1

— масштабные коэффициенты. С учетом равенств

(3.62) получаем







откуда

arctg







(3.64)

Таким образом, угол луча а зависит от масштабов и выбранного

отрезка времени

t

. Физически угол а характеризует инерционность

объекта.

Заранее задаваясь

t

, можно определить угол построения а и

графически решить дифференциальное уравнение. Покажем, как это

сделать. Возьмем оси х

, х

и отложим в них статическую

характеристику

хх 

(рис. 3.12). Выберем момент времени

t

таким, чтобы угол а равнялся 2—3°. Определив

t

, найдем

приращения

x

, которые будут одинаковые. Разобьем ось х

на

отрезки

x

. Положим, что начальные

условия нулевые, т. е.

0t

xx

Отложим приращение

x

полученное за первый отрезок

времени

t

, от начала координат и

проведем луч под углом а до

пересечения с характеристикой

xx 

 

xx f



Рис. 3.12. Построение фазовой

траектории

графо-аналитическим методом

xx 

. Луч отсекает на статической характеристике приращение

x

полученное за время

t

(точка 1). Откладываем новое приращение

x

, сносим точку 1на линию 2

х

и получаем точку 2. Из точки 2

опять под углом а проводим луч и получаем новое приращение

х

за

второй отрезок времени

t

. Продолжение построения показано на

рис. 3.12 стрелками. Отложим точки, соответствующие приращениям

х

, за одинаковые промежутки времени

t

Соединив их, построим фазовую траекторию

 

f xх 

, которая

показана на рис. 3.12 жирной линией. Естественно, что эта

траектория практически не отличается от траектории, полученной

методом изоклин. Однако решение дифференциального уравнения

здесь проведено более точно. Кроме того, сразу можно получить и

переходный процесс, если в осях х

, t отложить

х

, соответствующие

t

Точность метода зависит от квалификации чертежника,

состояния инструментов и выбранного угла построения а. Метод

обладает систематической погрешностью, которая накапливается с

увеличением шагов построения. Однако, как показали конкретные

расчеты оптимальных процессов, для инженерной практики точность

метода вполне приемлема. Достоинством его является то, что он

применим к решению дифференциальных уравнений высокого

порядка. В дальнейшем при расчете нелинейных оптимальных систем

будем ориентироваться на этот способ.

4. Управление, оптимальное по быстродействию, в разомкнутых

системах.

4.1. Нахождение оптимальных управлений с помощью принципа

максимума. Теорема об “n” интервалах.

Из всех методов нахождения оптимальных управлений для реше-

ния задач о быстродействии наиболее целесообразно применять

принцип максимума. Сформулируем задачу о быстродействии. В n-

мерном фазовом пространстве в момент времени

задан вектор

состояния объекта

 

; дано его конечное значение в момент

времени

 

txt 

Объект управления описывается дифференциальным уравнением

в векторной форме

 

,f 

. (4.1)

На управление накладывается ограничение

max

uu 

. Задан

функционал быстродействия.

min1J





ttdt

. (4.2)

Требуется определить такой вектор

 

, при котором время пе-

рехода объекта из

 

минимально. Предполагается, что

 

ux,f

определены для любых значений

Xx 

, соответствующих области

управления

Uu 

. Кроме этого, функции

 

ux,f

непрерывны по всем

переменным

xx ,...,,x

и дифференцируемы по

xx ,...,,x

Управление может принадлежать к классу кусочно-непрерывных

функций, содержащих разрывы первого рода.

Решение задачи с помощью принципа максимума проводится по

следующей схеме. Записывается функция Гамильтона Н [см. (3.25)],

равная скалярному произведению векторов



 



,,f, ux

H 

Берется частная производная от Н по и, которая определяет экст-

ремум функции,







Эта производная зависит от одного или нескольких составляю-

щих вектора



. Функции

 



меняются во времени. Для максимума

H, как это требует принцип, необходимо, чтобы

max

Uu 

при

 

0t



max

Uu 

при

 

0t



, т. е.

   

max

Utsigntu





. Таким образом, требуется

определить, сколько раз

 



, меняет знак, или иначе говоря, сколько

корней имеет функция.

Управляющее воздействие скачком принимает значения или

max

U

, или

max

U

, как показано на рис. 4.1. При этом время перехода

вектора состояния из начального состояния в конечное будет

минимальным. Моменты смены знака управляющего воздействия

называются моментами переключения. Характерные особенности

строго оптимального процесса следующие: процесс должен

происходить за конечное время; в момент окончания управления и

после него координаты объекта должны иметь заданное значение.

