Лещинський О.Л. Економетрія
Подождите немного. Документ загружается.
141
Äëÿ îäíîçíà÷íî¿ îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ â öüîìó ðàç³
íåîáõ³äíî âèêîðèñòîâóâàòè ³íø³ ñïåö³àëüí³ ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðà-
ìåòð³â.
Íåîáõ³äíà ³ äîñòàòíÿ óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³
Ó ìîäåë³, ùî ì³ñòèòü N ð³âíÿíü â³äíîñíî N åíäîãåííèõ çì³ííèõ,
óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³ âèêîíóºòüñÿ òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè ðàíã
ìàòðèö³, ñêëàäåíî¿ ç âèêëþ÷åíèõ ç äàíèõ ð³âíÿíü çì³ííèõ, àëå òàêèõ,
ùî ì³ñòÿòüñÿ â ³íøèõ ð³âíÿííÿõ ñèñòåìè, äîð³âíþº
1.
N
−
8.5. Ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â
ñèñòåì ð³âíÿíü
ßê çàçíà÷àëîñÿ, çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ äî ð³âíÿíü ñòðóêòóð-
íî¿ ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü ïðèçâîäèòü äî îòðèìàííÿ çì³ùåíèõ îö³íîê
ïàðàìåòð³â ÷åðåç êîðåëüîâàí³ñòü (çàëåæí³ñòü) çì³ííèõ ³ çàëèøê³â ìîäåë³,
ùî º ïîðóøåííÿì îäí³º¿ ç ïåðåäóìîâ çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ. Ïåðåõ³ä â³ä
ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ äî ñêîðî÷åíî¿ º îäíèì ³ç ñïîñîá³â, ùî óñóâàº
ïðîáëåìó êîðåëüîâàíîñò³, îäíàê ïîðîäæóº ³íøó, à ñàìå ïðîáëåìó ³äåí-
òèô³êîâàíîñò³ îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè, à òàêîæ ñèñòåìè çàãàëîì.
Çàëåæíî â³ä ðîçâÿçàííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè, òîáòî ï³ñëÿ ïåðåâ³ðêè óìî-
âè ³äåíòèô³êîâàíîñò³ êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, çàñòîñîâóþòü òàê³
ìåòîäè:
1) ÿêùî êîæíå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíå, òî ïàðà-
ìåòðè çâåäåíî¿ ìîäåë³ îö³íþþòü íåïðÿìèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàä-
ðàò³â (ÍÌÍÊ); ³äåÿ ìåòîäó ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá â³ä ñòðóêòóðíî¿ ôîð-
ìè ïåðåéòè äî çâåäåíî¿, çâè÷àéíèì ÌÍÊ îö³íèòè ïàðàìåòðè
îñòàííüî¿ é îáåðíåíèì ïåðåòâîðåííÿì îòðèìàòè îö³íêè ïàðàìåòð³â
ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè;
2) óñóíóòè êîðåëÿö³þ ì³æ çì³ííèìè òà çàëèøêàìè ìîäåë³ ìîæíà
òàêîæ çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ, ³äåÿ ÿêîãî
ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá çì³íí³, ùî êîðåëþþòü ³ç çàëèøêàìè, çàì³íèòè
³íøèìè ³íñòðóìåíòàëüíèìè, ÿê³ ò³ñíî ïîâÿçàí³ ç íåçàëåæíèìè
çì³ííèìè ìîäåë³, àëå çîâñ³ì íå ïîâÿçàí³ ç ¿¿ çàëèøêàìè;
3) ÿêùî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ íàä³äåíòèô³êîâàí³,
òî ïàðàìåòðè ìîäåë³ îö³íþþòü çà äîïîìîãîþ äâîêðîêîâîãî ìåòîäó
íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (2ÌÍÊ), ùî ïåðåäáà÷ຠâèêîíàííÿ äâîõ åòàï³â:
à) ïåðøèé åíäîãåíí³ çì³íí³ çâ³ëüíÿþòü â³ä ñòîõàñòè÷íèõ çà-
ëèøê³â;
142
á) äðóãèé îö³íåí³ ð³âíÿííÿ ï³äñòàâëÿþòü ó ñòðóêòóðíó ñèñòåìó
ð³âíÿíü, äî ÿêèõ ïîò³ì çàñòîñîâóþòü çâè÷àéíèé ÌÍÊ;
4) òðèêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â äëÿ îäíî÷àñíîãî îö³-
íþâàííÿ âñ³õ ð³âíÿíü ñèñòåìè çà ïåâíèõ îáñòàâèí åôåêòèâí³øèé ïî-
ð³âíÿíî ç íåïðÿìèì ³ äâîêðîêîâèì ÌÍÊ.
