Лещинський О.Л. Економетрія
Подождите немного. Документ загружается.
31
Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî
1
a
ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîðìóëîþ
1
22
()()
,
()
xy
ii
ix
S
xxyy
a
xx S
−−
==
−
∑
∑
(2.10)
äå
1
cov(,) ()()
xy i i
Sxy xxyy
n
==−−
∑
âèá³ðêîâèé êîðåëÿö³éíèé
ìîìåíò âèïàäêîâèõ âåëè÷èí Õ ³ Y;
2
222
11
()
xi i
Sxxxx
nn
=−=−
∑∑
âèá³ðêîâà äèñïåðñ³ÿ Õ;
2
xx
SS
=
ñòàíäàðòíå â³äõèëåííÿ Õ.
Òîä³
1
2
,
x
y
x
yy y
x
y
x
y
xx
x
SSS S
ar
SS S S
S
== =
(2.11)
äå
x
y
r
âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿;
y
S
ñòàíäàðòíå â³äõèëåí-
íÿ Y. Îòæå, êîåô³ö³ºíò ðåãðåñ³¿ ïðîïîðö³éíèé êîåô³ö³ºíòó êîðåëÿö³¿,
à êîåô³ö³ºíòè ïðîïîðö³éíîñò³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ç³ñòàâëåííÿ ð³çíèõ
âåëè÷èí Õ ³ Y.
Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿
x
y
r
óæå ðîçðàõîâàíèé,
òî çà ôîðìóëîþ (2.11) íåâàæêî çíàéòè êîåô³ö³ºíò
1
a
ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿.
ßêùî îêð³ì ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ Y íà Õ (
01
Ya aX
=+
)
) äëÿ òèõ
ñàìèõ åìï³ðè÷íèõ äàíèõ çíàéäåíî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ Õ íà Y
(
01
Xb bY
=+
)
), òî äîáóòîê êîåô³ö³ºíò³â
1
a
òà
1
b
äîð³âíþº
2
xy
r
:
2
11
.
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
S
S
ab r r r
SS
⋅= ⋅ =
Çàçíà÷èìî, ùî êîåô³ö³ºíòè
0
b
³
1
b
îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè,
àíàëîã³÷íèìè ôîðìóëàì (2.9):
1
22
01
;
.
xy
xy
b
yy
bxby
−⋅
=
−
=−
(2.12)
32
Âëàñòèâîñò³ îö³íîê ïàðàìåòð³â
Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè, çîêðåìà ôîðìóëè (2.9) ³ (2.12), äàþòü çìî-
ãó çðîáèòè ðÿä âèñíîâê³â.
1. Îö³íêè ÌÍÊ º ôóíêö³ÿìè â³ä âèá³ðêè.
2. Îö³íêè ÌÍÊ º òî÷êîâèìè îö³íêàìè òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â
ðåãðåñ³¿.
3. ³äïîâ³äíî äî äðóãî¿ ôîðìóëè ñï³ââ³äíîøåííÿ (2.9) åìï³ðè÷-
íà ïðÿìà ðåãðåñ³¿ îáîâÿçêîâî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (
,
x
y
).
4. Åìï³ðè÷íå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ ïîáóäîâàíå â òàêèé ñïîñ³á, ùî
ñóìà â³äõèëåíü
1
n
i
i
u
=
∑
, à òàêîæ ñåðåäíº çíà÷åííÿ â³äõèëåííÿ
1
1
n
i
i
uu
n
=
=
∑
äîð³âíþþòü íóëþ (ïîêàçàòè ñàìîñò³éíî).
5. Âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ
i
u
íåêîðåëüîâàí³ ç³ ñïîñòåðåæåíèìè çíà-
÷åííÿìè
i
y
çàëåæíî¿ çì³ííî¿ Y.
Äëÿ ï³äòâåðäæåííÿ öüîãî âèñíîâêó íåîáõ³äíî ïîêàçàòè, ùî êîâà-
ð³àö³ÿ ì³æ Y ³ u äîð³âíþº íóëþ, òîáòî
0
y
u
S
=
.
6. Âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ
i
u
íåêîðåëüîâàí³ ç³ ñïîñòåðåæåíèìè çíà-
÷åííÿìè
i
x
íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ Õ ³ ç îö³íåíèìè çà ë³í³éíîþ ðåãðå-
ñ³éíîþ ìîäåëëþ çíà÷åííÿìè çàëåæíî¿ çì³ííî¿
Y
.
Ùîá ï³äòâåðäèòè äàíèé âèñíîâîê, íåîáõ³äíî ïîêàçàòè, ùî êîâàð³-
àö³ÿ ì³æ X ³ u äîð³âíþº íóëþ, òîáòî
0, 0
xu
y
u
SS
==
.
(Äîâåäåííÿ ïï. 5 ³ 6 âèêîíàòè ñàìîñò³éíî.)
Çàóâàæèìî, ùî â êëàñè÷í³é ë³í³éí³é åêîíîìåòðè÷í³é ìîäåë³
çì³ííà u ðîçãëÿäàºòüñÿ ÿê âèïàäêîâà çì³ííà ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷-
íèì ñïîä³âàííÿì ³ ñòàëîþ äèñïåðñ³ºþ. Îñê³ëüêè u îõîïëþº âïëèâ
áàãàòüîõ íåâðàõîâàíèõ ôàêòîð³â, ÿê³ ìîæíà ââàæàòè íåçàëåæíèìè, òî
íà ï³äñòàâ³ öåíòðàëüíî¿ ãðàíè÷íî¿ òåîðåìè òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé ðîá-
ëÿòü âèñíîâîê, ùî öÿ âèïàäêîâà âåëè÷èíà ï³äïîðÿäêîâàíà íîðìàëü-
íîìó çàêîíó ðîçïîä³ëó (çàêîíó Ãàóññà).
Äîâåäåíî (òåîðåìà Ãàóññà), ùî çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ
êâàäðàò³â ìîæëèâå ëèøå òîä³, êîëè çàëèøêè ðîçïîä³ëåí³ íîðìàëüíî
ç ïàðàìåòðàìè
[]
2
()
0, const
u
MU DU
==σ=
.
Äëÿ ³ëþñòðàö³¿ ÌÍÊ ðîçãëÿíåìî òàêèé ïðèêëàä.
33
Ïðèêëàä. Äëÿ àíàë³çó çàëåæíîñò³ îáñÿãó ñïîæèâàííÿ Y (ó. î.) äî-
ìîãîñïîäàðñòâà â³ä íàÿâíîãî ïðèáóòêó X (ó. î.) îáðàíî âèá³ðêó îáñÿ-
ãó n
=
12 (ùîì³ñÿ÷íî âïðîäîâæ ðîêó), ðåçóëüòàòè ÿêî¿ íàâåäåí³
â òàáë. 2.1. Íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè âèä çàëåæíîñò³; çà ÌÍÊ îö³íèòè ïà-
ðàìåòðè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ Y ³ Õ; îö³íèòè ñèëó ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ
Õ ³ Y
; à òàêîæ ñïðîãíîçóâàòè ñïîæèâàííÿ ïðè ïðèáóòêó
160
X
=
.
i 123456789101112
x
i
107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 150
y
i
102 105 108 110 115 117 119 125 132 130 141 144
Òàáëèöÿ 2.1
Ðèñ. 2.3
Çà ðîçì³ùåííÿì òî÷îê íà êîðåëÿö³éíîìó ïîë³ ïðèïóñêàºìî, ùî
çàëåæí³ñòü ì³æ X ³ Y ë³í³éíà:
01 01
;,
Ya aXaa
=+
îö³íêè íåâ³äîìèõ
ïàðàìåòð³â ìîäåë³.
Äëÿ íàî÷íîñò³ ðîçðàõóíê³â çà ÌÍÊ ñêëàäåìî òàáë. 2.2.
Çã³äíî ç ÌÍÊ ìàºìî
1
2
22
01
15298,08 125,25 120,67 184,1625
0,9339;
197,1875
15884,75
(
125,25
)
120,67 0,9339 125,25 3,699.
xy x y
a
xx
aybx
−⋅ − ⋅
== ==
−
−
=− = = ⋅ =
Äëÿ âèçíà÷åííÿ âèäó çàëåæíîñò³ ïîáóäóºìî êîðåëÿö³éíå ïîëå
(ðèñ. 2.3).
