Лещинський О.Л. Економетрія
Подождите немного. Документ загружается.
121
Êàï³òàëüí³ ×èñòà Êàï³òàëüí³ ×èñòà
âêëàäåííÿ, ïðîäóêö³ÿ, âêëàäåííÿ, ïðîäóêö³ÿ,
гê ìëí ìëí гê ìëí ìëí
ñèð³éñüêèõ ñèð³éñüêèõ ñèð³éñüêèõ ñèð³éñüêèõ
ë³ð ë³ð ë³ð ë³ð
1 3857 24334 11 17006 72165
2 4686 28678 12 17352 78743
3 5515 33021 13 17838 80381
4 5209 32432 14 18878 82204
5 7522 40325 15 19090 77833
6 10390 49334 16 20016 81413
7 13678 54717 17 17736 77484
8 15976 53818 18 11951 75443
9 13880 55968 19 11469 85038
10 13949 61517 20 9068 75809
Òàáëèöÿ 7.1
τ
12345678910
r
τ
0,89 0,86 0,89 0,92 0,92 0,85 0,75 0,64 0,4 0,55
Òàáëèöÿ 7.2
Äèíàì³÷íà ìîäåëü ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà â òàêîìó ðàç³ ìຠâèãëÿä
0132435
,
ttt t tt
yaxaxaxaxu
−−−
=+ + + +
äå
t
y
÷èñòà ïðîäóêö³ÿ â ïåð³îä t;
,0,1,2,3
j
a
j
=
âàãîâ³ êîåô³ö³ºíòè
ëàãîâèõ çì³ííèõ;
(3,4,5)
t
x
−τ
τ=
êàï³òàëüí³ âêëàäåííÿ â ïåð³îä
t
−τ
.
7.2. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â
äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëåé
Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëåé çâè-
÷àéíî çàñòîñîâóþòü äâà ìîæëèâèõ ï³äõîäè: ïîñë³äîâíå îö³íþâàííÿ
³ àïð³îðíå îö³íþâàííÿ.
²äåÿ ïåðøîãî ï³äõîäó ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá ïîñòóïîâî äîñë³ä-
æóâàòè âïëèâ çàï³çíåíèõ çì³ííèõ íà çàëåæíó çì³ííó. Äðóãèé
ï³äõ³ä áàçóºòüñÿ íà ïðèïóùåíí³, ùî ïàðàìåòðè ìîäåë³ ìàþòü ïåâ-
íó çàêîíîì³ðí³ñòü, òîáòî ïîâÿçàí³ ì³æ ñîáîþ äåÿêèìè ñï³ââ³äíî-
øåííÿìè.
122
Ïîñë³äîâíå îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â âèêîíóºòüñÿ òàê: ñïî÷àòêó áó-
äóþòü ðåãðåñ³þ çàëåæíî¿ òà íåçàëåæíî¿ çì³ííèõ â îäèí ³ òîé ñàìèé
ìîìåíò ÷àñó, ïîò³ì äî ìîäåë³ äîäàþòü ùå îäíó çì³ííó íåçàëåæíó
çì³ííó â ïîïåðåäí³é ìîìåíò ÷àñó, òîáòî ðîçãëÿäàþòü çàëåæí³ñòü ïî-
êàçíèêà â³ä äâîõ çì³ííèõ. Äàë³ â ðåãðåñ³þ ââîäèòüñÿ ùå îäíà çì³ííà
ó ìîìåíò ÷àñó, çñóíóòèé íà äâà ïîïåðåäí³õ ïðîì³æêè, ³ ò. ä. Êîæíà
ç ìîäåëåé äîñë³äæóºòüñÿ íà àäåêâàòí³ñòü ³ çíà÷óù³ñòü ¿¿ ïàðàìåòð³â.
Ïðîöåäóðà çàê³í÷óºòüñÿ, êîëè ïàðàìåòðè ïðè ëàãîâèõ çì³ííèõ ïî÷è-
íàþòü áóòè ñòàòèñòè÷íî íåçíà÷óùèìè òà (àáî) êîåô³ö³ºíò õî÷à á
îäí³º¿ çì³ííî¿ çì³íþº ñâ³é çíàê.