8.5.1. Íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â òî÷íî
³äåíòèô³êîâàíèõ ñèñòåì
Îñê³ëüêè íà îñíîâ³ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ íåìîæëèâî îòðèìàòè ÿê³ñí³
îö³íêè ïàðàìåòð³â ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, âàðòî ñêîðèñòàòèñÿ
³íøèìè ìåòîäàìè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â. Îäíèì ³ç íèõ º íåïðÿìèé
ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â, ùî ãðóíòóºòüñÿ íà âèêîðèñòàíí³ çâåäå-
íèõ ð³âíÿíü.
Äëÿ ³ëþñòðàö³¿ ÍÌÍÊ ðîçãëÿíåìî êåéíñ³àíñüêó ìîäåëü ôîðìó-
âàííÿ ïðèáóòê³â:
01
,
ttt
CaaYu
=+ +
.
ttt
YCZ
=+
Ó çâåäåí³é ôîðì³ öÿ ìîäåëü ìຠâèãëÿä
0
11 1
1
,
11 1
t
tt
au
YZ
aa a
=+ +
−− −
(8.27)
01
11 1
.
11 1
t
tt
aa u
CZ
aa a
=+ +
−− −
(8.28)
Ïîçíà÷èìî
00
10 11 20
11
1
,,,
11 1
aa
aa a
=λ =λ =λ
−− −
2
1
21
11 1
,~0,.
11 1
t
t
au
vN
aa a
σ
=λ =
−− −
Òîä³ çàì³ñòü îñòàíí³õ ñï³ââ³äíîøåíü îòðèìàºìî
143
10 11
20 21
,
.
ttt
ttt
YZv
CZv
=λ +λ +
=λ +λ +
×åðåç òå, ùî îáñÿã ³íâåñòèö³é
t
Z
º åêçîãåííîþ çì³ííîþ ìîäåë³, öÿ
çì³ííà íå êîðåëþº ç âèïàäêîâèì çàëèøêîì
t
v
ó çâåäåí³é ôîðì³ ñèñòå-
ìè ð³âíÿíü (8.27), (8.28), à îòæå, ³ ç çàëèøêàìè
t
v
îñòàííüî¿ ñèñòåìè.
Öå îçíà÷àº, ùî äëÿ âèïàäêîâîãî ÷ëåíà
t
v
âèêîíóþòüñÿ ïåðåäóìîâè
ÌÍÊ. Òîìó îö³íêè
10 11 20 21
,,,
λλλλ
ïàðàìåòð³â
10 11 20 21
,,,,
λλλλ
îòðè-
ìàí³ çà ÌÍÊ, áóäóòü íåçì³ùåíèìè, îáãðóíòîâàíèìè ³ åôåêòèâíèìè.
Çíàþ÷è ö³ îö³íêè, íåñêëàäíî âèçíà÷èòè îö³íêè
0
a
³
1
a
êîåô³ö³ºíò³â
0
a
³
1
a
ð³âíÿííÿ ïî÷àòêîâî¿ ñòðóêòóðíî¿ ñèñòåìè:
21 20
10
11 11
;.
aa
λλ
==
λλ
Âèçíà÷åííÿ îö³íîê çà çàçíà÷åíîþ ñõåìîþ íàçèâàºòüñÿ íåïðÿìèì ìå-
òîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Çì³ñò òàêî¿ íàçâè î÷åâèäíèé: ïåðø í³æ çà-
ñòîñóâàòè çâè÷àéíèé ÌÍÊ, ïî÷àòêîâó ñèñòåìó ïåðåòâîðèëè äî çâåäåíî¿
ôîðìè, çà ÌÍÊ-îö³íêàìè ÿêî¿ âèçíà÷èëè îö³íêè ïî÷àòêîâî¿ ñèñòåìè.