34
Îòæå, ð³âíÿííÿ ïàðíî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ ìຠâèãëÿä
3,699 0,9339 .
YX
=+
Çîáðàçèìî öþ ïðÿìó ðåãðåñ³¿ íà êîðåëÿö³éíîìó
ïîë³. Çà íàâåäåíèì ð³âíÿííÿì ðîçðàõóºìî
,
i
y
à òàêîæ
.
iii
u
yy
=−
Äëÿ àíàë³çó ñèëè ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ îá÷èñëèìî êîåô³ö³ºíò êî-
ðåëÿö³¿:
22 22
184,1625
0,9914.
14,04 13,23
x
y
x
y
x
y
r
xx
yy
−⋅
===
⋅
−⋅ −
Îòðèìàíå çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ äຠçìîãó çðîáèòè âèñ-
íîâîê ïðî ñèëüíó (ïðÿìó) ë³í³éíó çàëåæí³ñòü ì³æ çì³ííèìè X ³ Y.
Öå òàêîæ ï³äòâåðäæóºòüñÿ ðîçì³ùåííÿì òî÷îê íà êîðåëÿö³éíîìó
ïîë³.
*
Çíà÷åííÿ îêðóãëþþòüñÿ äî ñîòèõ.
**
Óðàõîâóþòüñÿ ïîõèáêè îêðóãëåíü.
i
i
x
y
i
x
i
2
x
i
y
i
y
i
2
ˆ
i
y
e
i
e
i
2
1 107 102 11449 10914 10404 103,63 1,36 2,66
2 109 105 11881 11445 11025 105,49 0,49 0,24
3 110 108 12100 11880 11664 106,43 1,57 2,46
4 113 110 12769 12430 12100 109,23 0,77 0,59
5 120 115 14400 13800 13225 115,77 0,77 0,59
6 122 117 14884 14274 13689 117,63 0,63 0,40
7 123 119 15129 14637 14161 118,57 0,43 0,18
8 128 125 16384 16000 15625 123,24 1,76 3,10
9 136 132 18496 17952 17424 130,71 1,29 1,66
10 140 130 19600 18200 16900 134,45 4,45 19,8
11 145 141 21025 20445 19881 139,11 1,89 3,57
12 150 144 22500 21600 20736 143,78 0,22 0,05
Ñóìà 1503 1448 190617 183577 176834 ≈ 0
**
35,3
Ñåðåäíº
*
125,25 120,67 15884,75 15298,08 14736,17
Òàáëèöÿ 2.2
Ïðîãíîçîâàíå ñïîæèâàííÿ ïðè äîñòóïíîìó äîõîä³ Õ
=
160 çà äà-
íîþ ìîäåëëþ ñòàíîâèòü
(
160
)
153,12.
y
≈
Ïîáóäîâàíå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ â áóäü-ÿêîìó ðàç³ ïîòðåáóº ïåâíî¿
³íòåðïðåòàö³¿ òà àíàë³çó.
35
²íòåðïðåòàö³ÿ, òîáòî ñëîâåñíèé îïèñ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â, íåîá-
õ³äíà äëÿ òîãî, ùîá ïîáóäîâàíà çàëåæí³ñòü íàáóëà ÿê³ñíîãî åêîíîì³÷-
íîãî çì³ñòó.
Ó íàøîìó ïðèêëàä³ êîåô³ö³ºíò
1
a
ìîæå ðîçãëÿäàòèñÿ ÿê ãðàíè÷-
íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ. Ôàêòè÷íî â³í ïîêàçóº, íà ÿêó âåëè÷è-
íó çì³íèòüñÿ îáñÿã ñïîæèâàííÿ, ÿêùî äîñòóïíèé äîõ³ä çá³ëüøèòüñÿ
íà îäèíèöþ. Íà ãðàô³êó (ðèñ. 2.3) êîåô³ö³ºíò
1
a
âèçíà÷ຠòàíãåíñ
êóòà íàõèëó ïðÿìî¿ ðåãðåñ³¿ â³äíîñíî äîäàòíîãî íàïðÿìêó îñ³ àáñöèñ
(ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿). Òîìó ÷àñòî â³í íàçèâàºòüñÿ êóòîâèì êîåô³ö³ºí-
òîì.
