Лещинський О.Л. Економетрія

Подождите немного. Документ загружается.

2-é êðîê:

íà îñíîâ³ íîâî¿ ìàòðèö³ X

, åëåìåíòàìè ÿêî¿ º íîðìàë³çîâàí³ íå-

çàëåæí³ çì³íí³

−

0,309287 0,302374 0,339018

0,246242 0,238430 0,334264

0,205096 0,260766 0,173826

0,156651 0,181056 0,270089

0,198460 0,185436 0,192841

0,116169 0,077695 0,020520

0,148024 0,142077 0,270089

0,16859

−

−−

−

6 0,154340 0,166696

0,045160 0,132441 0,085883

0,100905 0,036088 0,110840

0,100242 0,071564 0,061481

0,033215 0,072089 0,147047

0,017221 0,013401 0,308673

0,087566 0,006832 0,130409

0,112121 0,112820 0,109018

0,16







5875 0,147858 0,196565

0,238212 0,257350 0,241725

0,324485 0,269613 0,164874

0,419385 0,393997 0,248460

îá÷èñëèìî êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ (ìàòðèöþ ìîìåíò³â íîðìàë³çîâàíî¿

ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü):







12 1

21 2

1...

... ... ... ...

... 1

RXX

äå

 òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ

; åëåìåíòè ìàòðèö³ R õàðàêòåðèçó-

þòü ù³ëüí³ñòü çâÿçêó îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç ³íøîþ (



ïàðí³ êîåô³ö³ºíòè êîðåëÿö³¿);

0,95 0,92883 0,819534

0,92883 0,95 0,831277 .

0,81953 0,83127 0,95







3-é êðîê:

âèçíà÷èìî |R|  âèçíà÷íèê êîðåëÿö³éíî¿ ìàòðèö³ R:

|R| = 0,00881;

îá÷èñëèìî çíà÷åííÿ êðèòåð³þ

()

125ln;

nmR



χ=− −− +





81,23005;

ïîð³âíÿºìî çíà÷åííÿ

ç òàáëè÷íèì ïðè

(1)3

−=

ñòóïå-

íÿõ ñâîáîäè é ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α

0,05 (äîä. 3):

òàáë

χ=

7,814724.

Îñê³ëüêè

òàáë

, òî â ìàñèâ³ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ñíóº ìóëü-

òèêîë³íåàðí³ñòü ó ñóêóïíîñò³.

4-é êðîê:

âèçíà÷èìî ìàòðèöþ ïîõèáîê:

11 12 1

21 22 2

1**1

...

()

;

... ... ... ...

...

mm mm

cc c

CR XX

cc c

−−





== =





−−





=− −



−



24,00377 22,82912 0,7311322

Ñ 22,82912 26,20416 3,235457 .

0,731132 3,235457 4,5144749

5-é êðîê:

ðîçðàõóºìî F-êðèòåð³¿:

(1)()

(1)

−−

−

, k

1, 2, 3,

äå ñ

 ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ;

195,53205,

214,2354,

29,87303;

çíà÷åííÿ êðèòåð³¿â F

ïîð³âíÿºìî ç òàáëè÷íèì ïðè (nm)

³ (m1)

2 ñòóïåíÿõ ñâîáîäè ³ ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α

0,05 (äîä. 5):

òàáë

19,43703.

Îñê³ëüêè F

> F

òàáë

, F

> F

òàáë

, F

> F

òàáë

, ðîáèìî âèñíîâîê, ùî ïåð-

øà, äðóãà é òðåòÿ íåçàëåæí³ çì³íí³ ìóëüòèêîë³íåàðí³ ç ³íøèìè;

âèçíà÷èìî êîåô³ö³ºíòè äåòåðì³íàö³¿ äëÿ êîæíî¿ çì³ííî¿:

=−

0,958339;

0,961838;

0,778490.

