Лещинський О.Л. Економетрія
Подождите немного. Документ загружается.
21
ñîì. Ñàìå çì³íþâàííÿ åêçîãåííèõ çì³ííèõ ïðèâîäèòü ìîäåëü ó ðóõ,
çóìîâëþº ïåðåõ³ä ñèñòåìè äî íîâîãî ñòàíó.
Çàóâàæèìî, ùî â áàãàòüîõ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëÿõ º òàê³ åê-
çîãåíí³ çì³íí³, ÿê³ ìîæóòü áóòè çì³íåí³ êåð³âíèìè îðãàíàìè (äåð-
æàâíèì ðåãóëþâàííÿì ÷è êåð³âíèöòâîì ô³ðìè). Ö³ êåðîâàí³
çì³íí³, íàïðèêëàä äåðæàâí³ âèòðàòè òà ïîäàòêè, º ïîë³òè÷íèìè
³íñòðóìåíòàìè. ßêùî â³äîìî ñòðóêòóðó åêîíîì³÷íîãî ïðîöåñó, òî
äåðæàâí³ îðãàíè, çì³íþþ÷è çíà÷åííÿ òàêèõ çì³ííèõ, ìîãëè á ðî-
áèòè çàäàíèìè åíäîãåíí³ çì³íí³, òîáòî âïëèâàòè íà ïîäàëüøèé ðîç-
âèòîê ïðîöåñó.
Åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ìîæóòü áóòè ñòàòè÷íèìè òà äèíàì³÷íèìè.
Ó ñòàòè÷íèõ ìîäåëÿõ çâÿçêè ðîçãëÿäàþòüñÿ ó ô³êñîâàíèé ìîìåíò
÷àñó ³ ÷àñîâ³ çì³íè â íèõ ðîë³ íå â³ä³ãðàþòü. Ó äèíàì³÷í³é ìîäåë³, íàâ-
ïàêè, âçàºìîçâÿçêè âèâ÷àþòüñÿ â ðîçâèòêó é ÷àñ º íåîáõ³äíèì ôàê-
òîðîì çì³í.
Ìîäåë³ ðîçð³çíÿþòü òàêîæ çà ð³âíåì àãðåãóâàííÿ çì³ííèõ (ì³êðî-
÷è ìàêðîåêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè), çà ñïîñîáîì â³äîáðàæåííÿ çì³ííèõ
(ó ïîñò³éíèõ ÷è ïîòî÷íèõ ö³íàõ, ó àáñîëþòíèõ çíà÷åííÿõ ÷è ïðèðîñ-
òàõ ïîêàçíèê³â), çà ê³ëüê³ñòþ çì³ííèõ (îäíî- ÷è áàãàòîôàêòîðí³ ìî-
äåë³), çà ê³ëüê³ñòþ ð³âíÿíü (îäíå ÷è ê³ëüêà), çà ÷àñîì ñïîñòåðåæåíü
(ð³÷í³, êâàðòàëüí³ ÷è ì³ñÿ÷í³ äàí³).
Êëàñèô³êóþòü ìîäåë³ òàêîæ çà ïðèçíà÷åííÿì òà ìåòîþ âèêîðèñ-
òàííÿ (àíàë³òè÷í³, ³ì³òàö³éí³, ïðîãíîñòè÷í³).
1.4. Ñòàòèñòè÷íà áàçà åêîíîìåòðè÷íèõ
äîñë³äæåíü
Áóäü-ÿêå åêîíîìåòðè÷íå äîñë³äæåííÿ çàâæäè ïîºäíóº òåîð³þ (ìà-
òåìàòè÷í³ ìîäåë³) ³ ïðàêòèêó (ñòàòèñòè÷í³ äàí³). Çà äîïîìîãîþ ìî-
äåëåé îïèñóþòü ³ ïîÿñíþþòü ïðîöåñè, ùî âèâ÷àþòüñÿ, à ñòàòèñòè÷í³
äàí³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ïîáóäîâè òà îáãðóíòóâàííÿ ìîäåëåé. Áåç
êîíêðåòíèõ ê³ëüê³ñíèõ äàíèõ, ùî õàðàêòåðèçóþòü ôóíêö³îíóâàííÿ
åêîíîì³÷íîãî îáºêòà, íå çàâæäè ìîæíà âèçíà÷èòè ïðàêòè÷íó çíà-
÷óù³ñòü ïåâíî¿ ìîäåë³.
