Лещинський О.Л. Економетрія
Подождите немного. Документ загружается.
131
Îçíà÷åííÿ 8.3. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ùî â³äîáðàæຠñòðóêòóðó
çâÿçê³â ì³æ çì³ííèìè, íàçèâàºòüñÿ ñòðóêòóðíîþ ôîðìîþ ìîäåë³.
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ñòðóêòóðíà ôîðìà ìîäåë³ ìຠâèãëÿä
,
ttt
Ay Bx u
=+
(8.14)
äå
t
y
âåêòîð çàëåæíèõ (åíäîãåííèõ ) çì³ííèõ;
t
x
âåêòîð íåçàëåæ-
íèõ (åêçîãåííèõ ) çì³ííèõ;
t
u
âåêòîð çàëèøê³â,
1, 2, ...,tT
=
.
2. Ïîâíà åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü.
Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü íàçèâàºòüñÿ ïîâíîþ, ÿêùî:
à) âîíà îõîïëþº çì³íí³, ùî ñóòòºâî âïëèâàþòü íà ñï³ëüíî çà-
ëåæí³ çì³íí³, à âåêòîð çàëèøê³â ìຠâèïàäêîâèé õàðàêòåð;
á) ì³ñòèòü ñò³ëüêè ð³âíÿíü, ñê³ëüêè â í³é º ñï³ëüíî çàëåæíèõ
çì³ííèõ, òîáòî êîæíà çàëåæíà çì³ííà ïîÿñíþºòüñÿ îêðåìèì ð³âíÿííÿì;
â) ñèñòåìà ð³âíÿíü ìຠîäíîçíà÷íèé ðîçâÿçîê â³äíîñíî ñï³ëüíî
çàëåæíèõ çì³ííèõ, òîáòî ìàòðèöÿ A â ìîäåë³ (8.14) íåâèðîäæåíà (ìàº
â³äì³ííèé â³ä íóëÿ âèçíà÷íèê):
det 0.
A
≠
Ïîâíà ìîäåëü çàñòîñîâóºòüñÿ ó âèïàäêàõ, êîëè íåîáõ³äíî ê³ëüê³ñíî
îïèñàòè åêîíîì³÷íå ÿâèùå ÷è ïðîöåñ àáî ñïðîãíîçóâàòè ¿õ ðîçâèòîê.
3. Çâåäåíà ôîðìà åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³.
ßêùî åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü çàñòîñîâóºòüñÿ íå äëÿ àíàë³çó ñèñ-
òåìè, à äëÿ ïåðåäáà÷åííÿ ÷è îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â, ñòðóêòóðíà ôîð-
ìà ìîäåë³ íåïðèéíÿòíà. Àëãåáðà¿÷íèìè ïåðåòâîðåííÿìè ñèñòåìó
ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü çâîäÿòü äî ôîðìè, ó ÿê³é êîæíå ð³âíÿííÿ
ì³ñòèòü ëèøå îäíó åíäîãåííó çì³ííó, ÿêà º ôóíêö³ºþ â³ä åêçîãåííèõ
çì³ííèõ. Òàêà ôîðìà ð³âíÿíü íàçèâàºòüñÿ çâåäåíîþ.
Çâåäåíó ôîðìó ð³âíÿíü ìîæíà íàçâàòè ñêîðî÷åíîþ. Öå ïîâÿçàíî
ç òèì, ùî ïðè ïåâíèõ ïåðåòâîðåííÿõ áàãàòî îêðåìèõ åêîíîì³÷íèõ çà-
ëåæíîñòåé ìîæóòü áóòè âèêëþ÷åí³ ç ðîçãëÿäó, à îòæå, çàãàëüíà
ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü ìîæå ñêîðîòèòèñÿ.
Âíàñë³äîê òàêèõ ïåðåòâîðåíü çâåäåíà ôîðìà ð³âíÿíü, íà â³äì³íó
â³ä ñòðóêòóðíî¿, íå ìàº í³ áåçïîñåðåäíüî¿, í³ áóäü-ÿêî¿ åêîíîì³÷íî¿
³íòåðïðåòàö³¿. гâíÿííÿ ó çâåäåí³é ôîðì³ äàþòü çìîãó ïåðåäáà÷èòè,
ÿê çì³íèòüñÿ çíà÷åííÿ åíäîãåííî¿ çì³ííî¿, ÿêùî çì³íþâàòèìóòüñÿ
çíà÷åííÿ åêçîãåííèõ çì³ííèõ, îäíàê íà ï³äñòàâ³ öèõ ð³âíÿíü íåìîæ-
ëèâî ïîÿñíèòè, ÿê ³ ÷îìó öå â³äáóâàºòüñÿ. Ñàìå ÷åðåç öå çâåäåíó ôîð-
ìó ð³âíÿíü íàçèâàþòü òàêîæ ïðîãíîçíîþ.
