Лещинський О.Л. Економетрія

Подождите немного. Документ загружается.

í³øîþ ñåðåä íèõ º âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Êîááà  Äóãëàñà, ÿêà îïèñóº

çàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ Y ³ âèòðàòàìè ïðàö³ L

òà êàï³òàëó F :

YaFL

αβ

Ìíîæíèê a ³ ïîêàçíèêè ñòåïåíÿ

òà

 ïàðàìåòðè ö³º¿ ìîäåë³.

Çàäàíà â òàêîìó âèãëÿä³ âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ º ìóëüòèïë³êàòèâíîþ (íå-

ë³í³éíîþ â³äíîñíî ïàðàìåòð³â). Ëîãàðèôìóâàííÿì ¿¿ ìîæíà çâåñòè äî

àäèòèâíîãî (ë³í³éíîãî â³äíîñíî ïàðàìåòð³â) âèãëÿäó:

ln ln lnYa F L

=+α +β

Çàçíà÷åíà ôóíêö³ÿ ìàº òàê³ âëàñòèâîñò³:

1) êîåô³ö³ºíò

ïîêàçóº, íà ñê³ëüêè â³äñîòê³â çì³íèòüñÿ îáñÿã âè-

ïóñêó ïðîäóêö³¿, ÿêùî âèòðàòè ïðàö³ çì³íÿòüñÿ íà 1 %, à âèòðàòè êà-

ï³òàëó çàëèøàòüñÿ íåçì³ííèìè. Òàêèé ïîêàçíèê íàçèâàºòüñÿ êîåô³ö³-

ºíòîì åëàñòè÷íîñò³ âèïóñêó çà âèòðàòàìè ïðàö³;

2) êîåô³ö³ºíò

º êîåô³ö³ºíòîì åëàñòè÷íîñò³ âèïóñêó çà âèòðàòà-

ìè êàï³òàëó;

3) ñóìà ïàðàìåòð³â

α+β

îïèñóº ìàñøòàá âèðîáíèöòâà.

ßêùî öÿ ñóìà äîð³âíþº îäèíèö³, ìàºìî ïîñò³éíèé ìàñøòàá âèðîá-

íèöòâà. À öå îçíà÷àº, ùî ç³ çá³ëüøåííÿì îáîõ âèðîáíè÷èõ ðåñóðñ³â

íà îäèíèöþ îáñÿã ïðîäóêö³¿ òàêîæ çðîñòå íà îäèíèöþ. ßêùî ñóìà

ìåíøà îäèíèö³, òî ìàñøòàá âèðîáíèöòâà ñïàäíèé, òîáòî òåìïè çðîñ-

òàííÿ îáñÿãó ïðîäóêö³¿ íèæ÷³ çà òåìïè çðîñòàííÿ îáñÿãó ðåñóðñ³â.

ßêùî ñóìà ïåðåâèùóº îäèíèöþ, ìàºìî çðîñòàþ÷èé ìàñøòàá: òåìïè

çðîñòàííÿ îáñÿãó ïðîäóêö³¿ ïåðåâèùóþòü òåìïè çðîñòàííÿ îáñÿãó

âèðîáíè÷èõ ðåñóðñ³â.

Ïàðàìåòð a ó ôóíêö³¿ Êîááà  Äóãëàñà çàëåæèòü â³ä îäèíèöü âè-

ì³ðþâàííÿ Y, F òà L ³ òàêîæ âèçíà÷àºòüñÿ åôåêòèâí³ñòþ âèðîáíè÷îãî

ïðîöåñó.

Îòæå, åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ äàº çìîãó ïðî-

àíàë³çóâàòè âèðîáíè÷ó ä³ÿëüí³ñòü, ùîá âèçíà÷èòè øëÿõè ï³äâèùåí-

íÿ ¿¿ åôåêòèâíîñò³. Îáãðóíòîâàí³ñòü òàêîãî àíàë³çó ö³ëêîâèòî çàëå-

æèòü â³ä äîñòîâ³ðíîñò³ ìîäåë³ òà ¿¿ àäåêâàòíîñò³ â³äïîâ³äíîìó

ðåàëüíîìó ïðîöåñó.

