Крупкина Т.В. Математическая статистика. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Пример 32. Покажем, что гамма-распределение Γ

α, β

с параметром

θ = (α, β) принадлежит экспоненциальному семейству.

f(x) =

Γ(β)

−αx

β−1

= e



Γ(β)



−αx+(β−1) ln x

Возьмем

= −α, θ

= β − 1; A

(x) = x, A

(x) = ln x; D(θ) = ln



Γ(β)



Тогда

f(x) = e

i=1

(x)·θ

+D(θ)

что соответствует модели экспоненциального семейства. I

Задачи

В задачах 209–214 покажите, что модель принадлежит экспоненци-

альному семейству.

209. B (1, p).

210. B (N, p).

211. P

212. N (a, θ).

213. N (θ, σ).

214. E

В задачах 215–218 выясните, принадлежит ли распределение экспо-

ненциальному семейству.

215. B (θ, p).

216. Геометрическое распределение G

217. Распределение Коши C

a, λ

218. Гамма-распределение Γ

α, β

219. Равномерное распределение R[θ

, θ

В задачах 220–223 исследовать оценки на эффективность методом

экспоненциального семейства.

220. Исследовать на эффективность оценку ˆa = X в N (a, σ).

221. Исследовать на эффективность оценку

= (X)

в N (a, σ).

222. Исследовать на эффективность оценку

λ = X

в распреде-

лении Пуассона P

223. Исследовать на оптимальность оценку ˆp =

в биномиаль-

ном распределении B(N, p).

224. Покажите, что модель экспоненциального семейства в

случае одномерного параметра после подходящей параметризации

можно свести к виду f(x) = h(x)e

A(x)·θ+B(θ)

225. Найдите вклад выборки для экспоненциальной модели.

226. Покажите, что модель экспоненциального семейства в

случае многомерного параметра после подходящей параметризации

можно свести к виду f(x) = h(x)e

i=1

(x)·θ

+B(θ

,...,θ

)

227. Покажите, что нормальное распределение N(θ

, θ

) принад-

лежит экспоненциальному семейству.

§ 10. Достаточные статистики

Статистика T = T (X) называется достаточной для параметра θ, если

условное распределение (плотность или вероятность) случайной величины

X = (X

, ..., X

) (выборки) при условии T (X) = t не зависит от параметра

θ. В дискретной модели статистика T (X) достаточна, если

P (X = x)

P (T (X) = t)

(5)

не зависит от параметра для x таких, что T (x) = t. Для непрерывных ве-

личин распределение задается плотностью. В этом случае также достаточно

показать, что

(x)

(t)

(6)

не зависит от параметра θ.

Критерий достаточности статистики – теорема Неймана — Фишера о

факторизации.

Теорема 9 (теорема факторизации). В модели hF

i статистика T (X)

является достаточной для параметра θ тогда и только тогда, когда

L(x, θ) = g(T (x), θ) · h(x).

Представление L(x, θ) в таком виде (множитель g может зависеть от θ, а от

x зависит лишь через T (x), а множитель h от параметра θ не зависит) на-

зывается факторизацией распределения. Факторизация не единственна. При

h ≡ 1 говорят о тривиальной факторизации.

Свойства достаточных статистик.

1. Всякая эффективная оценка является достаточной статистикой.

2. Любая взаимно однозначная функция от достаточной статистики T яв-

ляется достаточной статистикой.

3. Оптимальная оценка, если она существует, является функцией от до-

статочной статистики.

4. Если для скалярного параметра θ существует эффективная оценка T (x),

то T(x) совпадает с о.м.п.

θ.

5. Если T (x) – достаточная статистика, а о.м.п.

θ существует и единствен-

на, то

θ является функцией от T (x).

Статистика называется полной, если для всякой (ограниченной) функ-

ции ϕ(T) из того, что E ϕ(T ) = 0 следует, что ϕ(T ) ≡ 0.

Достаточная статистика, являющаяся функцией любых других доста-

точных статистик, называется минимальной.

Пример 33. Исследуем на достаточность статистику

Z =

(

i=1

)

в P

J Сначала покажем, что достаточной является статистика

T =

i=1

Для проверки достаточности по определению надо убедиться, что

P (X=x)

P (T (X)=t)

не зависит от параметра λ.

P (X = x) = P (X

= x

, .., X

= x

) =

i=1

P (X

= x

) =

i=1

−λ

−λn

Случайная величина

i=1

имеет распределение P

λn

, значит,

P (T = t) = P (

i=1

= nt) =

−nλ

(nλ)

(tn)!

P (X/T = t) =

P (X = x)

P (T = t)

−λn

(tn)!

