Крупкина Т.В. Математическая статистика. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Êðàñíîÿðñê

ÈÏÊ ÑÔÓ

2009

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ

ñòàòèñòèêà

Ýëåêòðîííûé ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêñ

Áàíê òåñòîâûõ çàäàíèé â ñèñòåìå UniTest

Ó÷åáíàÿ ïðîãðàììà äèñöèïëèíû

Êóðñ ëåêöèé

Ïðàêòèêóì ïî ðåøåíèþ çàäà÷

Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòå

УДК 519.22 (075)

ББК 22.172я73

К84

Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Математическая

статистика» подготовлен в рамках реализации Программы развития федерального го-

сударственного образовательного учреждения высшего профессионального образова-

ния «Сибирский федеральный университет» (СФУ) на 2007–2010 гг.

Рецензенты:

Красноярский краевой фонд науки;

Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дис-

циплин

Крупкина, Т. В.

К84 Математическая статистика в примерах и задачах [Электронный ресурс] :

практикум по решению задач / Т. В. Крупкина, А. К. Гречкосеев. – Электрон.

дан. (2 Мб). – Красноярск : ИПК СФУ, 2009. – (Математическая статистика :

УМКД № 1455/405–2008 / рук. творч. коллектива Т. В. Крупкина). – 1 электрон.

опт. диск (DVD). – Систем. требования : Intel Pentium (или аналогичный про-

цессор других производителей

) 1 ГГц ; 512 Мб оперативной памяти ; 50 Мб

свободного дискового пространства ; привод DVD ; операционная система Mi-

crosoft Windows XP SP 2 / Vista (32 бит) ; Adobe Reader 7.0 (или аналогичный

продукт для чтения файлов формата pdf).

ISBN 978-5-7638-1680-8 (комплекса)

ISBN 978-5-7638-1750-8 (практикума)

Номер гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» 0320902499 (ком-

плекса)

Настоящее издание является частью электронного учебно-методического ком-

плекса по дисциплине «Математическая статистика», включающего учебную про-

грамму дисциплины, курс лекций, методические указания по самостоятельной работе,

контрольно-измерительные материалы «Математическая статистика. Банк тестовых

заданий», наглядное пособие «Математическая статистика. Презентационные мате-

риалы».

Включает в себя задачи для аудиторной и самостоятельной работы и разобранные

примеры их решений, а также необходимые теоретические сведения.

Предназначен для студентов направлений подготовки бакалавров 010100.62 «Ма-

тематика», 010500.62 «Прикладная математика и информатика», 010300.62 «Матема-

тика. Компьютерные науки» укрупненной группы 010000 «Физико-математические

науки и фундаментальная информатика».

Рекомендовано к изданию Инновационно-методическим управлением СФУ

Редактор Н. Ф. Ткачук

Разработка и оформление электронного образовательного ресурса: Центр технологий элек-

тронного обучения Информационно-телекоммуникационного комплекса СФУ; лаборатория

по разработке мультимедийных электронных образовательных ресурсов при КрЦНИТ

Содержимое ресурса охраняется законом об авторском праве. Несанкционированное копирование и использование данного про-

дукта запрещается. Встречающиеся названия программного обеспечения, изделий, устройств или систем могут являться зарегистрирован-

ными товарными знаками тех или иных фирм.

Подп. к использованию 30.11.2009

Объем 2 Мб

Красноярск: СФУ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

Я занимался до сих пор решением ряда задач,

ибо при изучении наук примеры полезнее правил.

Исаак Ньютон

Предисловие

Данное издание предназначено для обеспечения аудиторной и само-

стоятельной работы студентов института математики Сибирского федераль-

ного университета по решению задач в курсе «Математическая статистика».

Дисциплина размещена в учебном плане в 8-м семестре по 4 часа (2 часа

лекций и 2 часа практических занятий) в неделю.

Структура изложения определена графиком практических занятий и

соответствует стандартному семестру (17 недель, 15 практических занятий);

2 занятия отведены под промежуточный контроль. Номер параграфа посо-

бия соответствует номеру практического занятия.