Âïëèâ áàãàòüîõ ÷èííèê³â íà ðåçóëüòàòèâíó çì³ííó ìîæå áóòè îïè-

ñàíèé ë³í³éíîþ ìîäåëëþ

01122

... ,

ya ax ax ax u

=+ + ++ +

(3.1)

äå y  äîñë³äæóâàíà (çàëåæíà, ïîÿñíþâàíà) çì³ííà, àáî ðåãðåñàíä;

, , ...,

xx x

 íåçàëåæí³, ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³, àáî ðåãðåñîðè;

, , ...,

aa a

 ïàðàìåòðè ìîäåë³; u  âèïàäêîâà ñêëàäîâà ðåãðåñ³éíî-

ãî ð³âíÿííÿ.

Ôóíêö³ÿ (3.1) º ë³í³éíîþ â³äíîñíî íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ ïàðà-

ìåòð³â ìîäåë³, àëå ñàìå ë³í³éí³ñòü çà ïàðàìåòðàìè º á³ëüø ñóòòºâîþ,

îñê³ëüêè öå ïîâÿçàíî ç ìåòîäàìè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â. Âèïàäêîâà

ñêëàäîâà u º ðåçóëüòàòèâíîþ ä³ºþ âñ³õ íåêîíòðîëüîâàíèõ âèïàäêîâèõ

ôàêòîð³â, ùî çóìîâëþþòü â³äõèëåííÿ ðåàëüíèõ çíà÷åíü äîñë³äæóâà-

íîãî ïîêàçíèêà y â³ä àíàë³òè÷íèõ (îá÷èñëåíèõ íà ï³äñòàâ³ îáðàíî¿

ðåãðåñ³éíî¿ çàëåæíîñò³).

Çðîçóì³ëî, ùî ë³í³éí³ çâÿçêè íå âè÷åðïóþòü óñ³õ ìîæëèâèõ ôîðì

çàëåæíîñò³ ì³æ ïîêàçíèêàìè. Òîìó ïðè äîñë³äæåíí³ êîíêðåòíîãî åêî-

íîì³÷íîãî ÿâèùà ïåðøî÷åðãîâèì çàâäàííÿì º ïîøóê íàéòî÷í³øî¿

àíàë³òè÷íî¿ ôîðìè îïèñó ñòàòèñòè÷íîãî çâÿçêó ì³æ éîãî ïîêàçíèêà-

ìè. Ïåâíà ôîðìà çàëåæíîñò³ ïîâèííà ìàòè â³äïîâ³äíå åêîíîì³÷íå

îáãðóíòóâàííÿ. ßêùî âèãëÿä çàëåæíîñò³ âñòàíîâèòè âàæêî, òî çà ïåð-

øå íàáëèæåííÿ äî ìîäåë³ âñå æ îáèðàþòü ë³í³éíó çàëåæí³ñòü.

Çâè÷àéíèì ìàòåìàòè÷íèì ï³äõîäîì äî ðîçâÿçàííÿ çàäà÷ º âèîêðåì-

ëåííÿ ñïåöèô³÷íèõ êëàñ³â çàäà÷ àáî çâåäåííÿ çàäà÷ äî äåÿêîãî êëàñó

³ çàñòîñóâàííÿ â³äïîâ³äíèõ ìåòîä³â ðîçâÿçóâàííÿ. Îñê³ëüêè äîñë³ä-

æåííÿ ë³í³éíèõ ôóíêö³é ìàº íåçàïåðå÷í³ ïåðåâàãè ïåðåä ³íøèìè êëà-

ñàìè ôóíêö³é, òî íåë³í³éí³ ôóíêö³¿ íàìàãàþòüñÿ ïåðåäóñ³ì çâåñòè äî

ë³í³éíèõ. Íàïðèêëàä, ñòåïåíåâà ôóíêö³ÿ

...

ax x x

ï³ñëÿ ëîãàðèôìóâàííÿ íàáèðàº âèãëÿäó

01 12 2

ln ln ln ln ln

yaaxax ax

=+ + +…+

³ ï³ñëÿ çàì³íè

º ë³í³éíîþ â³äíîñíî ïàðàìåòð³â

, ,...,

aa a

Ïîêàçíèêîâà ôóíêö³ÿ

...

aa a a

ï³ñëÿ ëîãàðèôìóâàííÿ íàáèðàº âèãëÿäó

0112 2

ln ln ln ln ln

yaxaxa xa

=+ + +…+

³ ï³ñëÿ çàì³íè

ln , 0, 1, 2, ..., ,

abi m

º ë³í³éíîþ â³äíîñíî ïàðà-

ìåòð³â

Ã³ïåðáîë³÷íà

aa a

xx x

=++ +…+

³ êâàäðàòè÷íà

22 2

011 22 mm

aaxax ax

=+ + +…+

ôóíêö³¿ çàì³íîþ çì³ííèõ

àáî

1, 2, ..., ,im

çâîäÿòüñÿ

äî ë³í³éíîãî âèãëÿäó:

01122

...

ya az az az

=+ + ++

Çàóâàæèìî, ùî â ñó÷àñíîìó åêîíîì³÷íîìó àíàë³ç³ ³ñíóþòü çàëåæ-

íîñò³, ÿê³ íå çâîäÿòüñÿ äî ë³í³éíèõ åëåìåíòàðíèìè ïåðåòâîðåííÿìè,

îäíàê ¿õ ïàðàìåòðè ìîæíà ëåãêî ðîçðàõóâàòè ñïåö³àëüíèìè ñïðîùå-

íèìè ìåòîäàìè [13].

Îñê³ëüêè íàéïîøèðåí³øèìè â åêîíîìåòðè÷íîìó ìîäåëþâàíí³

º ë³í³éí³ ôóíêö³¿, îáãðóíòóâàííÿ åêîíîìåòðè÷íèõ ìåòîä³â ðîçãëÿäà-

þòü, ÿê ïðàâèëî, íà áàç³ ë³í³éíèõ ìîäåëåé.

Îòæå, ïðåäìåòîì íàøèõ äîñë³äæåíü áóäå óçàãàëüíåíà áàãàòîôàê-

òîðíà ë³í³éíà ðåãðåñ³éíà ìîäåëü (3.1).

ßê çàçíà÷àëîñÿ, óçàãàëüíåíà ðåãðåñ³éíà ìîäåëü ñïðàâäæóºòüñÿ äëÿ

âñ³º¿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³, à ïîõèáêà ðåãðåñ³¿ ìàº ïåâíèé çàêîí ðîç-

ïîä³ëó.

Íà ïðàêòèö³ ìàþòü ñïðàâó ç âèá³ðêîâîþ ìîäåëëþ, òîáòî ç òàêîþ,

ÿêà ïîáóäîâàíà äëÿ äåÿêî¿ âèá³ðêè. Ïàðàìåòðè âèá³ðêîâî¿ ìîäåë³

º âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè, à ¿õ ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ äîð³âíþº ïà-

ðàìåòðàì óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³. Ùîá âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè óçàãàëüíå-

íî¿ ìîäåë³, íåîáõ³äíî çà âèá³ðêîþ îòðèìàòè ÿêîìîãà êðàù³ ¿õ îö³íêè,

òîáòî çíà÷åííÿ, íàéáëèæ÷³ äî ïàðàìåòð³â óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³. Ç ö³ºþ

ìåòîþ âèêîðèñòîâóþòü ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÌÍÊ).

3.2. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â

3.2.1. Îñíîâí³ ïðèïóùåííÿ

Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â äî çàãàëüíî¿ ë³í³éíî¿

áàãàòîôàêòîðíî¿ ìîäåë³ (3.1) ïåðåäáà÷àº íàÿâí³ñòü òàêèõ ïåðåäóìîâ:

1) êîæíå çíà÷åííÿ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ

,1,2,...,,

ui n

º âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ ³ ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ çàëèøê³â

äî-

ð³âíþº íóëþ:

() 0;Mu

2) êîìïîíåíòè âåêòîðà çàëèøê³â íåêîðåëüîâàí³ (ë³í³éíî íåçà-

ëåæí³) ì³æ ñîáîþ ³ ìàþòü ñòàëó äèñïåðñ³þ:

()

;

Muu E

=σ

3) ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³ (ðåãðåñîðè, ôàêòîðè ìîäåë³) íåêîðåëüîâàí³

³ç çàëèøêàìè;

4) ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³ íåêîðåëüîâàí³ ì³æ ñîáîþ.

Ïîðóøåííÿ ïåðøî¿ ïåðåäóìîâè îçíà÷àº, ùî ³ñíóº ñèñòåìàòè÷íèé

âïëèâ íà çàëåæíó çì³ííó, ÿêèé íå âðàõîâàíî â ìîäåë³. Òàêó ñèòóàö³þ

ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ïîìèëêó ñïåöèô³êàö³¿, îäíàê íàÿâí³ñòü â³ëüíî-

ãî ÷ëåíà ìîäåë³ äàº çìîãó ñêîðèãóâàòè ìîäåëü òàê, ùîá çàáåçïå÷èòè

âèêîíàííÿ ïåðøî¿ ïåðåäóìîâè.