132
Îòæå, êîëè âèíèêຠïèòàííÿ ïðî êîíñóëüòàö³¿ ÷è ïðàêòè÷í³ ïî-
ðàäè, ñèñòåìè ð³âíÿíü ó çâåäåí³é ôîðì³ îñîáëèâî êîðèñí³, îñê³ëüêè
äàþòü çìîãó ôîðìàëüíó ìîäåëü çâåñòè äî ì³í³ìàëüíî¿ ê³ëüêîñò³
ñï³ââ³äíîøåíü. Çâè÷àéíî, çâåäåíà ìîäåëü ìàòèìå ö³íí³ñòü, ÿêùî ïðà-
âèëüíîþ º ïî÷àòêîâà ñòðóêòóðíà ìîäåëü.
Çîêðåìà, ÿêùî åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü ïîâíà, òî ¿¿ çàëåæí³ çì³íí³
ìîæíà ïðåäñòàâèòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ÿê ôóíêö³¿ â³ä ñï³ëüíî íåçàëåæ-
íèõ çì³ííèõ, ðîçâÿçàâøè ¿¿ â³äíîñíî âåêòîðà çàëåæíèõ çì³ííèõ
t
y
.
Öå ìîæëèâî, îñê³ëüêè çà îçíà÷åííÿì ìàòðèöÿ A òàêî¿ ìîäåë³ º íå
âèðîäæåíîþ; ï³ñëÿ ìíîæåííÿ ñèñòåìè (8.14) íà ¿¿ îáåðíåíó ìàòðèöþ
îòðèìàºìî
11
.
ttt
y
ABx Au
−−
=+
(8.15)
Ïðè òàêèõ ïåðåòâîðåííÿõ ïàðàìåòðè çâåäåíî¿ ôîðìè ñòàþòü ôóí-
êö³ÿìè â³ä ïàðàìåòð³â âèõ³äíèõ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ³ çàëèøêè òà-
êî¿ ìîäåë³, î÷åâèäíî, º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ çàëèøê³â ñòðóêòóðíî¿
ìîäåë³.
Óâ³âøè ïîçíà÷åííÿ
1
tt
vAu
−
=
,
1
RAB
−
=
, îòðèìàºìî ñïðîùåíèé
âèãëÿä ìîäåë³:
.
ttt
yRxv
=+
(8.16)
Ó òàê³é ñèñòåì³ êîæíà çàëåæíà çì³ííà âèçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç íåçà-
ëåæí³ çì³íí³ ìîäåë³, òîáòî ñèñòåìà (8.16) º çâåäåíîþ ôîðìîþ åêîíî-
ìåòðè÷íî¿ ìîäåë³.
8.4. Ïîíÿòòÿ ³äåíòèô³êàö³¿ (îòîòîæíåííÿ)
ñèñòåìè ð³âíÿíü
Ìàþ÷è äâ³ ôîðìè ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, íåîáõ³äíî âèçíà-
÷èòè, ÿêà ç íèõ êðàùå ï³äõîäèòü äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³.
Ïåðåäóñ³ì íåîáõ³äíî äîñë³äèòè ìîæëèâîñò³ çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî
ÌÍÊ äî îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè.
ßê çàçíà÷àëîñÿ (òåìà 3), äëÿ îòðèìàííÿ íåçì³ùåíèõ ³ îáãðóíòî-
âàíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ çà çâè÷àéíèì ÌÍÊ
íåîáõ³äíî âèêîíàòè ðÿä ïåðåäóìîâ: çàëèøêè ìîäåë³ ìàþòü áóòè âè-
ïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì, ç³
ñòàëèìè äèñïåðñ³ÿìè, íåêîðåëüîâàíèìè ì³æ ñîáîþ òà íåçàëåæíèìè
â³äíîñíî åíäîãåííèõ çì³ííèõ ìîäåë³.
Çÿñóºìî, ÿê âèêîíóþòüñÿ ö³ ïåðåäóìîâè äëÿ êåéíñ³àíñüêî¿ ìîäåë³
(8.1)(8.2).