Åêîíîì³÷í³ äàí³ çâè÷àéíî ïîä³ëÿþòü íà äâà âèäè: ïåðåõðåñí³ äàí³
òà ÷àñîâ³ ðÿäè. Ïåðåõðåñíèìè º äàí³ çà ÿêèìîñü åêîíîì³÷íèì ïîêàç-
íèêîì, ùî îòðèìàí³ äëÿ ð³çíèõ îäíîòèïíèõ îáºêò³â (ô³ðì, ðåã³îí³â).
Ïðè÷îìó äàí³ îòðèìàíî â îäèí ³ òîé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó àáî ÷àñîâà
ïðèíàëåæí³ñòü íåñóòòºâà. ×àñîâ³ ðÿäè õàðàêòåðèçóþòü îäèí ³ òîé
22
ñàìèé îáºêò, àëå â ð³çí³ ìîìåíòè ÷àñó. Íàïðèêëàä, äàí³ áþäæåòíèõ
äîñë³äæåíü íàñåëåííÿ â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó º ïåðåõðåñíèìè, à äèíà-
ì³êà ð³âíÿ ³íôëÿö³¿ çà ïåâíèé ïåð³îä â³äîáðàæóºòüñÿ ÷àñîâèìè ðÿäà-
ìè. Ïîñë³äîâí³ çíà÷åííÿ ÷àñîâèõ ðÿä³â ìîæóòü áóòè ïîâÿçàí³ ì³æ
ñîáîþ ïåâíèìè çàëåæíîñòÿìè: ñïîñòåð³ãàþòüñÿ äåÿê³ çàêîíîì³ðíîñò³
ó â³äõèëåííÿõ â³ä çàãàëüíî¿ òåíäåíö³¿ ðîçâèòêó ÷è âèÿâëÿþòüñÿ ÷à-
ñîâ³ çñóâè ïîêàçíèê³â (÷àñîâ³ ëàãè). Òîìó ìåòîäè îáðîáêè òàêèõ äà-
íèõ äåùî â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä ìåòîä³â, ùî çàñòîñîâóþòüñÿ äëÿ îáðîáêè
ïåðåõðåñíèõ äàíèõ.
Ìåòîþ çáèðàííÿ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ º ïîáóäîâà ³íôîðìàö³éíî¿
áàçè äëÿ ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü. Ïðèðîäíî, ùî àíàë³ç äàíèõ ³ ïðèéíÿòòÿ
ð³øåíü çä³éñíþþòüñÿ íà ï³äñòàâ³ äåÿêî¿ ³íòó¿òèâíî¿ (íåÿâíî¿) àáî
ê³ëüê³ñíî¿ (ÿâíî¿) åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³. Òîìó çáèðàþòü ñàìå äàí³, ùî
ñòîñóþòüñÿ ïåâíî¿ ìîäåë³. ¯õ ìîæíà îòðèìàòè îïèòóâàííÿì, àíêåòó-
âàííÿì, ³íòåðâþâàííÿì àáî ³ç äæåðåë îô³ö³éíî¿ ñòàòèñòè÷íî¿ çâ³ò-
íîñò³. Êîæíèé ïîêàçíèê, îòðèìàíèé îäíèì ³ç çàçíà÷åíèõ ñïîñîá³â,
íàçèâàºòüñÿ ñïîñòåðåæåííÿì.
Áóäü-ÿê³ åêîíîì³÷í³ äàí³ º ê³ëüê³ñíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè åêî-
íîì³÷íèõ îáºêò³â. Âîíè ôîðìóþòüñÿ ï³ä 䳺þ áàãàòüîõ ôàêòîð³â, ÿê³
íå çàâæäè ìîæíà ïðîêîíòðîëþâàòè ççîâí³. Íåêîíòðîëüîâàí³ ôàêòî-
ðè ìîæóòü íàáóâàòè âèïàäêîâèõ çíà÷åíü ç äåÿêî¿ ìíîæèíè äîïóñ-
òèìèõ çíà÷åíü ³ òèì ñàìèì çóìîâëþâàòè âèïàäêîâ³ñòü äàíèõ. Ñòî-
õàñòè÷íà ïðèðîäà åêîíîì³÷íèõ äàíèõ âèìàãຠçàñòîñóâàííÿ
ñïåö³àëüíèõ àäåêâàòíèõ ¿ì ñòàòèñòè÷íèõ ìåòîä³â äëÿ ¿õ àíàë³çó òà
îáðîáêè.
