Лещинський О.Л. Економетрія

Подождите немного. Документ загружается.

Ðîçä³ë 1. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ

ÿê ìåòîä íàóêîâîãî ï³çíàííÿ

åêîíîì³÷íèõ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â

1.1. Çàãàëüí³ ïðèíöèïè ìîäåëþâàííÿ

â åêîíîì³ö³

1.1.1. Ïîíÿòòÿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³

Ïðè âèâ÷åíí³ ñêëàäíèõ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â òà ÿâèù ÷àñòî çàñòî-

ñîâóºòüñÿ ìîäåëþâàííÿ. Ìîäåëü  öå ñïåö³àëüíî ñòâîðåíèé îáºêò, íà

ÿêîìó â³äòâîðþþòüñÿ ïåâí³ õàðàêòåðèñòèêè äîñë³äæóâàíîãî ÿâèùà,

à ìîäåëþâàííÿ  öå êîíêðåòíå â³äòâîðåííÿ öèõ õàðàêòåðèñòèê, ùî

äàº çìîãó âèâ÷àòè ìîæëèâó ïîâåä³íêó ÿâèùà áåç ïðîâåäåííÿ åêñïå-

ðèìåíò³â íàä íèì.

Ìîäåëþâàííÿ º âàæëèâèì ³íñòðóìåíòîì íàóêîâî¿ àáñòðàêö³¿, ùî

äîïîìàãàº âèîêðåìèòè, óîñîáèòè òà ïðîàíàë³çóâàòè ñóòòºâ³ äëÿ äàíîãî

îáºêòà õàðàêòåðèñòèêè (âëàñòèâîñò³, âçàºìîçâÿçêè, ñòðóêòóðí³ òà

ôóíêö³îíàëüí³ ïàðàìåòðè).

Äëÿ åêîíîì³êè, äå íåìîæëèâå áóäü-ÿêå åêñïåðèìåíòóâàííÿ, îñîá-

ëèâîãî çíà÷åííÿ íàáóâàº ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ. Çàâäÿêè çàñòî-

ñóâàííþ ïîòóæíîãî ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó âîíî º íàéåôåêòèâí³øèì

³ íàéäîñêîíàë³øèì ìåòîäîì. Ó ñâîþ ÷åðãó, ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè íå

ìîæóòü çàñòîñîâóâàòèñÿ áåçïîñåðåäíüî ùîäî ä³éñíîñò³, à ëèøå ùîäî

ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé òîãî ÷è ³íøîãî êîëà ÿâèù.

Ïðèêëàäàìè åêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé º ìîäåë³ ñïîæèâ÷îãî âèáîðó,

ìîäåë³ ô³ðìè, ìîäåë³ åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ, ìîäåë³ ð³âíîâàãè íà

òîâàðíèõ, ôàêòîðíèõ ³ ô³íàíñîâèõ ðèíêàõ òîùî.

Ïîâåä³íêà é çíà÷åííÿ áóäü-ÿêîãî åêîíîì³÷íîãî ïîêàçíèêà çàëå-

æàòü ïðàêòè÷íî â³ä áåçë³÷³ ôàêòîð³â, óñ³ ¿õ óðàõóâàòè íåðåàëüíî. Àëå

â öüîìó é íåìàº ïîòðåáè. Çâè÷àéíî ëèøå îáìåæåíà ê³ëüê³ñòü ôàê-

òîð³â íàñïðàâä³ ³ñòîòíî âïëèâàº íà äîñë³äæóâàíèé åêîíîì³÷íèé ïî-

êàçíèê. Âïëèâ ³íøèõ ôàêòîð³â íàñò³ëüêè íåçíà÷íèé, ùî ¿õ ³ãíîðóâàí-

íÿ íå ìîæå ïðèçâåñòè äî ³ñòîòíèõ â³äõèëåíü ó ïîâåä³íö³ äîñë³äæóâà-

íîãî îáºêòà. Âèîêðåìëåííÿ é óðàõóâàííÿ â ìîäåë³ ëèøå îáìåæåíî¿

ê³ëüêîñò³ ðåàëüíî äîì³íóþ÷èõ ôàêòîð³â ³ º âàæëèâîþ ïåðåäóìîâîþ

ÿê³ñíîãî àíàë³çó, ïðîãíîçóâàííÿ é êåðóâàííÿ ñèòóàö³ºþ.

Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü, àáè áóòè åôåêòèâíèì ³íñòðóìåíòîì âèâ÷åí-

íÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â, íàñàìïåðåä ìàº â³äïîâ³äàòè òàêèì âèìîãàì:

áóäóâàòèñÿ íà îñíîâ³ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿ é â³äáèâàòè îáºêòèâí³ çà-

êîíîì³ðíîñò³ ïðîöåñ³â;

ïðàâèëüíî â³äòâîðþâàòè ôóíêö³þ òà (÷è) ñòðóêòóðó ðåàëüíî¿ åêî-

íîì³÷íî¿ ñèñòåìè;

â³äïîâ³äàòè ïåâíèì ìàòåìàòè÷íèì óìîâàì (ìàòè ðîçâÿçîê, óçãîä-

æåí³ ðîçì³ðíîñò³ òîùî).

Ïðèðîäíî, ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü áóäü-ÿêî¿ ìîäåë³ ìîæóòü ìàòè

ïðàêòè÷íó ö³íí³ñòü, ÿêùî ìîäåëü àäåêâàòíà ÿâèùó, ùî âèâ÷àºòüñÿ,

òîáòî äîñèòü äîáðå â³äòâîðþº ðåàëüíó ñèòóàö³þ.

