Крупкина Т.В. Математическая статистика. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
x
F
∗
n
(x)
1 2
3
4
5 6
1
6
-
Рис. 1. Эмпирическая функция распределения
25. По эмпирической функции распределения восстановите вы-
борку объема n. Какому условию должен удовлетворять объем выбор-
ки?
F
n
(x) =
0 при x 6 1,
1/3 при 1 < x 6 2,
1/2 при 2 < x 6 3,
1 при x > 3.
26. По эмпирической частоте восстановите выборку.
ν
n
(x) =
0 при x 6 1,
12 при 1 < x 6 2,
15 при 2 < x 6 3,
24 при x > 3.
27. Найти функцию распределения максимального элемента вы-
борки в статистической модели hFi.
28. Найти функцию распределения минимального элемента вы-
борки в модели hF i.
29. Найти функцию распределения k-й порядковой статистики
выборки.
30. Найти функцию распределения максимального элемента вы-
борки в модели R[a, b].
31. Найти функцию распределения максимального элемента вы-
борки в модели E
a
.
32. Найти совместную функцию распределения k-й и l-й поряд-
ковых статистик выборки.
33. В статистической модели hF i найти совместную функцию
распределения минимального и максимального элементов выборки.
11
34. Найти совместную плотность всех порядковых статистик
X
∗
1
, . . . , X
∗
n
выборки объема n из абсолютно непрерывного распределе-
ния с плотностью f(x).
35. В статистической модели hF i F
∗
n
(x) – эмпирическая функ-
ция распределения. Найти P (F
∗
n
(x) = y) , x, y ∈ R.
12
§ 2. Выборочные характеристики
Пусть X = (X
1
, . . . , X
n
) – выборка объема n из распределения F и x =
(x
1
, . . . , x
n
) – наблюдавшееся значение X. Любая функция от X представля-
ет собой также случайную величину с распределением, однозначно опреде-
ляемым распределением вектора X. Каждому теоретическому моменту g(ξ)
можно поставить в соответствие его статистический аналог G = G(X), вы-
числяемый по формуле G(x) =
1
n
P
n
i=1
g(X
i
) (см. табл. § 2).
Случайную величину G называют эмпирической или выборочной
характеристикой, соответствующей теоретической характеристике g.
Если g(x) = x
k
, то G – выборочный начальный момент k-го поряд-
ка, который будем обозначать a
k
.
Выборочным начальным моментом k-го порядка называют слу-
чайную величину
a
k
=
1
n
n
X
i=1
X
k
i
.
Если k = 1, то величину a
1
называют выборочным средним и обозначают
символом X,
X =
1
n
n
X
i=1
X
i
.
Значения случайной величины X при конкретной реализации x выбор-
ки X будем обозначать строчной буквой (x). Напомним, что теоретические
моменты случайной величины ξ обозначают греческими буквами, а соответ-
ствующие им выборочные – латинскими.
Выборочным центральным моментом k-го порядка называют слу-
чайную величину
m
k
=
1
n
n
X
i=1
(X
i
− X)
k
.
При k = 2 величину m
2
называют выборочной дисперсией и обозначают
S
2
:
S
2
=
1
n
n
X
i=1
(X
i
− X)
2
.
Выборочную дисперсию часто рассчитывают по формуле
S
2
=
1
n
X
X
i
−
¯
X
2
=
1
n
X
X
2
i
−
¯
X
2
,
а исправленная выборочная дисперсия равна S
2
=
1
n−1
P
X
i
−
¯
X
2
. Выбо-
рочное среднеквадратичное отклонение S =
√
S
2
.
13
Будем считать, что выборка взята из совокупности с математическим
ожиданием E ξ = a и дисперсией Dξ = σ
2
; тогда E X
i
= a, DX
i
= σ
2
для
любого элемента выборки X
i
.
Таблица 1
Соответствие выборочных и теоретических характеристик
Теоретические характеристики Выборочные характеристики
a = E ξ X =
1
n
P
n
i=1
X
i
математическое ожидание выборочное среднее
σ
2
= Dξ S
2
=
1
n
P
n
i=1
(X
i
− X)
2
дисперсия выборочная дисперсия
α
k
= E ξ
k
a
k
=
1
n
P
n
i=1
X
k
i
начальный k-й момент начальный выборочный k-й момент
µ
k
= E(ξ − E ξ)
k
m
k
=
1
n
P
n
i=1
(X
i
− X)
k
центральный k-й момент центральный выборочный k-й момент
A =
µ
3
σ
3
b
A =
m
3
S
3
коэффициент асимметрии выборочный коэффициент асимметрии
E =
µ
4
σ
4
− 3
b
E =
m
4
S
4
− 3
коэффициент эксцесса выборочный коэффициент эксцесса
Свойства X =
1
n
n
P
i=1
X
i
.