Дисциплина охватывает две большие темы (два модуля): выборочная

теория, статистическое оценивание и проверка статистических гипотез. Пер-

вый модуль занимает 1–8-ю недели, второй 9–17-ю недели 8-го семестра.

Модуль 1 «Выборочная теория» состоит из трех тем: 1) введение в мате-

матическую статистику (занятия 1, 2, 3); 2) распределения математической

статистики (занятия 4, 5); 3) статистическое оценивание (занятия 6, 7); Этот

модуль является фундаментом следующего и посвящен введению в матема-

тическую статистику. Рассматриваются выборочные характеристики и ме-

тоды статистической обработки случайной выборки, вводятся распределе-

ния Пирсона, Стьюдента, Фишера, изучаются распределения выборочных

характеристик, рассматриваются простейшие методы решения одной из ос-

новных задач статистики — задачи оценивания. Вводятся понятия несме-

щенных, состоятельных, оптимальных и эффективных оценок, изучаются их

свойства.

Второй модуль «Оценивание и проверка статистических гипотез» со-

стоит из четырех тем: 4) достаточность и оптимальность (занятия 8, 9, 10);

5) интервальное оценивание параметров (занятие 11); 6) проверка парамет-

рических гипотез (занятия 12, 13); 7) проверка гипотез о виде распределения

и о связи (занятия 14, 15). В этом модуле изложение ведется на основе тео-

рии достаточных статистик. Помимо точечного и интервального оценивания

параметров рассматривается вторая важнейшая задача статистики – про-

верка статистических гипотез. Излагаются как общие подходы к проверке

Ньютон, И. Всеобщая арифметика или книга об арифметическом синтезе и анализе.

М. : Изд-во Академии наук СССР, 1948. С. 243.

статистической гипотезы и процедуры построения критериев, так и процеду-

ры применения критериев для проверки гипотез, а также методы сравнения

статистических критериев. В этом же модуле изучаются элементы регресси-

онного анализа, включая оценивание параметров уравнения регрессии.

Каждый параграф пособия содержит необходимые теоретические све-

дения и включает большое количество подробно разобранных примеров и

задач для аудиторной и самостоятельной работы.

Приложение содержит семь таблиц: значения функций ϕ (x), Φ

(x),

случайные числа, квантили распределения Стьюдента T

, квантили распре-

деления χ

, квантили распределения Фишера F порядков α = 0, 01 и 0, 05,

критические значения критерия U Манна – Уитни при уровне значимости

α = 0, 05. Использование пособия позволит закрепить и углубить теорети-

ческие знания и получить навыки практического применения статистических

методов.

Принятые обозначения и сокращения

P(A) — вероятность события A

E ξ — математическое ожидание случайной величины ξ

Dξ — дисперсия случайной величины ξ

X = (X

, . . . , X

) — выборка

hFi — статистическая модель

i — параметрическая модель

∗

— k-ая порядковая статистика

(x) — эмпирическая частота

(x), F

∗

(x) — эмпирическая функция распределения

— выборочный начальный момент k-го порядка

— выборочный центральный момент k-го порядка

X — выборочное среднее

— выборочная дисперсия

— исправленная выборочная дисперсия

— выборочная ковариация

— выборочный коэффициент корреляции

−→ — сходится по вероятности

−→ — сходится по распределению

п.н.

−−→ — сходится почти наверное

θ — оценка θ

— класс несмещенных оценок параметра θ

(θ) — класс несмещенных оценок параметрической функции τ(θ)

I — информационное количество Фишера

L — функция правдоподобия

о.м.п. — оценка максимального правдоподобия

о.м.м. — оценка метода моментов

о.н.к. — оценка методом наименьших квадратов

E — экспоненциальное семейство

— доверительный интервал параметра θ

M(K) — мощность критерия

НКО — наилучшая критическая область

π(X) — рандомизированный статистический критерий

J — начало решения

I — конец решения

§ 1. Статистические модели

Генеральная совокупность рассматривается как случайная величина

ξ, а выборка – как n-мерная случайная величина (ξ

, . . . , ξ

), компоненты

которой независимы и одинаково распределены (так же как ξ).

Статистическая модель hFi – это класс допустимых функций рас-

пределения исходной случайной величины.