1.1.2. Åòàïè ïîáóäîâè åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³

Ïðîöåñ ïîáóäîâè ìîäåë³ ñêëàäàºòüñÿ ç òàêèõ åòàï³â:

1) ôîðìóëþþòüñÿ ïðåäìåò ³ ìåòà äîñë³äæåííÿ;

2) ó äîñë³äæóâàí³é åêîíîì³÷í³é ñèñòåì³ âèîêðåìëþþòüñÿ ñòðóê-

òóðí³ ÷è ôóíêö³îíàëüí³ åëåìåíòè, ùî â³äïîâ³äàþòü ïîñòàâëåí³é ìåò³,

âèçíà÷àþòüñÿ íàéâàæëèâ³ø³ ÿê³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè öèõ åëåìåíò³â;

3) ñëîâåñíî, ÿê³ñíî îïèñóþòüñÿ âçàºìîçâÿçêè ì³æ åëåìåíòàìè

ìîäåë³;

4) óâîäÿòüñÿ ñèìâîë³÷í³ ïîçíà÷åííÿ äëÿ â³äïîâ³äíèõ õàðàêòåðèñ-

òèê åêîíîì³÷íîãî îáºêòà òà ôîðìàë³çóþòüñÿ, íàñê³ëüêè ìîæëèâî,

âçàºìîçâÿçêè ì³æ íèìè, òèì ñàìèì ôîðìàë³çóºòüñÿ (îïèñóºòüñÿ ìî-

âîþ ìàòåìàòèêè) ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü;

5) âèêîíóþòüñÿ ðîçðàõóíêè çà ìàòåìàòè÷íîþ ìîäåëëþ òà àíàë³-

çóþòüñÿ îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè.

Çàóâàæèìî, ùî ð³çí³ çà ïðèðîäîþ åêîíîì³÷í³ ÿâèùà ìîæóòü ìàòè

îäíàêîâèé ìàòåìàòè÷íèé âèðàç, õî÷à åêîíîì³÷íà ³íòåðïðåòàö³ÿ ìîäåë³

òà ðåçóëüòàòè ðîçðàõóíê³â áóäóòü ð³çíèìè.

Çà âèçíà÷åííÿì, áóäü-ÿêà åêîíîì³÷íà ìîäåëü º àáñòðàêòíîþ, à îò-

æå, íåïîâíîþ. Öå ïîâÿçàíî ç òèì, ùî äëÿ âèîêðåìëåííÿ çàêîíîì³ðíî-

ñòåé ôóíêö³îíóâàííÿ åêîíîì³÷íîãî îáºêòà ïîòð³áíî àáñòðàãóâàòèñÿ

â³ä ³íøèõ ôàêòîð³â, ÿê³ õî÷ ³ ìàþòü íåçíà÷íèé âïëèâ, îäíàê ó ñóêóï-

íîñò³ ìîæóòü âèçíà÷àòè íå ëèøå â³äõèëåííÿ â ïîâåä³íö³ îáºêòà, à é

éîãî ïîâåä³íêó. Çâè÷àéíî ââàæàþòü, ùî âñ³ ôàêòîðè, íåâðàõîâàí³ ÿâíî

â ìîäåë³, ìàþòü íåçíà÷íèé ðåçóëüòóþ÷èé âïëèâ íà ïðîöåñ ÷è ÿâèùå,

ùî äîñë³äæóºòüñÿ. Ñêëàä óðàõîâàíèõ ôàêòîð³â ³ ¿õ ñòðóêòóðà êîðè-

ãóþòüñÿ â ïðîöåñ³ âäîñêîíàëåííÿ ìîäåë³.

1.1.3. Êëàñèô³êàö³ÿ ìîäåëåé

Ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â åêîíîì³ö³, ìîæíà

ïîä³ëèòè íà êëàñè çà ðÿäîì îçíàê. Çàëåæíî â³ä îñîáëèâîñòåé îáºêòà

ìîäåëþâàííÿ òà çàñòîñîâàíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ³íñòðóìåíòàð³þ âèîê-

ðåìëþþòü òàê³ ìîäåë³: ìàêðî- òà ì³êðîåêîíîì³÷í³, òåîðåòè÷í³ òà ïðè-

êëàäí³, ñòàòè÷í³ òà äèíàì³÷í³, äåòåðì³íîâàí³ òà ñòîõàñòè÷í³, îïòèì³-

çàö³éí³ òà ìîäåë³ ð³âíîâàãè òîùî.

Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïèñóþòü åêîíîì³êó çàãàëîì, ïîâÿçóþ÷è ì³æ

ñîáîþ óçàãàëüíåí³ ìàòåð³àëüí³ òà ô³íàíñîâ³ ïîêàçíèêè: ÂÂÏ, ñïîæèâàí-

íÿ, ³íâåñòèö³¿, çàéíÿò³ñòü, ïðîöåíòíó ñòàâêó, ê³ëüê³ñòü ãðîøåé òîùî. Ì³êðî-

åêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïèñóþòü âçàºìîä³þ ñòðóêòóðíèõ ³ ôóíêö³îíàëüíèõ

ñêëàäîâèõ åêîíîì³êè àáî ïîâåä³íêó îêðåìî¿ ñêëàäîâî¿ â ðèíêîâîìó ñå-

ðåäîâèù³. Çàâäÿêè ð³çíîìàí³òòþ òèï³â åêîíîì³÷íèõ åëåìåíò³â ³ ôîðì ¿õ

âçàºìîä³¿ íà ðèíêó ì³êðîåêîíîì³÷íå ìîäåëþâàííÿ ñòàíîâèòü îñíîâíó ÷à-

ñòèíó åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íî¿ òåîð³¿. Îñòàíí³ìè ðîêàìè íàéñóòòºâ³ø³ òå-

îðåòè÷í³ ðåçóëüòàòè â ì³êðîåêîíîì³÷íîìó ìîäåëþâàíí³ îòðèìàíî â ïðî-

öåñ³ äîñë³äæåííÿ ñòðàòåã³÷íî¿ ïîâåä³íêè ô³ðì â óìîâàõ îë³ãîïîë³¿.