Äðóãà ïåðåäóìîâà îçíà÷àº, ùî çàëèøêè ìîäåë³ º ïîìèëêàìè âè-

ì³ðþâàííÿ. ßêùî ì³æ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà çàëèøê³â ³ñíóº êîðåëÿ-

ö³éíà çàëåæí³ñòü, òàêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ àâòîêîðåëÿö³ºþ. Íàÿâí³ñòü

àâòîêîðåëÿö³¿ â ìîäåë³ ñâ³ä÷èòü ïðî ³ñíóâàííÿ êîðåëÿö³¿ ì³æ ïî-

ñë³äîâíèìè çíà÷åííÿìè äåÿêî¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ àáî ïðî íåâðàõî-

âàíèé ñóòòºâèé ôàêòîð, ùî âïëèâàº íà çàëåæíó çì³ííó ³ íå ìîæå áóòè

óñóíåíèé çà ðàõóíîê â³ëüíîãî ÷ëåíà ìîäåë³. Çàãàëüíèé âïëèâ ïîÿñ-

íþþ÷èõ çì³ííèõ, íå âðàõîâàíèõ ó ìîäåë³, ìîæå âèÿâèòèñÿ òàêîæ

ó òîìó, ùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â äëÿ îêðåìèõ ãðóï ñïîñòåðåæåíü çì³íþ-

âàòèìåòüñÿ. Òàêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòþ. Ó áóäü-

ÿêîìó ðàç³ ïîðóøåííÿ äðóãî¿ ïåðåäóìîâè âïëèâàº íà ìåòîäè îö³íþ-

âàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³.

Íàÿâí³ñòü çàëåæíîñò³ ì³æ çàëèøêàìè òà íåçàëåæíèìè çì³ííèìè

íàé÷àñò³øå ïîâÿçàíà ç òèì, ùî â ìîäåë³ ïðèñóòí³ ëàãîâ³ (çàòðèìàí³

â ÷àñ³) çì³íí³ àáî âîíà áóäóºòüñÿ íà áàç³ îäíî÷àñíèõ ñòðóêòóðíèõ

ð³âíÿíü. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ³ â öüîìó ðàç³ çàñòîñîâóþòü ³íø³

ìåòîäè.

Çàëåæí³ñòü ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîæå çíà÷íîþ ì³ðîþ

âïëèâàòè íà ÿê³ñòü îö³íîê, îòðèìàíèõ çà ÌÍÊ. ßêùî ì³æ íåçàëåæ-

íèìè çì³ííèìè ìîäåë³ ³ñíóþòü ò³ñí³ ë³í³éí³ çâÿçêè, öå ÿâèùå íàçè-

âàþòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòþ. Ìîäåë³, ó ÿêèõ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ìóëüòè-

êîë³íåàðí³ñòü, ñòàþòü íàäçâè÷àéíî ÷óòëèâèìè äî êîíêðåòíîãî íàáîðó

äàíèõ, äî ñïåöèô³êàö³¿ ìîäåë³ é ìàþòü çíà÷í³ â³äõèëåííÿ â³ä ä³éñíèõ

çíà÷åíü ïàðàìåòð³â óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³.

Êð³ì ðîçãëÿíóòèõ ÷îòèðüîõ ïåðåäóìîâ âàæëèâå çíà÷åííÿ ìàº

ïðèïóùåííÿ ïðî íîðìàëüíèé ðîçïîä³ë çàëèøê³â ìîäåë³. Öå ïðèïó-

ùåííÿ çàáåçïå÷óº íîðìàëüíèé ðîçïîä³ë êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ é äàº

çìîãó âèêîðèñòîâóâàòè â³äîì³ êðèòåð³¿ äëÿ ïåðåâ³ðêè ñòàòèñòè÷íèõ

ã³ïîòåç â³äíîñíî îòðèìàíèõ îö³íîê, à òàêîæ âèçíà÷àòè ¿õ äîâ³ð÷³

³íòåðâàëè.