!)e

−nλ

(nλ)

(

!)n

Полученное выражение не зависит от параметра λ, следовательно, стати-

стика T =

i=1

= ¯x является достаточной. Вместе с ней достаточна

и статистика Z = T

, как взаимно однозначная (в силу неотрицательности)

функция от достаточной статистики T . I

Пример 34. Найти достаточную статистику в показательном рас-

пределения E

J Пусть (X

, . . . , X

, ) – выборка из данного показательного распре-

деления. Запишем функцию правдоподобия:

L(x, θ) =

i=1

) =

i=1

θ · e

−θx

= θ

−θ

Вспомним общий вид факторизации:

L(x, θ) = g(T (x), θ) · h(x).

Возьмем T(x) =

, тогда θ

−θ

= g(T (x), θ. Получили тривиальную

факторизацию. Следовательно, T(x) =

i=1

– достаточная статистика.

Задачи

В задачах 228–235 доказать достаточность статистики T.

228. N(θ, σ), T = X.

229. N(a, θ), T = S.

230. N(θ

, θ

), T = (X, S

231. R[0, α], T = X

∗

232. R[θ

, θ

], T = (X

∗

, X

∗

233. R[−θ, θ], T = max(|X

∗

|, |X

∗

|).

234. Непрерывная модель, T = (X

∗

, . . . , X

∗

) – вариационный ряд.

235. hFi = hF

, F

i, T – отношение правдоподобия:

T =

L(x, α

)

L(x, α

)

236. Найдите 3 достаточные статистики для показательного

распределения.

237. Найдите 3 достаточные статистики для распределения

Пуассона.

238. Пусть T – достаточная статистика. Будет ли достаточ-

ной статистика ln T ?

239. Пусть T – достаточная статистика, S – произвольная

статистика. Будет ли достаточной статистика T + S?

240. Пусть T – достаточная статистика, S – произвольная

статистика. Будет ли достаточной двумерная статистика T, S?

241. Пусть X = (X

, . . . , X

) – выборка из распределения Γ

α, β

. По-

кажите, что T =

i=1

– достаточная статистика для парамет-

ра α.

242. Является ли достаточная для параметра α статистика из

предыдущей задачи полной?

243. Докажите полноту статистики X в показательном рас-

пределении.

244. Докажите полноту статистики X в N(a, σ) при фиксиро-

ванном σ.

245. Докажите, что для распределения Вейбула, задаваемого

плотностью

f(x) =

λx

λ−1

(−x/θ)

, x > 0,

достаточной статистикой для θ является

T (X) =

i=1

246. Является ли достаточная для θ статистика из предыду-

щей задачи полной?

247. Даны достаточные статистики T и S. Может ли суще-

ствовать оптимальная оценка, которая является функцией от T, но

не является функцией от S?

248. Доказать, что если T (x) – достаточная статистика, а

о.м.п.

θ существует и единственна, то

θ является функцией от T (x).

249. Доказать, что если о.м.п.

θ существует и единственна, то

θ является функцией минимальной достаточной статистики.

250. Показать, что для регулярных экспоненциальных моделей с

плотностью

f(x) = e

A(x)·B(θ)+C(x)+D(θ)

статистика T (X) =

i=1

A(X

) является достаточной статисти-

кой для θ.

§ 11. Доверительные интервалы

Две статистики I

(X), I

(X) (I

(X) < I

(X)) называют доверитель-

ным интервалом значимости α для параметра θ (0 < α < 1), если выпол-

няется условие

P(I

1(X)

< θ < I

2(X

) = 1 −α. (7)

Число 1 − α называется доверительной вероятностью, а I

(X), I

(X) –

нижней и верхней доверительными границами.

Для построения доверительного интервала параметра θ надо взять ста-

тистику G(X, θ), такую, что она сама монотонно зависит от параметра θ, а ее

распределение от θ не зависит, записать уравнение P(g

< G(X, θ) < g

) =

1 − α и разрешить неравенство под знаком вероятности относительно пара-

метра θ.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределе-

ния:



X −

√

n − 1

· t

n−1, 1−

, X +

√

n − 1

· t

n−1, 1−



;

n−1,1−

n−1,

Параметр произвольного распределения можно оценить так же, как

параметр нормального распределения, если известно распределение некото-

рой статистики, зависящей от параметра и его оценки. Другой способ связан

с использованием асимптотического метода. Если

θ асимптотически нор-

мальна и несмещена (например, является о.м.п.), то

θ − θ

→ u ∈ N(0, 1).

1 − α = P

θ − θ

< u

1−

Разрешая неравенство под знаком вероятности относительно θ, получим до-

верительный интервал значимости α.

Пример 35. Найдем асимптотический доверительный интервал

уровня значимости α для параметра p распределения Бернулли

B(1, p).

J Известно, что о.м.п. p равна

ˆp =

i=1

= X.