133
Íåõàé çàëèøêè ìîäåë³
t
u
º âèïàäêîâèìè, ç íóëüîâèì ìàòåìà-
òè÷íèì ñïîä³âàííÿì, íåêîðåëüîâàí³ ì³æ ñîáîþ, ìàþòü îäíàêîâ³ äèñ-
ïåðñ³¿ äëÿ âñ³õ ñïîñòåðåæåíü, òîáòî çàäîâîëüíÿþòü ïåðø³ äâ³ ïåðåä-
óìîâè çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ. Ïåðåâ³ðèìî ïåðåäóìîâó â³äíîñíî íåçà-
ëåæíîñò³ åíäîãåííèõ çì³ííèõ ³ çàëèøê³â ìîäåë³, òîáòî ïåðåêîíàºìî-
ñÿ, ùî
=
cov( , ) 0
tt
Yu
äëÿ áóäü-ÿêèõ â³äõèëåíü.
ϳäñòàâèâøè çíà÷åííÿ
t
C
ç ïåðøîãî ð³âíÿííÿ (8.1) ìîäåë³ â äðó-
ãå (8.2), îòðèìàºìî ñï³ââ³äíîøåííÿ
01
tttt
YaaYZu
=+ ++
,
ðîçâÿçàâøè ÿêå â³äíîñíî
t
Y
, ìàòèìåìî
0
11 1
1
11 1
t
tt
au
YZ
aa a
=+ +
−− −
. (8.17)
Çàçíà÷èìî, ùî êîåô³ö³ºíò
1
1
1
a
−
â îñòàííüîìó ñï³ââ³äíîøåíí³
º ãðîøîâèì ìóëüòèïë³êàòîðîì, ùî âèçíà÷àº, íà ÿêó âåëè÷èíó çðîñòàº
ñóêóïíèé ïðèáóòîê ç³ çá³ëüøåííÿì îáñÿãó ³íâåñòèö³é íà îäèíèöþ.
Íàÿâí³ñòü êîåô³ö³ºíòà
1
1
1
a
−
ïðè
t
u
ñâ³ä÷èòü ïðî çàëåæí³ñòü ì³æ
çì³ííîþ
t
Y
³ çàëèøêàìè ìîäåë³. ijéñíî, ç (8.17) ìàºìî
0
11
1
()
.
11
tt
a
MY Z
aa
=+
−−
(8.18)
 îñòàííüîìó ñï³ââ³äíîøåíí³ âðàõîâàíî òå, ùî
() 0,
t
Mu
=
à òàêîæ
òå, ùî çì³ííà
t
Z
º åêçîãåííîþ (íåçàëåæíîþ) äëÿ äàíî¿ ìîäåë³. Òîä³
ð³çíèöÿ ì³æ (8.17) ³ (8.18) ñòàíîâèòü
1
()
.
1
t
tt
u
YMY
a
−=
−
Îòæå,
()
2
2
11 1
cov
(
,
) (( ( ))( ( )))
1
0.
11 1
tt t t t t
t
tt
Yu M Y MY u Mu
u
Mu Mu
aa a
=− − =
σ
===>
−− −
134
Òóò ìè ñêîðèñòàëèñÿ òâåðäæåííÿì åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠ïðî òå, ùî
ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ
1
a
ïåðåáóâຠâ ìåæàõ
1
01.
a
<<
Îòæå, çàëèøêè ìîäåë³ êîðåëþþòü ³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ, òîìó çà-
ñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ äàñòü çì³ùåí³ òà íåîá´ðóíòîâàí³ îö³í-
êè ïàðàìåòð³â ìîäåë³.  îñòàííüîìó ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ïðîàíà-
ë³çóâàâøè îö³íêó
1
a
ïàðàìåòðà
1
a
ð³âíÿííÿ (8.1), îòðèìàíó çà
ÌÍÊ.
Ùîá çàáåçïå÷èòè íåîáõ³äíó ÿê³ñòü îö³íîê ïàðàìåòð³â (íåçì³ùåí³ñòü,
åôåêòèâí³ñòü ³ îá´ðóíòîâàí³ñòü), íàìàãàþòüñÿ íà ï³äñòàâ³ îö³íåíèõ ïà-
ðàìåòð³â ñêîðî÷åíî¿ (çâåäåíî¿) ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü îòðèìàòè îö³í-
êè ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè. Îäíàê òóò âèíèêຠïðîáëåìà îäíî-
çíà÷íèõ çàëåæíîñòåé ì³æ ïàðàìåòðàìè: ïðè ïîâåðíåíí³ â³ä ñêîðî÷åíî¿
ôîðìè ìîäåë³ äî ñòðóêòóðíî¿ (îáåðíåí³ ïåðåòâîðåííÿ) ìîæíà îòðèìà-
òè ºäèíå çíà÷åííÿ øóêàíîãî ïàðàìåòðà ÷è ê³ëüêà ð³çíèõ çíà÷åíü àáî
âçàãàë³ íå ìàòè çìîãè îòðèìàòè æîäíîãî.