6-é êðîê:

çíàéäåìî ÷àñòêîâ³ êîåô³ö³ºíòè êîðåëÿö³¿, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü

ù³ëüí³ñòü çâÿçêó ì³æ äâîìà çì³ííèìè çà óìîâè, ùî ³íø³ çì³íí³

, ..., x

íå âïëèâàþòü íà öåé çâÿçîê (³ñíóâàííÿ ïàðíî¿ ìóëüòè-

êîë³íåàðíîñò³):

kk jj

−

äå ñ

 åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ, ùî ðîçì³ùåí³ â k-ìó ðÿäêó òà j-ìó

ñòîâïö³, k

1, 2, ..., m, j

1, 2, ..., m; ñ

³ ñ

 ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè

ìàòðèö³ Ñ;

0,910257, r

0,070234,r

0,297472.

Îäíàê ÿêùî ïîð³âíÿòè àáñîëþòí³ çíà÷åííÿ ÷àñòêîâèõ ïàðíèõ êî-

åô³ö³ºíò³â, òî ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî ïåðø³ çíà÷íî ìåíø³, í³æ îñòàíí³.

Òîìó íà îñíîâ³ çíàííÿ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿ âèñíîâîê ïðî

ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ðîáèòè íåìîæëèâî. Äëÿ öüîãî íåîáõ³äíî ùå âè-

êîíàòè 7-é êðîê.

7-é êðîê:

ðîçðàõóºìî t-êðèòåð³¿:

kj kj

−

;

9,064506, t

0,290302, t

1,284666;

çíà÷åííÿ êðèòåð³¿â t

ïîð³âíÿºìî ç òàáëè÷íèìè ïðè (nm)

17 ñòó-

ïåíÿõ ñâîáîäè é ð³âí³ çíà÷óùîñò³

0,05 (äîä. 4):

òàáë

2,109818.

Îñê³ëüêè t

> t

òàáë

< t

òàáë

< t

òàáë

, òî ì³æ ïåðøîþ òà äðó-

ãîþ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ³ñíóº ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü.

ßêùî F-êðèòåð³é ïåðåâèùóº òàáëè÷íå çíà÷åííÿ, à öå îçíà÷àº ùî

k-òà çì³ííà çàëåæèòü â³ä ³íøèõ çì³ííèõ ó ìàñèâ³, íåîáõ³äíî âèð³øó-

âàòè ïèòàííÿ ïðî ¿¿ âèêëþ÷åííÿ ç ïåðåë³êó çì³ííèõ.

ßêùî t

-êðèòåð³é ïåðåâèùóº òàáëè÷íå çíà÷åííÿ, òî öÿ ïàðà çì³ííèõ

(k i j) ò³ñíî âçàºìîïîâÿçàíà. Çâ³äñè, àíàë³çóþ÷è ð³âåíü îáîõ âèä³â êðè-

òåð³¿â F i t, ìîæíà çðîáèòè îá´ðóíòîâàíèé âèñíîâîê ïðî òå, ÿêó ç³

çì³ííèõ íåîáõ³äíî âèêëþ÷èòè ³ç äîñë³äæåííÿ ÷è çàì³íèòè ¿¿ ³íøîþ. Àëå

çàì³íà ìàñèâó íåçàëåæíèõ çì³ííèõ çàâæäè ìàº óçãîäæóâàòèñÿ ç åêî-

íîì³÷íîþ äîö³ëüí³ñòþ, ùî çóìîâëåíà ìåòîþ äîñë³äæåííÿ.

4.4. Çàñîáè óñóíåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³.

Ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â

Âèÿâëåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ º ëèøå ÷àñòèíîþ ñïðàâè. ²íøà

÷àñòèíà  ÿê ¿¿ óñóíóòè. Áåçïîìèëêîâèõ ³ àáñîëþòíî ïðàâèëüíèõ ïî-

ðàä íåìàº, îñê³ëüêè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü º ïðèêëàäíîþ ïðîáëåìîþ.