Îö³íêè ïàðàìåòð³â
0
a
òà
1
a
, îòðèìàí³ çà ÍÌÍÊ, º îáãðóíòîâàíè-
ìè, à òîìó ïðè âåëèêèõ âèá³ðêàõ ³ñíóº âèñîêà éìîâ³ðí³ñòü, ùî âîíè
íàáëèæàòèìóòüñÿ äî ³ñòèííèõ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â.
Çàçíà÷èìî, ùî â öüîìó ðàç³ îö³íêè âèçíà÷àþòüñÿ òî÷íî, à ðåãðå-
ñ³éíå ð³âíÿííÿ â ðîçãëÿíóò³é ìîäåë³ äîõîäó º ³äåíòèô³êîâàíèì (îä-
íîçíà÷íî âèçíà÷åíèì).
Îòæå, ïðè íåïðÿìîìó ÌÍÊ âèêîíóþòüñÿ òàê³ êðîêè:
1) ïåðåâ³ðÿºòüñÿ óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³ äëÿ êîæíîãî ð³âíÿííÿ
ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè. ßêùî âñ³ ð³âíÿííÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³, òî âè-
êîíóºòüñÿ íàñòóïíèé êðîê, ³íàêøå çàñòîñîâóºòüñÿ ³íøèé ìåòîä;
2) âèõ³äíà ñòðóêòóðíà ñèñòåìà ð³âíÿíü ïåðåòâîðþºòüñÿ äî çâåäå-
íî¿ ôîðìè;
3) îö³íþþòüñÿ çà ÌÍÊ ïàðàìåòðè ð³âíÿíü ó çâåäåí³é ôîðì³;
4) íà îñíîâ³ îö³íîê, çíàéäåíèõ äëÿ çâåäåíî¿ ôîðìè, îá÷èñëþþòüñÿ
ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü çà äîïîìîãîþ îáåðíåíèõ ïåðåòâîðåíü.
Ïðèêëàä. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ:
Ïðîïîçèö³ÿ
01 1
,
01 2 2
,
ttt
tttt
qp
qpy
=β +β +ε
=α +α +α +ε
Ïîïèò
144
äå
,
tt
qp
åíäîãåíí³ çì³íí³ (ê³ëüê³ñòü òîâàðó ³ ö³íà â ðîö³ t);
12
,
tt
εε
âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ;
t
y
åêçîãåííà çì³ííà (ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â).
Íà ï³äñòàâ³ íàñòóïíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ íåîáõ³äíî îö³íèòè
êîåô³ö³ºíòè ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿, âèêîðèñòîâóþ÷è ÌÍÊ ³ ÍÌÍÊ. Ïî-
ð³âíÿòè ðåçóëüòàòè.
t
p
t
q
t
y
2
t
p
2
t
y
tt
pq
tt
p
y
tt
q
y
18 2 1 4 8 216
210 4 4 16 20 8 40
37 3 9 921 921
45 516 25 202025
51 225 4 510 2
15 31 16 55 58 74 49 104 Ñóìà
3 6,2 3,2 11 11,6 14,8 9,8 20,8 Ñåðåäíº
Ïîáóäóºìî çâåäåí³ ð³âíÿííÿ çàçíà÷åíî¿ ñèñòåìè, â³äíÿâøè â³ä
ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ ôóíêö³þ ïîïèòó. Îòðèìàºìî
00 11 2 12
()() ( )
0,
tttt
py
β−α +β−α −α +ε −ε =
çâ³äêè
10 11 1
,
ttt
pyv
=π +π +
20 21 2
,
ttt
qyv
=π +π +
äå
00 2 2 1
10 11 1
11 11 11
,, ;
tt
t
v
α−β α ε −ε
π= π= =
β−α β−α β−α
20 0 1 10 21 1 11 2 1 1 1
,, .
ttt
vv
π =β +βπ π =βπ =β +ε
Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíà.
