Крупкина Т.В. Математическая статистика. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Задачи

75. Получить формулу плотности распределения случайной ве-

личины χ

как частный случай плотности гамма-распределения.

76. Найти характеристическую функцию распределения χ

77. Найти распределение квадрата случайной величины, распре-

деленной по нормальному закону N(0, 1).

78. Найти характеристическую функцию распределения ξ

, ξ ∈

N(0, 1).

79. Доказать, что сумма квадратов n независимых случайных

величин, распределенных по нормальному закону N(0, 1), имеет рас-

пределение χ

80. Доказать, что сумма независимых случайных величин, рас-

пределенных по закону хи-квадрат, распределена также по закону

хи-квадрат с числом степеней свободы, равным сумме степеней сво-

боды сл агаемых.

81. Вывести формулу плотности распределения случайной вели-

чины χ

, исходя из представления в виде суммы квадратов независи-

мых нормальных стандартных величин.

82. Найти, в какой точке достигается максимум плотности

распределения χ

(n > 2).

83. Нарисовать на одном чертеже графики плотности распре-

делений χ

, χ

при n

< n

84. Указать точное и приближенное распределение суммы квад-

ратов пятидесяти независимых случайных величин, распределенных

по нормальному закону N(0, 1).

85. Найти распределение суммы десяти независимых случайных

величин, каждая из которых распределена по закону χ

86. Найти квантили порядков 0,05 и 0,95 распределения χ

(ис-

пользовать таблицы).

87. Найти P(χ

> 12, 44), P(χ

< 28, 41), P(12, 44 < χ

< 28, 41)

(использовать таблицы).

88. Найти квантиль порядка 0,9 распределения χ

, используя

таблицу стандартного нормального распределения.

89. Найти математическое ожидание и дисперсию величины χ

90. Вывести формулу плотности распределения Стьюдента.

91. Доказать, что распределение Стьюдента симметрично и

асимптотически нормально.

92. Доказать, что у распределения Стьюдента T

существуют

только моменты порядка m < n, при этом все существующие момен-

ты нечетного порядка m = 2k + 1 равны нулю.

93. Найти закон распределения отношения двух независимых

стандартных нормальных случайных величин.

94. Доказать, что распределение T

является распределением

Коши.

95. Нарисовать на одном чертеже графики плотности распре-

деления N(0, 1) и плотности распределения Стьюдента.

96. Нарисовать на одном чертеже графики плотности распре-

делений Стьюдента T

, T

при n

< n

97. Найти квантили порядков 0,05 и 0,95 распределения Стью-

дента T

(использовать таблицы).

98. Доказать, что t

= f

1,n

; χ

= u

, где u ∈ N(0, 1).

99. Найти математическое ожидание и дисперсию величины T

100. Доказать, что если f

n,m

имеет распределение Фишера F

n,m

то 1/f

n,m

имеет распределение Фишера F

m,n

101. Найти квантиль порядка 0,05 распределения F

5,10

(исполь-

зовать таблицы).

102. Вывести формулу плотности распределения Фишера.

103. Найти математическое ожидание распределения Фишера.

104. Найдите k-й начальный момент распределения Фишера.

105. Найти дисперсию распределения Фишера.

§ 5. Распределения выборочных

характеристик

Теорема 1 (теорема Фишера). Пусть X

, . . . , X

– выборка из распре-

деления N(a, σ). Тогда 1) величина

(X−a)

√

имеет нормальное распреде-

ление N(0, 1); 2) величина

имеет распределение χ

n−1

; 3) X, S

неза-

висимы.

Теорема 2. Пусть X

, . . . , X

– выборка из распределения N(a, σ) и

функция от выборочных среднего и дисперсии t определена равен-

ством

t =

√

n − 1

X − a

. (1)

Тогда величина t имеет распределение T

n−1

Теорема 3. Пусть X

, . . . , X

и Y

, . . . , Y

– независимые выборки из

распределения N(a, σ), а X,

Y , S

(X), S

(Y ) – выборочные средние и

дисперсии, и пусть

t =

mn(m + n − 2)

m + n

X −

(X) + mS

(Y )

. (2)

Тогда величина t имеет распределение Стьюдента с m + n − 2 степе-

нями свободы.

Теорема 4. Пусть X

, . . . , X

и Y

, . . . , Y

– независимые выборки из

распределений N(a

, σ

), N(a

, σ

), а S

(X), S

(Y ) – выборочные диспер-

сии. Тогда случайная величина

F =

n(m − 1)σ

(X)

m(n − 1)σ

(Y )

(3)

распределена по закону Фишера – Снедекора F

n−1, m−1

В частном случае, когда дисперсии совпадают, величина F не зависит

от неизвестного параметра σ и имеет распределение F

n−1, m−1

Пример 17. Найти распределение статистики Z:

Z = 2X

+ 3X

, X ∈ N(a, σ).