Çâè÷àéíî, óñå çàëåæèòü â³ä ñòóïåíÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³, îäíàê

ó áóäü-ÿêîìó ðàç³ ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ê³ëüêà ïðîñòèõ ìåòîä³â óñó-

íåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³:

1) âèêîðèñòàííÿ äîäàòêîâî¿ àáî ïåðâèííî¿ ³íôîðìàö³¿;

2) îáºäíàííÿ ³íôîðìàö³¿;

3) â³äêèäàííÿ çì³ííî¿ ç âèñîêîþ êîðåëÿö³ºþ;

4) ïåðåòâîðåííÿ äàíèõ (âèêîðèñòàííÿ ïåðøèõ ð³çíèöü);

5) çá³ëüøåííÿ ê³ëüêîñò³ ñïîñòåðåæåíü.

ßê³ ïîðàäè ñïðàöþþòü íà ïðàêòèö³, çàëåæèòü â³ä ³ñòîòíîñò³ ïðî-

áëåìè òà ¿¿ õàðàêòåðó.

ßêùî ïåðåë³÷åíèìè ìåòîäàìè íå âäàºòüñÿ óñóíóòè ìóëüòèêîë³íå-

àðí³ñòü, òî äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â áàãàòîâèì³ðíî¿ ìîäåë³ äîö³ëü-

íî çàñòîñóâàòè ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â.

Àëãîðèòì ìåòîäó ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â

Öåé àëãîðèòì âêëþ÷àº äåâÿòü êðîê³â.

1-é êðîê:

íîðìàë³çóâàòè çì³íí³ õ

, õ

,  õ

ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³, îá÷èñëèâøè

−

äå n  ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü (³

1, n);

m  ê³ëüê³ñòü ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ ó ìîäåë³ (j

1, m);

 ñåðåäíÿ àðèôìåòè÷íà j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿;

 ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿.

2-é êðîê:

ïîáóäóâàòè íîâó ìàòðèöþ

, åëåìåíòàìè ÿêî¿ º íîðìàë³çîâàí³ íå-

çàëåæí³ çì³íí³.

3-é êðîê:

îá÷èñëèòè êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ (ìàòðèöþ ìîìåíò³â íîðìàë³çî-

âàíî¿ ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü) çà ôîðìóëîþ

()

rXX

äå

 òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ

RXX

12 1

21 2







LLL

(íåä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ R õàðàêòåðèçóþòü ù³ëüí³ñòü çâÿç-

êó îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç ³íøîþ (

), òîáòî º ïàðíèìè êî-

åô³ö³ºíòàìè êîðåëÿö³¿).

4-é êðîê:

çíàéòè õàðàêòåðèñòè÷í³ ÷èñëà ìàòðèö³ r, òîáòî âèçíà÷èòè êîðåí³

, , ...,

λλ λ

ð³âíÿííÿ m-ãî ïîðÿäêó:

0,

λ=

äå E  îäèíè÷íà ìàòðèöÿ ðîçì³ðíîñò³ m × m;

,1,2,...,

λ=

 õàðàê-

òåðèñòè÷í³ ÷èñëà ìàòðèö³ r.

5-é êðîê:

ðàíæóâàòè âëàñí³ çíà÷åííÿ

, i = 1, 2, ..., m, çà àáñîëþòíèì ð³âíåì

âíåñêó êîæíîãî ãîëîâíîãî êîìïîíåíòà â çàãàëüíó äèñïåðñ³þ.

6-é êðîê:

ðîçâÿçàòè ñèñòåìó ð³âíÿíü

0

rEa

λ=

³ îá÷èñëèòè âëàñí³ âåêòîðè a

, ³ = 1, 2, ..., m, çà óìîâè, ùî âîíè â³äïî-

â³äàþòü òàêèì ñï³ââ³äíîøåííÿì:

1, ÿ êù î ,

0, ÿêùî .



′



≠



7-é êðîê:

çíàéòè ãîëîâí³ êîìïîíåíòè âåêòîð³â z

, ³

1, 2, ..., m, ÿê³ çàäî-

âîëüíÿþòü óìîâè

∑

′

=λ =

, 1, 2, ..., ,

ii i

zz i m

0, ,

zz i

′

=≠

1, 2, ..., m.