Îö³íêè
1
b
³
0
b
ïàðàìåòð³â
1
β
³
0
β
ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ íà îñíîâ³
îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â òàêèõ ð³âíÿíü:
21 21
1 0 20 1 10 1 0 20 1 10
11 11
,,.
bb
ππ
β= β=π −βπ ⇒β= =π − π
π
π
Çà íàÿâíèìè ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè îö³íèìî êîåô³ö³ºíòè çâåäå-
íèõ ð³âíÿíü:
145
11
22
0,2
0,1471,
1,36
y
p
y
p
yy
−⋅
π= = =
−
10 11
3 0,147 3,2 2,5293,
py
π=−π =− ⋅ =
21
22
0,96
0,9411,
1,36
yq y q
yy
−⋅
π= = =
−
20 21
3,9411.
qy
π=−π =
Îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ çà ÌÍÊ áóäóòü òàê³:
10
0,7059 / 0,1471 4,7988, 3,9411 4,7988 2,5293 8,1965.
bb
= =− =−⋅=−
Îòæå, ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ìຠâèãëÿä
8,1965 4,7988 .
tt
qp
=− +
Âîäíî÷àñ ðîçðàõîâàí³ áåçïîñåðåäíüî çà ÌÍÊ îö³íêè äàíîãî
ð³âíÿííÿ ñòàíîâèòèìóòü:
101
22
3,8
1,9, 11,9,
2
pq p q
bbqbp
pp
−⋅ −
===−=−=
−
òîáòî ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ìຠâèãëÿä
.
11,9 1,9
t
t
qp
=−
Çà îòðèìàíèìè ðåçóëüòàòàìè ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî òå, ùî
çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ ó íåâ³äïîâ³äíèõ ñèòóàö³ÿõ ìîæå ³ñòîòíî ñïîòâî-
ðèòè êàðòèíó çàëåæíîñò³.
8.5.2. Ìåòîä ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ
²ùå îäíèì ñïîñîáîì óñóíåííÿ êîðåëþâàííÿ ïîÿñíþþ÷î¿
çì³ííî¿ ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì º ìåòîä ³íñòðóìåíòàëüíèõ
çì³ííèõ.
146
Ñóòí³ñòü öüîãî ìåòîäó ïîëÿãຠâ çàì³í³ çì³ííî¿, ùî êîðåëþº ³ç
çàëèøêàìè, ³íñòðóìåíòàëüíîþ çì³ííîþ (²Ç), ÿêà ïîâèííà ìàòè òàê³
âëàñòèâîñò³:
• êîðåëþâàòè (áàæàíî çíà÷íîþ ì³ðîþ) ³ç çàì³íåíîþ ïîÿñíþ-
þ÷îþ çì³ííîþ;
• íå êîðåëþâàòè ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì.
Îïèøåìî ñõåìó âèêîðèñòàííÿ ²Ç íà ïðèêëàä³ ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿,
ó ÿê³é
01
.
YX
=β +β +ε
Çì³ííó X çàì³íþþòü çì³ííîþ Z òàêîþ, ùî
cov( ; ) 0ZX
≠
³
cov( , ) 0.Z
ε=
Ïðèíöèïè âèêîðèñòàííÿ ²Ç ïåðåäáà÷àþòü âèêîíàííÿ
òàêèõ óìîâ:
() 0,cov(, ).
ttt
Mz
ε= ε
³äïîâ³äí³ âèá³ðêîâ³ îö³íêè äàíèõ óìîâ òàê³:
1
0,
1
0.
t
tt
e
T
ze
T
=
=
∑
∑
Ó ðîçãîðíåíîìó âèãëÿä³ îñòàííÿ ñèñòåìà ìຠâèãëÿä
³ç ³ç
01
³ç ³ç
01
()
0,
()
0,
tt
tt t
yb bx
zy b bx
−− =
−− =
∑
∑
çâ³äêè
³ç
1
³ç ³ç
01
()( )
,
()( )
.
tt
tt
zz
yy
b
zzxx
b
y
bx
−−
=
−−
=−
∑
∑
Íåõàé ç³ çá³ëüøåííÿì îáñÿãó âèá³ðêè
()DX
ïðÿìóº äî äåÿêî¿
ñê³í÷åííî¿ ìåæ³
2
x
σ
, à êîâàð³àö³ÿ
cov( , )ZX
äî ñê³í÷åííî¿ ìåæ³
0.
zx
σ≠
147
Ïîêàæåìî, ùî â öüîìó ðàç³ b
1
ïðÿìóº äî ³ñòèííîãî çíà÷åííÿ
1
β
.