J Линейное преобразование нормально распределенной величины дает

опять нормальное распределение. Сумма независимых нормально распре-

деленных величин также распределена по нормальному закону. Параметры

этого закона мы можем найти с помощью математического ожидания и дис-

персии.

E Z = 2 E X

+ 3 E X

= 5a.

DZ = 4DX

+ 9DX

= 13σ

Таким образом, Z ∈ N(5a, σ

√

13). I

Пример 18. Найти распределение статистики Z:

Z = X

+ X

, X ∈ N(, 1).

J Поскольку сумма квадратов n независимых случайных величин, распре-

деленных по нормальному закону N(0, 1), имеет распределение χ

, Z рас-

пределено по закону χ

. I

Пример 19. Найти распределение статистики T =

i=1

в P

J Распределение Пуассона суммируемо, то есть случайная величина

T =

i=1

имеет распределение P

λn

. Это легко доказывается с помощью

производящих или характеристических функций. I

Пример 20. В модели, заданной плотностью

(x) =











0, x 6 0,

sin x, 0 < x 6 C,

0, C < x.

найти распределение максимального элемента выборки.

J Найдем функцию распределения случайной величины ξ. После необ-

ходимых вычислений имеем

(x) =











0 при x 6 0;

1 − cos x при 0 < x 6

;

1 при x >

Функция распределения максимального элемента выборки в модели hF i

равна F

; поэтому

(x) =











0 при x 6 0;

(1 − cos x)

при 0 < x 6

;

1 при x >

Задачи

106. В нормальной модели N(a, σ) укажите распределение X

выборочного среднего, полученных по выборке X

, . . . , X

107. В модели N(θ

, σ) найдите распределение статистики

(n−1)S

108. Докажите теорему 2.

109. В модели N(a, θ

) найдите распределение статистики

√

X−a

110. Пусть X

, . . . , X

и Y

, . . . , Y

– независимые выборки из рас-

пределений N(a

, σ

), N(a

, σ

), а S

(X), S

(Y ) – выборочные дисперсии.

Укажите распределение статистики

(X)

(Y )

111. Пусть X

, . . . , X

и Y

, . . . , Y

– независимые выборки из рас-

пределений N(a

, σ), N(a

, σ), а S

(X), S

(Y ) – выборочные дисперсии.

Укажите распределение статистики

(X)

(Y )

112. Найдите распределение статистики Z:

Z =

− 1)S

+ (n

− 1)S

+ n

− 2

X ∈ N(a

, σ), Y ∈ N(a

, σ), X и Y независимы.

113. Пусть X

, . . . , X

– выборка из распределения N(a, σ) и функ-

ция Z определена равенством Z = n

(X−a)

. Укажите распределение Z.

114. hF i – непрерывная модель. Найти распределение стати-

стики

G = −

i=1

ln F (x

115. В нормальной модели найти распределение выборочной дис-

персии S

i=1

− X)

116. Найти распределение статистики Z = X

−X, X ∈ N(a, σ).

117. Найти распределение статистики Z:

Z =

+ X

, X ∈ N(a, σ).

118. Найти распределение статистики Z = aX

+ bX

, X ∈

N(a, σ).

119. Найти распределение статистик: Z

= X

∗

; Z

= X

∗

, X ∈

R[a, b].

120. Найти распределение статистик: Z

= X

, Z

= X

∗

, X ∈

N(a, σ).

121. Найти распределение статистики: Z

= X

∗

, если выборка

взята из совокупности с плотностью f(x) = e

α−x

, x > α.

122. Найти распределение статистики: Z

= X

∗

, если выборка

взята из совокупности с плотностью f(x) = e

2−x

, x > 2.

123. Найти распределение статистики Z:

Z = X − Y − (a

− a

X ∈ N(a

, σ), Y ∈ N(a

, σ), X и Y независимы.

124. Найти распределение статистики Z:

Z = X + Y ,

X ∈ P

, Y ∈ P

, X и Y независимы.

125. Укажите распределение эмпирической частоты ν

(X), X ∈

R[a, b].

126. Укажите распределение эмпирической частоты в биноми-

альной модели.

127. Укажите распределение выборочного среднего в распреде-

лении Пуассона.

128. Укажите распределение выборочного среднего в показа-

тельном распределении.

129. Укажите распределение выборочного среднего в модели

Бернулли.

130. Укажите распределение выборочного среднего в биномиаль-

ной модели.

131. Укажите распределение выборочного среднего в отрица-

тельном биномиальном распределении.

132. Найдите распределение k-й порядковой статистики в мо-

дели R[a, b].

133. Найдите распределение 2-й порядковой статистики в мо-

дели R[0, 3].