Òàêèé ìåòîä õî÷ ³ ïîâíèé, îäíàê ìຠïåâí³ íåäîë³êè. Ïî-ïåðøå, òå,
ùî íåâ³äîìîþ º ìàêñèìàëüíà òðèâàë³ñòü ëàãà, à öå íå äຠçìîãè ïåðåä-
áà÷èòè, ñê³ëüêè çì³ííèõ óâ³éäå â ìîäåëü. Ïî-äðóãå, ì³æ ïîñë³äîâíèìè
çíà÷åííÿìè çì³ííèõ çäåá³ëüøîãî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ âèñîêà êîðåëÿö³ÿ, ùî
ïîðîäæóº ïðîáëåìó ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ â ìîäåë³. Êð³ì òîãî, ÷åðåç
çìåíøåííÿ ñòóïåí³â ñâîáîäè â òàêèõ ìîäåëÿõ îö³íêè ñòàþòü äåùî íå-
ïåâíèìè, ùî òàêîæ çíèæóº ¿õ ÿê³ñòü.
Íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ì³æ ëàãîâèìè çì³ííèìè óñêëàä-
íþº ïîáóäîâó ìîäåë³. Ùîá óñóíóòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü, íà êîåô³-
ö³ºíòè ïðè ëàãîâèõ çì³ííèõ íàêëàäàþòü äîäàòêîâ³ îáìåæåííÿ (àïð³-
îðíå îö³íþâàííÿ), à ñàìå âèáèðàþòü ¿õ òàê, ùîá âïëèâ ëàãà íà
äîñë³äæóâàíèé ïîêàçíèê áóâ îäíîñïðÿìîâàíèé (òîáòî êîåô³ö³ºíòè
áóëè á îäíàêîâîãî çíàêà) ³ çìåíøóâàâñÿ ç êîæíèì íàñòóïíèì êðî-
êîì ó ìèíóëå. Òàê³ ïðèïóùåííÿ ðåàë³çóþòü, ÿê ïðàâèëî, ó ìîäåëÿõ,
äå ïàðàìåòðè çì³íþþòüñÿ â ãåîìåòðè÷í³é ïðîãðåñ³¿. Êð³ì òîãî, íå-
ñê³í÷åííà ñóìà ÷ëåí³â ñïàäíî¿ ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿ º ñê³í÷åííîþ
âåëè÷èíîþ, ùî äຠçìîãó óçàãàëüíèòè ìîäåëü ç ê³íöåâèì ëàãîì ³ çàñ-
òîñîâóâàòè îäíàêîâ³ ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â.
Îäíàê ³ â öüîìó ðàç³ çàëèøàºòüñÿ âåëèêà ê³ëüê³ñòü îö³íþâàíèõ ïà-
ðàìåòð³â.
Óâåäåííÿ â ìîäåëü ëàãîâî¿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿
1
t
y
−
(çàòðèìêà íà
îäèí ïåð³îä), â³äîìå ÿê ïåðåòâîðåííÿ Êîéêà, çíà÷íî ñïðîùóº ìîäåëü:
11
(
1
) ()
ttttt
yw x y u u
−−
=−λ+λ+−λ
, (7.2)
äå
1
j
j
wa
∞
=
=
∑
(ñê³í÷åííå ÷èñëî),
01
≤λ≤
.
Òàêà ìîäåëü ì³ñòèòü íå ëèøå ïîòî÷í³, à é ïîïåðåäí³ çíà÷åííÿ çà-
ëåæíî¿ çì³ííî¿, òîáòî º àâòîðåãðåñ³éíîþ.