Ç îñòàííüî¿ ñèñòåìè ìàºìî
³ç
01
1
01
111
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
cov
(
,
)
0
.
cov
(
,
)
n
zx
ZX
ZY
b
ZX ZX
ZZX
Z
ZX ZX ZX
Z
ZX
→∞
β+β +ε
== =
ββ
ε
=+ +=
ε
=β + →β + =β
σ
Òóò ìè ñêîðèñòàëèñÿ òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè:
0
cov
(
,
)
0,
Z
β=
òîìó ùî
011
const; cov
(
,
)
cov
(
,
)
.
ZX ZX
β= β =β
Ïðè âåëèêèõ îáñÿãàõ
âèá³ðêè ðîçïîä³ë
³ç
1
b
ïðÿìóº äî íîðìàëüíîãî:
³ç 2 ³ç
111
~
(
,
())
,
bN Sb
β
äå
2
2³ç 2 2
1
2
()
1
()
;;
()( )
t
t
tt
Szz
Sb S e
T
zzxx
−
==
−−
∑
∑
∑
³ç ³ç
01
.
tt t
e
y
bbx
=−−
8.5.3. Äâîêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â íàä³äåíòèô³êîâàíèõ
ñèñòåì
Îïèñ öüîãî ìåòîäó ñóïðîâîäèìî ïðèêëàäîì éîãî âèêîðèñòàííÿ
äëÿ ìîäåë³ ð³âíîâàãè íà ðèíêàõ òîâàð³â ³ ãðîøåé (²SLÌ) äëÿ çàêðè-
òî¿ åêîíîì³êè ïðè ô³êñîâàí³é ïîäàòêîâ³é ñòàâö³ t:
()
()
1
01 2 3 1
01 2 2 1
0,
0.
YrGt
YrM
=α +α +α +α +ε α<
=β +β +β +ε β >
(8.29)
148
Ïåðøå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè º ïåðåâèçíà÷åíèì (ùîäî çì³ííî¿ r).
Ùîá îö³íèòè éîãî êîåô³ö³ºíòè, ðåêîìåíäóºòüñÿ ñêîðèñòàòèñÿ
äâîêðîêîâèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (2ÌÍÊ), ñóòü ÿêîãî
ïîëÿãຠó âèêîðèñòàíí³ ÿê ²Ç îö³íêè ïåðåâèçíà÷åíî¿ çì³ííî¿, îò-
ðèìàíî¿ íà áàç³ åêçîãåííèõ (÷è çàçäàëåã³äü âèçíà÷åíèõ) çì³ííèõ
ìîäåë³.
Êðîê 1.
Ó ïåðøîìó ð³âíÿíí³ ö³º¿ ñèñòåìè ïåðåâèçíà÷åíîþ çì³ííîþ º ïðî-
öåíòíà ñòàâêà r. ¯¿ ìîæíà îö³íèòè, ñïèðàþ÷èñü ëèøå íà åêçîãåíí³
çì³íí³ (íàïðèêëàä, â³äí³ìàþ÷è â³ä äðóãîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ ïåðøå):
01 2 3
.
rMGtv
=λ +λ +λ +λ +
(8.30)
(ßê âïðàâó ïðîïîíóºòüñÿ çíàéòè êîåô³ö³ºíòè
0123
,,,
λλλλ
³ v.)
Çàñòîñîâóþ÷è äëÿ (8.30) ÌÍÊ, îòðèìóºìî îö³íêó
r
çì³ííî¿ r :
01 2 3
rMGt
=λ +λ +λ +λ
, (8.31)
äå
r
óìîâíà ñåðåäíÿ ïðè ô³êñîâàíèõ .çíà÷åííÿõ M, G, t.
