Лещинський О.Л. Економетрія
Подождите немного. Документ загружается.
61
Îá÷èñëèìî îö³íêè ðåãðåñ³éíèõ êîåô³ö³ºíò³â çà ôîðìóëîþ
1
()
aXXXY
−
′′
=
,
äå
X
′
òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ Õ,
111 11
17,37 18,24 22,47 35,67 47,87
5,28 6,47 6,98 18, 47 19,64
1, 42 1, 58 1, 98 8, 58 9, 47
X
′
=
L
L
L
L
15 352, 24 165, 78 67,1
352, 24 9335,74 4404,383 1858, 071
;
165, 78 4404,38 2147, 268 914,9516
67,1 1858, 07 914, 9516 397,2576
XX
′
=
()
−
−−
−−−
′
=
−− −
−−
1
2,14866 0, 0276 0, 51745 0,958316
0, 0276 0,00428 0,0056 0,00245
;
0,5174 0, 0056 0,18797 0, 31932
0, 95831 0,0024 0, 31932 0,58755
XX
′
=
646, 27
16861,1
;
8209,78
3498,18
XY
−
=
−
26,10789
0,2518
.
2,72767
11,85602
a
62
.
Îòæå, ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿ ç óðàõóâàííÿì çíàéäåíèõ îö³íîê êî-
åô³ö³ºíò³â ìîäåë³ íàáóâຠâèãëÿäó
12 3
26,10789 0,2518 2,72767 11,85602
yxxx
=−− +
. (3.5)
2. Äëÿ ïåðåâ³ðêè àäåêâàòíîñò³ îòðèìàíî¿ ìîäåë³ îá÷èñëèìî:
à) ¿¿ çàëèøêè
iii
uyy
=−
,
1, 2, ...,in
=
, äå
i
y
çàäàí³ ñïîñòåðåæåí-
íÿ, à
i
y
âèçíà÷åí³ çà ôîðìóëîþ (3.5) ïðè çàäàíèõ ñïîñòåðåæåííÿõ
ôàêòîð³â
123
,,
xxx
.
Çàóâàæåííÿ. Îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü
i
y
ìîæíà âèêîíàòè ó ìàòðè÷-
íîìó âèãëÿä³ çà ôîðìóëîþ
,
YXa
=
äå
Y
âåêòîð çíà÷åíü
i
y
,
1, 2, ,in
=…
.
24,1675
22, 5995
24, 8857
26, 4133
28, 4322
40, 7864
34, 4915
41, 2522 ;
43, 6463
47,6718
54,4867
52, 9835
63, 2227
68, 4707
72,7592
Y
=
á) â³äíîñíó ïîõèáêó ðîçðàõóíêîâèõ çíà÷åíü ðåãðåñ³¿:
δ= ⋅
100 %
i
i
i
u
y
;
63
−
−
−
−
δ=
−
−
−
−
0,53934
0, 30332
0,15372
0, 21154
0,11974
0, 07616
0,15420
0,14093 ;
0, 008
0, 03829
0, 04501
0,03963
0, 06831
0,10046
0, 06213
i
ñåðåäíº çíà÷åííÿ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè:
1
;
n
i
i
n
=
δ
δ=
∑
0,52783;
δ=−
â) ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ïîõèáêó äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â:
==
−
=σ= = =
−− −− −−
∑∑
2
2
T
2
11
()
111
nn
ii i
ii
uu
yy u
uu
S
nm nm nm
(÷èì ìåíøà ñòàíäàðòíà ïîõèáêà S, òèì êðàùå ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿ â³äïî-
â³äຠäîñë³äíèì äàíèì);
5,7357;
u
S
=
64
ã) êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, òîáòî ïåðåâ³ðèìî çàãàëüíèé âïëèâ íå-
çàëåæíèõ çì³ííèõ íà çàëåæíó çì³ííó:
2
2
1
2
1
1,
()
n
i
i
n
i
i
u
R
yy
=
=
=−
−
∑
∑
2
2
22
1
YY BXY BXY ny
R
YY ny YY ny
′′′ ′′
−−
=− =
′′
−−
;
2
R
=
0,91436.