³ëüíèé ÷ëåí
0
a
ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ âèçíà÷ຠïðîãíîçîâàíå çíà÷åí-
íÿ Y ïðè âåëè÷èí³ íàÿâíîãî ïðèáóòêó Õ, ùî äîð³âíþº íóëþ (òîáòî
àâòîíîìíå ñïîæèâàííÿ). Îäíàê òóò íåîáõ³äíà ïåâíà îáåðåæí³ñòü.
Âàæëèâî, íàñê³ëüêè â³ääàëåí³ äàí³ ñïîñòåðåæåíü çà ïîÿñíþþ÷îþ
çì³ííîþ â³ä îñ³ îðäèíàò (çàëåæíî¿ çì³ííî¿), òîìó ùî íàâ³òü ïðè âäà-
ëîìó âèáîð³ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ äëÿ äîñë³äæóâàíîãî ³íòåðâàëó íåìàº
ãàðàíò³¿, ùî âîíà çàëèøèòüñÿ òàêîþ ñàìîþ é â³ääàë³ê â³ä âèá³ðêè.
Ó íàøîìó âèïàäêó çíà÷åííÿ
0
a
=
3,699 (ó. î.). Öåé ôàêò ìîæíà ïîÿñ-
íèòè äëÿ îêðåìîãî äîìîãîñïîäàðñòâà (âîíî ìîæå âèòðà÷àòè íàêîïè-
÷åí³ àáî ïîçè÷åí³ êîøòè), îäíàê äëÿ êîìïëåêñó äîìîãîñïîäàðñòâ â³í
âòðà÷ຠñåíñ. Ó áóäü-ÿêîìó ðàç³ çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà
0
a
âèçíà÷àº
òî÷êó ïåðåòèíó ïðÿìî¿ ç â³ññþ îðäèíàò ³ õàðàêòåðèçóº çñóâ ë³í³¿
ðåãðåñ³¿ âçäîâæ îñ³ Y.
Íåîáõ³äíî ïàìÿòàòè, ùî åìï³ðè÷í³ êîåô³ö³ºíòè ðåãðåñ³¿
0
a
³
1
a
º ëèøå îö³íêàìè òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â
0
a
òà
1
a
, à ñàìå ð³âíÿííÿ
â³äîáðàæຠëèøå çàãàëüíó òåíäåíö³þ â ïîâåä³íö³ ðîçãëÿíóòèõ çì³ííèõ.
²íäèâ³äóàëüí³ çíà÷åííÿ çì³ííèõ ç ð³çíèõ ïðè÷èí ìîæóòü â³äõèëÿòèñÿ
â³ä ìîäåëüíèõ çíà÷åíü. Ó íàøîìó ïðèêëàä³ ö³ â³äõèëåííÿ âèðàæåí³
÷åðåç çíà÷åííÿ
i
u
, ÿê³ º îö³íêàìè â³äïîâ³äíèõ â³äõèëåíü äëÿ ãåíåðàëü-
íî¿ ñóêóïíîñò³.
Îäíàê çà ïåâíèõ óìîâ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ º íåçàì³ííèì ³ äóæå ÿê³ñ-
íèì ³íñòðóìåíòîì àíàë³çó òà ïðîãíîçóâàííÿ. Ö³ òåìè îáãîâîðþâàòè-
ìóòüñÿ â íàñòóïíèõ ðîçä³ëàõ.
Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ
1. Ùî òàêå ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿?
2. ×èì ðåãðåñ³éíà ìîäåëü â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ôóíêö³¿ ðåãðåñ³¿?
36
3. Íàçâ³òü îñíîâí³ ïðè÷èíè íàÿâíîñò³ â ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³ âèïàä-
êîâîãî â³äõèëåííÿ.
4. Íàçâ³òü îñíîâí³ åòàïè ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó.
5. Ó ÷îìó ïîëÿãຠâ³äì³íí³ñòü ì³æ òåîðåòè÷íèì òà åìï³ðè÷íèì
ð³âíÿííÿìè ðåãðåñ³¿?