8-é êðîê:

âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè ìîäåë³



YZP



PZY

−

9-é êðîê:

çíàéòè ïàðàìåòðè ìîäåë³



YXÀ



ÀaP

Çàóâàæèìî, ùî ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â äîö³ëüíî çàñòîñîâó-

âàòè, ïî-ïåðøå, äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé ç âåëèêîþ

ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, ïî-äðóãå, äëÿ ìîäåëåé, ó ÿêèõ íåçàëåæí³ çì³íí³

(ñòîâïö³ ìàòðèö³ ñïîñòåðåæåíü X) ìàþòü îäíàêîâ³ îäèíèö³ âèì³ðþ-

âàííÿ.

Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ

1. Ùî îçíà÷àº ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü çì³ííèõ?

2. Äî ÿêèõ íàñë³äê³â ïðèçâîäèòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü?

3. ßê âïëèâàº íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ íà îö³íêó ïàðàìåòð³â

ìîäåë³?

4. Çà äîïîìîãîþ ÿêèõ ìåòîä³â âèçíà÷àþòü íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³-

íåàðíîñò³?

5. ßê³ ñòàòèñòè÷í³ êðèòåð³¿ âêëþ÷àº àëãîðèòì Ôàððàðà  Ãëîáå-

ðà?

6. Îõàðàêòåðèçóéòå àëãîðèòì Ôàððàðà  Ãëîáåðà.

7. ßê³ âèñíîâêè ìîæíà çðîáèòè, äîñë³äèâøè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü

çà àëãîðèòìîì Ôàððàðà  Ãëîáåðà?

8. Ùî õàðàêòåðèçóþòü åëåìåíòè êîðåëÿö³éíî¿ ìàòðèö³ R?

9. ßê óñóíóòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü? Íàâåä³òü ìåòîäè ¿¿ óñóíåííÿ.

10. ßêèì ìåòîäîì ìîæóòü áóòè îö³íåí³ ïàðàìåòðè ìîäåë³ ç ìóëü-

òèêîë³íåàðíèìè çì³ííèìè?

11. ßê îá÷èñëèòè ãîëîâí³ êîìïîíåíòè?

12. ßê îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ íà îñíîâ³ ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â?

13. ßê³ óìîâè ìàþòü çàäîâîëüíÿòè ãîëîâí³ êîìïîíåíòè?

14. Êîëè äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â?

Âïðàâè òà çàâäàííÿ

1. Íà áàç³ n

11 ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ ïåâíîãî ðåã³îíó äîñë³äèòè

ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ì³æ ôàêòîðàìè.

i C(i) D(i) S(³) L(i)

1 5,25 9,11 7,05 16,05

2 11,24 13,57 8,68 18,68

3 16,27 14,01 9,57 20,06

4 18,75 17,29 10,10 29,67

5 21,78 19,58 11,55 31,55

6 24,58 21,07 13,31 34,01

7 27,09 22,47 15,37 35,34

8 31,76 24,68 17,01 36,01

9 35,94 25,75 19,67 38,54

10 38,57 27,05 21,92 41,92

11 41,47 30,87 25,08 43,27

2. Çàïðîïîíóâàòè ñïîñîáè óñóíåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³.

Ðîçä³ë 5. ÃÅÒÅÐÎÑÊÅÄÀÑÒÈ×Í²ÑÒÜ

5.1. Âèÿâëåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³

òà ¿¿ ïðèðîäà

Ðîçãëÿíåìî êëàñè÷íó ë³í³éíó áàãàòîôàêòîðíó ìîäåëü

01122

... .

ya ax ax ax u

=+ + ++ +

(5.1)

ßê çàâæäè,



















{}

1, , 1, , 1, .

Xxin

===

(5.2)

Äëÿ çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ðàí³-

øå áóëî ñôîðìóëüîâàíî îñíîâí³ ïðèïóùåííÿ, ÿê³ íà ïðàêòèö³ ìîæóòü

ïîðóøóâàòèñü.