1. E X = a.
2. DX =
σ
2
n
.
3. X
p
−→ a.
4. X
п.н.
−−→ a.
5.
(X−a)
√
n
σ
∼ N(0, 1).
Свойства выборочной дисперсии S
2
.
1. S
2
X+c
= S
2
X
.
2. S
2
kX
= k
2
S
2
X
.
3. S
2
=
1
n
P
X
2
i
− (X)
2
.
4. S
2
= min
c
1
n
P
(X
i
− c)
2
.
14
5. E S
2
=
(n−1)σ
2
n
.
6. DS
2
=
(n−1)
2
n
3
µ
4
−
(n−3)
n−1
µ
2
2
.
Выборочной модой называется значение m
o
, чаще всего наблюдаю-
щееся:
n
i
(m
0
) = max
i
n
i
.
Выборочной медианой называется значение m
e
, равное среднему
члену вариационного ряда:
m
e
= X
∗
[
n
2
]
+1
.
Выборочной квантилью порядка q, 0 < q < 1 называется значение
X
∗
q
, равное члену вариационного ряда с номером
[nq] + 1.
Выборочная ковариация K
XY
:
K
XY
= XY − XY , где XY =
1
n
P
n
i=1
X
i
Y
i
.
Выборочный коэффициент корреляции r
XY
:
r =
K
XY
s
X
s
Y
.
Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X:
ˆ
Y − Y = r
s
Y
s
X
(X − X).
Выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :
ˆ
X − X = r
s
X
s
Y
(Y − Y ).
Пример 6. По выборке {3, 1, 2, 0, 2, 4} найдем выборочное среднее и мо-
ду.
J
X =
1
n
n
X
i=1
X
i
=
1
6
(3 + 1 + 2 + 0 + 2 + 4) =
12
6
= 2.
Выборочная мода m
o
= 2, так как значение «2» имеет наибольшую частоту.
I
15
Пример 7. По выборке {3, 1, 2, 0, 2, 4} найдем выборочную дисперсию,
выборочное среднеквадратичное отклонение и исправленную выбо-
рочную дисперсию.
J S
2
=
1
6
(3 − 2)
2
+ (1 −2)
2
+ 2 ·(1 − 2)
2
+ (0 −2)
2
+ (4 −2)
2
=
10
6
=
5
3
.
Другой способ нахождения S
2
:
S
2
=
1
n
X
X
2
i
−
¯
X
2
=
1
6
· 34 −2
2
=
17
3
− 4 =
5
3
.
Выборочное среднеквадратичное отклонение S =
√
S
2
≈ 1, 3.
Исправленная выборочная дисперсия равна
S
2
=
n
n − 1
S
2
=
6
5
·
5
3
= 2.
I
Пример 8. Найдем дисперсию величины S
2
для нормального распреде-
ления N(a, σ).
J
DS
2
=
3σ
4
− σ
4
n
−
2(3σ
4
− 2σ
4
)
n
2
+
3σ
4
− 3σ
4
n
3
=
2σ
4
n
−
2σ
4
n
2
=
=
2σ
4
(n − 1)
n
2
=
2(n − 1)
n
2
σ
4
.
Мы использовали найденные ранее значения моментов нормального распре-
деления: µ
2
= σ
2
, µ
4
= 3σ
4
(µ
2k
= (2k − 1)!! · σ
2k
).I
Пример 9. Выясним, чему равняется математическое ожидание вы-
борочного среднего E X в модели, заданной законом распределения:
ξ 0 1 2 3
P 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1
J Найдем математическое ожидание E ξ:
E ξ = 0 ·0, 2 + 1 · 0, 3 + 2 · 0, 4 + 3 · 0, 1 = 1, 4.
По свойству выборочного среднего E X = a = E ξ. Следовательно, E X =
1, 4. I
16
Пример 10. Вычислим выборочный коэффициент корреляции r
XY
по
данным:
X 1 2 3 4 5
Y 1 1 2 2 4
J
r =
K
XY
s
X
s
Y
=
P
i
x
i
y
i
−
(
P
i
x
i
)(
P
i
y
i
)
n
(
r
(
P
i
x
2
i
−
(
P
i
x
i
)
2
n
)(
P
i
y
2
i
−
(
P
i
y
i
)
2
n
)
=
=
n
P
i
x
i
y
i
− (
P
i
x
i
)(
P
i
y
i
)
(
p
(n
P
i
x
2
i
− (
P
i
x
i
)
2
)(n
P
i
y
2
i
− (
P
i
y
i
)
2
)
.