Если функции распределения из класса hFi заданы с точностью до

значений параметра θ (не обязательно скалярного) с множеством возмож-

ных значений Θ, то такая модель обозначается hF

i и называется парамет-

рической.

Если модель hF

iтакова, что можно дифференцировать по θ интегралы

на выборочном пространстве X, меняя порядок дифференцирования и инте-

грирования, то она называется регулярной.

Одно из наиболее существенных условий регулярности – то, что выбо-

рочное пространство X не должно зависеть от параметра θ.

Вариационный ряд конкретной реализации выборки x = (x

, . . . , x

)

– последовательность упорядоченных по возрастанию значений

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

6 x

∗

6 . . . 6 x

∗

). Если через X

∗

обозначить случайную

величину, которая для каждой реализации x выборки X принимает значение

∗

, k = 1, . . . , n, то X

∗

называется k-й порядковой статистикой выборки, а

∗

и X

∗

– экстремальными значениями выборки. Порядковые статистики

удовлетворяют неравенствам X

∗

6 X

∗

6 . . . 6 X

∗

. Последовательность

∗

, X

∗

, . . . , X

∗

называют вариационным рядом выборки.

Эмпирической функцией распределения F

(x), соответствующей

выборке X, называется случайная функция от x, вычисляемая по формуле

(x) =

где ν

– число элементов выборки X = (X

, . . . , X

), значения которых

меньше x (эмпирическая частота).

Пример 1. Какая статистическая модель применима для выборки,

полученной следующим образом: 10 раз измерялось число вызовов ξ,

поступающих оператору АТС в течение минуты?

J Поскольку число абонентов АТС велико, а вероятность для каждого из

них позвонить в данную минуту мала, можно применить модель пуассонов-

ского распределения hP

i. I

Пример 2. Какая статистическая модель применима для выборки цен

на один и тот же товар в 100 различных магазинах в один и тот же

момент времени?

J Поскольку выборка достаточно велика, то можно пробовать применить

нормальную модель hN(a, σ)i. Если при этом цены меняются мало, возмож-

но и применение равномерной модели. I

Пример 3. По данной выборке X = (2, 1, 1, 2, −1, 2, 2, 4, 1) построить

вариационный ряд, найти эмпирическую частоту и эмпирическую

функцию распределения.

J Для нахождения вариационного ряда надо упорядочить элементы выборки

по возрастанию:

∗

= (−1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4).

(x) =











0 при x 6 −1,

1 при −1 < x 6 1,

4 при 1 < x 6 2,

8 при 2 < x 6 4,

9 при x > 4.

(x) =











0 при x 6 −1,

1/9 при −1 < x 6 1,

4/9 при 1 < x 6 2,

8/9 при 2 < x 6 4,

1 при x > 4.

Пример 4. Найти распределение эмпирической частоты, полученной

по выборке объема 100 в нормальной модели hN(0, 1)i.

J Известно, что эмпирическая частота имеет биномиальное распределение

B(n; F

(x)). Поэтому в данном случае эмпирическая частота распределена

по закону B(100; Φ(x)). I

Пример 5. Доказать, что в модели hF

i DF

(x) =

(x)(1 − F

(x))

(x) = D



(x)



Dν

(x)

но ν

(x) имеет биномиальное распределение B(n; F

(x)) с дисперсией

(x)(1 − F

(x), и

(x) =

Dν

(x)

(x)(1 − F

(x)

(x)(1 − F

(x))

Задачи

1. Какая статистическая модель применима для выборки, по-

лученной следующим образом: 10 раз измерялось число попаданий в

цель при трех независимых выстрелах, произведенных одним и тем

же стрелком?

2. Какая статистическая модель применима для выборки, полу-

ченной следующим образом: 8 раз измерялось число черных шаров, вы-

нутых с возвращением за три раза из урны, которая содержит два

белых и несколько черных шаров?

3. Какая статистическая модель применима для выборки, полу-

ченной следующим образом: у 100 студенток первого курса измерен

рост?

4. Какая статистическая модель применима для выборки, полу-

ченной измерением на 10 опытных делянках урожайности культуры,

если известно, что урожайность культуры составляет 35 центнеров

с гектара?