Òåîðåòè÷í³ ìîäåë³ äàþòü çìîãó âèâ÷àòè çàãàëüí³ âëàñòèâîñò³ åêî-

íîì³êè òà ¿¿ õàðàêòåðíèõ åëåìåíò³â ³ îòðèìóâàòè íîâ³ ðåçóëüòàòè íà

ï³äñòàâ³ ôîðìàëüíèõ ïðèïóùåíü. Çà äîïîìîãîþ ïðèêëàäíèõ ìîäåëåé

ìîæíà îö³íèòè ïåâí³ åêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè, íàäàòè ¿ì êîíêðåòíèõ

çíà÷åíü âèõîäÿ÷è ç â³äïîâ³äíî¿ ñòàòèñòè÷íî¿ ³íôîðìàö³¿.

Ó ñòàòè÷íèõ ìîäåëÿõ îïèñóºòüñÿ ñòàí åêîíîì³÷íîãî îáºêòà â ïåâ-

íèé ìîìåíò ÷è ïåð³îä ÷àñó, à äèíàì³÷í³ ìîäåë³ âèâ÷àþòü âçàºìîçâÿç-

êè åêîíîì³÷íèõ çì³ííèõ ó ÷àñ³. Çì³íí³, ùî âèâ÷àþòüñÿ â äèíàì³ö³,

ó ñòàòè÷íèõ ìîäåëÿõ ìàþòü ô³êñîâàíå çíà÷åííÿ. Îäíàê äèíàì³÷íà ìî-

äåëü íå çâîäèòüñÿ äî ïðîñòî¿ ñóìè ñòàòè÷íèõ ìîäåëåé, à îïèñóº âçàº-

ìîä³þ ñèë, ùî ðóõàþòü åêîíîì³êó.

Äåòåðì³íîâàí³ ìîäåë³ ïåðåäáà÷àþòü æîðñòê³ ôóíêö³îíàëüí³ çâÿç-

êè ì³æ çì³ííèìè ìîäåë³, à ñòîõàñòè÷í³  ïðèïóñêàþòü íàÿâí³ñòü âè-

ïàäêîâèõ âïëèâ³â íà äîñë³äæóâàí³ ïîêàçíèêè.

Ó ìîäåëþâàíí³ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè âàæëèâå ì³ñöå íàëåæèòü ìîäå-

ëÿì ð³âíîâàãè. Âîíè îïèñóþòü òàêèé ñòàí åêîíîì³êè, êîëè âñ³ ñèëè, ùî

íàìàãàþòüñÿ âèâåñòè ¿¿ ç ð³âíîâàãè, ìàþòü íóëüîâó ñóìàðíó ä³þ. Îïòè-

ì³çàö³éí³ ìîäåë³ íàé÷àñò³øå çàñòîñîâóþòü íà ì³êðîð³âí³: âîíè äàþòü

çìîãó âèçíà÷àòè íàéêðàù³ ð³øåííÿ â óìîâàõ îáìåæåíèõ ìîæëèâîñòåé.

Ïðåäìåòîì åêîíîìåòðè÷íîãî äîñë³äæåííÿ º ïðèêëàäí³ ñòîõàñòè÷í³

åêîíîì³÷í³ ìîäåë³, òîáòî çàãàëüí³ åêîíîì³÷í³ ìîäåë³, ó ÿêèõ ìîäåëüí³

êîåô³ö³ºíòè íàáóâàþòü êîíêðåòíèõ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü çàëåæíî â³ä

âèêîðèñòàíî¿ ñòàòèñòè÷íî¿ ³íôîðìàö³¿.

1.2. Êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèé àíàë³ç

â åêîíîì³ö³

Ó áàãàòüîõ çàäà÷àõ ïîòð³áíî âñòàíîâèòè òà îö³íèòè çàëåæí³ñòü

äåÿêîãî åêîíîì³÷íîãî ïîêàçíèêà â³ä îäíîãî ÷è ê³ëüêîõ ³íøèõ ïîêàç-

íèê³â. Î÷åâèäíî, áóäü-ÿê³ åêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè, çàçâè÷àé, ïåðåáóâà-

þòü ï³ä âïëèâîì âèïàäêîâèõ ôàêòîð³â, à òîìó ç ìàòåìàòè÷íî¿ òî÷êè

çîðó ³íòåðïðåòóþòüñÿ ÿê âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè.

Ç òåîð³¿ éìîâ³ðíîñòåé â³äîìî, ùî âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè ìîæóòü áóòè

ïîâÿçàí³ ôóíêö³îíàëüíîþ ÷è ñòàòèñòè÷íîþ çàëåæí³ñòþ àáî æ óçàãàë³

áóòè íåçàëåæíèìè. Çâè÷àéíî, ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ íåçàëåæíèìè

çì³ííèìè òóò íå ðîçãëÿäàþòüñÿ. Ñòðîãà ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü

ðåàë³çóºòüñÿ â åêîíîì³ö³ ð³äêî. ×àñò³øå ñïîñòåð³ãàºòüñÿ òàê çâàíà ñòà-

òèñòè÷íà çàëåæí³ñòü.

Íàãàäàºìî, ùî ñòàòèñòè÷íîþ íàçèâàþòü çàëåæí³ñòü, êîëè ç³

çì³íþâàííÿì îäí³º¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè çì³íþºòüñÿ çàêîí ðîçïîä³-

ëó éìîâ³ðíîñòåé ³íøî¿. Çîêðåìà, ñòàòèñòè÷íà çàëåæí³ñòü âèÿâëÿºòü-

ñÿ â òîìó, ùî ç³ çì³íþâàííÿì îäí³º¿ âåëè÷èíè çì³íþºòüñÿ ñåðåäíº

çíà÷åííÿ ³íøî¿. Òàêà çàëåæí³ñòü íàçèâàºòüñÿ êîðåëÿö³éíîþ.