3.2.2. ÌÍÊ-îö³íêè ïàðàìåòð³â ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ òà ¿õ

îñíîâí³ âëàñòèâîñò³

Ç òåîð³¿ éìîâ³ðíîñòåé â³äîìî (äîâåäåíî â òåîðåì³ Ãàóññà  Ìàð-

êîâà), ùî êîëè âèêîíóþòüñÿ ïåðåë³÷åí³ ïåðåäóìîâè, òî îòðèìàí³ çà

äîïîìîãîþ ÌÍÊ îö³íêè ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ º íåçì³ùå-

íèìè, îáãðóíòîâàíèìè, åôåêòèâíèìè òà ³íâàð³àíòíèìè.

Íàÿâí³ñòü òàêèõ âëàñòèâîñòåé îö³íîê ãàðàíòóº, ùî îñòàíí³ íå

ìàþòü ñèñòåìàòè÷íî¿ ïîõèáêè (íåçì³ùåí³ñòü), íàä³éí³ñòü ¿õ ï³äâè-

ùóºòüñÿ ç³ çá³ëüøåííÿì îáñÿãó âèá³ðêè (îáãðóíòîâàí³ñòü), âîíè º

íàéêðàùèìè ñåðåä ³íøèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â, ë³í³éíèõ â³äíîñíî åí-

äîãåííî¿ çì³ííî¿ (åôåêòèâí³ñòü). Êð³ì òîãî, îö³íêà ïåðåòâîðåíèõ

ïàðàìåòð³â (îö³íêà ôóíêö³¿ â³ä ïàðàìåòðà) ìîæå áóòè îòðèìàíà

â ðåçóëüòàò³ àíàëîã³÷íîãî ïåðåòâîðåííÿ îö³íêè ïàðàìåòðà (³íâàð³àíò-

í³ñòü).

Çîêðåìà, ÿêùî ïîðóøóºòüñÿ äðóãà ïåðåäóìîâà ÌÍÊ (çà íàÿâíîñò³

àâòîêîðåëÿö³¿ ÷è ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³), òî îòðèìàí³ çà öèì ìåòîäîì

îö³íêè âòðà÷àþòü âëàñòèâ³ñòü åôåêòèâíîñò³, õî÷à çàëèøàþòüñÿ íå-

çì³ùåíèìè òà îáãðóíòîâàíèìè. ßêùî ïîðóøóºòüñÿ ÷åòâåðòà ïåðåä-

óìîâà, òîáòî ì³æ çì³ííèìè ³ñíóþòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ çâÿçêè, öå ïðè-

çâîäèòü äî çì³ùåííÿ ÌÍÊ-îö³íîê. Çàñòîñóâàííÿ ìîäåëåé, ùî ìàþòü

çì³ùåí³ ÷è íååôåêòèâí³ îö³íêè, âòðà÷àº ñåíñ.

3.2.3. Îö³íþâàííÿ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â

òà ³íòåðïðåòàö³ÿ ðåçóëüòàò³â

Íåõàé â³äîìî n ñïîñòåðåæåíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ

, , ...,

xx x

³ n

ñïîñòåðåæåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ y. Íåîáõ³äíî çà ÌÍÊ îö³íèòè ïàðà-

ìåòðè

012

,,,...,

aaa a

ë³í³éíî¿ ìîäåë³ (3.1).

ßêùî âèêîíóþòüñÿ çàçíà÷åí³ ðàí³øå ïåðåäóìîâè, òî îö³íêè ïàðà-

ìåòð³â ìîæíà îòðèìàòè çà òàêèì àëãîðèòìîì.

1. Íåçàëåæí³ çì³íí³ çàïèñàòè ó âèãëÿä³ ìàòðèö³

{}

012

,,,...,

Xxxx x

äå

 âåêòîð, ñêëàäåíèé ç n îäèíèöü;

, , ...,

xx x

 âåêòîðè ñïî-

ñòåðåæåíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ.

2. Îá÷èñëèòè ìàòðèöþ

³ âåêòîð

, äå

 òðàíñïîíî-

âàíà ìàòðèöÿ X, y  âåêòîð ñïîñòåðåæåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿.

Çàóâàæåííÿ. Òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ óòâîðþºòüñÿ ç âèõ³äíî¿ ïå-

ðåòâîðåííÿì ðÿäê³â ó ñòîâïö³.

3. Îá÷èñëèòè îáåðíåíó ìàòðèöþ

()

−

Çàóâàæåííÿ. Ìàòðèöÿ

−

íàçèâàºòüñÿ îáåðíåíîþ äî A, ÿêùî âè-

êîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ

AA AA E

−−

, äå E  îäèíè÷íà ìàò-

ðèöÿ.