Ïðè ï³äãîòîâö³ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ äëÿ ðîáîòè ç ïåâíîþ ìîäåë-
ëþ íåîáõ³äíî çàáåçïå÷èòè â³äïîâ³äí³ñòü öèõ äàíèõ ìîäåë³ òà ñï³ëüíó
ìåòîäè÷íó áàçó äëÿ ¿õ îö³íþâàííÿ. Äàí³ ìàþòü óòâîðþâàòè âçàºì-
íî óçãîäæåíèé íàá³ð, òîáòî ÿêùî âèì³ðþâàííÿ çä³éñíþºòüñÿ â ãðî-
øîâèõ îäèíèöÿõ, òî öå ìàþòü áóòè ïîòî÷í³ àáî ô³êñîâàí³ (îäíîãî
é òîãî ñàìîãî ðîêó) ö³íè. Ðåàëüíèì îáºìíèì ïîêàçíèêàì (òîáòî
ó ô³êñîâàíèõ ö³íàõ) ìàþòü â³äïîâ³äàòè ðåàëüí³ â³äíîñí³ ïîêàçíè-
êè (íàïðèêëàä, ïðîöåíòí³ ñòàâêè ñë³ä ñêîðèãóâàòè â³äíîñíî òåìïó
³íôëÿö³¿). Çàëåæíî â³ä ïîñòàâëåíèõ çàâäàíü âèáèðàþòü óçàãàëüíåí³
ïîêàçíèêè: âàëîâèé âíóòð³øí³é ïðîäóêò, âàëîâ³ âíóòð³øí³ çáåðå-
æåííÿ òîùî. ³äñóòí³ ñòàòèñòè÷í³ äàí³ çäåá³ëüøîãî ìîæóòü áóòè
ðîçðàõîâàí³ çà ³íøèìè ïîêàçíèêàìè, ÿêùî ì³æ íèìè ³ñíóº ïåâíà
ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü. Íàïðèêëàä, ³íôëÿö³ÿ ðîçðàõîâóºòüñÿ çà
äàíèìè ïðî äåôëÿòîð, ³ íàâïàêè.
23
Îòæå, ôîðìóþ÷è ñóêóïí³ñòü ñïîñòåðåæåíü, ñë³ä çàáåçïå÷èòè ïî-
ð³âíÿíí³ñòü äàíèõ ó ïðîñòîð³ òà ÷àñ³. Öå îçíà÷àº, ùî äàí³ âõ³äíî¿ ñó-
êóïíîñò³ ïîâèíí³ ìàòè:
• îäíàêîâèé ñòóï³íü àãðåãóâàííÿ;
• îäíîð³äíó ñòðóêòóðó îäèíèöü ñóêóïíîñò³;
• îäí³ é ò³ ñàì³ ìåòîäè ðîçðàõóíêó ïîêàçíèê³â ó ÷àñ³ ÷è ïðîñòîð³;
• îäíàêîâó ïåð³îäè÷í³ñòü îáë³êó îêðåìèõ çì³ííèõ;
• ïîð³âíÿíí³ ö³íè òà îäíàêîâ³ ³íø³ çîâí³øí³ åêîíîì³÷í³ óìîâè.
Âèñíîâêè, ÿê³ ìîæíà çðîáèòè â ðåçóëüòàò³ åêîíîìåòðè÷íîãî ìî-
äåëþâàííÿ, ö³ëêîì çóìîâëåí³ ÿê³ñòþ âõ³äíèõ äàíèõ, à ñàìå ¿õ ïîâíî-
òîþ òà äîñòîâ³ðí³ñòþ.
1.5. Îñîáëèâîñò³ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ
åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì
 åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íîìó àíàë³ç³ ³íôîðìàö³ÿ ôîðìóºòüñÿ, ÿê
ïðàâèëî, ó ðåçóëüòàò³ ñïîñòåðåæåííÿ çà îáºêòîì äîñë³äæåííÿ. Ïðè
îòðèìóâàíí³, îö³íþâàíí³ òà âèêîðèñòàíí³ ö³º¿ ³íôîðìàö³¿ ñë³ä ìàòè
íà óâàç³ âàæëèâ³ ñïåöèô³÷í³ ðèñè äæåðåëà äàíèõ.