Êðîê 2.
ϳäñòàâëÿþ÷è îö³íêó (8.31) ó äðóãå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (8.29), ìàºìî
.
01 2 2
YrM
=β +β +β +ε
(8.32)
Öÿ çàì³íà äຠçìîãó ðîçâÿçàòè òàêó ³ñòîòíó ïðîáëåìó ïåðåâèçíà-
÷åíèõ ìîäåëåé, ÿê êîðåëüîâàí³ñòü ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ ç âèïàäêîâèì
÷ëåíîì (íàãàäàºìî, ùî òàêà êîðåëüîâàí³ñòü ïðèçâîäèòü äî îòðèìàí-
íÿ çì³ùåíèõ ³ íåîáãðóíòîâàíèõ îö³íîê). ijéñíî, îö³íêà
r
âèðàæàºòü-
ñÿ ëèøå ÷åðåç åêçîãåíí³ çì³íí³, à îòæå, íå êîðåëþº ç âèïàäêîâèì
â³äõèëåííÿì. Ôàêòè÷íî ¿¿ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê íîâó åêçîãåííó
çì³ííó.
Çàì³íèâøè â ìîäåë³ (8.29) äðóãå ð³âíÿííÿ íà (8.32), îòðèìàºìî
ñèñòåìó, ÿêó ìîæíà îö³íèòè çà äîïîìîãîþ ÌÍÊ.
ßêùî ìîäåëü ì³ñòèòü á³ëüø ÿê îäíó ïåðåâèçíà÷åíó çì³ííó, íà ïåð-
øîìó åòàï³ íåîáõ³äíî îö³íèòè âñ³ òàê³ çì³íí³.
2ÌÍÊ ìຠïåâí³ âëàñòèâîñò³, ùî çóìîâëþþòü éîãî øèðîêå ïðàê-
òè÷íå çàñòîñóâàííÿ.
1. Ó äàíîìó ìåòîä³ ïåðøèé åòàï (åòàï ïîáóäîâè çâåäåíèõ
ð³âíÿíü) âèêîíóºòüñÿ äëÿ ÷àñòèíè ïåðåâèçíà÷åíèõ ð³âíÿíü, íå çà-
149
÷³ïàþ÷è ³íø³ ð³âíÿííÿ ìîäåë³. Öå äຠçìîãó ì³í³ì³çóâàòè îáñÿã îá-
÷èñëåíü.
2. Çà íàÿâíîñò³ ïåðåâèçíà÷åíèõ ð³âíÿíü 2ÌÍÊ íà â³äì³íó â³ä
ÌÍÊ âèçíà÷ຠºäèí³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³.
3. Çàñòîñîâóþ÷è äàíèé ìåòîä, äîñòàòíüî âèêîðèñòîâóâàòè ëèøå
åêçîãåíí³ é âèçíà÷åí³ çì³íí³ ìîäåë³.
4. Çàñòîñóâàííÿ 2ÌÍÊ åôåêòèâíå ëèøå â òîìó ðàç³, ÿêùî êîåô³-
ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿
2
R
äëÿ çâåäåíèõ ð³âíÿíü, ïîáóäîâàíèõ íà ïåðøî-
ìó åòàï³, áóäå äîñèòü âåëèêèé. Ïðè öüîìó ²Ç (ó íàøîìó ïðèêëàä³ öå
çì³ííà
r
) íåçíà÷íîþ ì³ðîþ êîðåëþº ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì ³ íàá-
ëèæàºòüñÿ äî ³ñòèííîãî çíà÷åííÿ (
r
) çàì³íåíî¿ çì³ííî¿. Ïðè íåâå-
ëèêîìó çíà÷åíí³ R
2
âèêîðèñòàííÿ 2ÌÍÊ ìàëîïðîäóêòèâíå, òîìó ùî
â öüîìó ðàç³ ²Ç ìàëî â³äïîâ³äຠ³ñòèííîìó çíà÷åííþ çàì³íåíî¿
çì³ííî¿.