Íàïðèêëàä, ó çåìëåðîáñòâ³ ç îäíàêîâèõ çà ïëîùåþ ä³ëÿíîê çåìë³

ïðè ð³âíèõ ê³ëüêîñòÿõ âíåñåíèõ äîáðèâ çáèðàþòü ð³çíèé âðîæàé. Çâè-

÷àéíî, íåìàº ñòðîãî¿ ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ óðîæàéí³ñòþ

çåìë³ òà ê³ëüê³ñòþ âíåñåíèõ äîáðèâ. Öå ïîÿñíþºòüñÿ âïëèâîì âèïàä-

êîâèõ ôàêòîð³â (îïàäè, òåìïåðàòóðà ïîâ³òðÿ, ðîçòàøóâàííÿ ä³ëÿí-

êè òîùî). Âîäíî÷àñ, ÿê ïîêàçóº äîñâ³ä, ñåðåäí³é âðîæàé çàëåæèòü

â³ä ê³ëüêîñò³ âíåñåíèõ äîáðèâ, òîáòî çàçíà÷åí³ ïîêàçíèêè, íàïåâíå,

ïîâÿçàí³ êîðåëÿö³éíîþ çàëåæí³ñòþ.

Ìîæíà çàçíà÷èòè äâà òèïè âçàºìîçâÿçêó çì³ííèõ. Â îäíîìó âè-

ïàäêó íåâ³äîìî, ÿêà ç³ çì³ííèõ íåçàëåæíà, à ÿêà  çàëåæíà, òîáòî âîíè

ð³âíîïðàâí³ é çâÿçîê ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê â îäèí, òàê ³ â ³íøèé á³ê.

Ó äðóãîìó âèïàäêó çì³íí³ íåð³âíîïðàâí³, òîáòî çì³íþâàííÿ ëèøå

îäí³º¿ ç íèõ âïëèâàº íà çì³íþâàííÿ ³íøî¿, à íå íàâïàêè. Ó öüîìó ðàç³

ïðè ðîçãëÿä³ çâÿçêó ì³æ äâîìà çì³ííèìè âåëè÷èíàìè âàæëèâî âñòàíî-

âèòè íà îñíîâ³ ëîã³÷íîãî ì³ðêóâàííÿ, ÿêà ç îçíàê º ïðè÷èíîþ, à ÿêà 

íàñë³äêîì. Íàïðèêëàä, óðîæàéí³ñòü çàëåæèòü â³ä ðîäþ÷îñò³ çåìë³,

à íå íàâïàêè, òîáòî åêîíîì³÷íà îö³íêà çåìë³ º íåçàëåæíîþ çì³ííîþ,

à âðîæàéí³ñòü  çàëåæíîþ.

Âàðòî ìàòè íà óâàç³, ùî ñòàòèñòè÷íèé àíàë³ç çàëåæíîñòåé ñàì ïî

ñîá³ íå ðîçêðèâàº ñóòíîñò³ ïðè÷èííèõ çâÿçê³â ì³æ ÿâèùàìè, òîáòî

â³í íå âèð³øóº ïèòàííÿ, ç ÿêèõ ïðè÷èí îäíà çì³ííà âïëèâàº íà ³íøó.

Ðîçâÿçîê òàêî¿ çàäà÷³ º ðåçóëüòàòîì ÿê³ñíîãî (çì³ñòîâíîãî) âèâ÷åí-

íÿ çâÿçê³â, ùî îáîâÿçêîâî ìàº àáî ïåðåäóâàòè ñòàòèñòè÷íîìó àíàë³-

çó, àáî ñóïðîâîäæóâàòè éîãî.

Íåõàé ç ïåâíèõ åêîíîì³÷íèõ ì³ðêóâàíü âñòàíîâëåíî, ùî äåÿêèé

åêîíîì³÷íèé ïîêàçíèê x º ïðè÷èíîþ çì³íþâàííÿ ³íøîãî ïîêàçíèêà y.

Ñòàòèñòè÷í³ äàí³ ïî êîæíîìó ç ïîêàçíèê³â ³íòåðïðåòóþòüñÿ ÿê äåÿê³

ðåàë³çàö³¿ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí Õ ³ Y. ßê â³äîìî ç êóðñó òåîð³¿ éìîâ³ð-

íîñòåé, ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè íàçèâàºòü-

ñÿ ¿¿ ñåðåäíº (àðèôìåòè÷íå ÷è çâàæåíå) çíà÷åííÿ. À çàëåæí³ñòü ñå-

ðåäíüîãî çíà÷åííÿ â³ä ³íøî¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè çîáðàæóºòüñÿ çà

äîïîìîãîþ óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ.

Êîðåëÿö³éíó çàëåæí³ñòü ì³æ íèìè àáî çàëåæí³ñòü â ñåðåäíüîìó

â çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ ñï³ââ³äíîøåííÿ

(|) ()

MY x

(1.1)

äå

(|)

MY x

 óìîâíå ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ.

Ôóíêö³ÿ

()fx

íàçèâàºòüñÿ ôóíêö³ºþ ðåãðåñ³¿ Y íà X. Ïðè öüîìó X

íàçèâàºòüñÿ íåçàëåæíîþ (ïîÿñíþþ÷îþ) çì³ííîþ (ðåãðåñîðîì), Y  çà-

ëåæíîþ (ïîÿñíþâàíîþ) çì³ííîþ (ðåãðåñàíäîì). Ðîçãëÿäàþ÷è çà-

ëåæí³ñòü äâîõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, ãîâîðÿòü ïðî ïàðíó ðåãðåñ³þ.

Çàëåæí³ñòü Y â³ä ê³ëüêîõ çì³ííèõ, ùî îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ

12 12

,,,

)(

,,,

)

MY x x x F x x x

(1.2)

íàçèâàþòü ìíîæèííîþ ðåãðåñ³ºþ.