123
Çàì³íà íåçàëåæíèõ ëàãîâèõ çì³ííèõ
12
,,...
tt
xx
−−
îäí³ºþ çàëåæíîþ
çì³ííîþ
1
t
y
−
çìåíøóº ê³ëüê³ñòü îö³íþâàíèõ ïàðàìåòð³â ³ óñóâàº
ïðîáëåìó ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³, îäíàê ïðèçâîäèòü äî íîâèõ òðóä-
íîù³â. Íàÿâí³ñòü ó ìîäåë³ ëàãîâî¿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ïîòðåáóº ïåðå-
â³ðêè ïåðåäóìîâè ïðî íåçàëåæí³ñòü çì³ííèõ ³ çàëèøê³â ïðè çàñòîñó-
âàíí³ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ. Êð³ì òîãî, çàëèøêè ìîäåë³
1
tt t
vu u
−
=+λ
÷àñòî âèÿâëÿþòüñÿ ñåð³éíî êîðåëüîâàíèìè, à òîìó ïðè äîñë³äæåíí³
¿õ íà àâòîêîðåëÿö³þ íåîáõ³äíî âèêîðèñòàòè ñïåö³àëüí³ òåñòè.
Îòðèìàíà àëãåáðà¿÷íèì ñïîñîáîì ìîäåëü Êîéêà ïîçáàâëåíà òåî-
ðåòè÷íîãî îáãðóíòóâàííÿ ³ ôàêòè÷íî º ïîñë³äîâíîþ ìîäåëëþ.
Ç ïåâíèõ åêîíîì³÷íèõ ì³ðêóâàíü ìîæíà îòðèìàòè ìîäåë³, ùî çîâí³
íàãàäóþòü ìîäåëü Êîéêà, àëå ç ³íøîþ ³íòåðïðåòàö³ºþ êîåô³ö³ºíò³â
ëàãîâèõ çì³ííèõ. Òàêèìè ìîäåëÿìè º ìîäåëü àäàïòèâíèõ ñïîä³âàíü
11
(
1
)(
1
)(
1
)
ttttt
yxyuu
−−
=α −λ +β −λ +λ + −λ
(7.3)
òà ìîäåëü ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàííÿ
1
(
1
)
tttt
yxyu
−
=αγ+βγ + −γ +
,
01.
≤γ≤
(7.4)
Ö³ ìîäåë³ â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä ìîäåë³ Êîéêà íàÿâí³ñòþ â³ëüíîãî ÷ëå-
íà, àëå ïðè öüîìó ðåàë³çóþòü ð³çí³ ³äå¿ ùîäî åêîíîì³÷íî¿ ä³ÿëüíîñò³.
Ó ïåðø³é ìîäåë³ â³äîáðàæåíî äóìêó ïðî òå, ùî ëþäè íàâ÷àþòüñÿ
ç ïîïåðåäíüîãî äîñâ³äó, ïðè÷îìó íåùîäàâí³é äîñâ³ä ìຠá³ëüøèé
âïëèâ, àí³æ ïîïåðåäí³é; äðóãà áàçóºòüñÿ íà òîìó, ùî ÷åðåç ³íåðòí³ñòü
åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè çì³íà îäíîãî åêîíîì³÷íîãî ïîêàçíèêà íå îäðàçó
âïëèâຠíà çì³íó ³íøîãî ³ â³äïîâ³äíèé ð³âåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ äîñÿ-
ãàºòüñÿ ÷åðåç ïåâíèé ÷àñ.
7.3. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â àâòîðåãðåñ³éíèõ
ìîäåëåé
Òðè àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåë³ Êîéêà (7.2), àäàïòèâíèõ ñïîä³âàíü
(7.3) ³ ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàííÿ (7.4) ìîæíà ïîäàòè â çàãàëüí³é
ôîðì³:
01 21
tttt
yaaxay v
−
=+ + +
. (7.5)
Íàÿâí³ñòü ëàãîâèõ çàëåæíèõ çì³ííèõ ó äèíàì³÷íèõ ìîäåëÿõ ñòâî-
ðþº ïåâí³ ïðîáëåìè ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â: ñåðåä ïîÿñíþþ÷èõ
124
çì³ííèõ º ñòîõàñòè÷í³ (çàëåæí³ ëàãîâ³ çì³íí³), à òàêîæ ³ñíóº ïðîáëå-
ìà ñåð³éíî¿ êîðåëÿö³¿ çàëèøê³â ìîäåë³ òà ëàãîâèõ çì³ííèõ. Çàëåæíî
â³ä ã³ïîòåç ùîäî çàëèøê³â òàêèõ ìîäåëåé âèêîðèñòîâóþòü â³äïîâ³äí³
ìåòîäè îö³íþâàííÿ.