Найдем оптимальные управления для трех структурных схем

(рис. 4.2). Схема, представленная на рис. 4.2, а, достаточно известна и

многократно описана в различных монографиях, а показанные на рис.

4.2, б, в, менее известны, поэтому остановимся на них подробнее.

Схема, изображенная на рис. 4.2, б, применяется тогда, когда мощный

поток материала или энергии по тем или иным причинам нельзя

переработать в одном агрегате. Такие схемы особенно часто

-U

max

в)

б)

а)

г)



 





n-1

max

Рис.4.1. Оптимальный ал-

горитм

Рис.4.2. Соединение звеньев:

а — последовательное, б, в — параллельное,

г — нелинейный объект

встречаются в химическом, обогатительном, металлургическом,

цементном и т. д. производстве.

Схема, представленная на рис. 4.2, в, также нашла широкое при-

менение в промышленности и на транспорте, например, в электрово-

зах, у которых для привода колесных пар используется несколько

двигателей, моменты которых суммируются; в технологических

линиях бумажной и горной промышленности, где после переработки

несколькими агрегатами готовые продукты поступают в смесители,

отстойники и т. д.

Рассмотрим схему, показанную на рис. 4.2, а. Предположим, что

каждое звено описывается линейным дифференциальным уравнением

первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве

фазовых координат выбираем

xxx ,...,,

. Тогда структурная схема

описывается следующей системой уравнений в нормальной форме:

 



























.............................................

;

2122

111

xxk

xuk

(4.3)

где

max

uu 

Составим функцию Гамильтона

     

.,f...,f,f

12212111 nnnn

xxxxuxH







(4.4)

Возьмем частную производную от Н по u







(4.5)

и определим закон управления

   

max1

Utsigntu 



Значит, требуется определить поведение функции



. Для этого

составляем уравнения для функций



























































































...

.................................................................

;

...

;

...

xxxdt



















Решаем систему (4.6), начиная с последнего уравнения,

 

;

Tdt

eCt















(4.6)

где



- постоянная интегрирования, определяемая начальными

условиями, для



Отсюда

 































nnnn

eCCdteeC



Продолжая решение, получим

 

....

211

eCeCeCt 



(4.7)

Покажем, что функция

 



имеет не более

 

1n

действительных

корней. Доказательство проведем методом математической

индукции.

Обозначим число действительных корней функции

 



через N.

За базу индукции примем

1n

, N = 0. Это очевидно, так как

функция

при

0C

действительных корней не имеет.

Предположим, что

 



имеет N корней. Разделим функцию

 



на

знакопостоянный член е

t/Tn

, что не изменит количества ее корней. В

результате деления получим

 

....

CeCeCt

nnn





































(4.8)

Возьмем производную от

 





 

...

CeC

nnn



































































(4.9)

Выражение (4.9) содержит

 

1n

член, так как

TTT

,...,

различные числа и их разности не равны нулю.

По известной теореме Ролля между двумя действительными

корнями функции лежит, по крайней мере, один корень ее

производной. Значит

 







должна иметь (N—1) корней, так как по

предположению

 



имеет N корней. Но по базе индукции

 







должна иметь (N—2) корней, так как она содержит член. Такое

противоречие и является доказательством того, что функция

 



имеет не более действительных

 

1n

корней.

Если вместо системы нормальных уравнений объект описывается

одним дифференциальным уравнением n-го порядка и корни его

характеристического уравнения отрицательные вещественные и

различные, то решение для функций

 



будет аналогично решению

(4.7). Следовательно, если функция

 



имеет (N —1) корней, то она

меняет

 

1n

раз знак. Тогда для оптимального управления требуется

п интервалов и знаки на интервалах чередуются

 

1n

раз.

Если среди корней характеристического уравнения имеются крат-

ные или нулевые, то это не меняет количество интервалов управле-

ния. Данное утверждение представляем доказать самим читателям.