4. Îá÷èñëèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ çà ôîðìóëîþ

T1T

()()

aXX X

−

, (3.2)

äå a 

âåêòîð ïàðàìåòð³â,

012

(

,,,...,

)

aaaa a

Çàóâàæåííÿ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîæíà ñêîðèñòà-

òèñÿ áóäü-ÿêèì ìåòîäîì ðîçâÿçàííÿ ñèñòåìè ë³í³éíèõ ð³âíÿíü

â³äíîñíî âåêòîðà íåâ³äîìèõ çì³ííèõ:

()

XXa Xy

Ïðèêëàä [3]. Ï³äïðèºìñòâî, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç áàãàòüîõ ô³ë³é, äîñ-

ë³äæóº çàëåæí³ñòü ñâîãî ð³÷íîãî òîâàðîîá³ãó y (ìëí ó. î.) â³ä òîðãî-

âî¿ ïëîù³ ñâî¿õ ô³ë³é

(òèñ. êâ. ì) ³ ñåðåäíüîäåííî¿ ³íòåíñèâíîñò³

ïîòîêó ïîêóïö³â (òèñ. ÷îë./äåíü). Ïðîñòîðîâ³ äàí³ çà ô³ë³ÿìè íàâå-

äåíî â òàáë. 3.1.

Äëÿ â³äîáðàæåííÿ çàëåæíîñò³ ì³æ öèìè ïîêàçíèêàìè îáèðàþòü

ë³í³éíó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü

01122

ya ax ax u

=+ + +

Ó ðåçóëüòàò³ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàä-

ðàò³â îòðèìàíî òàê³ îö³íêè:



0,832

=−

;



4,743;



0,175.

Îö³íêè ³íòåðïðåòóþòüñÿ òàêèì ÷èíîì. Êîåô³ö³ºíò

4,743 îçíà-

÷àº, ùî çà ³íøèõ íåçì³ííèõ óìîâ çì³ííà

çá³ëüøèòüñÿ (çìåíøèòü-

ñÿ) íà îäèíèöþ, çàëåæíà çì³ííà y çá³ëüøèòüñÿ (çìåíøèòüñÿ) â³äïîâ³ä-

íî íà 4,743 îäèíèö³. Çîêðåìà, ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³ çá³ëüøåííÿ

(çìåíøåííÿ) òîðãîâî¿ ïëîù³ íà 1 òèñ. êâ. ì çá³ëüøèòü (çìåíøèòü)

ð³÷íèé òîâàðîîá³ã íà 4,743 ìëí ó. î. Àíàëîã³÷íî, çá³ëüøåííÿ (çìåí-

øåííÿ) ñåðåäíüîäåííî¿ ³íòåíñèâíîñò³ ïîêóïö³â íà 1 òèñ. ÷îë./äåíü

çá³ëüøèòü (çìåíøèòü) ð³÷íèé òîâàðîîá³ã íà 0,175 ìëí ó. î.

3.3. Âåðèô³êàö³ÿ ìîäåë³

3.3.1. Ïîêàçíèêè ÿêîñò³ ìîäåë³

Ó êëàñè÷íîìó ðåãðåñ³éíîìó àíàë³ç³ ââàæàºòüñÿ, ùî ôóíêö³ÿ ðåã-

ðåñ³¿ â³äîìà äî îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â, òîáòî ðåãðåñ³éíà ìîäåëü ñïå-

öèô³êîâàíà ïðàâèëüíî. Îäíàê â åìï³ðè÷íèõ åêîíîì³÷íèõ ³ ñîö³àëü-

Íîìåð Çíà÷åííÿ

Çíà÷åííÿ

ô³ë³¿ (

)(

)

1 2,93 0,31 10,24

2 5,27 0,98 7,15

3 6,85 1,21 10,81

4 7,01 1,29 9,89

5 7,02 1,12 13,72

6 8,35 1,49 13,92

7 4,33 0,78 8,54

8 5,77 0,94 12,36

9 7,68 1,29 12,27

10 3,16 0,48 11,01

11 1,52 0,24 8,25

12 3,15 0,55 9,31

Òàáëèöÿ 3.1

íèõ äîñë³äæåííÿõ íå çàâæäè â³äîìî, ñê³ëüêè ôàêòîð³â ìàº áóòè ââå-

äåíî â ìîäåëü ³ ÿêà ôîðìà çàëåæíîñò³ êðàùå îïèñóº ðåàëüí³ çâÿç-

êè. Ùîá çàáåçïå÷èòè íàéá³ëüø àäåêâàòíå â³äòâîðåííÿ äîñë³äæóâà-

íîãî ÿâèùà ÷è ïðîöåñó, íåîáõ³äíî âèáðàòè ðåãðåñ³éíó ôóíêö³þ ñåðåä

áàãàòüîõ âàð³àíò³â, âèêîðèñòîâóþ÷è ñïåö³àëüí³ êðèòåð³¿ ÿêîñò³ ìî-

äåë³.