§ 6. Несмещенные и состоятельные

оценки

Выборочная числовая характеристика (статистика)

θ = g(X

, . . . , X

применяемая для оценивания неизвестного параметра θ генеральной сово-

купности, называется его точечной оценкой.

Статистика

θ = g(X

, . . . , X

) называется несмещенной оценкой для

параметра θ, если ∀θ ∈ Θ

θ = θ.

Класс всех несмещенных оценок параметра θ будем обозначать T

Если E

θ 6= θ, то оценка называется смещенной и ее смещение равно

θ − θ.

Статистика

θ = g(X

, . . . , X

) называется асимптотически несме-

щенной оценкой для параметра θ, если для любого θ ∈ Θ при n → ∞

θ → θ.

Статистика

θ = g(X

, . . . , X

) называется состоятельной оценкой θ,

если ∀θ ∈ Θ

−→ θ.

Для исследования состоятельности оценок часто применяют следую-

щие теоремы (см. задачи 162–164).

Теорема 5. Если E

θ = θ и D

θ → 0 при n → ∞, то

θ – состоятельная

оценка θ.

Часто применяется также теорема с ослабленными условиями:

Теорема 6. Если E

θ → θ при n → ∞ и D

θ → 0 при n → ∞, то

θ –

состоятельная оценка θ.

Теорема 7. Если

θ – состоятельная оценка θ, а f – непрерывная функ-

ция, то f(

θ) – состоятельная оценка f(θ).

Пример 21. Предположим, время, проведенное покупателем в мага-

зине, имеет нормальное распределение N(a, σ) с неизвестными пара-

метрами. Требуется оценить параметр a. Два стажера решают эту

задачу так: первый в течение длительного периода отмечает время,

проведенное в магазине для каждого покупателя, и находит среднее

арифметическое. Второй (более ленивый) отмечает время только у

десяти покупателей, выбранных случайно, и тоже находит среднее

арифметическое. Будут ли эти оценки параметра а) несмещенными;

б) состоятельными?

J Оценка ˆa

, полученная первым стажером, представляет собой сред-

нее выборочное X. Это несмещенная оценка, так как E ˆa

= E X =

i=1

= a. Найдем математическое ожидание оценки, полученной вто-

рым стажером:

E ˆa

i=1

= a.

Таким образом, обе оценки несмещенные. Проверим состоятельность. Заме-

тим, что оценка ˆa

= X зависит от n. По определению, ˆa

– состоятельная

оценка a, если ˆa

сходится по вероятности к a ( ˆa

→ a), то есть если для

любого ε > 0

lim

n→∞

P(|ˆa

− a| > ε) = 0.

По неравенству Чебышева

P(|ˆa

− a| > ε) 6

D ˆa

, (4)

но, как мы знаем,

DX =

Dξ =

Таким образом, правая часть (4) стремится к нулю и оценка ˆa

состоятельна.

Оценка ˆa

, полученная вторым стажером, не зависит от n и поэтому

P(|ˆa

− a| > ε) тоже не зависит от n, соответственно, не может стремиться к

нулю при стремлении n к бесконечности. Оценка ˆa

не является состоятель-

ной. I

Пример 22. Исследовать на несмещенность оценку параметрической

функции P

−λ

= I(X

= k).

= E I(X

= k),

где

I(X

= k) =

(

1, X

= k,

0, X

6= k

= 1 · P(X

= k) = P(ξ = k) =

−λ

Следовательно, оценка несмещенная.I

Пример 23. Исследовать на состоятельность оценку

= (X)

в нор-

мальном распределении N(a, σ).

J Статистика X

– состоятельная оценка a

, поскольку X – состоятельная

оценка a, а f(x) = x

– непрерывная функция. I

Задачи

134. Исследовать на несмещенность оценки параметров a, σ

нормального распределения N(a, σ) : ˆa =

= s

135. Исследовать на несмещенность оценку параметра λ рас-

пределения Пуассона P

λ = X.

136. Исследовать на состоятельность оценку параметрической

функции P

−λ

= I(X

= k).

137. Исследовать на несмещенность оценку параметра p бино-

миального распределения с параметрами N, p :

ˆp =

i=1

138. В модели Бернулли исследовать на несмещенность оценки

параметрической функции p

: X

и X

139. Исследовать на несмещенность оценки параметров a, b

равномерного распределения R[a, b] :

b = X

∗

; ˆa = X

∗

140. В статистической модели h R[a, b] i исследовать на несме-

щенность оценки функций параметров:

[

b − a = X

∗

− X

∗

;

[

a+b

∗

141. Найти k, при котором оценка ˆσ = k

i=1

−a|параметра

σ является несмещенной в N(a, σ).

142. Найти k, при котором оценка ˆσ = k|X

− a| параметра σ

является несмещенной в N(a, σ).

143. Найти k, при котором оценка ˆσ = k

i=1

−X|параметра

σ является несмещенной в N(a, σ).