Сформулируем теорему об «п» - интервалах, которая впервые

была выдвинута и доказана А. А. Фельдбаумом. «Если объект

управления описывается линейным дифференциальным уравнением

n-го порядка с постоянными коэффициентами и корни его

характеристического уравнения вещественные отрицательные или

нулевые, то для оптимального управления необходимо и достаточно

п интервалов максимального значения управления

max

, а знаки

на интервалах должны чередоваться

 

1n

раз». Теорема об п

интервалах значительно облегчает нахождение оптимальных

управлений, так как она исключает необходимость определения

функций



и их анализа. Важно, чтобы были соблюдены условия

теоремы, которые проверяются легко, когда объект описывается

нормальной системой дифференциальных уравнений.

Перейдем к схеме, изображенной на рис. 4.2, б. Она описывается

следующей системой уравнений:

 

























.,f

..........................................

;,f

222

111

nnn



(4.10)

где

max21

;1... Uu





Составим функцию Гамильтона

     

.,f...,f,fH

2212111 nnn

uxuxux





(4.11)

Возьмем производную от Н по u



















TTTu

...

(4.12)

и определим закон управления

   

max

Utsigntu 





Таким образом, функция Н зависит от суммы всех составляющих

вектора



. Определим функции

































































































...

...............................................................................

;

...

;

...

Txxxdt













(4.13)

Запишем решения для функций

     

.,...,,

2211

eCteCteCt















Подставляем полученные выражения в (4.12)

 

....

...

eCeCeC

























(4.14)

Из предыдущего известно, что функция

 





имеет (N—1)

действительных корней. Таким образом, для оптимального

управления необходимо n интервалов максимального значения

управления

 

max

; при этом знаки на интервалах должны

чередоваться (n - 1) раз. Если в структурной схеме содержатся звенья

с одинаковыми динамическими свойствами, т. е. имеют одинаковые

постоянные времени Т, то количество интервалов управления будет

равно

 

1 kn

, где k — число звеньев с одинаковыми динамическими

свойствами. При

kn 

требуется всего один интервал управления.

Справедливость последнего утверждения предлагается доказать

читателям.

Рассмотрим схему, представленную на рис.4.2, в. Она описы-

вается следующей системой уравнений:

 

,,f

...........................................

;,f

222

111

nnn

















(4.15)

где

max2121

;...;1... UuMxxx





Начальное состояние объекта

 

0 tпри 

0...



xxx

. Конечное

состояние будет находиться на гиперплоскости, которая дается

уравнением

Mxx

 ...x

. Эта задача является задачей с подвижным

правым концом, для которой требуется соблюдение условий

трансверсальности.

Составим функцию Гамильтона

     

.,f...,f,f

222111 nnn

uxuxuxH





(4.16)

Найдем частную производную от Н по u



















TTT

...

(4.17)

и определим функцию

   

max

Utsigntu 





Функции



; имеют такие же решения, как и в предыдущем

случае; следовательно,

 

....

eCeCeCt 





(4.18)

Постоянные интегрирования в (4.18) выбираем так, чтобы на

конце управления соблюдались условия трансверсальности. Для

этого вектор

 



на конце управления должен быть параллелен

вектору grad М, который имеет одно и то же значение в любой точке

гиперплоскости. Найдем вектор градиента

.1,...,,

















Mgrad

(4.19)

В момент окончания управления,

составляющие вектора



должны быть равны составляющим градиента

.1,...,1,1



eСeСeС

(4.20)

Из (4.20) находим постоянные интегрирования

.,...,,

2211

eCeCeC









Все числа



,...,,

положительные. Подставим значения С

, в

(4.18), после чего получим

 

....

eeet







Функция

 





знака не меняет, так как все члены при изменении

возрастают, а



остаются положительными. Значит, попасть за

минимальное время на гиперплоскость

Mxx

 ...x

можно с

помощью только одного интервала управления при

max

Uu 

На основе трех приведенных структурных схем могут быть рас-

смотрены различные комбинации параллельно-последовательного

соединения звеньев и получены для них оптимальные управления.

К данной задаче сводится случай, когда объект описывается урав-

нением

.,...

...

nmub









(4.21)

Непосредственно применить принцип максимума к такому объек-

ту нельзя, так как меняться скачком может не только высшая про-

изводная. Этим нарушается основное условие принципа максимума о

непрерывности изменения координат.

Уравнение (4.21) приводится к системе п уравнений в

нормальной форме. Координаты, входящие в полученную таким

образом систему уравнений, непрерывны, а поэтому правомерно

использование принципа максимума. Каждой системе нормальных

уравнений сопоставляется некоторая структурная схема. Легко