óïîòåçà 1. Çàëèøêè º íîðìàëüíî ðîçïîä³ëåíèìè âèïàäêîâèìè âå-
ëè÷èíàìè ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì òà ñòàëîþ äèñïåð-
ñ³ºþ.
óïîòåçà 2. Çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ñõåìîþ ïåðøî-
ãî ïîðÿäêó:
1
tt t
vu u
−
=−λ
,
01
≤λ≤
.
óïîòåçà 3. Çàëèøêè àâòîêîðåëüîâàí³ òà îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³é-
íîþ ñõåìîþ ïåðøîãî ïîðÿäêó:
1
tt t
vu u
−
=+λ
,
êð³ì òîãî,
1
tt t
vv
−
=ρ +ε
.
Ïåðøà ã³ïîòåçà âèêîíóºòüñÿ ëèøå äëÿ ìîäåë³ ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàí-
íÿ (7.4); ñàìå äëÿ íå¿ ìîæëèâå çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ. Îäíàê
çàëåæí³ñòü çàëèøê³â â³ä ëàãîâî¿ çì³ííî¿
1
t
y
−
ó ö³é ìîäåë³ ïðèçâîäèòü
äî çì³ùåííÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â. Òà õî÷à îö³íêè ïàðàìåòð³â áóäóòü çàâè-
ùåíèìè, âîíè ìàòèìóòü íàéìåíøó ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ïîõèáêó.
² ï³ñëÿ âèçíà÷åííÿ âåëè÷èíè çì³ùåííÿ ÌÍÊ-îö³íêè áóäóòü íàéïðèé-
íÿòí³øèìè.
ßêùî çàëèøêè ìîäåë³ âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç àâòîêîðåëüîâàí³ âèïàä-
êîâ³ âåëè÷èíè, òî ÌÍÊ-îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³ òàêîæ ìàòèìóòü
çì³ùåííÿ, äî òîãî æ çì³ùåííÿ ìàòèìå òàêîæ êðèòåð³é Äàðá³íà Óîò-
ñîíà. Òîìó äëÿ ïåðåâ³ðêè àâòîêîðåëÿö³¿ çàëèøê³â çàñòîñîâóþòü óçà-
ãàëüíåíèé êðèòåð³é Äàðá³íà Óîòñîíà. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â òà-
êèõ ìîäåëåé âèêîíóþòü óçàãàëüíåíèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
(ìåòîäîì Åéòêåíà), â îïåðàòîð³ îö³íþâàííÿ ÿêîãî
T1 1T1
()
aXVXXVY
−− −
=
êîðèãóþ÷à ìàòðèöÿ ìຠâèãëÿä
125
+λ −λ
−λ + λ −λ
=σ
−λ + λ
+λ
K
K
K
LLLLL
K
2
2
2
2
2
100
10
01 0
000 1
u
V
.
ßêùî ëàãîâó ìîäåëü ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³
101
,
tt tt
yy aaxv
−
−λ = + +
òî äî ïåðåòâîðåíèõ ó òàêèé ñïîñ³á äàíèõ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ çàñòîñîâó-
þòü çâè÷àéíèé ÌÍÊ. Ïðè÷îìó ïàðàìåòð
λ
âèáèðàþòü ç ³íòåðâàëó
01
≤λ≤
òàê, ùîá ì³í³ì³çóâàòè ñóìó êâàäðàò³â çàëèøê³â
1
uV u
−
.
ßêùî â³äíîñíî çàëèøê³â ìîäåë³ ïðèéìàºòüñÿ òðåòÿ ã³ïîòåçà, òî ïà-
ðàìåòðè îö³íþþòü çà äîïîìîãîþ òàêèõ ìåòîä³â:
1) êëàñè÷íîãî ÌÍÊ ï³ñëÿ ïîïåðåäíüîãî ïåðåòâîðåííÿ âõ³äíèõ
äàíèõ;
2) ìåòîäó Åéòêåíà (óçàãàëüíåíîãî ÌÍÊ);
3) ³òåðàö³éíîãî ìåòîäó;
4) ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ;
5) àëãîðèòìó Óîëë³ñà.
Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ
1. Ùî â åêîíîì³ö³ íàçèâàºòüñÿ ëàãîì?
2. Ùî º ïðè÷èíîþ ëàãà?
3. ßê³ ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³ íàçèâàþòü àâòîðåãðåñ³éíèìè òà äèñòðè-
áóòèâíî-ëàãîâèìè?
4. ßêîþ º ïðèðîäà àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé?
5. ßê³ ïðîáëåìè âèíèêàþòü ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â äèñòðè-
áóòèâíî-ëàãîâèõ ³ àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé?
6. ßê³ ã³ïîòåçè âèñóâàþòüñÿ ùîäî çàëèøê³â ëàãîâèõ ìîäåëåé?
7. ßêèìè ìåòîäàìè îö³íþþòüñÿ ïàðàìåòðè äèñòðèáóòèâíî-ëàãî-
âèõ ³ àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé?
126
Ðîçä³ë 8. ÑÈÑÒÅÌÈ ÎÄÍÎ×ÀÑÍÈÕ
вÂÍßÍÜ
8.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü
Áàãàòî åêîíîì³÷íèõ âçàºìîçâÿçê³â äîïóñêàþòü ìîäåëþâàííÿ îä-
íèì ð³âíÿííÿì. Îäíàê äåÿê³ åêîíîì³÷í³ ïðîöåñè ìîäåëþþòüñÿ íå îä-
íèì, à ê³ëüêîìà ð³âíÿííÿìè. Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïî-
êàçíèêàìè ìîæóòü ìàòè ñòîõàñòè÷íèé ³ äåòåðì³íîâàíèé õàðàêòåð.
Ñòîõàñòè÷í³ çâÿçêè ì³æ çì³ííèìè îïèñóþòüñÿ ðåãðåñ³éíèìè ð³âíÿí-
íÿìè, à äåòåðì³íîâàí³ âèçíà÷àþòüñÿ òîòîæíîñòÿìè é íå ì³ñòÿòü íå-
â³äîìèõ ïàðàìåòð³â.
Ó ñèñòåìàõ ð³âíÿíü ÷åðåç íàÿâí³ñòü ïðÿìèõ ³ çâîðîòíèõ çâÿçê³â
çàëåæíà çì³ííà îäíîãî ð³âíÿííÿ ìîæå áóòè íåçàëåæíîþ çì³ííîþ â
³íøèõ ð³âíÿííÿõ . Çì³íí³, ùî ñòîÿòü ó ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíÿíü, íàçèâà-
þòüñÿ åíäîãåííèìè, ïðè÷îìó ¿õ ê³ëüê³ñòü íå ïåðåâèùóº çàãàëüíî¿
ê³ëüêîñò³ âñ³õ ð³âíÿíü. ²íø³ çì³íí³, ùî âõîäÿòü äî ìîäåë³, íàçèâàþòüñÿ
åêçîãåííèìè.
Íàïðèêëàä, ïîâíà êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü äîõîäó ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ
ñï³ââ³äíîøåíü:
,
01
ttt
CaaYu
=+ +
(8.1)
,
ttt
YCZ
=+
(8.2)
äå
t
C
âèòðàòè íà ñïîæèâàííÿ;
t
Y
äîõ³ä;
01
,
aa
íåâ³äîì³ ïà-
ðàìåòðè;
t
u
çàëèøêè ìîäåë³;
t
Z
íåñïîæèâ÷³ âèòðàòè (³íâåñ-
òèö³¿).
Ïåðøå ñï³ââ³äíîøåííÿ öå ðåãðåñ³éíà ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ,
à äðóãå òîòîæí³ñòü äîõîäó. Âåëè÷èíà äîõîäó
t
Y
äëÿ ïåðøîãî ð³âíÿí-
íÿ º íåçàëåæíîþ çì³ííîþ, äëÿ äðóãîãî çàëåæíîþ, à âåëè÷èíà
t
C
127
íàâïàêè: ó ïåðøîìó ð³âíÿíí³ âîíà º çàëåæíîþ çì³ííîþ, ó äðóãîìó
íåçàëåæíîþ. Äëÿ ñèñòåìè çàãàëîì çì³íí³
t
Y
³
t
C
º åíäîãåííèìè, à çì³í-
íà
t
Z
åêçîãåííîþ.