Âèñíîâîê: îñê³ëüêè êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íàáëèæàºòüñÿ äî îäè-
íèö³, âàð³àö³ÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ Y çíà÷íîþ ì³ðîþ âèçíà÷àºòüñÿ âàð³à-
ö³ºþ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ;
ä) âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿:
2
;
RR
=
R
=
0,956222.
Êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ äîñèòü âåëèêèé, òîìó ³ñíóº ò³ñíèé ë³í³éíèé
çâÿçîê óñ³õ íåçàëåæíèõ ôàêòîð³â x
1
, x
2
, x
3
³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ y.
3. Ïåðåâ³ðèìî ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â:
à) îá÷èñëèìî F-ñòàòèñòèêó çà ôîðìóëîþ (ñïðîùåíèé âàð³àíò äëÿ
ïåðåâ³ðêè íóëüîâî¿ ã³ïîòåçè:
01 1 2
:...0
m
Ha a a a
==== =
):
2
åêñï
2
1
;
1
Rnm
F
m
R
−−
=
−
åêñï
39,14827.
F
=
Çíàéäåìî òàáëè÷íå çíà÷åííÿ F-ñòàòèñòèêè
(, 1,)Fmn m
−−α
(äîä. 5):
=
(3; 11; 0,05) 3,59F
.
Ïîð³âíÿºìî éîãî ç îá÷èñëåíîþ F-còàòèñòèêîþ.
65
Îñê³ëüêè F
åêñï
> F (3; 11; 0,05), íóëüîâà ã³ïîòåçà â³äõèëÿºòüñÿ, òîá-
òî êîåô³ö³ºíòè ðåãðåñ³¿ º çíà÷óùèìè;
á) îá÷èñëèìî t-ñòàòèñòèêó:
−−
=
−
2
1
;
1
Rn m
t
R
t
=
37,03215.
Çíàéäåìî â³äïîâ³äíå òàáëè÷íå çíà÷åííÿ t-ðîçïîä³ëó ç (nm1)
=
=
11 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè ³ ð³âíåì çíà÷óùîñò³
0,05
α=
(äîä. 4):
t
òàáë
(α/2,nm1);
t
òàáë
(0,025; 11)
=
2,593097.
Îñê³ëüêè |t| > t
òàáë
(0,025; 11), ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî äîñ-
òîâ³ðí³ñòü êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿, ÿêèé õàðàêòåðèçóº ò³ñíîòó çâÿçêó
ì³æ çàëåæíîþ òà íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³.
Äëÿ âèáðàíîãî ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α
=
0,05 ³ â³äïîâ³äíîãî ñòóïåíÿ
ñâîáîäè k
=
nò1
=
11 çàïèøåìî äîâ³ð÷³ ìåæ³ äëÿ ìíîæèííîãî êîå-
ô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ R:
()
;
RRRR
−∆ +∆
,
äå
/2,
1
k
R
Rt
n
α
−
∆=
;
R
∆
=
2,593(1
−
0,956222)/
15
=
0,029311;
()
;
RRRR
−∆ +∆
=
(0,926911; 0,985533);
â) ïåðåâ³ðèìî çíà÷óù³ñòü îêðåìèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿.
Âèçíà÷èìî t-ñòàòèñòèêó çà ôîðìóëîþ
2
j
jj
j
a
u
jj
aa
t
S
c
==
σ
( 0, 1, ..., ), 3jmm
==
,
66
äå
jj
c
ä³àãîíàëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³
()
1
;
XX
−
′
j
a
S
ñòàíäàðòèçî-
âàíà ïîõèáêà îö³íêè ïàðàìåòðà ìîäåë³;
0
3,105278
t
=
;
1
0,67081
t
=
;
2
1,09688
t
=
;
3
2,696681
t
=
.
Çíà÷åííÿ t-êðèòåð³þ ïîð³âíþºìî ç òàáëè÷íèì ïðè
111 knm
=−−=
ñòóïåíÿõ ñâîáîäè ³ ð³âí³ çíà÷óùîñò³
0, 05
α=
:
t
òàáë.