Òåðì³í ðåãðåñ³ÿ (ðóõ íàçàä, ïîâåðíåííÿ äî ïîïåðåäíüîãî ñòàíó)

óâ³â Ôðåíñ³ñ Ãàëòîí íàïðèê³íö³ XIX ñò., ïðîàíàë³çóâàâøè çàëåæí³ñòü

ì³æ çðîñòîì áàòüê³â ³ çðîñòîì ä³òåé. Â³í ïîì³òèâ, ùî çð³ñò ä³òåé ó äó-

æå âèñîêèõ áàòüê³â ó ñåðåäíüîìó ìåíøèé, í³æ ñåðåäí³é çð³ñò áàòüê³â.

Ó äóæå íèçüêèõ áàòüê³â, íàâïàêè, ñåðåäí³é çð³ñò ä³òåé âèùèé. Â îáîõ

âèïàäêàõ ñåðåäí³é çð³ñò ä³òåé ïðÿìóº (ïîâåðòàºòüñÿ) äî ñåðåäíüîãî

çðîñòó ëþäåé ó äàíîìó ðåã³îí³. Çâ³äñè é âèá³ð òåðì³íà, ùî â³äáèâàº

òàêó çàëåæí³ñòü.

Îäíàê ðåàëüí³ çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ íå çàâæäè çá³ãàþòüñÿ ç ¿¿

óìîâíèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì, òîìó àíàë³òè÷íà çàëåæí³ñòü

(ó âèãëÿä³ ôóíêö³¿

y ()fx

) ìàº áóòè äîïîâíåíà âèïàäêîâîþ ñêëà-

äîâîþ u, ùî, âëàñíå, ³ âêàçóº íà ñòîõàñòè÷íó ñóòí³ñòü çàëåæíîñò³.

Îçíà÷åííÿ 1.1. Çâÿçêè ì³æ çàëåæíîþ òà íåçàëåæíîþ (íåçàëåæ-

íèìè) çì³ííèìè, ùî îïèñóþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè

() ,yfx u

(1.3)

(

,,,

)

yFxx x u

, (1.4)

íàçèâàþòü ðåãðåñ³éíèìè ð³âíÿííÿìè (ìîäåëÿìè).

Âèíèêàº ïèòàííÿ ïðî ïðè÷èíè îáîâÿçêîâî¿ ïðèñóòíîñò³ â ðå-

ãðåñ³éíèõ ìîäåëÿõ âèïàäêîâîãî ôàêòîðà (â³äõèëåííÿ). Ñåðåä òàêèõ

ïðè÷èí âèîêðåìèìî íàé³ñòîòí³ø³.

1. Óâåäåííÿ â ìîäåëü íå âñ³õ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ. Áóäü-ÿêà ðåãðå-

ñ³éíà (çîêðåìà, åêîíîìåòðè÷íà) ìîäåëü  öå ñïðîùåííÿ ðåàëüíî¿ ñè-

òóàö³¿. Îñòàííÿ çàâæäè º ñêëàäíîþ êîìïîçèö³ºþ ð³çíèõ ôàêòîð³â,

áàãàòî ç ÿêèõ ó ìîäåë³ íå âðàõîâóþòüñÿ, ùî ïðèçâîäèòü äî â³äõèëåí-

íÿ ðåàëüíèõ çíà÷åíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â³ä ¿¿ ìîäåëüíèõ çíà÷åíü. Íà-

ïðèêëàä, ïîïèò íà òîâàð âèçíà÷àºòüñÿ éîãî ö³íîþ, ö³íàìè íà òîâàðè-

çàì³ííèêè, íà òîâàðè, ùî éîãî äîïîâíþþòü, ïðèáóòêîì ñïîæèâà÷³â,

¿õí³ìè ñìàêàìè, óïîäîáàííÿìè òîùî. Áåçóìîâíî, ïåðåë³÷èòè âñ³ ïîÿñ-

íþþ÷³ çì³íí³ ïðàêòè÷íî íåìîæëèâî. Çîêðåìà, íåìîæëèâî âðàõóâàòè

òàê³ ôàêòîðè, ÿê òðàäèö³¿, íàö³îíàëüí³ ÷è ðåë³ã³éí³ îñîáëèâîñò³, ãåîãðà-

ô³÷íå ïîëîæåííÿ ðàéîíó, ïîãîäó òà áàãàòî ³íøèõ, âïëèâ ÿêèõ ïðèçâî-

äèòü äî äåÿêèõ â³äõèëåíü ðåàëüíèõ ñïîñòåðåæåíü â³ä ìîäåëüíèõ. Ö³

â³äõèëåííÿ ìîæóòü áóòè îïèñàí³ ÿê âèïàäêîâà ñêëàäîâà ìîäåë³.

Ó äåÿêèõ âèïàäêàõ çàçäàëåã³äü íåâ³äîìî, ÿê³ ôàêòîðè çà óìîâ, ùî

ñêëàëèñÿ, íàñïðàâä³ º âèçíà÷àëüíèìè, à ÿêèìè ìîæíà çíåõòóâàòè.

Êð³ì òîãî, ³íêîëè áåçïîñåðåäíüî âðàõóâàòè ÿêèéñü ôàêòîð íåìîæ-

ëèâî ÷åðåç â³äñóòí³ñòü ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. Íàïðèêëàä, îáñÿã çà-

îùàäæåíü äîìîãîñïîäàðñòâ ìîæå âèçíà÷àòèñÿ íå ëèøå ïðèáóòêàìè

¿õ ÷ëåí³â, à é ñòàíîì çäîðîâÿ îñòàíí³õ, ³íôîðìàö³ÿ ïðî ÿêå â öèâ³ë³-

çîâàíèõ êðà¿íàõ ñòàíîâèòü ë³êàðñüêó òàºìíèöþ. Ó äåÿêèõ ñèòóàö³ÿõ

ðÿä ôàêòîð³â ìàº ïðèíöèïîâî âèïàäêîâèé õàðàêòåð, ùî äîäàº íå-

îäíîçíà÷íîñò³ ïåâíèì ìîäåëÿì, íàïðèêëàä ïîãîäà â ìîäåëÿõ, ùî ïðî-

ãíîçóþòü îáñÿã âðîæàþ.