6. Äàéòå âèçíà÷åííÿ òåîðåòè÷íî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³.
7. Ó ÷îìó ñóòü ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â?
8. Íàâåä³òü ôîðìóëè ðîçðàõóíêó êîåô³ö³ºíò³â åìï³ðè÷íîãî ïàð-
íîãî ë³í³éíîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ çà ÌÍÊ.
9. ßê ïîâÿçàí³ åìï³ðè÷í³ êîåô³ö³ºíòè ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ ç âèá³ð-
êîâèì êîåô³ö³ºíòîì êîðåëÿö³¿ ì³æ çì³ííèìè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿?
10. ßê³ âèñíîâêè ìîæíà çðîáèòè ïðî îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿
òà âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ, îòðèìàíèõ çà ÌÍÊ?
11. Ïðî³íòåðïðåòóéòå êîåô³ö³ºíòè åìï³ðè÷íîãî ïàðíîãî ë³í³éíîãî
ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿.
Âïðàâè òà çàâäàííÿ
1. ×è ³ñíóº, íà âàøó äóìêó, çàëåæí³ñòü ì³æ òàêèìè ïîêàçíèêàìè:
à) ÂÂÏ ³ îáñÿãîì ÷èñòîãî åêñïîðòó;
á) îáñÿãîì ³íâåñòóâàíü ³ â³äñîòêîâîþ ñòàâêîþ;
â) âèäàòêàìè íà îáîðîíó òà âèäàòêàìè íà îñâ³òó;
ã) îö³íêàìè â øêîë³ òà îö³íêàìè â óí³âåðñèòåò³;
ä) îáñÿãîì ³ìïîðòó òà ïðèáóòêîì íà äóøó íàñåëåííÿ;
å) ö³íîþ íà êàâó òà ö³íîþ íà ÷àé?
Ó ðàç³ ñòâåðäíî¿ â³äïîâ³ä³ îö³í³òü íàïðÿìîê çàëåæíîñò³ (ïðÿìà ÷è
îáåðíåíà), à òàêîæ çàçíà÷òå, ÿêà ³ç çì³ííèõ áóäå ïîÿñíþþ÷îþ,
à ÿêà çàëåæíîþ.
2. Ó íàñòóïí³é âèá³ðö³ ïîäàíî äàí³ ùîäî ö³íè Ð äåÿêîãî áëàãà é
ê³ëüêîñò³ Q öüîãî áëàãà, ÿêå äîìîãîñïîäàðñòâî êóïóº ùîì³ñÿöÿ âïðî-
äîâæ ðîêó.
̳ñÿöü 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ð 10 20 15 25 30 35 40 35 25 40 45 40
Q 110 75 100 80 60 55 40 80 60 30 40 30
à. Ïîáóäóéòå êîðåëÿö³éíå ïîëå ³ çà éîãî âèãëÿäîì âèçíà÷òå
ôîðìóëó çàëåæíîñò³ ì³æ P ³ Q.
á. Îö³í³òü çà ÌÍÊ ïàðàìåòðè ð³âíÿííÿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿.
â. Îö³í³òü âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿
pq
r
.
ã. Ïðî³íòåðïðåòóéòå ðåçóëüòàòè.
37
3. Äàíî òàáëèöþ òèæíåâîãî ïðèáóòêó (Õ) ³ òèæíåâîãî ñïîæèâàí-
íÿ (Y) äëÿ 60 äîìàøí³õ ãîñïîäàðñòâ:
XY
100 60 65 75 85 90
120 70 70 80 85 90 100
140 90 95 95 100 100 120
160 100 110 115 120 125 125 130
180 110 120 120 130 135 140 150 150
200 120 125 130 135 140 150 160 165
220 120 140 145 145 155 165 180
240 150 160 170 190 200
260 140 160 180 210 220
280 180 210 230
à. Äëÿ êîæíîãî ð³âíÿ ïðèáóòêó ðîçðàõóéòå ñåðåäíº çíà÷åííÿ
ñïîæèâàííÿ, ùî º îö³íêîþ óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ
()
.
i
MYX x
=
á. Ïîáóäóéòå êîðåëÿö³éíå ïîëå äëÿ äàíî¿ âèá³ðêè.