(0,025; 11)
=
2,593097.
Îñê³ëüêè |t
0
| > t
α/2, k
, |t
1
| < t
α/2, k
, |t
2
| < t
α/2, k
, |t
3
| > t
α/2, k
, â³äïî-
â³äíî îö³íêè
03
,
aa
º çíà÷óùèìè, à îö³íêè
12
,
aa
íå º çíà÷óùèìè.
Îá÷èñëèìî â³äíîøåííÿ
100%
j
j
a
a
j
S
a
δ= ⋅
;
0
a
δ=
32 %;
1
a
δ=
94 %;
2
a
δ=
91 %;
3
a
δ=
37 %
(çíà÷åííÿ
δ
õàðàêòåðèçóþòü òîé ôàêò, ùî îö³íêè à
0
, à
3
íåçì³ùåí³, à
îö³íêè à
1
, à
2
çì³ùåí³);
ã) çíàéäåìî çíà÷åííÿ ãðàíè÷íîãî âíåñêó j-ãî ðåãðåñîðà â êî-
åô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ (òîáòî âèçíà÷èìî, íà ÿêó âåëè÷èíó çìåíøèòü-
ñÿ ÷àñòêîâèé êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, ÿêùî j-é ðåãðåñîð áóäå âèêëþ-
÷åíèé ç ð³âíÿííÿ):
()
22
2
1
1
j
j
Rt
R
nm
−
∆=
−−
,
äå
2
j
jj
j
a
u
jj
aa
t
S
c
==
σ
;
2
0
R
∆=
3,1053;
2
1
R
∆=
0,6708;
2
2
R
∆=
1,0969;
2
3
R
∆=
2,6967;
ä) âèçíà÷èìî êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, ñêîðèãîâàíèé çà Òåéëîì:
()
22
T
1
11
1
n
RR
nm
−
=− −
−−
;
2
T
0,88.
R
=
67
Îá÷èñëèìî êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, ñêîðèãîâàíèé çà Àìå쳺þ:
()
22
A
1
11
1
nm
RR
nm
++
=− −
−−
;
2
A
0,83.
R
=
Âèñíîâîê: ³ç âèêëþ÷åííÿì çì³ííî¿ ³ç ð³âíÿííÿ âòðà÷àºòüñÿ îäèí
ñòóï³òü ñâîáîäè, òîä³ ç äâîõ âàð³àíò³â ð³âíÿíü, ÿê³ ìàþòü îäíàêîâ³
³íø³ êðèòå𳿠ÿêîñò³, ïåðåâàãà â³ääàºòüñÿ ð³âíÿííþ ç á³ëüøèì çíà÷åí-
íÿì ñêîðèãîâàíîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ (ïðè âêëþ÷åíí³ äîäàò-
êîâîãî ðåãðåñîðà
2
T
R
â³äîáðàæóº âòðàòó ñòóïåíÿ ñâîáîäè á³ëüø ÷³òêî,
í³æ
2
A
R
, òîáòî â öüîìó ðàç³
2
T
R
>
2
A
R
).
4. Îá÷èñëèìî êîåô³ö³ºíòè åëàñòè÷íîñò³:
;
i
i
i
x
y
xy
∂
α= ⋅
∂
α
1
=
0,13724; α
2
=
0,6997; α
3
=
1,23097.
Êîåô³ö³ºíò åëàñòè÷íîñò³ º ïîêàçíèêîì âïëèâó çì³íè ïèòîìî¿ âàãè
x
i
íà y ó ïðèïóùåíí³, ùî âïëèâ ³íøèõ ôàêòîð³â â³äñóòí³é: ó íàøîìó
âèïàäêó â³í ïîêàçóº, ùî ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà çìåíøèòüñÿ íà
0,14 %, ÿêùî âèòðàòè íà ðåêëàìó çðîñòóòü íà 1 %; ïðèáóòîê ï³äïðè-
ºìñòâà çá³ëüøèòüñÿ íà 1,24 %, ÿêùî çàðîá³òíà ïëàòà çðîñòå íà 1 %.