Ùîá ïåðåäáà÷èòè ìîæëèâ³ âàð³àíòè ðîçâÿçàííÿ çàäà÷³ îö³íþâàííÿ
ïàðàìåòð³â ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, íåîáõ³äíî ïîïåðåäíüî äîñë³äè-
òè ìîäåëü, à ñàìå ïåðåâ³ðèòè ³äåíòèô³êîâàí³ñòü ñèñòåìè. ϳä ïðîáëåìîþ
³äåíòèô³êàö³¿ ðîçóì³þòü ìîæëèâ³ñòü ÷èñåëüíî¿ îö³íêè ïàðàìåòð³â ñòðóê-
òóðíèõ ð³âíÿíü çà îö³íêàìè êîåô³ö³ºíò³â çâåäåíèõ ð³âíÿíü.
Îçíà÷åííÿ 8.4. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, çàäàíà ñèñòåìîþ îäíî÷àñ-
íèõ ð³âíÿíü, íàçèâàºòüñÿ òî÷íî (ñòðîãî) ³äåíòèô³êîâàíîþ (îòîòîæ-
íåíîþ), ÿêùî îäíîçíà÷íî ìîæíà îòðèìàòè îö³íêè ¿¿ ïàðàìåòð³â íà
îñíîâ³ îö³íåíèõ ïàðàìåòð³â çâåäåíî¿ ìîäåë³.
Îçíà÷åííÿ 8.5. Íàä³äåíòèô³êîâàíîþ (ïåðåîòîòîæíåíîþ) íàçè-
âàºòüñÿ òàêà ìîäåëü, ùî äëÿ äåÿêèõ ¿¿ ïàðàìåòð³â ìîæíà îòðèìàòè
ê³ëüêà ê³ëüê³ñíèõ çíà÷åíü íà ï³äñòàâ³ ïàðàìåòð³â çâåäåíî¿ ôîðìè.
Êð³ì òîãî, ìîäåëü ìîæå áóòè íå³äåíòèô³êîâàíîþ (íåîòîòîæíå-
íîþ). Öå òðàïëÿºòüñÿ â òîìó ðàç³, ÿêùî ê³ëüê³ñòü íåâ³äîìèõ ïàðà-
ìåòð³â íàáàãàòî ïåðåâèùóº ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü, ÷åðåç ÿê³ ¿õ òðåáà îö³-
íèòè.
Îòæå, ïåðåõ³ä â³ä ñòðóêòóðíî¿ äî çâåäåíî¿ ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü
õî÷à é äຠçìîãó óñóíóòè ïðîáëåìó êîðåëüîâàíîñò³ ïîÿñíþþ÷î¿
çì³ííî¿ òà âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ, îäíàê ïðèçâîäèòü äî ³íøî¿ íå
ìåíø ñåðéîçíî¿ ïðîáëåìè ïðîáëåìè ³äåíòèô³êîâàíîñò³.
Ùîá çðîçóì³òè ïðîáëåìó ³äåíòèô³êîâàíîñò³, íåîáõ³äíî óñâ³äîìè-
òè ñóòü ïðèíöèïîâèõ ðîçá³æíîñòåé ì³æ ñòðóêòóðíèìè òà çâåäåíèìè
135
ð³âíÿííÿìè. Íàïðèêëàä, ó ìîäåë³ ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ
01 1 1
01 2 1
,0,
,0,
D
ttt
S
ttt
DS
tt
qpu
qpu
qq
=α +α + α <
=β +β + β <
=
îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ïîâåä³íêîâèõ ð³âíÿíü âèçíà÷àþòü ôóíêö³¿ ïî-
ïèòó òà ïðîïîçèö³¿. Îö³íþþ÷è êîåô³ö³ºíòè çâåäåíèõ ð³âíÿíü, ìè âèç-
íà÷àºìî òî÷êó ïåðåòèíó êðèâèõ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿, òîáòî ð³âíî-
âàæíó ö³íó òîâàðó òà éîãî ð³âíîâàæíó ê³ëüê³ñòü. Î÷åâèäíî,
îá÷èñëèâøè ö³ çíà÷åííÿ, íåìîæëèâî â³äíîâèòè ôóíêö³¿ ïîïèòó òà
ïðîïîçèö³¿, òîìó ùî ÷åðåç îäíó òî÷êó íà ïëîùèí³ ìîæíà ïðîâåñòè
íåñê³í÷åííî áàãàòî ë³í³é.