â. Ñêëàä³òü åìï³ðè÷íå ë³í³éíå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, âèêîðèñòîâó-
þ÷è âñ³ äàí³.
ã. Ñêëàä³òü åìï³ðè÷íå ë³í³éíå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, âèêîðèñòîâóþ-
÷è ò³ëüêè ñåðåäí³ çíà÷åííÿ ñïîæèâàííÿ äëÿ êîæíîãî ð³âíÿ ïðèáóòêó.
ä. Ïîð³âíÿéòå ñêëàäåí³ ð³âíÿííÿ. ßêå ç íèõ, íà âàø ïîãëÿä,
áëèæ÷å äî òåîðåòè÷íîãî?
å. Ðîçðàõóéòå âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ äëÿ â) ³ ã). ×è
áóäå ë³í³éíèé çâÿçîê ì³æ äàíèìè çì³ííèìè ñóòòºâèì? ³äïîâ³äü îá-
ãðóíòóéòå.
4. Çà 10 ïàðàìè ñïîñòåðåæåíü îòðèìàíî òàê³ ðåçóëüòàòè:
100; 200; 21000;
iiii
x
y
x
y
== =
∑∑∑
22
12000; 45000.
ii
xy
==
∑∑
Çà ÌÍÊ îö³í³òü êîåô³ö³ºíòè ð³âíÿíü ðåãðåñ³¿ Y íà Õ ³ Õ íà Y.
Îö³í³òü êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ r
xy
.
5. Äàíî òàêó åìï³ðè÷íó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü, ïîáóäîâàíó çà ÌÍÊ:
=+ + =
K
01
,1,2,,.
ttt
ybbxe t T
38
Äîâåä³òü, ùî
11
0; 0.
TT
ttt
tt
eex
==
==
∑∑
6. Äëÿ âèá³ðêè îáñÿãó
n
=
10 îòðèìàíî òàê³ äàí³:
993,4; 531,3; 53196,61;
iiii
x
y
x
y
== =
∑∑∑
2
105004,5; 0,75.
ixy
xr
==
∑
Ðîçðàõóéòå îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ Y íà Õ ³ Õ íà Y.
7. Äàíî äâ³ ðåãðåñ³¿, ðîçðàõîâàí³ çà 25 ð³÷íèìè ñïîñòåðåæåííÿìè:
à)
30 0,18
tt
yx
=− +
(ó
t
âèòðàòè íà æèòëî, õ
t
ïðèáóòîê);
á)
=+
50 4,5
t
yt
(ó
t
âèòðàòè íà æèòëî, t ÷àñ).
Äàéòå åêîíîì³÷íó ³íòåðïðåòàö³þ ïîáóäîâàíèõ ðåãðåñ³é. ×è âçàº-
ìîïîâÿçàí³ âîíè ì³æ ñîáîþ?