Çàçíà÷èìî, ùî çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ ÿê
ñêëàäîâî¿ 2ÌÍÊ ìîæíà îòðèìóâàòè îáãðóíòîâàí³ îö³íêè é îö³íêè
ñòàíäàðòíèõ â³äõèëåíü äëÿ âèá³ðîê âåëèêèõ îáñÿã³â. Îäíàê äëÿ ìà-
ëèõ âèá³ðîê âèñíîâêè áóäóòü íå íàñò³ëüêè êîíêðåòíèìè.
8.5.4. Òðèêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
Ðîçãëÿíóò³ ìåòîäè äàþòü çìîãó îö³íþâàòè ïàðàìåòðè îêðåìèõ
ð³âíÿíü ñèñòåìè. Êîæåí ç íèõ ìຠïåðåâàãè òà íåäîë³êè, îäíàê ¿õ îáºä-
íóº ñï³ëüíà ðèñà çíà÷íèé îáñÿã ðîçðàõóíê³â ïðè ðîáîò³ ³ç ñèñòåìàìè
âåëèêî¿ ðîçì³ðíîñò³, òîáòî ³ç òàêèìè, ùî ì³ñòÿòü âåëèêó ê³ëüê³ñòü
ð³âíÿíü, à îòæå, âåëèêó ê³ëüê³ñòü çì³ííèõ ³ ïàðàìåòð³â. Ñêîðî÷åííÿ
îáñÿãó ðîçðàõóíê³â ñòຠîñîáëèâî àêòóàëüíèì ó ïðîöåñ³ âèâ÷åííÿ
øâèäêîïëèííèõ ïðîöåñ³â, à òàêîæ ó òîìó ðàç³, ÿêùî çì³íþºòüñÿ ïð³-
îðèòåòí³ñòü îêðåìèõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ìîäåë³. Ó öèõ âèïàäêàõ êðà-
ùå ñêîðèñòàòèñÿ ìåòîäîì, ùî îäíî÷àñíî îö³íþº ïàðàìåòðè âñ³õ
ð³âíÿíü ñèñòåìè, çîêðåìà òðèêðîêîâèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
(3ÌÍÊ).
Îñîáëèâ³ñòþ 3ÌÍÊ º òå, ùî ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â ñèñòåìè
çàãàëîì ñë³ä çâàæàòè íà çàëåæíîñò³ ì³æ îêðåìèìè ð³âíÿííÿìè. Ö³ çà-
ëåæíîñò³ âèÿâëÿþòüñÿ â òîìó, ùî çàëèøêè îêðåìèõ ð³âíÿíü êîðåëþþòü
ì³æ ñîáîþ, òîáòî çàãàëüíà ìàòðèöÿ êîâàð³àö³é ñèñòåìè º íåä³àãîíàëüíîþ.
Ó òàê³é ñèòóàö³¿ íàéêðàùèì ìåòîäîì îö³íþâàííÿ º óçàãàëüíåíèé ìåòîä
íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ìåòîä Åéòêåíà). Îäíàê ó öüîìó ðàç³ íåîáõ³äíî
çíàòè ïåðøå íàáëèæåííÿ ìàòðèö³ êîâàð³àö³é. Äëÿ ð³âíÿíü ìíîæèííî¿
150
ðåãðåñ³¿ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè öþ ìàòðèöþ îòðèìóþòü íà
ï³äñòàâ³ çàëèøê³â ìîäåë³, ïàðàìåòðè ÿêî¿ îö³íåíî çà çâè÷àéíèì ÌÍÊ,
³ âæå ï³ñëÿ îá÷èñëåííÿ êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ êîðèãóþòü çàãàëüíèé
îïåðàòîð îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ð³âíÿííÿ.
Äëÿ ñèñòåì ð³âíÿíü, îñîáëèâî â ðàç³ íàä³äåíòèô³êîâàíîñò³ îêðå-
ìèõ ð³âíÿíü, êðàùå ïî÷àòêîâå íàáëèæåííÿ ìàòðèö³ êîâàð³àö³é âèç-
íà÷àþòü çà çàëèøêàìè, ÿê³ îòðèìàíî â ðåçóëüòàò³ îö³íþâàííÿ ïàðà-
ìåòð³â ð³âíÿíü çà äâîêðîêîâèì ÌÍÊ. Îòæå, ñà
′
ìå ïîºäíàííÿ 2ÌÍÊ
³ ìåòîäó Åéòêåíà äàëî íàçâó öüîìó ìåòîäó.