Äëÿ ïåðåâ³ðêè êîðåêòíîñò³ ïîáóäîâè ìîäåë³ âèçíà÷àþòü íàñàìïå-

ðåä:

• ñòàíäàðòíó ïîõèáêó ð³âíÿííÿ;

• êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿;

• êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿;

• ñòàíäàðòíó ïîõèáêó ïàðàìåòð³â.

Çàóâàæèìî, ùî çàçíà÷åí³ ïîêàçíèêè îòðèìóþòü íà ï³äñòàâ³ êîíê-

ðåòíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ, òîáòî êîæíà ç öèõ õàðàêòåðèñòèê º âè-

á³ðêîâîþ õàðàêòåðèñòèêîþ ³ òîìó ìàº áóòè ïåðåâ³ðåíà íà çíà÷óù³ñòü

çà äîïîìîãîþ ñïåö³àëüíèõ ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â.

Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ (òî÷êîâà îö³íêà åìï³ðè÷íî¿ äèñ-

ïåðñ³¿ çàëèøê³â) õàðàêòåðèçóº àáñîëþòíó âåëè÷èíó ðîçêèäó âèïàä-

êîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

∑

Ïîïðàâêà íà ÷èñëî ñòóïåí³â ñâîáîäè äàº íåçì³ùåíó îö³íêó äèñ-

ïåðñ³¿ çàëèøê³â:



σ=

−−

∑

Çðîçóì³ëî, ùî ïåðåâàãà â³ääàºòüñÿ ìîäåëÿì, ó ÿêèõ ñòàíäàðòíà

ïîõèáêà ð³âíÿííÿ ìåíøà ïîð³âíÿíî ç ³íøèìè ìîäåëÿìè. Îäíàê òàêà

îö³íêà ÿêîñò³ ìàº ñóòòºâèé íåäîë³ê: ÷åðåç òå ùî äëÿ íå¿ íå âèçíà÷åíî

âåðõíþ ìåæó, ïîð³âíÿííÿ ð³çíèõ ìîäåëåé çà öèì êðèòåð³ºì äîñèòü

ïðîáëåìàòè÷íå.

Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿

ïîêàçóº, ÿêà ÷àñòèíà ðóõó çàëåæíî¿

çì³ííî¿ îïèñóºòüñÿ äàíèì ðåãðåñ³éíèì ð³âíÿííÿì, ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà

ôîðìóëîþ

=−

äå

()

Syy

=−

∑

;

 ñåðåäíº çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿,

∑

Íà çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ âïëèâàº ê³ëüê³ñòü ôàêòîð³â,

ùî âðàõîâàíî â ìîäåë³. Óâåäåííÿ â ìîäåëü êîæíî¿ íîâî¿ çì³ííî¿

çá³ëüøóº çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿. Òîìó ùîá çàïîá³ãòè íå-

âèïðàâäàíîìó ðîçøèðåííþ ìîäåë³ é ìàòè çìîãó ïîð³âíþâàòè ìîäåë³

ç ð³çíîþ ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, óâîäÿòü ñïåö³àëüíèé îö³íåíèé êî-

åô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿

=−

äå

 íåçì³ùåíà îö³íêà äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â;

 íåçì³ùåíà îö³í-

êà äèñïåðñ³¿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿,

()

σ= −

−

∑

Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî îáèäâà êîåô³ö³ºíòè ïîâÿçàí³ òàêîþ çàëåæ-

í³ñòþ

(

)

−

=− −

−−

Îá÷èñëåíèé ó òàêèé ñïîñ³á êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íàçèâàºòüñÿ

ñêîðèãîâàíèì çà Òåéëîì ³ ïîçíà÷àºòüñÿ

. Êð³ì òîãî çàñòîñîâóþòü

òàêîæ êîðèãóâàííÿ çà Àìåì³ºþ, ÿêå âèêîíóºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

(

)

=− −

−−

Îá÷èñëåíèé ó òàêèé ñïîñ³á êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íàçèâàºòüñÿ

ñêîðèãîâàíèì çà Àìåì³ºþ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ

Îáèäâà êîåô³ö³ºíòè

âðàõîâóþòü òîé ôàêò, ùî óâåäåííÿ

â ìîäåëü êîæíîãî íîâîãî ðåãðåñîðà çìåíøóº ÷èñëî ñòóïåí³â ñâîáîäè.