39
Ðîçä³ë 3. ÇÀÃÀËÜÍÀ ˲ͲÉÍÀ
ÅÊÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÍÀ ÌÎÄÅËÜ
3.1. Áàãàòîôàêòîðí³ åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³
òà ¿õ ñïåöèô³êàö³ÿ
Ó áàãàòüîõ äîñë³äæåííÿõ âèÿâëÿºòüñÿ, ùî äåÿêà ðåçóëüòàòèâíà
îçíàêà çì³íþºòüñÿ ï³ä âïëèâîì íå îäíîãî, à ê³ëüêîõ ôàêòîð³â. Çîêðå-
ìà, àíàë³çóþ÷è åêîíîì³÷íó ä³ÿëüí³ñòü ï³äïðèºìñòâà òà ïðîãíîçóþ÷è
éîãî ïîäàëüøèé ðîçâèòîê, äîñë³äæóþòü òàê³ ôóíêö³¿:
1) âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ, ùî âèçíà÷ຠçàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âè-
ðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ òà âèòðà÷åíèìè äëÿ öüîãî ðåñóðñàìè, íàïðèêëàä
îñíîâíèì êàï³òàëîì ³ ïðàöåþ;
2) ôóíêö³þ ö³íè, ùî äຠçìîãó äîñë³äèòè, ÿê çì³íèòüñÿ ö³íà òî-
âàðó, ÿêùî çì³íèòüñÿ îáñÿã ïîñòàâîê òà ö³íè êîíêóðóþ÷èõ òîâàð³â;
3) ôóíêö³þ ïîïèòó, ùî äຠçìîãó âñòàíîâèòè, ÿê çì³íèòüñÿ ïîïèò
íà ïðîäóêö³þ, ÿêùî çì³íþâàòèìóòüñÿ ö³íà òîâàðó, ö³íè òîâàð³â-êîí-
êóðåíò³â ³ äîõîäè ñïîæèâà÷³â;
4) ôóíêö³þ âèòðàò, ùî îïèñóº çàëåæí³ñòü ñåðåäí³õ âèòðàò íà âè-
ðîáíèöòâ³ â³ä ö³íè òà ê³ëüêîñò³ âèðîáíè÷èõ ðåñóðñ³â;
5) ôóíêö³þ ÷óòëèâîñò³ ðèíêó, ÿêà âèçíà÷ຠçàëåæí³ñòü îáñÿãó çáó-
òó ïðîäóêö³¿ â³ä âèòðàò íà ðåêëàìó òà ³íäåêñó ÷èñòîòè âèðîáëåíî¿
ïðîäóêö³¿ (åêîëîã³÷íîãî ³íäèêàòîðà);
6) ð³âíÿííÿ ñòðàòå㳿 ï³äïðèºìñòâà, ó ÿêîìó â³äîáðàæàºòüñÿ çà-
ëåæí³ñòü ðåíòàáåëüíîñò³ ï³äïðèºìñòâà â³ä ïèòîìî¿ âàãè íà ðèíêó òî-
âàð³â, ïîä³áíèõ äî òèõ, ÿê³ âèðîáëÿº ï³äïðèºìñòâî, à òàêîæ â³ä ÿêîñò³
òîâàð³â, âèòðàò íà ìàðêåòèíã ³ íàóêîâ³ äîñë³äæåííÿ, â³ä ³íâåñòèö³é-
íèõ âèòðàò òîùî.
Ðîçãëÿíåìî äåòàëüí³øå ïåðøó ç öèõ ôóíêö³é.
Áóäü-ÿêà âèðîáíè÷à ñèñòåìà õàðàêòåðèçóºòüñÿ çàëåæí³ñòþ ì³æ
ê³ëüê³ñòþ âèðîáëåíî¿ â í³é ïðîäóêö³¿ òà ñïîæèòèìè äëÿ öüîãî ðåñóð-
40
ñàìè. Ïðè÷îìó ïåâí³ ïîêàçíèêè ö³º¿ çàëåæíîñò³ ìàþòü äåÿê³ âèïàäêîâ³
êîëèâàííÿ. Çàëåæí³ñòü ì³æ íèìè, ôîðìàë³çîâàíó ó â³äïîâ³äíèé ñïîñ³á
ó âèãëÿä³ ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ, íàçèâàþòü âèðîáíè÷îþ ôóíêö³ºþ.
ßêùî âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ â³äîìà, òî çà ê³ëüê³ñòþ ñïîæèòèõ ñèñ-
òåìîþ ðåñóðñ³â ìîæíà ïåðåäáà÷èòè ê³ëüê³ñòü âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ ³,
íàâïàêè, çà çàäàíîþ ê³ëüê³ñòþ âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ ìîæíà ðîçðàõó-
âàòè íåîáõ³äíó ê³ëüê³ñòü â³äïîâ³äíèõ ðåñóðñ³â.
Ó ðåàëüíèõ ñèñòåìàõ íåìîæëèâî âðàõóâàòè âñ³ ìîæëèâ³ ôàêòîðè, ùî
âïëèâàþòü íà îáñÿãè ïðîäóêö³¿. Òîìó ðîçãëÿäàþòü íàéâèçíà÷í³ø³ ç íèõ
³ íà ï³äñòàâ³ ñïîñòåðåæåíü çà öèìè ôàêòîðàìè òà ðåçóëüòàòîì âèðîáíè-
÷î¿ ä³ÿëüíîñò³ áóäóþòü òàê çâàíó åìï³ðè÷íó âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ.