Ñóòòºâå çíà÷åííÿ ìàþòü ñòîõàñòè÷í³ (âèïàäêîâ³) ôàêòîðè, ÿê³ âè-
ÿâëÿþòüñÿ ó âïëèâ³ íà åêîíîì³êó ÿê ç áîêó ïðèðîäè òà ñóñï³ëüñòâà,
òàê ³ ó âíóòð³øíüîåêîíîì³÷íèõ çâÿçêàõ. ×åðåç ñêëàäí³ñòü ³ äè-
íàì³÷í³ñòü òåõí³êî-åêîíîì³÷íèõ, îñîáëèâî ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ,
ïðîöåñ³â ïîïåðåäí³é ðîçðàõóíîê åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â ìîæëèâèé
ëèøå ç ïåâíèì ð³âíåì äîâ³ðè.
Âîäíî÷àñ âåëè÷åçí³ ìàñøòàáè åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè, ðîçãàëó-
æåí³ñòü çâÿçê³â ì³æ ¿¿ åëåìåíòàìè òà â³äîìà ³íåðö³éí³ñòü çíà÷íîþ
ì³ðîþ çóìîâëþþòü ìàéáóòí³é ¿¿ ñòàí ïîïåðåäí³ì. Òîìó ðîçâèòîê ñè-
ñòåìè ìîæíà ïåðåäáà÷èòè ç âåëèêîþ ì³ðîþ âïåâíåíîñò³.
 îçíà÷åí³é ñèòóàö³¿ íàéïðèéíÿòí³øèìè ìåòîäàìè äîñë³äæåí-
íÿ º ìåòîäè ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè, àäàïòîâàí³ äî åêîíîì³÷íèõ
ÿâèù. Ñàìå ö³ ìåòîäè äàþòü çìîãó áóäóâàòè åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³
òà îö³íþâàòè ¿õ ïàðàìåòðè, ïåðåâ³ðÿòè ã³ïîòåçè ñòîñîâíî âëàñòè-
âîñòåé åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â ³ ôîðì çâÿçêó ì³æ íèìè. Îäíàê
îñîáëèâ³ñòü åêîíîìåòðè÷íîãî ï³äõîäó äî ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷-
íèõ îáºêò³â ïîëÿãຠíå ó âèêîðèñòàíí³ åêîíîì³÷íî¿ òåðì³íîëî㳿,
à íàñàìïåðåä ó äåòàëüíîìó äîñë³äæåíí³ â³äïîâ³äíîñò³ âèáðàíî¿
ìîäåë³ ÿâèùó, ùî âèâ÷àºòüñÿ, à òàêîæ â àíàë³ç³ ÿêîñò³ ñòàòèñòè÷-
íî¿ ³íôîðìàö³¿, ùî º îñíîâîþ ïàðàìåòðèçàö³¿ (îö³íþâàííÿ ïàðà-
ìåòð³â) ìîäåëåé.
Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ
1. Ùî òàêå ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî îáºêòà?
2. Íàçâ³òü òèïè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé ³ â³äì³ííîñò³ ì³æ íèìè.
3. Äî ÿêîãî òèïó ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé íàëåæèòü åêîíîìåòðè÷-
íà ìîäåëü?
4. Ïîÿñí³òü ñóòí³ñòü êîðåëÿö³éíèõ çâÿçê³â ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïî-
êàçíèêàìè.
5. Ç ÿêèõ åëåìåíò³â ñêëàäàºòüñÿ åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü?
6. ßê³ âèìîãè âèñóâàþòüñÿ äî ñòàòèñòè÷íî¿ áàçè åêîíîìåòðè÷íèõ
äîñë³äæåíü?