Ïîáóäóºìî çâåäåí³ ð³âíÿííÿ äëÿ ö³º¿ ìîäåë³. Âèêîðèñòàâøè óìî-
âó ð³âíîâàãè, îòðèìàºìî
01 1 01 2
.
tt t t
pu pu
α+α + =β+β +
Îñòàííº ð³âíÿííÿ, ðîçâÿçàíå â³äíîñíî
t
p
, ìຠâèãëÿä
0
,
tt
pu
+
=λ
(8.19)
äå
00 2 1
0
11 11
,
tt
t
uu
u
β−α −
λ= =
α−β α−β
âèïàäêîâà ñêëàäîâà.
ϳäñòàâëÿþ÷è çíàéäåíå çíà÷åííÿ p
t
ó ïî÷àòêîâ³ ð³âíÿííÿ, îòðè-
ìóºìî
1
,
tt
qv
=λ +
(8.20)
äå
αβ −αβ α −α
λ= =
α−β α−β
10 01 12 11
1
11 11
,
tt
t
uu
v
âèïàäêîâèé ÷ëåí.
гâíÿííÿ (8.19) ³ (8.20) óòâîðÿòü ñèñòåìó çâåäåíèõ ð³âíÿíü. Îä-
íàê ñèñòåìà ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ìຠ÷îòèðè íåâ³äîìèõ êîåô³ö³ºí-
òè:
0101
,,,
ααββ
. ²ç êóðñó àëãåáðè â³äîìî, ùî äëÿ îäíîçíà÷íîãî âèç-
íà÷åííÿ k íåâ³äîìèõ íåîáõ³äíî ìàòè ùîíàéìåíøå k (íåçàëåæíèõ)
ð³âíÿíü. Îòæå, ìè íå çìîæåìî îäíîçíà÷íî âèçíà÷èòè ÷îòèðè êîåô³-
ö³ºíòè, ìàþ÷è ëèøå ñèñòåìó ç äâîõ ð³âíÿíü:
136
00
0
11
10 01
1
11
,
.
β−α
λ=
α−β
αβ −αβ
λ=
α−β
Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî, â³äêèíóâøè âèïàäêîâ³ çàëèøêè ó çâåäå-
íèõ ð³âíÿííÿõ (8.19) ³ (8.20), ìîæíà âñòàíîâèòè çíà÷åííÿ
0
t
p
=λ
òà
1
t
q
=λ
, ÿêå ôàêòè÷íî âèçíà÷ຠòî÷êó ïåðåòèíó êðèâèõ ïîïèòó òà
ïðîïîçèö³¿ (òî÷êó ðèíêîâî¿ ð³âíîâàãè). Àëå ÷åðåç îäíó òî÷êó ìîæíà
ïðîâåñòè ÿê çàâãîäíî áàãàòî ë³í³é (ðèñ. 8.3, à). Òîìó äëÿ âèçíà÷åííÿ
êîíêðåòíèõ ïðÿìèõ íåîáõ³äíà äîäàòêîâà ³íôîðìàö³ÿ, ÿêó ìîæíà îò-
ðèìàòè çà ðàõóíîê åêçîãåííèõ çì³ííèõ, ùî âõîäÿòü äî ñòðóêòóðíèõ
ð³âíÿíü.
àá â
Ðèñ. 8.3
Íàïðèêëàä, íåõàé äî ôóíêö³¿ ïîïèòó äîäàíî ùå îäíó ïîÿñíþþ÷ó
(åêçîãåííó) çì³ííó
t
y
ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â. Òîä³ ìîäåëü ïîïèò
ïðîïîçèö³ÿ ìàòèìå âèãëÿä:
04 2 1 1 2
01 2
(
0, 0
)
,
.
D
tttt
S
ttt
qpyu
qpu
=α +α +α + α < α >
=β +β +
(8.21)
Òàêå äîïîâíåííÿ äî ìîäåë³ äຠäåÿêó äîäàòêîâó ³íôîðìàö³þ ïðî
ïîâåä³íêó ñïîæèâà÷à. Çã³äíî ç åêîíîì³÷íîþ òåîð³ºþ, äëÿ íîðìàëüíèõ
òîâàð³â
2
0
a
>
.