2. Íåïðàâèëüíèé âèá³ð ôóíêö³îíàëüíî¿ ôîðìè ìîäåë³. ×åðåç ñëàáêó âèâ-

÷åí³ñòü äîñë³äæóâàíîãî ïðîöåñó àáî ÷åðåç éîãî ì³íëèâ³ñòü ìîæå áóòè íå-

ïðàâèëüíî ä³áðàíî ôóíêö³þ, ùî éîãî ìîäåëþº. Öå, áåçóìîâíî, ñïðè÷è-

íèòü â³äõèëåííÿ ìîäåë³ â³ä ðåàëüíîñò³, ùî ïîçíà÷èòüñÿ íà âåëè÷èí³

âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿. Íàïðèêëàä, âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ (Y) îäíîãî ôàêòî-

ðà (Õ) ìîæå ìîäåëþâàòèñÿ ôóíêö³ºþ

,YabX

õî÷à ìàëà á âèêîðèñ-

òîâóâàòèñÿ ³íøà ìîäåëü:

(

)

YaX b

=<<

ùî âðàõîâóº çàêîí ñïàäíî¿

åôåêòèâíîñò³. Êð³ì òîãî, íåïðàâèëüíèì ìîæå áóòè äîá³ð ïîÿñíþþ÷èõ

çì³ííèõ.

3. Àãðåãóâàííÿ çì³ííèõ. Ó áàãàòüîõ ìîäåëÿõ ðîçãëÿäàþòüñÿ çàëåæ-

íîñò³ ì³æ ôàêòîðàìè, ùî ñàì³ º ñêëàäíîþ êîìá³íàö³ºþ ³íøèõ, ïðî-

ñò³øèõ çì³ííèõ. Íàïðèêëàä, ïðè âèâ÷åíí³ ñóêóïíîãî ïîïèòó àíàë³-

çóºòüñÿ çàëåæí³ñòü, ó ÿê³é ïîÿñíþâàíà çì³ííà (ñóêóïíèé ïîïèò)

º ñêëàäíîþ êîìïîçèö³ºþ ³íäèâ³äóàëüíèõ ïîïèò³â, ùî òàêîæ ìîæå âè-

ÿâèòèñÿ ïðè÷èíîþ â³äõèëåííÿ ðåàëüíèõ çíà÷åíü â³ä ìîäåëüíèõ.

4. Ïîìèëêè âèì³ðþâàíü. ßêîþ á ÿê³ñíîþ íå áóëà ìîäåëü, ïîìèëêè

âèì³ðþâàííÿ çì³ííèõ âïëèâàòèìóòü íà ðîçá³æíîñò³ ì³æ ìîäåëüíèìè

òà åìï³ðè÷íèìè äàíèìè, ùî òàêîæ ïîçíà÷èòüñÿ íà âåëè÷èí³ âèïàä-

êîâîãî ÷ëåíà.

5. Îáìåæåí³ñòü ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. Íàé÷àñò³øå áóäóþòüñÿ ìî-

äåë³, ùî îïèñóþòüñÿ íåïåðåðâíèìè ôóíêö³ÿìè. À äëÿ îö³íþâàííÿ

ïàðàìåòð³â ìîäåë³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ íàá³ð äàíèõ, ùî ìàº äèñêðåò-

íó ñòðóêòóðó. Öÿ íåâ³äïîâ³äí³ñòü çíàõîäèòü â³äîáðàæåííÿ ó âèïàä-

êîâîìó â³äõèëåíí³.

6. Íåïåðåäáà÷óâàí³ñòü ëþäñüêîãî ôàêòîðà. Öÿ ïðè÷èíà ìîæå

ç³ïñóâàòè íàéÿê³ñí³øó ìîäåëü. Ä³éñíî, ïðè ïðàâèëüíîìó âèáîð³

ôîðìè ìîäåë³, ñêðóïóëüîçíîìó äîáîð³ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ íåìîæ-

ëèâî ñïðîãíîçóâàòè ïîâåä³íêó êîæíîãî ³íäèâ³äóóìà.

Ñóêóïí³ñòü ìåòîä³â, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ äîñë³äæóþòüñÿ òà óçàãàëü-

íþþòüñÿ âçàºìîçâÿçêè êîðåëÿö³éíî ïîâÿçàíèõ çì³ííèõ, íàçèâàºòü-

ñÿ êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèì àíàë³çîì.

Çàçíà÷åíèìè ìåòîäàìè ðîçâÿçóþòü äâ³ îñíîâí³ çàäà÷³:

1) çíàõîäæåííÿ çàãàëüíî¿ çàêîíîì³ðíîñò³, ùî õàðàêòåðèçóº çàëåæ-

í³ñòü äâîõ (÷è á³ëüøå) êîðåëÿö³éíî ïîâÿçàíèõ çì³ííèõ, òîáòî ðîç-

ðîáêà ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ çâÿçêó (çàäà÷à ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó);

2) âèçíà÷åííÿ ò³ñíîòè çâÿçêó (çàäà÷à êîðåëÿö³éíîãî àíàë³çó).

Çäåá³ëüøîãî ïðîöåäóðà àíàë³çó çâÿçêó ì³æ çì³ííèìè äàº çìîãó

âñòàíîâèòè éîãî ïðèðîäó, òîáòî âèçíà÷èòè ôîðìó çàëåæíîñò³ ì³æ

çì³ííèìè.