25
Ðîçä³ë 2. ÌÎÄÅ˲ ÏÀÐÍί ÐÅÃÐÅѲ¯
ÒÀ ¯Õ ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß
2.1. Ïðèêëàäè ïàðíèõ çâÿçê³â â åêîíîì³ö³
Åêîíîì³÷íà òåîð³ÿ âèÿâèëà é äîñë³äèëà çíà÷íó ê³ëüê³ñòü ñòàëèõ
³ ñòàá³ëüíèõ çâÿçê³â ì³æ ð³çíèìè ïîêàçíèêàìè. Íàïðèêëàä, äîáðå
âèâ÷åíî çàëåæíîñò³ ñïîæèâàííÿ â³ä ð³âíÿ äîõîäó, ïîïèòó â³ä ö³í
íà òîâàðè, çàëåæí³ñòü ì³æ ïðîöåíòíîþ ñòàâêîþ òà ³íâåñòèö³ÿìè, îá-
ì³ííèì êóðñîì âàëþòè òà îáñÿãîì ÷èñòîãî åêñïîðòó, ì³æ ð³âíÿìè áåç-
ðîá³òòÿ òà ³íôëÿö³¿, çàëåæí³ñòü îáñÿãó âèðîáíèöòâà â³ä îêðåìèõ ôàê-
òîð³â (ðîçì³ðó îñíîâíèõ ôîíä³â, ¿õ â³êó, ï³äãîòîâêè ïåðñîíàëó òîùî);
çàëåæí³ñòü ì³æ ïðîäóêòèâí³ñòþ ïðàö³ òà ð³âíåì ìåõàí³çàö³¿, à òàêîæ
áàãàòî ³íøèõ çàëåæíîñòåé.
Çäåá³ëüøîãî çàëåæí³ñòü ì³æ ïîêàçíèêàìè ìîæíà â³äîáðàçèòè çà
äîïîìîãîþ ë³í³éíèõ ñï³ââ³äíîøåíü.
Íàïðèêëàä, äëÿ ìîäåëþâàííÿ çàëåæíîñò³ ³íäèâ³äóàëüíîãî ñïîæè-
âàííÿ Ñ â³ä íàÿâíîãî ïðèáóòêó Y Êåéíñ çàïðîïîíóâàâ ë³í³éíå ð³â-
íÿííÿ
0
,
Cc bY
=+
äå
0
c
âåëè÷èíà àâòîíîìíîãî ñïîæèâàííÿ; b ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü
äî ñïîæèâàííÿ
(0 1)b
<≤
.
Îäíàê ïðèïóùåííÿ ùîäî ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ ïåâíèìè ïîêàç-
íèêàìè åêîíîì³÷íîãî ÿâèùà ÷è ïðîöåñó ìîæå íå ï³äòâåðäæóâàòèñÿ
äàíèìè ñïîñòåðåæåíü öèõ ïîêàçíèê³â. ² öå ïðèðîäíî, îñê³ëüêè â äåÿ-
êèõ âèïàäêàõ çàëåæí³ñòü º ñóòòºâî íåë³í³éíîþ. Íàïðèêëàä, çàëåæ-
í³ñòü ì³æ ð³âíåì áåçðîá³òòÿ x ³ ð³âíåì ³íôëÿö³¿ y â³äîáðàæàºòüñÿ òàê
çâàíîþ êðèâîþ Ô³ë³ïñà:
,
a
y
xb
=
−
26
äå
0, 0
>>
ab
ïàðàìåòðè ìîäåë³, à çì³íí³ x ³ y âèì³ðþþòüñÿ
ó ïðîöåíòàõ.
Ïðè íåçì³íí³é ð³÷í³é äèñêîíòí³é (îáë³êîâ³é) ñòàâö³ r ³ ïî-
÷àòêîâîìó âíåñêó a ÷åðåç x ðîê³â ó áàíêó íàÿâíà ñóìà ãðîøåé îá-
÷èñëþâàòèìåòüñÿ çà ôîðìóëîþ
(1 )
x
y
ar
=+
,
äå a, y ïàðàìåòðè ìîäåë³.
Ïðè ìàðêåòèíãîâèõ ³ ðèíêîâèõ äîñë³äæåííÿõ, ïðè äîñë³äæåíí³
çáóòó ïðîäóêö³¿ òà â äåìîãðàô³¿ çàñòîñîâóþòü òàê çâàíó êðèâó Ãîì-
ïåðöÿ:
x
ab c
y
e
+
=
,
äå ïàðàìåòðè a òà c ìîæóòü íàáóâàòè áóäü-ÿêèõ çíà÷åíü, à
b
ïåðåáó-
âຠâ òàêèõ ìåæàõ: 0 < b<1.