Ó ïîïåðåäíüîìó ðîçä³ë³ ðîçãëÿäàâñÿ îñîáëèâèé âèïàäîê áàãàòîôàê-

òîðíîãî ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó, ïîâÿçàíèé ç ïðîáëåìîþ ìóëüòèêîë³íå-

àðíîñò³. Òåïåð ðîçãëÿíåìî ³íøèé îñîáëèâèé âèïàäîê, ùî ñòîñóºòüñÿ

ñòàëîñò³ äèñïåðñ³¿ êîæíî¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè u

(ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü

çàëèøê³â).

Îçíà÷åííÿ 5.1. ßêùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ñòàëà äëÿ êîæíîãî ñïî-

ñòåðåæåííÿ, òî öå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòþ:

()

const, 1, .

iiiu

Du M u Mu i n

=−=σ= =

(5.3)

ßêùî öå ïðèïóùåííÿ íå çàäîâîëüíÿºòüñÿ â ÿêîìóñü îêðåìîìó

âèïàäêó, òî ìàºìî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü (ïîìèëêè u

íåêîðåëüîâàí³,

àëå ìàþòü íåñòàëó äèñïåðñ³þ).

Îçíà÷åííÿ 5.2. ßêùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çì³íþºòüñÿ äëÿ êîæíîãî

ñïîñòåðåæåííÿ àáî ãðóïè ñïîñòåðåæåíü, òî öå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãå-

òåðîñêåäàñòè÷í³ñòþ:

()

const, 1, .

iiiu

Du M u Mu i n

=−=σ≠ =

(5.4)

Ðîçãëÿíåìî ïèòàííÿ ïðî äîö³ëüí³ñòü ïðèïóùåííÿ (5.3) ³ ïðî òå,

ùî â³äáóâàºòüñÿ, ÿêùî öå ïðèïóùåííÿ íå çàäîâîëüíÿºòüñÿ.

Íàñàìïåðåä çàóâàæèìî, ùî ñóòí³ñòü ïðèïóùåííÿ ïðî ãîìîñêåäàñ-

òè÷í³ñòü ïîëÿãàº â òîìó, ùî âàð³àö³ÿ êîæíî¿ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ u

íà-

âêîëî ¿¿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ íå çàëåæèòü â³ä çíà÷åííÿ ôàêòîð³â x:

(

, , ...,

)

xx x

σ≠

Ôîðìà ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ çàëåæèòü â³ä çíàê³â ³ çíà÷åíü êî-

åô³ö³ºíò³â ó çàëåæíîñò³

(

, , ...,

)

xx x

σ=

Îñê³ëüêè u

 íå ñïîñòåðåæóâàíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ìè íå çíàº-

ìî ñïðàâæíüî¿ ôîðìè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³.

Ó ïðèêëàäíèõ äîñë³äæåííÿõ, ÿê ïðàâèëî, âèêîðèñòîâóþòü çðó÷íå

ïðèïóùåííÿ, à ñàìå â ðàç³ ïðîñòî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ ãåòåðîñêåäàñ-

òè÷í³ñòü ìàº ôîðìó

222

σ=

const, ÿêó ïîòð³áíî îö³íèòè).

Íàñë³äêè ïîðóøåííÿ ïðèïóùåííÿ ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü:

1) íåìîæëèâî çíàéòè ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ ïàðà-

ìåòð³â

ðåãðåñ³¿, à îòæå, íåìîæëèâî îö³íèòè çíà÷óù³ñòü ïàðà-

ìåòð³â;

2) íåìîæëèâî ïîáóäóâàòè äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë äëÿ ïðîãíîçíèõ çíà-

÷åíü y

ïð

;

3) îòðèìàí³ çà ÌÍÊ îö³íêè ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³¿ íå º åôåêòèâíè-

ìè (íå ìàþòü íàéìåíøî¿ äèñïåðñ³¿).

Çàçíà÷èìî, ùî ÿêùî íåçâàæàþ÷è íà ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìè âè-

êîðèñòîâóâàòèìåìî çâè÷àéí³ ïðîöåäóðè ïåðåâ³ðêè ã³ïîòåç, òî âèñ-