137
Ïðèð³âíÿâøè îáñÿã ïîïèòó ³ îáñÿã ïðîïîçèö³¿, ìàòèìåìî
01 2 1 01 2
ttt tt
py p
α+α +α +ε =β+β +ε
àáî
=λ +λ +
01
ttt
pyv
, (8.22)
äå
00 2 21
01
11 11 11
,,.
tt
t
v
β−α α ε −ε
λ= λ=− =
α−β α−β α−β
Ïðèð³âíÿâøè ö³íó ïîïèòó òà ö³íó ïðîïîçèö³¿ â òî÷ö³ ð³âíîâàãè,
îòðèìàºìî
23
ttt
qyw
=λ +λ +
, (8.23)
äå
10 01 21 12 11
23
11 11 11
,, .
tt
t
w
αβ −αβ αβ αε −βε
λ= λ=− =
α−β α−β α−β
гâíÿííÿ (8.22) ³ (8.23) º çâåäåíèìè. Çàñòîñóâàâøè ÌÍÊ, íåâàæ-
êî çíàéòè îö³íêè ¿õ ïàðàìåòð³â
0
λ
,
1
λ
,
2
λ
,
3
λ
. Îäíàê öüîãî íåäîñòàò-
íüî äëÿ òîãî, ùîá îö³íèòè ïÿòü ïàðàìåòð³â
0
α
,
1
α
,
2
α
,
0
β
,
1
β
ïî÷àò-
êîâî¿ ñèñòåìè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. Ìè ìîæåìî âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè
0
β
³
1
β
ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ ñèñòåìè (8.21):
3
1
1
0210
,
.
λ
β=
λ
β=λ−βλ
Àëå
0
α
,
1
α
,
2
α
âèçíà÷èòè îäíîçíà÷íî íå ìîæíà. Îòæå, ïîòð³áíî
äåÿêå äîâèçíà÷åííÿ. Çàóâàæèìî, ùî ââåäåííÿì ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿
ó ôóíêö³þ ïîïèòó (ïåðøå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (8.21) ìè âèçíà÷èëè
ôóíêö³þ ïðîïîçèö³¿ (äðóãå ð³âíÿííÿ ö³º¿ ñàìî¿ ìîäåë³) (ðèñ. 8.3).
ßêùî ó ôóíêö³þ ïðîïîçèö³¿ ââåñòè ïîÿñíþþ÷ó çì³ííó (íàïðèêëàä,
çàçäàëåã³äü âèçíà÷åíó çì³ííó
1
t
p
−
), âèêëþ÷èâøè ïðè öüîìó ç ôóíêö³¿
ïîïèòó çì³ííó, ùî âèçíà÷ຠïðèáóòîê, ìîæíà îòðèìàòè êîíêðåòíó
ôóíêö³þ ïîïèòó ïðè íåâèçíà÷åí³é ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ (ðèñ. 8.3).
Öåé âèñíîâîê îáãðóíòîâóºòüñÿ çà àíàëî㳺þ ç ïîïåðåäíüî îïèñàíîþ
ñõåìîþ òà ðåêîìåíäóºòüñÿ ÿê âïðàâà äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè.
(8.24)
(8.25)
138
Çàçíà÷èìî, ùî ÿêùî â êîæíå ç³ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ìîäåë³ ïî-
ïèò ïðîïîçèö³ÿ ïîðÿä ³ç ö³íîþ òîâàðó áóäå ââåäåíî ïî îäí³é ïî-
ÿñíþþ÷³é (åêçîãåííî âèçíà÷åí³é) çì³íí³é (íàïðèêëàä, y
t
ó ôóíêö³þ
ïîïèòó é
1
t
p
−
ó ôóíêö³þ ïðîïîçèö³¿), òî êîåô³ö³ºíòè ñòðóêòóðíèõ
ð³âíÿíü ìîæóòü áóòè îö³íåí³ îäíîçíà÷íî. Ó öüîìó ðàç³ ìîäåëü áóäå
îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíîþ, òîáòî ³äåíòèô³êîâàíîþ.
Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ ç ê³ëüê³ñòþ åêçîãåííèõ
çì³ííèõ, ùî ïåðåâèùóº ê³ëüê³ñòü ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü:
01231
01 212
,
,
D
ttttt
S
tttt
qpys
qpp
−
=α +α +α +α +ε
=β +β +β +ε
äå çì³ííà
t
s
îáñÿã çàîùàäæåíü äî ìîìåíòó ÷àñó t.