Çâÿçîê ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ y òà îñíîâíèìè âèðîá-
íè÷èìè ðåñóðñàìè, à ñàìå îáñÿãîì âèòðà÷åíîãî êàï³òàëó C ³ îáñÿãîì
âèòðàò ïðàö³ L, òàêîæ ìຠíåë³í³éíèé õàðàêòåð:
,
,
ab
y
dC
y
cL
==
,,,abcd
÷èñëîâ³ ïàðàìåòðè;
,0,,0.cd ab
>≥
Íåë³í³éí³ çâÿçêè, ÿê ïðàâèëî, ïåâíèìè ïåðåòâîðåííÿìè (çàì³íîþ
çì³ííèõ ÷è ëîãàðèôìóâàííÿì) çâîäÿòü äî ë³í³éíîãî âèãëÿäó àáî àï-
ðîêñèìóþòü (íàáëèæóþòü) ë³í³éíèìè ôóíêö³ÿìè.
Îòæå, ìîäåëü ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ (ë³í³éíå ð³âíÿííÿ) º íàéïîøèðå-
í³øèì (³ íàéïðîñò³øèì) âèäîì çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè çì³ííè-
ìè. Êð³ì òîãî, ïîáóäîâàíå ë³í³éíå ð³âíÿííÿ ìîæå ñëóãóâàòè ïî÷àò-
êîâîþ òî÷êîþ â ðàç³ ñêëàäíèõ (ñóòòºâî íåë³í³éíèõ) çàëåæíîñòåé.
2.2. ˳í³éíà ìîäåëü ç äâîìà çì³ííèìè
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ïàðíà ë³í³éíà ðåãðåñ³ÿ º ë³í³éíîþ ôóíêö³ºþ
ì³æ çàëåæíîþ çì³ííîþ Y ³ îäí³ºþ ïîÿñíþþ÷îþ çì³ííîþ Õ:
01
Ya aX
=+
. (2.1)
27
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (2.1) íàçèâàºòüñÿ òåîðåòè÷íîþ ë³í³éíîþ ðåãðå-
ñ³éíîþ ìîäåëëþ;
0
a
³
1
a
òåîðåòè÷í³ ïàðàìåòðè (òåîðåòè÷í³ êîåô³-
ö³ºíòè) ðåãðåñ³¿.
Çàçíà÷èìî, ùî ïðèíöèïîâîþ â öüîìó ðàç³ º ë³í³éí³ñòü çà ïàðàìåò-
ðàìè
0
a
³
1
a
ð³âíÿííÿ (2.1).
Ùîá âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿, íåîá-
õ³äíî çíàòè é âèêîðèñòîâóâàòè âñ³ çíà÷åííÿ çì³ííèõ Õ ³ Y ãåíåðàëü-
íî¿ ñóêóïíîñò³, ùî ïðàêòè÷íî íåìîæëèâî. Òîìó çà âèá³ðêîþ îáìåæå-
íîãî îáñÿãó áóäóþòü òàê çâàíå åìï³ðè÷íå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, ó ÿêîìó
êîåô³ö³ºíòàìè º îö³íêè òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿:
01
Ya aX
=+
, (2.2)
äå
0
a
³
1
a
îö³íêè íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â
0
a
³
1
a
.
×åðåç ðîçá³æí³ñòü ñòàòèñòè÷íî¿ áàçè äëÿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³
òà âèá³ðêè îö³íêè
0
a
³
1
a
ïðàêòè÷íî çàâæäè â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä
ä³éñíèõ çíà÷åíü êîåô³ö³ºíò³â
0
a
³
1
a
, ùî ïðèçâîäèòü äî ðîçá³æíîñò³
åìï³ðè÷íî¿ òà òåîðåòè÷íî¿ ë³í³é ðåãðåñ³¿. гçí³ âèá³ðêè ç îäí³º¿ é ò³º¿
ñàìî¿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³ çâè÷àéíî çóìîâëþþòü ð³çí³ îö³íêè.
Ìîæëèâå ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ òåîðåòè÷íèì ³ åìï³ðè÷íèì ð³âíÿí-
íÿìè ðåãðåñ³¿ ñõåìàòè÷íî çîáðàæåíî íà ðèñ. 2.1.
