Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
59
[]
,767.0)325.1sin(620.0)325.1cos(767.0
)
~~~
()(
298.14136.0
3123
3
2122
2
1121
1
1222
tt
t
tt
ette
SSeSSeSSebtw
−−
++−=
=++=
λ
λ
λ
[]
,854.9)325.1sin(152.13)325.1cos(708.19
)
~
~
~
()(
298.14136.0
3233
3
2232
2
1231
1
2131
tt
t
tt
ette
SSeSSeSSebtw
−−
++−=
=++=
λ
λ
λ
[]
.920.6)325.1sin(487.23)325.1cos(920.6
)
~
~
~
()(
298.14136.0
3133
3
2132
2
1131
1
2132
tt
t
tt
ette
SSeSSeSSebtw
−−
++−=
=++=
λ
λ
λ
Компоненты вектора состояния исследуемой системы опре-
деляются равенствами:
() ( ) () ( ) ()
111 12
0
,
t
x
twtUwt d
τ
ττμττ
⎡⎤
=−+−
⎣⎦
∫
() ( ) () ( ) ()
221 22
0
,
t
x
twtUwt d
τ
ττμττ
⎡⎤
=−+−
⎣⎦
∫
() ( ) () ( ) ()
331 32
0
,
t
x
twtUwt d
τ
ττμττ
⎡⎤
=−+−
⎣⎦
∫
а переходные процессы на выходе объекта управления
)()(
t
x
C
t
y
=
при различных комбинациях внешних воздействий
на управляющих Ū (t) и возмущающих μ (t) входах, имеющие
вид дельта-функций δ(t), даны на рис. 2.4. Переходный процесс
с индексом «1» соответствует входным управляющим воздейст-
виям Ū(t) = δ(t) при нулевом возмущающем воздействии: μ(t)≡0.
Переходный процесс «2» характеризует динамику объекта при
60
Рис. 2.4. Переходные процессы при воздействии на ОУ по управлению (1)
и по возмущению (2).
нулевом управлении и входном возмущении в виде дельта-
функции: Ū (t) ≡ 0 , μ(t) = δ(t).
Предлагаемые методы позволяют исследовать переходные
процессы в объектах и системах автоматического управления при
различных начальных условиях и внешних воздействиях - воз-
мущениях и управлениях.
2.5. Преобразование Лапласа и передаточные функции
непрерывных объект
ов и систем
Передаточные функции (ПФ) линейных непрерывных ОУ
или САУ вводятся с помощью преобразования Лапласа для урав-
нений «вход-выход» или уравнений состояния.
2.5.1. Определение прямого и обратного преобразований
Лапласа.
Пусть f(t) – функция ограниченного роста:
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
61
∞<≤ cMeMtf
ct
,;)( . Тогда интегральное преобразование
[]
∫
==
∞
−
0
)()()( dtetfsFtfL
st
(2.35)
существует и называется прямым преобразованием по Лапласу
функции
)(
t
f
, где
s
- комплексный параметр преобразования
Лапласа.
Изображения по Лапласу
)(sF
как функции пара-
метра
s
для некоторых функций-оригиналов, зависящих от ар-
гумента
t
, приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
f (t) L [ f (t) ] f (t) L [ f (t) ]
1(t)
s
1
t
t
e
ω
α
sin
−
22
)(
ωα
ω
++s
)(
t
δ
1
t
t
e
ω
α
cos
−
22
)(
ωα
++s
s
t
e
α
−
α
+
s
1
t
e
n
t
α
−
1
)(
!
+
+
n
s
n
α
At
e
1
)(
−
− AsE
)(tf
t
e
α
)(
α
−
s
F
t
ω
sin
22
ω
ω
+
s
)(
)(
tf
n
)0(
)0()(
)1(
1
−
−
−−
−
−
n
nn
f
fssFs
t
ω
cos
22
ω
+
s
s
∫
t
df
0
)(
ττ
)(
1
sF
s
В теории управления широко используется также обратное
интегральное преобразование Лапласа
, задаваемое равенством:
62
() () ()
1
1
,0,
2
cj
st
cj
ft L Fs Fseds t
j
π
+
∞
−
−∞
== >
⎡⎤
⎣⎦
∫
(2.36)
определяющее по изображению F(s) функцию-оригинал f(t).
Прямое и обратное преобразования Лапласа используются в
теории автоматического управления для определения переда-
точных функций непрерывных объектов и систем.