Îçíà÷åííÿ 8.1. Äëÿ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü óñ³ çì³íí³, ùî
ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ ³ç ñèñòåìè ð³âíÿíü, íàçèâàþòüñÿ åíäîãåííè-
ìè, ïðè÷îìó ¿õ ê³ëüê³ñòü íå ïåðåâèùóº çàãàëüíî¿ ê³ëüêîñò³ ð³âíÿíü.
Îçíà÷åííÿ 8.2. Äëÿ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü óñ³ çì³íí³, ÿê³ çà-
äàþòüñÿ çà ìåæàìè ìîäåë³ àáî º çàçäàëåã³äü â³äîìèìè, íàçèâàþòüñÿ
â³äïîâ³äíî åêçîãåííèìè àáî ïðåäåòåðì³íîâàíèìè.
Ó ðîçãëÿíóò³é êåéíñ³àíñüê³é ìîäåë³ äîõîäó âåëè÷èíè
t
C
³
t
Y
º åí-
äîãåííèìè çì³ííèìè, ùî âèçíà÷àþòüñÿ âñåðåäèí³ ìîäåë³. Çì³ííà
t
Z
çàäàºòüñÿ (âèçíà÷àºòüñÿ) ïîçà ìîäåëëþ, îòæå, âîíà º åêçîãåííîþ.
²ç ïåðøîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ ö³º¿ ìîäåë³ âèäíî, ùî çì³ííà
t
C
çà-
ëåæèòü â³ä äîõîäó
t
Y
³ â³ä çàëèøê³â
t
u
, à ç äðóãîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ
î÷åâèäíà çàëåæí³ñòü äîõîäó
t
Y
â³ä ñïîæèâ÷èõ
t
C
³ íåñïîæèâ÷èõ
âèòðàò
t
Z
. Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî îáèäâ³ çì³íí³
t
C
³
t
Y
ìîæóòü áóòè
âèðàæåí³ ÷åðåç
t
Z
³ çàëèøêè
t
u
.
8.2. Ïðèêëàäè ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü
1. Ìîäåëü ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ.
Îäíà ç íàéïðîñò³øèõ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, ùî âèêîðèñòî-
âóºòüñÿ ïðè ìîäåëþâàíí³ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ â ðèíêîâ³é åêîíîì³ö³,
ìຠâèãëÿä
Ôóíêö³ÿ ïîïèòó
Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿
Ôóíêö³ÿ ð³âíîâàãè
Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî îáñÿã ïîïèòó
D
q
³ îáñÿã ïðîïîçèö³¿
S
q
ïåâ-
íîãî òîâàðó â ìîìåíò ÷àñó t º ë³í³éíèìè ðåãðåñ³éíèìè ôóíêö³ÿìè â³ä
ö³íè öüîãî òîâàðó p
t
ó öåé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó. Îñòàííº ñï³ââ³äíîøåí-
íÿ â ö³é ìîäåë³ ôóíêö³ÿ ð³âíîâàãè º òîòîæí³ñòþ.
Íàÿâí³ñòü âèïàäêîâèõ â³äõèëåíü
1
t
u
³
2
t
u
ó äàí³é ìîäåë³ ïîâÿçà-
íà ïåðåäóñ³ì ç â³äñóòí³ñòþ ðÿäó âàæëèâèõ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ (ïðè-
áóòêó ñïîæèâà÷³â, ö³í íà ñóïóòí³ òîâàðè, ö³í íà ðåñóðñè, ïîäàòê³â
òîùî).
=α +α + α <
=β +β + β <
=
1
2
01 1
01 1
,0,
,0,
.