Ç óìîâè ðèíêîâî¿ ð³âíîâàãè íåñêëàäíî îòðèìàòè òàê³ çâåäåí³
ð³âíÿííÿ:
−
−
=λ +λ +λ +λ +
=λ +λ +λ +λ +
01 2 31
45 6 71
,
,
ttttt
ttttt
pyspv
qyspw
00 2 3
01 2
11 11 11
21001
34
11 11
21 31 12
567
11 11 11
;;;
;;
;;;
β−α α α
λ= λ=− λ=−
α−β α−β α−β
βαβ−αβ
λ= λ=
α−β α−β
αβ αβ αβ
λ=− λ=− λ=−
α−β α−β α−β
(8.26)
äå
12 11 2 1
11 11
;.
tt tt
tt
vw
αε −βε ε −ε
==
α−β α−β
Äëÿ îö³íêè ñåìè ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â
0
α
,
1
α
,
2
α
,
3
α
,
0
β
,
1
β
,
2
β
ó öüîìó ðàç³ îòðèìàíî â³ñ³ì ð³âíÿíü (8.26). ßê íàñë³äîê, îä-
íîçíà÷íå âèçíà÷åííÿ ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â íåìîæëèâå ÷åðåç ñó-
ïåðå÷ëèâ³ñòü ñï³ââ³äíîøåíü. Íàïðèêëàä, ç (8.26) âèïëèâຠíåìîæ-
ëèâ³ñòü âèçíà÷åííÿ
1
β
. ijéñíî,
162
β=λ λ
³
151
β=λ λ
. Àëå öå
139
ìîæëèâî ëèøå çà óìîâè
62 51
λλ=λλ
, ùî íåðåàëüíî, îñê³ëüêè êî-
åô³ö³ºíò
1
β
, ÿêèé ì³ñòèòüñÿ â óñ³õ ð³âíÿííÿõ äëÿ îö³íêè çâåäåíèõ êî-
åô³ö³ºíò³â, òàêîæ íåäîñêîíàëèé. Ó öüîìó ðàç³ ìàºìî ñèòóàö³þ ïåðå-
âèçíà÷åíîñò³ àáî íàä³äåíòèô³êîâàíîñò³, òîáòî çàíàäòî áàãàòî
³íôîðìàö³¿ (îáìåæåíü) äëÿ âèçíà÷åííÿ ë³í³¿ äîõîäó. ×åðåç ñóïåðå÷-
ëèâ³ñòü ³íôîðìàö³¿ íåìîæëèâî îòðèìàòè øóêàíèé ðîçâÿçîê.
Ó ñèòóàö³¿ íå³äåíòèô³êîâàíîñò³ çàíàäòî ìàëî ³íôîðìàö³¿, à òîìó
³ñíóº ê³ëüêà ð³çíèõ ë³í³é, ùî çàäîâîëüíÿþòü îáìåæåííÿ ìîäåë³.
Íåîáõ³äí³ é äîñòàòí³ óìîâè ³äåíòèô³êîâàíîñò³
Ùîá øâèäøå ôîðìàëüíî âèçíà÷èòè ³äåíòèô³êîâàí³ñòü ñòðóêòóð-
íèõ ð³âíÿíü, çàñòîñîâóþòü òàê³ íåîáõ³äí³ é äîñòàòí³ óìîâè. Íåõàé
ñèñòåìà îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü ì³ñòèòü N ð³âíÿíü â³äíîñíî N åíäîãåí-
íèõ çì³ííèõ, à òàêîæ M åêçîãåííèõ àáî çàçäàëåã³äü âèçíà÷åíèõ
çì³ííèõ. Êð³ì òîãî, äëÿ äåÿêîãî ð³âíÿííÿ ê³ëüê³ñòü åíäîãåííèõ ³ åê-
çîãåííèõ çì³ííèõ ó ïåðåâ³ðö³ íà ³äåíòèô³êîâàí³ñòü äîð³âíþº â³äïî-
â³äíî n ³ m. Çì³íí³, ùî íå âõîäÿòü ó äàíå ð³âíÿííÿ, àëå âõîäÿòü â ³íø³
ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, íàçâåìî âèêëþ÷åíèìè çì³ííèìè (ç äàíîãî ð³âíÿí-
íÿ). ¯õ ê³ëüê³ñòü äîð³âíþº Nn äëÿ åíäîãåííèõ ³ Mm äëÿ åêçîãåííèõ
çì³ííèõ.