Ïîáóäîâà ÿê³ñíîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, ùî â³äïîâ³äàº åìï³ðè÷íèì

äàíèì ³ ö³ëÿì äîñë³äæåíü, º äîñèòü ñêëàäíèì ïðîöåñîì. Éîãî ìîæíà

ïîä³ëèòè íà òðè åòàïè:

1) âèá³ð ôîðìè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿;

2) âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â îáðàíîãî ð³âíÿííÿ;

3) àíàë³ç ÿêîñò³ ð³âíÿííÿ òà ïåðåâ³ðêà àäåêâàòíîñò³ ð³âíÿííÿ åì-

ï³ðè÷íèì äàíèì, óäîñêîíàëåííÿ ð³âíÿííÿ.

Âèá³ð ôîðìè çâÿçêó çì³ííèõ íàçèâàºòüñÿ ñïåöèô³êàö³ºþ ìîäåë³

ðåãðåñ³¿.

Ó âèïàäêó ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿ âèá³ð ôîðìóëè çâè÷àéíî çä³éñíþºòüñÿ

çà ãðàô³÷íèì çîáðàæåííÿì ðåàëüíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ ó âèãëÿä³

òî÷îê ó äåêàðòîâ³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò, ùî íàçèâàºòüñÿ êîðåëÿö³éíèì

ïîëåì (ä³àãðàìîþ ðîçñ³þâàííÿ) (ðèñ. 1.1).

Ðèñ. 1.1

Íà ðèñ. 1.1 ïðî³ëþñòðîâàíî òðè ñèòóàö³¿.

Íà ãðàô³êó 1.1, à âçàºìîçâÿçîê ì³æ X ³ Y áëèçüêèé äî ë³í³éíîãî,

³ ïðÿìà 1 äîñèòü äîáðå óçãîäæóºòüñÿ ç åìï³ðè÷íèìè òî÷êàìè. Òîìó

ùîá îïèñàòè çàëåæí³ñòü ì³æ X ³ Y, äîö³ëüíî âèáðàòè ë³í³éíó ôóíê-

ö³þ

Yb bX

Íà ãðàô³êó 1.1, á ðåàëüíèé âçàºìîçâÿçîê ì³æ X ³ Y, íàé³ìîâ³ðí³-

øå, îïèñóºòüñÿ êâàäðàòè÷íîþ ôóíêö³ºþ

YaX bXc

=++

(ë³í³ÿ 2).

Íà ãðàô³êó 1.1, â ÿâíèé âçàºìîçâÿçîê ì³æ X ³ Y â³äñóòí³é. Òîìó

ùîá êðàùå âèáðàòè ôîðìó çâÿçêó, íåîáõ³äíî, ìîæëèâî, çá³ëüøèòè

ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü  òî÷îê êîðåëÿö³éíîãî ïîëÿ àáî ñêîðèñòàòè-

ñÿ ³íøèìè ñïîñîáàìè âèì³ðþâàííÿ ïîêàçíèê³â.

Ó âèïàäêó ìíîæèííî¿ ðåãðåñ³¿ âèçíà÷èòè ôîðìè çàëåæíîñò³ ùå

ñêëàäí³øå.

ßêùî ïðèðîäà çâÿçêó íåâ³äîìà, òî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïîêàçíè-

êàìè îïèñóþòü çà äîïîìîãîþ íàáëèæåíèõ ñïðîùåíèõ ôîðì çàëåæ-

íîñòåé, íàñàìïåðåä ë³í³éíèõ.

Íàïðèêëàä, Êåéíñ çàïðîïîíóâàâ ë³í³éíó ôîðìóëó çàëåæíîñò³

³íäèâ³äóàëüíîãî ñïîæèâàííÿ C â³ä äîõîäó Y:

Cc bY

, äå



âåëè÷èíà àâòîíîìíîãî ñïîæèâàííÿ; b  ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïî-

æèâàííÿ, 0 < b <1.

Îäíàê ïîêè íå îá÷èñëåíî ê³ëüê³ñí³ çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â

³ b

é íå ïåðåâ³ðåíî íàä³éí³ñòü îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â, çàçíà÷åíà ôîðìó-

ëà çàëèøàºòüñÿ ëèøå ã³ïîòåçîþ.

1.3. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü òà ¿¿ åëåìåíòè

Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü  öå ëîã³÷íèé (çâè÷àéíî ìàòåìàòè÷íèé)

îïèñ òîãî, ùî åêîíîì³÷íà òåîð³ÿ ââàæàº îñîáëèâî âàæëèâèì ïðè äî-

ñë³äæåíí³ ïåâíî¿ ïðîáëåìè.

ßê ïðàâèëî, ìîäåëü ìàº ôîðìó ð³âíÿííÿ ÷è ñèñòåìè ð³âíÿíü, ùî

õàðàêòåðèçóþòü âèîêðåìëåí³ äîñë³äíèêîì âçàºìîçàëåæíîñò³ ì³æ

åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ùî ïîÿñíþº

ïîâåä³íêó îäíîãî ïîêàçíèêà, ñêëàäàºòüñÿ ç îäíîãî ð³âíÿííÿ, à ìî-

äåëü, ùî õàðàêòåðèçóº çì³íó ê³ëüêîõ ïîêàçíèê³â,  ³ç òàêî¿ ñàìî¿

ê³ëüêîñò³ ð³âíÿíü. Ó ìîäåë³ ìîæóòü áóòè òàêîæ òîòîæíîñò³, ùî

â³äáèâàþòü ôóíêö³îíàëüí³ çâÿçêè â ïåâí³é åêîíîì³÷í³é ñèñòåì³.

Îñê³ëüêè òàêà ìîäåëü ïîºäíóº íå ëèøå òåîðåòè÷íèé, ÿê³ñíèé àíàë³ç

âçàºìîçâÿçê³â, à é åìï³ðè÷íó ³íôîðìàö³þ, òî â í³é, íà â³äì³íó â³ä

ïðîñòî åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³, çàâæäè ïðèñóòí³ ñòîõàñòè÷í³ çàëèøêè.

Ñàìå éìîâ³ðí³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè çàëèøê³â ìîäåë³ çóìîâëþþòü

ÿê³ñòü ò³º¿ ÷è ³íøî¿ àíàë³òè÷íî¿ ôîðìè ìîäåë³.