D
ttt
S
ttt
DS
tt
qpu
qpu
qq
128
Ìîäåëü ïîïèò ïðîïîçèö³ÿ ìîæíà âäîñêîíàëèòè. Íàïðèêëàä,
ÿêùî äî ôóíêö³¿ ïîïèòó äîäàòè ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â
,
t
y
ä³ñòàíåìî
ñèñòåìó
Ôóíêö³ÿ ïîïèòó
Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿
Ôóíêö³ÿ ð³âíîâàãè
2. Ìîäåëü ð³âíîâàãè íà ðèíêó òîâàð³â (ìîäåëü IS).
Îäí³ºþ ç ìîæëèâèõ íåñòîõàñòè÷íèõ ôîðì ìîäåë³ IS (ð³âíîâàãè íà
ðèíêó òîâàð³â) º òàêà ìîäåëü:
Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ (8.3)
Ôóíêö³ÿ ïîäàòê³â (8.4)
Ôóíêö³ÿ ³íâåñòèö³é (8.5)
Âèçíà÷åííÿ (8.6)
Äåðæàâí³ âèòðàòè (8.7)
Ìàêðîåêîíîì³÷íà òîòîæí³ñòü (8.8)
1
2
01 2
01 1
,0,
,0,
.
D
tttt
S
ttt
DS
tt
qpyu
qpu
qq
=α +α +α + α<
=β +β + β <
=
Çì³íà îäíîãî ç öèõ ôàêòîð³â ìîæå â³äáèòèñÿ íà ìîäåë³. Íàïðèê-
ëàä, çðîñòàííÿ ïðèáóòêó ñïîæèâà÷³â ìîæå çñóíóòè ë³í³þ ïîïèòó âãî-
ðó (ðèñ. 8.1). Öå ïðèçâåäå äî çì³íè ð³âíîâàæíî¿ ö³íè òà ð³âíîâàæíî¿
ê³ëüêîñò³.
Ðèñ. 8.1
()
01
01
01
,
,
,
,
,
,
tt
tt
tt
tt
t
t
ttt t
c
y
y
ir
y
d
y
gg
y
ci
g
=β +β
τ=α+α
=γ +γ
=+τ
=
=++
129
äå
()
,,,,,,
tttttt
t
cy igryd
τ
â³äïîâ³äíî çíà÷åííÿ â ìîìåíò ÷àñó t ñïî-
æèâàííÿ
()
t
c
, íàö³îíàëüíîãî äîõîäó
()
t
y
, îáñÿãó ïîäàòê³â
()
t
τ
, áàæà-
íîãî îáñÿãó ÷èñòèõ ³íâåñòèö³é
()
t
i
, ïðîöåíòíî¿ ñòàâêè
()
t
r
, ðîçì³ùå-
íîãî ïðèáóòêó (
()
t
yd
), äåðæàâíèõ âèòðàò
()
t
g
, ó äàíîìó ðàç³
const.
tt
gg
==
Ùîá îòðèìàòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïðîöåíòíîþ
ñòàâêîþ é ð³âíåì ïðèáóòêó, ïðè ÿêîìó ðèíîê òîâàð³â ïåðåáóâຠó ñòà-
í³ ð³âíîâàãè, íåîáõ³äíî ó (8.3) ï³äñòàâèòè (8.4) ³ (8.6). ϳäñòàâèâøè
îòðèìàíå ñï³ââ³äíîøåííÿ, à òàêîæ (8.5) ³ (8.7) ó (8.8), ä³ñòàíåìî
,
01
tt
yr
=π +π
(8.9)
äå
0010
01
11 11
1
;.
1
(
1
)
1
(
1
)
g
β+αβ+γ+
π= π=
−β −α −β −α
3. Ìîäåëü ð³âíîâàãè íà ðèíêó ãðîøåé (ìîäåëü LM).