2.5.2. Передаточные функции (матрицы) непрерывных
объектов и систем.
Для получения передаточных функций (мат-
риц) применим к уравнениям (2.1) преобразование Лапласа (ПЛ)
с учетом изображений производных при нулевых начальных ус-
ловиях. Тогда получим
изображение по Лапласу уравнения
«вход-выход»
)()()()(
s
u
s
B
s
y
s
A
=
, (2.37)
где
)(
s
y
,
)(
s
u
– скалярные или векторные изображения выхода и
входа, причем
g
gg
gg
gg
BsBsBsBAsAsAsAsA +++=++++=
−
−
−
1
101
1
10
)(,)(
– скалярные или матричные полиномы от s – параметра преобра-
зования Лапласа. Умножив (2.37) на
)(
1
sA
−
, можно получить сле-
дующие уравнения
[]
).()()(),()()(
1
sBsAsWsusWsy
−
== (2.38)
Определение 2.5.1. Функция или матрица W(s) в (2.38), свя-
зывающая изображения по Лапласу функций или векторов y(s) и
u(s) при нулевых начальных условиях, называется
передаточной
функцией
(ПФ) или передаточной матрицей (ПМ) ОУ (САУ).
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
63
Пример 2.5.1. Для электроэнергетического объединения,
уравнения динамики которого рассматривались в приведенном
выше примере, было получено уравнение:
,)5025(50)5.23125.2(
223
μ
ppUpyppp ++=+++ (2.39)
определяющее связь выходной переменной )(
t
y и входных сигна-
лов – управлений и возмущений:
)(tU и )(
t
μ
. Применив к (2.39)
преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, мож-
но получить
изображение по Лапласу этого уравнения:
32 2
( 2.125 3 2.5) ( ) 50 ( ) (25 50 ) ( ),
s
ss ys sUs s ss
μ
+++ = ++
где )(),(),( ssUsy
μ
– изображения по Лапласу перечисленных
переменных. Связи по Лапласу
между изображенииями выхо-
дов и изображений входов
имеют вид:
),()()(
s
u
s
W
s
y
=
где
,))(),(()(
T
ssUsu
μ
=
а )(
s
W
– передаточная матрица:
.
5.23125.2
5025
;
5.23125.2
50
)(
23
2
23
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++
+
+++
=
sss
ss
sss
s
sW
Обращение полиномиальной матрицы A(s) из (2.38) в общем слу-
чае затруднено, однако трудности преодолеваются следующим
образом. В п. 2.2 определены связи между уравнениями «вход–
выход» (2.1) и уравнениями состояния (2.4). Применив к обеим
частям (2.4) преобразование (2.35), можно получить при нулевых
начальных условиях
изображение по Лапласу уравнений со-
стояния
:
.)()()(,)()()( suDsxCsysuBsxAsxs +=+=
64
В результате изображения по Лапласу выходных координат,
передаточной функции или передаточной матрицы объекта
или системы
)(sW
(в зависимости от числа выходных координат)
определяются с помощью резольвенты матрицы
A
следующими
равенствами:
()
,)(,)()()(
1
DBAsECsWsusWsy
n
+−==
−
где резольвента матрицы А вычисляется на основе леммы (2.2.2).
Установим связи между изображениями входа и выхода,
вытекающие из модели объекта или системы типа свертки (2.29).
Лемма 2.5.1. Если функции f
1
(t) и f
2
(t) – оригиналы, а их
изображения по Лапласу есть соответственно F
1
(s) и F
2
(s), то
[]
.)()()()(
212
0
121
sFsFdftfLffL
t
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∫
−=∗
τττ
Применяя преобразование Лапласа к равенству (2.30), вычис-
лив
преобразование Лапласа свертки в правой части (2.30), с
помощью леммы 2.5.1, можно получить
[]
)()()()(
0
susWdutwLuwL
t
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∫
−=∗
τττ
. (2.40)
Из (2.40) следует, что преобразование Лапласа для импульсной
переходной функции (матрицы)
объекта или системы определя-
ет
передаточные функции (матрицы) объекта или системы.
Справедливы обратные преобразования, задающие равенства:
[] [ ]
).()(),()(
1
twsWLsWtwL ==
−
Приведенные результаты позволяют сформулировать сле-
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
65
дующее утверждение.