5. Какая статистическая модель применима для выборки, полу-

ченной измерением 100 раз времени ожидания автобуса?

6. Какая статистическая модель применима для данной выбор-

ки?

m 0 1 2 3 4 5

13 17 12 5 3 1

7. По официальным данным в Швеции в 1935 г. родилось 88 273 ре-

бенка, причем в январе родилось 7280 детей, в феврале – 6957, марте

– 7883, апреле – 7884, мае – 7892, июне – 7609, июле – 7585, августе

– 7393, сентябре – 7203, октябре – 6 903, ноябре – 6 552 и в декабре

– 7 132 ребенка. Какая статистическая модель применима для этой

выборки?

8. В экспериментах с селекцией гороха Мендель наблюдал часто-

ты различных видов семян, полученных при скрещивании растений с

круглыми желтыми семенами и растений с морщинистыми зелеными

семенами. Эти данные и значения теоретических вероятностей по

теории наследственности приведены в следующей таблице:

Семена Частота Вероятность

Круглые и желтые 315 9/16

Морщинистые и желтые 101 3/16

Круглые и зеленые 108 3/16

Морщинистые и зеленые 32 1/16

Какая статистическая модель применима для этой выборки?

9. В эксперименте Бюффона при n = 4040 бросаниях монеты на-

блюдалось m = 2048. Какая статистическая модель применима для

этой выборки?

10. В десятичной записи числа π среди первых 10002 зна-

ков после запятой цифры 0, 1, . . . , 9 встречаются соответственно

968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970, 948, 1014 раз. Какая статисти-

ческая модель применима для этой выборки?

11. Датчик случайных чисел выдал 10000 чисел 0, 1, . . . , 9. Какая

статистическая модель применима для этой выборки?

12. В таблице приводятся результаты 100 опытов, состоящих

в одновременном подбрасывании 6 костей. В каждом из опытов под-

считывалось число m костей, выпавших кверху гранью с шестью оч-

ками.

m 0 1 2 3 4 5 6

47 35 8 9 1 0 0

Какая статистическая модель применима для этой выборки?

13. Во время эпидемии гриппа среди 1000 человек одно заболева-

ние наблюдалось у 90 человек, дважды болели гриппом 4 человека, у

остальных заболевания не было. Какая статистическая модель при-

менима для этой выборки?

14. Какая статистическая модель применима для выборки рас-

пределения студентов по знакам Зодиака?

Номер знака 1 2 3 4 5 6

12 13 23 11 9 10

Номер знака 7 8 9 10 11 12

15 7 15 9 7 3

15. В таблице приведены числа n

участков равной площади 0,25

км

южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по i

попаданий снарядов во время второй мировой войны:

i 0 1 2 3 4 5 и более

229 221 93 35 7 1

Какая статистическая модель применима для этой выборки?

16. Среди 300 семей, имеющих двоих детей, 80 семей, в которых

два мальчика, и 67, в которых две девочки (в остальных семьях де-

ти разного пола). Какая статистическая модель применима для этой

выборки?

В задачах 17–20 по данной выборке X = (X

, . . . , X

) построить ва-

риационный ряд, найти эмпирическую функцию распределения.

17. X = (1, 1, 2, 1, 2, 4).

18. X = (−1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1).

19. X = (1, 0, 0, 2, 2, 1).

20. X = (5, 6, 1, 4, 5, 7, 3, 5, 5, 6).

21. Дан статистический ряд величины X:

X 0 2 4 6

3 8 10 2

Построить вариационный ряд.

22. Можно ли восстановить по эмпирической функции распре-

деления, приведенной на рис. 1, если n = 60: а) вариационный ряд,

б)выборку?

23. Существует ли выборка (X

, . . . , X

) объема 10 с графиком

эмпирической функции распределения, изображенным на рис. 1? Ка-

кому условию должен удовлетворять объем выборки?

24. На рис. 1 представлен график эмпирической функции распре-

деления выборки (X

, . . . , X

). Нарисуйте график эмпирической функ-

ции распределения выборки: а) (X

+ 2, . . . , X

+ 2); б) (2X

, . . . , 2X