Çàãàëüíà åëàñòè÷í³ñòü Y â³ä óñ³õ ôàêòîð³â x
1
:
1
m
i
i
=
α= α
∑
;
α
=
0,394033.
Çàãàëüíà åëàñòè÷í³ñòü ïîêàçóº, ùî ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà
çá³ëüøèòüñÿ íà 0,39 %, ÿêùî îäíî÷àñíî çá³ëüøèòè íà 1 % óñ³ ôàêòî-
ðè (³íâåñòèö³¿, âèòðàòè íà ðåêëàìó òà çàðîá³òíó ïëàòó).
5. Îá÷èñëèìî äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ
y
³ äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ
() () ()
()
123
,,
i
iii
Xxxx
=
(áóäåìî íàçèâà-
òè ¿õ äîâ³ð÷èìè çîíàìè):
68
() ()
(
)
11
/2, /2,
;
ikui iikui i
yt SXXX X yt SXXX X
−−
αα
′′ ′′
−+
,
äå
u
S
íåçì³ùåíà îö³íêà äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â:
u
S
=
5,7357;
t
òàáë
(
α
/2,k) â³äïîâ³äíå òàáëè÷íå çíà÷åííÿ t-ðîçïîä³ëó ç k
=
nm1
=
11
ñòóïåíÿìè ñâîáîäè ³ ð³âíåì çíà÷óùîñò³
0,05
α=
:
t
òàáë
(0,025; 11)
=
2,593097.
Âèêîíàâøè íåîáõ³äí³ ðîçðàõóíêè, îòðèìàºìî äîâ³ð÷³ çîíè ðåãðåñ³¿:
(23,430; 24,904)
(22,594; 22,604)
(24,730; 25,041)
(26,253; 26,573)
(28,241; 28,623)
(40,457; 41,115)
(34,374; 34,608)
(41,109; 41,395)
(43,501; 43,790)
(47,430; 47,913)
(54,290; 54,683)
(52,642; 53,325)
(62,887; 63,558)
(68,229; 68,712)
(71,961; 73,556)
6. Ïîáóäóºìî äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³¿. Äîâ³ð÷³
³íòåðâàëè äëÿ ïàðàìåòð³â a îá÷èñëþþòüñÿ òàê:
()
αα
−σ +σ
22
/2, /2,
;,
j
ku
jj j
ku
jj
at c at c
äå
jj
c
ä³àãîíàëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³
()
1
XX
−
′
;
2
u
σ
=32,89835;
/2,k
t
α
=
t
òàáë
(0,025; 11)
=
2,593097.
Âèêîíàâøè íåîáõ³äí³ ðîçðàõóíêè, îòðèìàºìî
()
0
4,31; 47,91
a
∈
;
()
1
1,23; 0,7 2
a
∈−
;
()
∈−
2
9,17; 3,72
a
;
()
3
0,46; 23,26
a
∈
.