Îòæå, ñôîðìóëþºìî òàêå îçíà÷åííÿ åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³.

Îçíà÷åííÿ 1.2. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü  öå ôóíêö³ÿ ÷è ñèñòåìà

ôóíêö³é, ùî îïèñóº êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèé çâÿçîê ì³æ åêîíîì³÷-

íèìè ïîêàçíèêàìè, ïðè÷îìó çàëåæíî â³ä ïðè÷èííèõ çâÿçê³â ì³æ

íèìè îäèí ÷è ê³ëüêà ³ç öèõ ïîêàçíèê³â ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê çàëåæí³

çì³íí³, à ³íø³  ÿê íåçàëåæí³.

Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ð³âíÿííÿ â åêîíîìåòðè÷í³é ìîäåë³ ìàº âè-

ãëÿä

(

, ,..., ,

)

Yfxx xu

äå Y  ðåçóëüòàò, àáî çàëåæíà çì³ííà, çì³íþâàííÿ ÿêî¿ îïèñóº äàíå

ð³âíÿííÿ;

, ,...,

xx x

 ôàêòîðè, àáî íåçàëåæí³ çì³íí³, ùî âèçíà÷à-

þòü ïîâåä³íêó Y. Çì³ííà u ì³ñòèòü òó ÷àñòèíó ðóõó Y, ùî íå ïîÿñ-

íþºòüñÿ çì³ííèìè

, ,...,

xx x

, ³ ìàº âèïàäêîâèé õàðàêòåð. Ñèìâîë

f â³äîáðàæóº àíàë³òè÷íèé âèä çâÿçêó ì³æ äîñë³äæóâàíèìè çì³ííèìè.

Îçíà÷åííÿ 1.3. Ïðîöåñ îïèñó ÿâèùà ÷è ïðîöåñó, òîáòî âèá³ð àíà-

ë³òè÷íî¿ ôîðìè ìîäåë³, íàçèâàºòüñÿ ñïåöèô³êàö³ºþ ìîäåë³. ²íøèìè

ñëîâàìè, ñïåöèô³êàö³ÿ ìîäåë³  öå àíàë³òè÷íà ôîðìà çàëåæíîñò³ ì³æ

åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè.

Íåçàëåæí³ çì³íí³

, ,...,

xx x

, ùî çàäàí³ çàçäàëåã³äü ÷è çà ìå-

æàìè ìîäåë³, íàçèâàþòüñÿ åêçîãåííèìè çì³ííèìè (ðåãðåñîðàìè).

Çàëåæíà çì³ííà Y, ùî âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ðîçâÿçîê ð³âíÿííÿ, íàçè-

âàºòüñÿ åíäîãåííîþ çì³ííîþ (ðåãðåñàíäîì). Ôóíêö³ÿ f ó êîæíîìó

êîíêðåòíîìó âèïàäêó îêð³ì çì³ííèõ

, ,...,

xx x

³ u ì³ñòèòü ùå

ùîíàéìåíøå äåÿê³ êîåô³ö³ºíòè, ùî ïîºäíóþòü çì³íí³ ó ïåâíèõ

ñï³ââ³äíîøåííÿõ ³ âèçíà÷àþòü ñòðóêòóðó ð³âíÿííÿ. Ö³ êîåô³ö³ºí-

òè íàçèâàþòüñÿ ïàðàìåòðàìè ìîäåë³.

Îçíà÷åííÿ 1.4. Âèçíà÷åííÿ çíà÷åíü êîåô³ö³ºíò³â (ïàðàìåòð³â)

îáðàíî¿ ôîðìè ñòàòèñòè÷íîãî çâÿçêó çì³ííèõ íà ï³äñòàâ³ â³äïîâ³äíèõ

ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ íàçèâàºòüñÿ ïàðàìåòðèçàö³ºþ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿

àáî îö³íþâàííÿì ïàðàìåòð³â.

²ñíóº â³äì³íí³ñòü ì³æ çì³ííèìè òà ïàðàìåòðàìè ìîäåë³. Çì³íí³ 

öå åêîíîì³÷í³ âåëè÷èíè, ùî ìîæóòü íàáóâàòè ïåâíèõ çíà÷åíü ç äåÿ-

êî¿ ìíîæèíè äîïóñòèìèõ âåëè÷èí. Ïàðàìåòðè  öå ñòàë³ êîåô³ö³ºí-

òè. Õî÷à âîíè íå çàâæäè â³äîì³, òà âñå æ ó áóäü-ÿê³é ñèòóàö³¿ âîíè

ìàþòü ô³êñîâàíå çíà÷åííÿ. Ïàðàìåòðè ìîæíà íàçâàòè íåçì³ííèìè

(³íêîëè â³äîìèìè, ³íêîëè íåâ³äîìèìè), ùî ïîâÿçóþòü çì³íí³ â ð³â-

íÿííÿõ. Ö³ ð³âíÿííÿ, à îòæå, ³ ïàðàìåòðè âèçíà÷àþòü ñòðóêòóðó ìî-

äåë³: âîíè âêàçóþòü íà õàðàêòåð ïðèïóñòèìèõ ñï³ââ³äíîøåíü ì³æ

çì³ííèìè.

Ïàðàìåòðè ÷èìîñü ïîä³áí³ äî íåçàëåæíèõ (çàäàíèõ ççîâí³)

çì³ííèõ, îäíàê ì³æ íèìè º âàæëèâ³ â³äì³ííîñò³. Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî

ïàðàìåòðè çàëèøàþòüñÿ íåçì³ííèìè ïðîòÿãîì óñüîãî ïåð³îäó ñïî-

ñòåðåæåííÿ, à åêçîãåíí³ çì³íí³, áåçóìîâíî, ìàþòü çì³íþâàòèñÿ ç ÷à-