Äëÿ ïðàêòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ 3ÌÍÊ ïîòð³áíî âèêîíàòè òàê³ âè-
ìîãè [17]:
1) óñ³ òîòîæíîñò³, ÿê³ âõîäÿòü äî ñèñòåìè ð³âíÿíü, âèêëþ÷àþòü
ç ðîçãëÿäó, òîìó ùî âîíè íå ì³ñòÿòü íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ³ íå ïàðà-
ìåòðèçóþòüñÿ;
2) êîæíå íå³äåíòèô³êîâàíå ð³âíÿííÿ òàêîæ âèêëþ÷àþòü ³ç ñèñòå-
ìè, îñê³ëüêè îö³íèòè ¿õ ïàðàìåòðè â ïðèíöèï³ íåìîæëèâî;
3) òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³ òà íàä³äåíòèô³êîâàí³ ð³âíÿííÿ ïîä³ëÿþòü
íà äâ³ ð³çí³ ãðóïè ³ 3ÌÍÊ çàñòîñîâóþòü äî êîæíî¿ ç íèõ îêðåìî;
4) ÿêùî ãðóïà íàä³äåíòèô³êîâàíèõ ð³âíÿíü ñêëàäàºòüñÿ ëèøå ç îä-
íîãî ð³âíÿííÿ, òî 3ÌÍÊ ïåðåòâîðþºòüñÿ íà 2ÌÍÊ;
5) êîðåëÿö³ÿ çàëèøê³â îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè ïðèçâîäèòü äî
òîãî, ùî çàãàëüíà ìàòðèöÿ êîâàð³àö³é ñèñòåìè º íåä³àãîíàëüíîþ, îä-
íàê âîäíî÷àñ íå ì³æ óñ³ìà ð³âíÿííÿìè ñèñòåìè ³ñíóº çàëåæí³ñòü, òîìó
ìàòðèöÿ êîâàð³àö³¿ ÷àñòî áóâຠáëî÷íî-ä³àãîíàëüíîþ, òîä³ îö³íþâàí-
íÿ ïàðàìåòð³â íà îñíîâ³ 3ÌÍÊ âèêîíóþòü îêðåìî äëÿ êîæíî¿ ãðóïè
ð³âíÿíü, ùî â³äïîâ³äàþòü îäíîìó áëîêó.
8.5.5. ÌÍÊ äëÿ ðåêóðñèâíèõ ìîäåëåé
Îäíèì ³ç âèïàäê³â óñï³øíîãî çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ äëÿ îö³íþâàí-
íÿ ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â ìîäåë³ º ðåêóðñèâí³ (òðèêóòí³) ìîäåë³,
ó ÿêèõ åíäîãåíí³ çì³íí³ ïîñë³äîâíî (ðåêóðñèâíî) ïîâÿçàí³ îäíà ç îä-
íîþ. Ïåðøà åíäîãåííà çì³ííà
1
Y
çàëåæèòü ëèøå â³ä åêçîãåííèõ
çì³ííèõ
,
i
X
i
=
1, 2, , m, ³ âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ
1
ε
. Äðóãà åíäî-
ãåííà çì³ííà
2
Y
âèçíà÷àºòüñÿ ëèøå çíà÷åííÿìè åêçîãåííèõ çì³ííèõ
,
i
X
i
=
1, 2, , m, âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì
2
ε
, à òàêîæ åíäîãåííîþ
çì³ííîþY
1
. Òðåòÿ åíäîãåííà çì³ííà
3
Y
çàëåæèòü â³ä òèõ ñàìèõ
çì³ííèõ, ùî ³ Y
2
, âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ
3
ε
, à òàêîæ â³ä ïîïåðåäí³õ
åíäîãåííèõ çì³ííèõ (
1
Y
,
2
Y
) ³ ò. ä.