В качестве статистики G можно взять

G =

p − X

√

Dˆp

p − X

np − m

√

npq

где m =

i=1

. Из ЦПТ следует, что

np − m

√

npq

→ u ∈ N(0, 1).

Поэтому



np − m

√

npq

6 u

1−



= 1 − α;

= −u

1−

). Разрешим относительно p уравнение



np − m

nP (1 − p)



= u

1−

Для этого потребуется возвести обе части в квадрат и решить относительно

p квадратное уравнение. При отборе корней необходимо иметь в виду, что

0 < p < 1. I

Пример 36. Найти 95%-й доверительный интервал для числа пасса-

жиров пригородного поезда, если среднее число пассажиров, рассчи-

танное за 25 рабочих дней, равно 512, σ = 20.

J Требуется найти доверительный интервал значимости α = 0, 05 для пара-

метра a нормального распределения N(a, σ) при известном σ = 20; восполь-

зуемся вышеприведенной формулой:



X −

√

· u

1−

; X +

√

· u

1−





512 −

√

· u

0,975

; 512 −

√

· u

0,975





512 −

· 1, 96; 512 −

· 1, 96



= (512 − 7, 84; 512 + 7, 84) = (504, 12; 519, 84) ' (504; 520). I

Пример 37. Найти доверительный интервал значимости α = 0, 01 для

курса английского фунта стерлингов по данным за 100 дней

№ Значения № Значения № Значения № Значения

1 48,9231 26 49,5273 51 49,7769 76 50,1459

2 49,0009 27 49,5319 52 49,8113 77 50,1484

3 49,0009 28 49,5642 53 49,8743 78 50,1792

4 49,0009 29 49,5757 54 49,8743 79 50,1969

5 49,0676 30 49,5757 55 49,8743 80 50,2041

6 49,1057 31 49,5757 56 49,8806 81 50,2253

7 49,1104 32 49,5908 57 49,8913 82 50,2253

8 49,1591 33 49,6426 58 49,9032 83 50,2253

9 49,1915 34 49,6436 59 49,908 84 50,2366

10 49,1957 35 49,6949 60 49,9485 85 50,2681

11 49,1957 36 49,7218 61 49,9562 86 50,2743

12 49,1957 37 49,7218 62 49,961 87 50,3392

13 49,2786 38 49,7218 63 49,9704 88 50,4789

14 49,2786 39 49,7218 64 49,9861 89 50,5537

15 49,2892 40 49,7218 65 49,9921 90 50,5914

16 49,2892 41 49,7218 66 50,029 91 50,5914

17 49,2892 42 49,7218 67 50,0655 92 50,5914

18 49,3908 43 49,7218 68 50,0655 93 50,6346

19 49,3933 44 49,7218 69 50,0655 94 50,6346

20 49,4365 45 49,7218 70 50,0779 95 50,6346

21 49,449 46 49,7218 71 50,0779 96 50,6985

22 49,5006 47 49,7297 72 50,0779 97 50,7337

23 49,5191 48 49,7297 73 50,1117 98 50,7971

24 49,5273 49 49,7297 74 50,1117 99 50,816

25 49,5273 50 49,7301 75 50,1117 100 50,9521

J Для нахождения доверительного интервала необходимо сначала рассчи-

тать выборочные характеристики X и S: X = 49, 8388 и S = 0, 4703. Ис-

пользуем формулу



X −

√

· t

n−1, 1−

, X +

√

· t

n−1, 1−



;

Курс английского фунта стерлингов за период 18.11.2005 г. – 25.02.2006 г.

найдем по таблице квантилей распределения Стьюдента t

n−1, 1−

99, 0,995

= 2, 58. Тогда



49, 8388 −

0, 4703

√

100

· 2, 58; 49, 8388 +

0, 4703

√

100

· 2, 58



= (49, 717; 49, 960) . I

Пример 38. Найти 99%-е доверительные интервалы для параметров

нормального распределения по данным:

S = 2, 08, X = 0, 775, n = 100.

J Доверительный интервал минимальной длины для параметра a вычисля-

ется следующим образом:



X −

√

n − 1

· t

n−1,1−

X +

√

n − 1

· t

n−1,1−



При α = 0, 01 находим по таблице квантилей распределения Стьюден-

та t

99, 0,995

= 2, 576

= (0, 231; 1, 31).

Доверительный интервал значимости α для σ

n−1,1−

n−1,

При α = 0, 01 находим по таблице χ

99, 0,995

= 158, 95, χ

99, 0,005

= 70, 06

и вычисляем

= (1, 65; 2, 488). I

Задачи

251. Вывести формулу доверительного интервала для a в N(a, σ).

252. Вывести формулу доверительного интервала для a в

N(a, σ

) (параметр σ известен и равен σ

253. Укажите, каким уровням значимости соответствуют до-

верительные интервалы для a в N(a, σ

а) X ± 1, 96

√

;