Ðèñ. 2.1
01
YaaX
=+
01
(| )
MY X a aX
=+
28
Çàäà÷³ ë³í³éíîãî ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó ïîëÿãàþòü ó òîìó, ùîá çà íà-
ÿâíèìè ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè
(, ), 1,2, ,,
ii
xy i n
=…
äëÿ çì³ííèõ Õ ³ Y:
à) îòðèìàòè íàéêðàù³ îö³íêè
0
a
,
1
a
íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â
0
a
³
1
a
:
á) ïåðåâ³ðèòè ñòàòèñòè÷í³ ã³ïîòåçè ïðî ïàðàìåòðè ìîäåë³;
â) ïåðåâ³ðèòè, ÷è äîñèòü äîáðå ìîäåëü óçãîäæóºòüñÿ ç³ ñòàòèñòè÷-
íèìè äàíèìè (àäåêâàòí³ñòü ìîäåë³ äàíèì ñïîñòåðåæåíü).
Äëÿ â³äîáðàæåííÿ òîãî ôàêòó, ùî êîæíå ³íäèâ³äóàëüíå çíà÷åííÿ
i
y
â³äõèëÿºòüñÿ â³ä â³äïîâ³äíîãî óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàí-
íÿ, ó ìîäåëü óâîäÿòü âèïàäêîâèé äîäàíîê
i
u
:
01
(| )
.
iiiii
yMYXx uaaxu
==+=++
Îòæå, ³íäèâ³äóàëüí³ çíà÷åííÿ
i
y
ïîäàþòü ó âèãëÿä³ ñóìè äâîõ
êîìïîíåíò ñèñòåìàòè÷íî¿
01
()
i
aax
+
³ âèïàäêîâî¿
()
i
u
. Ïðè÷èíà
ïîÿâè îñòàííüî¿ äîñèòü äîêëàäíî ðîçãëÿäàëàñÿ ðàí³øå.
Òàêèì ÷èíîì, ðåãðåñ³éíå ð³âíÿííÿ íàáóâຠâèãëÿäó
01
Ya aXu
=+ +
. (2.3)
Çàâäàííÿ ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá çà êîíêðåòíîþ âèá³ðêîþ
(, ),
ii
xy
1, 2, , ,in
=
K
çíàéòè òàê³ çíà÷åííÿ îö³íîê íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â
0
a
³
1
a
,
ùîá ïîáóäîâàíà ë³í³ÿ ðåãðåñ³¿ áóëà íàéêðàùîþ â ïåâíîìó ðîçóì³íí³
ñåðåä óñ³õ ³íøèõ ïðÿìèõ. ²íøèìè ñëîâàìè, ïîáóäîâàíà ïðÿìà ìàº
áóòè íàéáëèæ÷îþ äî òî÷îê ñïîñòåðåæåíü çà ¿õ ñóêóïí³ñòþ.
̳ðîþ ÿêîñò³ çíàéäåíèõ îö³íîê ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ êîìïîçèö³¿
â³äõèëåíü
,1,2,,.
i
ui n
=…
Íàïðèêëàä, êîåô³ö³ºíòè
0
a
³
1
a
ð³âíÿííÿ
ðåãðåñ³¿ ìîæóòü áóòè îö³íåí³ çà óìîâè ì³í³ì³çàö³¿ îäí³º¿ ç òàêèõ ñóì:
1)
01
11 1
()( )
nn n
iii i i
ii i
uyy yaax
== =
=−=−−
∑∑ ∑
; (2.4)
2)
01
11 1
nn n
iiii i
ii i
uyyyaax
== =
=−=−−
∑∑ ∑
; (2.5)
3)
22 2
01
11 1
()( )
nn n
iii i i
ii i
uyy yaax
== =
=−=−−
∑∑ ∑
. (2.6)
29
Îäíàê ïåðøà ñóìà íå ìîæå áóòè ì³ðîþ ÿêîñò³ çíàéäåíèõ îö³íîê
÷åðåç òå, ùî ³ñíóº áåçë³÷ ïðÿìèõ (çîêðåìà,
Yy
=
), äëÿ ÿêèõ
1
0
n
i
i
u
=
=
∑
(äîâåäåííÿ öüîãî òâåðäæåííÿ âèíîñèòüñÿ ÿê âïðàâà).
Ìåòîä âèçíà÷åííÿ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â çà óìîâè ì³í³ì³çàö³¿ äðó-
ãî¿ ñóìè íàçèâàºòüñÿ ìåòîäîì íàéìåíøèõ ìîäóë³â (ÌÍÌ).