À äëÿ çàñòîñóâàííÿ ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â ïåðåâ³ðêè ÿêîñò³ îòðèìà-

íèõ ðåçóëüòàò³â ñòóïåí³â ñâîáîäè áàæàíî ìàòè ÿêîìîãà á³ëüøå.

Î÷åâèäíî, äëÿ êîæíîãî

âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü

≤

òîáòî ç³ çá³ëüøåííÿì ê³ëüêîñò³ ôàêòîð³â ìîäåë³ îö³íåí³ êîåô³ö³ºíòè

äåòåðì³íàö³¿ çðîñòàþòü ïîâ³ëüí³øå, í³æ

. Êð³ì òîãî, ÿêùî

òî ³

. ßêùî

ïðÿìóº äî íóëÿ, îö³íåí³ êîåô³ö³ºíòè ñòàþòü

â³äºìíèìè. Òàêà âëàñòèâ³ñòü ñêîðèãîâàíèõ êîåô³ö³ºíò³â äåòåðì³íàö³¿

äàº çìîãó á³ëüø îáºêòèâíî îö³íþâàòè ÿê³ñòü ìîäåëåé ç ð³çíîþ

ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, ïðè÷îìó â ðàç³ çàñòîñóâàííÿ êîåô³ö³ºíòà

(ñêîðèãîâàíîãî çà Àìåì³ºþ) ïåðåâàãà îäíîçíà÷íî â³ääàºòüñÿ ð³âíÿí-

íþ ç ìåíøîþ ê³ëüê³ñòþ ðåãðåñîð³â.

Çàóâàæåííÿ. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ ìàº ùå äâà ð³âíîö³ííèõ îç-

íà÷åííÿ. Çà ïåðøèì, êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿

äîð³âíþº êâàäðàòó

åìï³ðè÷íîãî êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ ì³æ äâîìà ðÿäàìè ñïîñòåðåæåíü

(òåîðåòè÷íèìè çíà÷åííÿìè ðåãðåñàíäà

òà éîãî ðîçðàõóíêîâèìè

çíà÷åííÿìè



1, 2, ...,in

) ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ



( ( )( ))



()()

yyyy

yy yy

−−

∑

∑∑

Çà äðóãèì, êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿

äîð³âíþº â³äíîøåííþ

ñóìè êâàäðàò³â â³äõèëåíü ðîçðàõóíêîâèõ çíà÷åíü ðåãðåñàíäà â³ä éîãî

ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ äî ñóìè êâàäðàò³â â³äõèëåíü ñïîñòåðåæåíèõ çíà-

÷åíü ðåãðåñàíäà â³ä òîãî ñàìîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ:



()

−

∑

Â îáîõ âèïàäêàõ ñóìà

∑

îá÷èñëþºòüñÿ çà âñ³ìà ñïîñòåðåæåííÿ-

ìè

1, 2, ...,in

Êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿ R

()

âèçíà÷àº ì³ðó çâÿçêó çà-

ëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà íåçàëåæíèìè ôàêòîðàìè ³ º êîðåíåì êâàäðàò-

íèì ç â³äïîâ³äíîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿:

(

Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ, êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ òà ìíîæèí-

íî¿ êîðåëÿö³¿ º õàðàêòåðèñòèêàìè, çà ÿêèìè ïåðåâ³ðÿºòüñÿ ïðà-

âèëüí³ñòü âèáîðó íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ìîäåë³. Ïðè ïîð³âíÿíí³ ðåãðå-

ñ³éíèõ ð³âíÿíü ç ð³çíîþ ê³ëüê³ñòþ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ âèð³øàëüíèìè

êðèòåð³ÿìè º ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ (íàéìåíøà) òà êîåô³ö³ºíò

äåòåðì³íàö³¿ (ÿêîìîãà áëèæ÷èé äî îäèíèö³ ³ ç á³ëüøèì ÷èñëîì ñòó-

ïåí³â ñâîáîäè).