X
i
x
i
= 15,
X
i
y
i
= 10,
X
i
x
i
y
i
= 37,
X
i
x
2
i
= 55,
X
i
y
2
i
= 26.
r =
5 · 37 − 15 · 10
(
p
(5 · 55 − (15)
2
)(5 · 26 − (10)
2
)
=
7
√
60
≈ 0, 904.
I
Пример 11. По данным предыдущего примера найдем выборочное
уравнение линейной регрессии Y на X.
J
ˆ
Y − Y = r
s
Y
s
X
(X − X),
можно записать это по-другому:
ˆ
Y − Y =
K
XY
s
2
X
(X − X) =
P
i
x
i
y
i
−
(
P
i
x
i
)(
P
i
y
i
)
n
P
i
x
2
i
−
(
P
i
x
i
)
2
n
(X − X) =
=
n
P
i
x
i
y
i
− (
P
i
x
i
)(
P
i
y
i
)
n
P
i
x
2
i
− (
P
i
x
i
)
2
(X − X).
Имеем:
ˆ
Y − 2 =
35
50
(X − 3),
ˆ
Y = 0, 7(X − 3) + 2,
ˆ
Y = 0, 7X − 0, 1.
I
17
Задачи
36. Выборочная дисперсия, рассчитанная по выборке объема 25,
равна 9. Найдите исправленную выборочную дисперсию.
37. По выборке {1, 1, 2, 1, 2, 4} найти выборочную дисперсию.
38. По выборке {1, 1, 2, 1, 2, 4} найти исправленную выборочную
дисперсию.
39. По выборке {−1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1} найти моду, выборочное сред-
неквадратичное отклонение.
40. По выборке {−1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1} найти моду, выборочную дис-
персию.
41. По выборке {1, 0, 0, 2, 2, 1} найти выборочные центральные
моменты 2-го и 3-го порядков.
42. Выборка X = (124, 90, 124, 99, 90, 111, 89) представляет собой
значения индексов продаж 7 однотипных товаров некоторого про-
изводителя. Найти исправленную выборочную дисперсию.
43. Дан статистический ряд величины X:
X 0 2 4 6
n
i
3 8 10 2
Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.
44. Дан статистический ряд величины X:
X −1 0 1 2
n
i
5 7 4 1
Найти выборочные начальные моменты 2-го и 3-го порядков.
45. Найти a
3
по выборке (5, 6, 5, 6, 5, 5, 5, 6).
46. По эмпирической функции распределения найдите выбороч-
ное среднее.
F
n
(x) =
0 при x 6 1,
1/3 при 1 < x 6 2,
1/2 при 2 < x 6 3,
1 при x > 3.
18
47. По эмпирической частоте найдите выборочное среднее.
ν
n
(x) =
0 при x 6 1,
12 при 1 < x 6 2,
15 при 2 < x 6 3,
24 при x > 3.
48. Найдите в распределении Пуассона с параметром λ матема-
тическое ожидание выборочного среднего E X.
49. Найдите в распределении Пуассона с параметром λ диспер-
сию DX.
50. Найдите в показательном распределении с параметром a
E X и DX.
51. Докажите, что если s
2
=
1
n
n
P
i=1
(X
i
−
¯
X)
2
, то E s
2
=
n−1
n
σ
2
.
52. Вычислить выборочный коэффициент корреляции r
XY
по
данным:
X −2 −1 0 1 2
Y −2 1 2 5 6
и интерпретировать полученный результат.
53. По данным предыдущего примера найти выборочные уравне-
ния линейной регрессии Y на X и X на Y .
54. Вычислить выборочный коэффициент корреляции r
XY
по
данным:
X 0 1 3 5 6
Y 0 1 2 1 0
и интерпретировать полученный результат.
55. Докажите, что при неограниченном увеличении объема вы-
борки начальные выборочные моменты сходятся по вероятности к
теоретическим начальным моментам.
56. Докажите, что при неограниченном увеличении объема вы-
борки центральные выборочные моменты сходятся по вероятности
к теоретическим центральным моментам.
57. Докажите, что при неограниченном увеличении объема вы-
борки выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса сходятся по
19
вероятности к соответствующим теоретическим коэффициентам.
58. Докажите асимптотическую нормальность выборочного
среднего.
59. Докажите асимптотическую нормальность начального вы-
борочного момента порядка k.
20