Íàéïîøèðåí³øèì ³ òåîðåòè÷íî îá´ðóíòîâàíèì º ìåòîä âèçíà÷åí-
íÿ êîåô³ö³ºíò³â, ïðè ÿêîìó ì³í³ì³çóºòüñÿ òðåòÿ ñóìà. ³í ä³ñòàâ íà-
çâó ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÌÍÊ).
Îñòàíí³é ìåòîä îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â íàéïðîñò³øèé ç îá÷èñ-
ëþâàëüíî¿ òî÷êè çîðó. Êð³ì òîãî, îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿,
çíàéäåí³ çà ÌÍÊ ïðè âèçíà÷åíèõ ïåðåäóìîâàõ, ìàþòü ðÿä îïòè-
ìàëüíèõ âëàñòèâîñòåé (íåçì³ùåí³ñòü, åôåêòèâí³ñòü, îáãðóíòî-
âàí³ñòü).
Ñåðåä ³íøèõ ìåòîä³â âèçíà÷åííÿ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ âè-
îêðåìèìî ìåòîä ìîìåíò³â (ÌÌ) ³ ìåòîä ìàêñèìàëüíî¿ ïðàâäîïîä³á-
íîñò³ (ÌÌÏ).
2.3. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
Íåõàé çà âèá³ðêîþ
(, ), 1,2, ,,
ii
xy i n
=
K
ïîòð³áíî âèçíà÷èòè îö³í-
êè
0
a
³
1
a
åìï³ðè÷íîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ (2.2), òîáòî ï³ä³áðàòè òàê³
çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â ð³âíÿííÿ, ùîá ñóìà êâàäðàò³â â³äõèëåíü áóëà
ì³í³ìàëüíîþ (ðèñ. 2.2).
Ðèñ. 2.2
30
Ó öüîìó ðàç³
2
1
n
i
i
u
=
∑
º êâàäðàòè÷íîþ ôóíêö³ºþ äâîõ ïàðàìåòð³â
0
a
³
1
a
, îñê³ëüêè
,( 1,2,,)
ii
xyi n
=
K
â³äîì³ äàí³ ñïîñòåðåæåíü:
=
===
=−=−−
∑∑∑
222
01 0 1
111
(
,
)( ) ( )
.
nnn
iiiii
iii
uQaa y y ya ax
Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî êâàäðàòè÷íà ôóíêö³ÿ
Q
íåïåðåðâíà, îïóê-
ëà òà îáìåæåíà çíèçó (
0Q
≥
), òîáòî ìຠì³í³ìóì.
Íåîáõ³äíîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ ì³í³ìóìó íåïåðåðâíî äèôåðåíö³-
éîâàíî¿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ º ð³âí³ñòü íóëþ ¿¿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ:
01
0
01
1
2
()
0;
2
()
0;
ii
iii
Q
yaax
a
Q
yaaxx
a
∂
=− − − =
∂
⇒
∂
=− − − =
∂
∑
∑
(2.7)
01
2
01
;
.
ii
iiii
na a x y
axax xy
+=
+=
∑∑
∑∑∑
(2.8)
Ïîä³ëèâøè îáèäâà ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (2.8) íà n, îòðèìàºìî
01
1
22
2
01
01
;
;
.
xy
xy
aaxy
a
xx
xy
ax ax
ayax
−⋅
+=
=
⇒
−
+=
=−
(2.9)
Òóò
2
2
1111
,,, .
iiiii
xxx xyyxyxy
nnnn
====
∑∑∑∑
Ó íàñòóïíèõ ôîðìóëàõ äëÿ ñïðîùåííÿ çíàêè ñóì (
1
n
n
=
∑
) çàïè-
ñóâàòèìåìî áåç ³íäåêñ³â, äîïóñêàþ÷è, ùî äîäàâàííÿ âèêîíóºòüñÿ
â³ä ³
=
1 äî ³
=
n. Òàêîæ äëÿ çì³ííèõ ç ³íäåêñîì ³ ðîçóì³òèìåìî, ùî
1, 2, ,in
=
K
(ÿêùî íå çàçíà÷åíî ³íøå).
Îòæå, çã³äíî ç ÌÍÊ îö³íêè ïàðàìåòð³â
0
a
òà
1
a
âèçíà÷àþòüñÿ çà
ôîðìóëàìè (2.9).