гâíîâàãà íà ðèíêó ãðîøåé çàäàºòüñÿ òàêèì ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ
ïðîöåíòíîþ ñòàâêîþ òà ð³âíåì äîõîäó, ïðè ÿêîìó ïîïèò íà ãðîø³
äîð³âíþº ¿õ ïðîïîçèö³¿. Íàâåäåìî îäíó ³ç íåñòîõàñòè÷íèõ ôîðì òà-
êî¿ ìîäåë³:
Ôóíêö³ÿ ïîïèòó íà ãðîø³ (8.10)
Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ãðîøåé (8.11)
Óìîâà ð³âíîâàãè (8.12)
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (8.10) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³
01 2
,
tt
yMr
=λ +λ +λ
(8.13)
äå
012
/, 1/, /.
ab b cb
λ=− λ= λ=
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (8.11) â³äîìå ÿê ð³âíÿííÿ LM. Ñï³ëüíó ìîäåëü
ISLM çîáðàæåíî íà ðèñ. 8.2.
,
,
.
D
ttt
S
t
DS
tt
Mabycr
MM
MM
=+ −
=
=
130
Òî÷êà ïåðåòèíó ë³í³é IS ³ LM âèçíà÷ຠñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïðî-
öåíòíîþ ñòàâêîþ é ð³âíåì äîõîäó, ïðè ÿêîìó îáèäâà ðèíêè ïåðåáó-
âàþòü ó ñòàí³ ð³âíîâàãè. Öÿ òî÷êà âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ðîçâÿçîê ñèñòå-
ìè ð³âíÿíü (8.1)(8.6) ³ (8.8)(8.10).
8.3. Ñòðóêòóðíà òà çâåäåíà (ïðîãíîçíà) ôîðìè
ñèñòåìè ð³âíÿíü
1. Ñòðóêòóðíà ôîðìà åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³.
Ñòðóêòóðíà ôîðìà åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ îïèñóº îäíî- òà áàãà-
òîñòîðîíí³ ñòîõàñòè÷í³ ïðè÷èíí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ åêîíîì³÷íèìè
âåëè÷èíàìè â ¿õ áåçïîñåðåäíüîìó âèãëÿä³. Âîíà ì³ñòèòü óñþ ñóòòºâó
³íôîðìàö³þ ïðî çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ÿâèùàìè òà ïðîöåñà-
ìè. Êîæíå ñï³ââ³äíîøåííÿ òàêî¿ ñèñòåìè (ð³âíÿííÿ ÷è òîòîæí³ñòü)
ìຠïåâíó åêîíîì³÷íó ³íòåðïðåòàö³þ. Ñòðóêòóðí³ ð³âíÿííÿ ñèñòåìè
îïèñóþòü îêðåìî åêîíîì³÷í³ ÿâèùà ç óðàõóâàííÿì åêîíîì³÷íèõ, òåõ-
íîëîã³÷íèõ, äåìîãðàô³÷íèõ, ñîö³îëîã³÷íèõ òà ³íøèõ ôàêòîð³â, ùî
ñïðè÷èíþþòü çì³íþâàííÿ çàëåæíèõ çì³ííèõ. Õàðàêòåðíîþ îñîáëè-
â³ñòþ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü º ¿õ ïåâíà àâòîíîìí³ñòü ùîäî âèçíà÷åíèõ
çì³ííèõ, îñê³ëüêè çì³íà îñòàíí³õ â îäíîìó ñòðóêòóðíîìó ð³âíÿíí³ íå
îáîâÿçêîâî çóìîâëþº çì³íó çàëåæíèõ çì³ííèõ â ³íøèõ ð³âíÿííÿõ.
Äëÿ àäåêâàòíîãî â³äîáðàæåííÿ ðåàëüíî¿ ä³éñíîñò³ òà ïîâíîãî îõîï-
ëåííÿ åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â îäíî÷àñíèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè â ñè-
ñòåìàõ çàñòîñîâóþòü òàêîæ òîòîæíîñò³ äåòåðì³íîâàí³ çàëåæíîñò³
åêîíîì³÷íèõ âåëè÷èí. Òîòîæíîñò³ íå ì³ñòÿòü âèïàäêîâèõ ñêëàäîâèõ,
à ïàðàìåòðè ¿õ çàçäàëåã³äü â³äîì³ (íàé÷àñò³øå âîíè äîð³âíþþòü îäè-
íèö³), òîìó âîíè íå ï³äëÿãàþòü îö³íþâàííþ. Îòæå, ñïðàâåäëèâèì
áóäå òàêå îçíà÷åííÿ.
Ðèñ. 8.2