Îòæå, âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ öå åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ÿêà ê³ëüê³ñíî
îïèñóº çâÿçîê îñíîâíèõ ðåçóëüòàòèâíèõ ïîêàçíèê³â âèðîáíè÷î-ãîñïî-
äàðñüêî¿ ä³ÿëüíîñò³ ç ôàêòîðàìè, ùî âèçíà÷àþòü ö³ ïîêàçíèêè.
Âèðîáíè÷³ ôóíêö³¿ ìîæóòü ìàòè ð³çí³ ãàëóç³ çàñòîñóâàííÿ, îñê³ëü-
êè ïðèíöèï âèòðàòè âèïóñê, ïîêëàäåíèé â îñíîâó çàëåæíîñò³,
ìîæå áóòè ðåàë³çîâàíèé ÿê íà ì³êðîåêîíîì³÷íîìó, òàê ³ íà ìàêðîåêî-
íîì³÷íîìó ð³âí³.
Íà ì³êðîåêîíîì³÷íîìó ð³âí³ çà äîïîìîãîþ òàêèõ ôóíêö³é, íà-
ïðèêëàä, îïèñóþòü çâÿçîê ì³æ âåëè÷èíîþ âèêîðèñòàíîãî ðåñóðñó
ïðîòÿãîì ðîêó òà ð³÷íèì îáñÿãîì âèïóñêó ïðîäóêö³¿ îäíîãî ï³äïðè-
ºìñòâà, îäí³º¿ ãàëóç³ ÷è ì³æãàëóçåâîãî âèðîáíè÷îãî êîìïëåêñó. ßêùî
âèðîáíè÷îþ ñèñòåìîþ º ðåã³îí ÷è êðà¿íà çàãàëîì, òî ìàºìî âèðîáíè-
÷ó ôóíêö³þ äëÿ ìàêðîåêîíîì³÷íîãî ð³âíÿ.
Ïðèêëàä. Íåõàé âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ çàäàíî ó âèãëÿä³
()
b
f
xax
=
,
äå x âåëè÷èíà âèòðà÷åíîãî ðåñóðñó (íàïðèêëàä, ðîáî÷îãî ÷àñó),
()fx
îáñÿã âèïóùåíî¿ ïðîäóêö³¿ (íàïðèêëàä, ê³ëüê³ñòü ãîòîâèõ âè-
ðîá³â). Âåëè÷èíè a òà b ïàðàìåòðè âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿
()fx
. Ïðè-
÷îìó a òà b äîäàòí³ ÷èñëà, à b
1
≤
. Çàäàíà ôóíêö³ÿ
()fx
çà ìàëèõ
çíà÷åíü àðãóìåíòó äຠçíà÷íèé ïðèð³ñò, ÿêùî x çá³ëüøóºòüñÿ íà îäè-
íèöþ; çà âåëèêèõ çíà÷åíü àðãóìåíòó òàêå ñàìå çá³ëüøåííÿ àðãóìåíòó
çóìîâëþº çíà÷íî ìåíøèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿. Öÿ âëàñòèâ³ñòü
()fx
â³äáèâຠôóíäàìåíòàëüíå ïîëîæåííÿ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿, ÿêå íàçè-
âàºòüñÿ çàêîíîì ñïàäíî¿ åôåêòèâíîñò³, à ñàìà ôóíêö³ÿ º òèïîâèì
ïðåäñòàâíèêîì îäíîôàêòîðíèõ âèðîáíè÷èõ ôóíêö³é.
Ó ðåàëüíèõ ñèòóàö³ÿõ îáñÿã âèïóñêó ïðîäóêö³¿ âèçíà÷àºòüñÿ, ÿê
ïðàâèëî, íå îäíèì, à áàãàòüìà ôàêòîðàìè, òîìó ÷àñò³øå çàñòîñîâóþòü
áàãàòîðåñóðñí³ àáî áàãàòîôàêòîðí³ âèðîáíè÷³ ôóíêö³¿. Íàéïîøèðå-