69
7. Îá÷èñëèìî ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ ³ çíàéäåìî ìåæ³ äîâ³ð÷èõ ³íòåð-
âàë³â ³íäèâ³äóàëüíèõ ïðîãíîçíèõ çíà÷åíü ³ ìåæ³ äîâ³ð÷èõ ³íòåðâàë³â
äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ (òî÷êîâèé òà ³íòåðâàëüí³ ïðîãíîçè):
à) äëÿ ðîçðàõóíêó ïðîãíîçíèõ çíà÷åíü y
pi
=
Y
ïð
ó ð³âíÿííÿ (3.5)
12 3
26,10786 0,2518 2,72767 11,85602
y
xx x
=−− +
ï³äñòàâèìî ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ ôàêòîð³â x
1ïð
=
48,82, x
2ïð
=
20,04,
x
3ïð
=
10,25, ùî ëåæàòü çà ìåæàìè áàçîâîãî ïåð³îäó (òî÷êîâèé ïðî-
ãíîç):
ïð
80, 68;
y
=
á) çíàéäåìî ìåæ³ ³íòåðâàëüíîãî ïðîãíîçó ³íäèâ³äóàëüíîãî çíà÷åí-
íÿ (äëÿ
111 knm
=−−=
ñòóïåí³â ñâîáîäè òà âèáðàíîãî ð³âíÿ çíà-
÷óùîñò³
0, 05
α=
) çà ôîðìóëîþ
()
1
ïð / 2 ïð ïð ïð ïð
1
u
Y t XXXX Y Y
−
α
′′
−σ+ ≤≤+
()
1
/2 ïð ïð
1;
u
tXXXX
−
α
′′
+σ+
ïð
80,68;
Y
=
5,7357;
u
σ=
/2
t
α
=
t
òàáë
(0,025; 11)
=
2,5931;
X
ïð
=
(48,82; 20,04; 10,25);
(58,72; 102,64) ³íòåðâàëüíèé ïðîãíîç ³íäèâ³äóàëüíîãî çíà÷åííÿ;
â) çíàéäåìî ìåæ³ äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³-
âàííÿ çíà÷åííÿ y
ïð
çà ôîðìóëîþ
()
()
1
ïð ïð ïð ïð ïð
/2
u
Y t XXXX MY Y
−
α
′′
−σ ≤ ≤+
()
1
/2 ïð ïð
;
u
tXXXX
−
α
′′
+σ
ïð
80,68;
Y
=
5, 7357;
u
σ=
t
òàáë
(0,025; 11)
=
2,5931;
(64,52; 96,83) äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ ïðî-
ãíîçíîãî çíà÷åííÿ.
70
Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ
1. Íàâåñòè ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ áàãàòîôàêòîðíîãî ðåãðåñ³éíî-
ãî àíàë³çó.
2. Äàòè âèçíà÷åííÿ ë³í³éíî¿ áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³.
Ïðè ÿêèõ îñíîâíèõ ïðèïóùåííÿõ âîíà äîñë³äæóºòüñÿ?
3. Ïðîêîìåíòóâàòè îñíîâí³ åòàïè ïîáóäîâè ë³í³éíî¿ áàãàòîôàêòîð-
íî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³.
4. ßê ðîçðàõîâóþòüñÿ íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè ë³í³éíî¿ ìîäåë³ áàãàòî-
ôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³¿ çà ìåòîäîì ÌÍÊ?
5. ßê³ îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ó âèïàä-
êó áàãàòîôàêòîðíî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿?
6. ßê âèçíà÷àþòüñÿ êîåô³ö³ºíòè ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿ òà äåòåðì³-
íàö³¿ â áàãàòîôàêòîðí³é ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³?
7. ßê âèçíà÷àºòüñÿ îö³íåíèé êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿? Íàâåñòè
éîãî îñíîâí³ âëàñòèâîñò³.
8. ßê ïîáóäóâàòè äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè ïàðàìåòð³â ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿?
9. Ó ÷îìó â³äì³íí³ñòü ì³æ òî÷êîâèìè òà ³íòåðâàëüíèìè ïðîãíîçàìè?
10. ßê áóäóºòüñÿ ³íòåðâàëüíèé ïðîãíîç çíà÷åíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿
â ìîäåë³ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿?
Âïðàâè òà çàâäàííÿ
1. Íà îñíîâ³ äåñÿòè ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ:
1) âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè ë³í³éíî¿ ìîäåë³ çàëåæíîñò³ âèòðàò íà
ñïîæèâàííÿ (Ñ) â³ä ð³âíÿ äîõîä³â (D), çàîùàäæåíü (S) ³ çàðîá³òíî¿
ïëàòè (L);
2) îö³íèòè êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿;
3) îö³íèòè êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿;
4) ïåðåâ³ðèòè ¿õ ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü.
i C(i) D(i) S(i) L(i)
1 45,64 4,75 1,79 58,45
2 44,72 6,28 3,11 53,3
3 52,12 6,87 2,71 56,25
4 50,96 7,85 4,07 58,2
5 50,88 9,26 4,21 45,7
6 58,56 10,39 4,67 58,05
7 56,92 9,42 6,3 65,6
8 58,2 11,01 6 60,85
9 60,36 12,22 4,82 60,55
10 62,76 12,82 4,65 63,50