Ïåðøà íåîáõ³äíà óìîâà. гâíÿííÿ ³äåíòèô³êîâàíå, ÿêùî âîíî âèê-
ëþ÷ຠïðèíàéìí³ N1 çì³ííó (åíäîãåííó ÷è åêçîãåííó), ùî ïðèñóò-
íÿ â ìîäåë³:
()( ) 1.Nn Mm N
−+ −≥−
Äðóãà íåîáõ³äíà óìîâà. гâíÿííÿ ³äåíòèô³êîâàíå, ÿêùî ê³ëüê³ñòü
âèêëþ÷åíèõ ç íüîãî åêçîãåííèõ çì³ííèõ íå ìåíøå ê³ëüêîñò³ åíäîãåí-
íèõ çì³ííèõ ó öüîìó ð³âíÿíí³, çìåíøåíî¿ íà îäèíèöþ:
1Mmn
−≥−
.
Çíàêè ð³âíîñò³ â îáîõ íåîáõ³äíèõ óìîâàõ â³äïîâ³äàþòü òî÷í³é ³äåí-
òèô³êîâàíîñò³ ð³âíÿííÿ.
Íàâåäåìî ïðèêëàäè âèêîðèñòàííÿ çàçíà÷åíèõ óìîâ äëÿ âèçíà÷åí-
íÿ ³äåíòèô³êîâàíîñò³ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü.
Ó ïðîñò³é ìîäåë³ ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ
2
01 1
01
,
t
D
ttt
S
tt
qp
qp
=α +α +ε
=β +β +ε
140
2N
=
,
0M
=
. Äëÿ êîæíîãî ç ð³âíÿíü n
=
2, m
=
0. Îòæå, ïåðøà íå-
îáõ³äíà óìîâà, à ñàìå
()( ) 1Nn Mm N
−+ −≥−
, íå âèêîíóºòüñÿ äëÿ
îáîõ ð³âíÿíü, òîìó ùî â öüîìó ðàç³
()( )0Nn Mm
−+ −=
<
11N
−=
.
Öå îçíà÷àº, ùî âîíè îáèäâà íå³äåíòèô³êîâàí³.
2. Ó ìîäåë³ (8.21) äî ôóíêö³¿ ïîïèòó äîäàíî åêçîãåííó çì³ííó y
t
(ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â):
01 2 1 1 2
01 2 1
(
0, 0
)
,
(
0
)
,
D
tttt
S
ttt
qpy
qp
=α +α +α +ε α < α >
=β +β +ε β >
2N
=
,
1M
=
. Äëÿ êîæíîãî ç ð³âíÿíü
2n
=
. Äëÿ ïåðøîãî ð³âíÿííÿ
1m
=
, äëÿ äðóãîãî
0m
=
. Òîä³ äëÿ ïåðøîãî ð³âíÿííÿ
()( )01 1Nn Mm N
−+ −=<=−
. À öå îçíà÷àº, ùî ïåðøà íåîáõ³äíà
óìîâà íå âèêîíóºòüñÿ ³ äàíå ð³âíÿííÿ íå³äåíòèô³êîâàíå. Äëÿ äðóãî-
ãî ð³âíÿííÿ ö³º¿ ñèñòåìè
()( )1 1Nn Mm N
−+ − ==−
, òîáòî äàíå
ð³âíÿííÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíå. Îòæå, ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ìîæå áóòè
âèçíà÷åíà îäíîçíà÷íî.
3. Ó ìîäåë³
01 2 1
01 212
,
D
tttt
S
tttt
qpy
qpp
−
=α +α +α +ε
=β +β +β +ε
2N
=
,
2M
=
. Äëÿ êîæíîãî ð³âíÿííÿ
2n
=
,
1m
=
. Ó öüîìó ðàç³ äëÿ
êîæíîãî ç ð³âíÿíü âèêîíóºòüñÿ óìîâà
()( )1 1Nn Mm N
−+ − ==−
.
Îòæå, îáèäâà ð³âíÿííÿ ö³º¿ ñèñòåìè òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³.
3. Ó ìîäåë³ ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ, äå âðàõîâàíî òðè åêçîãåíí³
çì³íí³:
01231
01 212
,
,
D
ttttt
S
t ttt
qpys
qpp
−
=α +α +α +α +ε
=β +β +β +ε
2N
=
,
3M
=
. Äëÿ êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè
2n
=
. ʳëüê³ñòü âèê-
ëþ÷åíèõ çì³ííèõ ó ïåðøîìó ð³âíÿíí³
2m
=
. Òîä³ ïåðøå ð³âíÿííÿ
òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíå, òîìó ùî äëÿ íüîãî
()( )Nn Mm
−+ − =
11N
== −
. Äëÿ äðóãîãî ð³âíÿííÿ m
=
1. Îòæå, äëÿ íüîãî
()( )21 1Nn Mm N
−+ −=>=−
. Öå ð³âíÿííÿ º ïåðåâèçíà÷åíèì.