Утверждение 2.5.1. Прямое преобразование Лапласа им-
пульсной переходной функции (матрицы) есть передаточная
функция (матрица), а обратное преобразование Лапласа
передаточной функции (матрицы) определяет импульсные
переходные функции (матрицы) объекта или системы.
Пример 2.5.1. Найти передаточную функцию (ПФ) ЭЭО как
объекта управления на основе использования его ИПФ, получен-
ной ранее. Тогда равенство
[]
23
6
)](6[)()(
2
2
1
+
+
=−==
−−
s
s
eeLtwLsW
tt
определяет предаточную функцию, вычисленную как прямое
преобразование Лапласа импульсной переходной функции объек-
та или системы управления.
2.6. Передаточные функции и матрицы
дискретных объектов и систем
Дискретные системы оперируют с дискретными данными,
представляющими собой сеточные функции как функции дис-
кретного аргумента. Для описания процессов в дискретных объ-
ектах и системах управления используются решетчатые функции,
разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа.
2.6.1. Прямое и обратное дискретные преобразования
Лапласа.
Исследование дискретных объектов и САУ может быть
основано на применении дискретного преобразования Лапласа к
решетчатым функциям, описывающим дискретные сигналы, и к
разностным уравнениям объектов или систем управления.
Определение 2.6.1. Для решетчатой функции
t
f
дискрет-
66
ное преобразование Лапласа определяется соотношением:
,,)(
*
][
0
ωσ
jq
t
f
qt
eqf
t
fDL
t
+=
∑
∞
−
==
=
(2.41)
причем )(
*
qf – изображение функции
t
f
ограниченного роста:
0
;0при 0
t
tt
f
Me f t
σ
<=<.
Определение 2.6.2.
Z
-изображение решетчатой функции
t
f
определяется равенством
[]
()
*
0
, где
tq
tt
t
Z
ffz zf ze
∞
−
=
== =
∑
.
Формулы обращения связывают оригинал и изображение:
0
0
*
1
() , 0;
2
j
qt
t
j
ffqedqt
j
σπ
σπ
π
+
−
=≥
∫
,)(
2
1
1*
dzzzf
j
f
C
t
t
∫
−
=
π
причем интегрирование в последнем равенстве производится по
окружности
C
радиуса
0
R
e
σ
=
.
Рассмотрим свойства дискретного преобразования Лапласа.
1.
Свойство линейности определяется соотношением:
[]
[
]
[
]
tttt
gDLfDLgfDL
β
α
β
α
+
=
+
,
где
β
α
, – числа;
tt
gf ,
– функции-оригиналы.
2.
Свойство сдвига, определяемое изображением функций
при сдвиге аргумента в прямом направлении.
а) Пусть
][)(
*
t
fDLqf = . Тогда имеет место равенство:
])([][
1
0
*
r
k
r
qrqk
kt
feqfefDL
∑
−=
−
=
−
+
.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
6
7
Если начальные значения функции
0
110
=
=
=
=
−k
fff , (2.42)
то ])(
*
[][ qf
qk
e
k
t
fDL =
+
.
б)
Свойства сдвига аргумента в обратном направлении.
Если
][)(
*
t
fDLqf = , то имеет место соотношение
[]
()
*
1
k
qk qr
tk r
r
DL f e f q e f
−
−−
=
⎡
⎤
=+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
.
При выполнении условий
(1) 1
0,
kk
ff f
−−− −
=
== = (2.43)
можно получить равенство:
[]
()
*qk
tk
DL f e f q
−
−
⎡
⎤
=
⎣
⎦
.
Следствие (теорема сдвига). Если выполняются условия
(2.42) (или (2.43)), то смещению независимой переменной ориги-
нала на
k
± соответствует умножение изображения на
qk
e
±
.
3.
Изображение свертки двух оригиналов решетчатых
функций равно произведению их изображений:
)()(
**
00
qgqfgfDLgfDL
t
r
rtr
t
r
rrt
⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
∑∑
=
−
=
−
.
4. Предельные значения оригинала, если они существуют,
определяются выражениями
)(
*
)1(lim
0
qf
q
e
q
f ⋅
−
−
∞→
= , )(
*
)1(
0
lim qf
q
e
q
f ⋅−
→
=
∞
.
Дискретные преобразования Лапласа (
DL -изображения) наи-
68
более распространенных типовых решетчатых функций приведе-
ны в табл. 2.2.
Таблица 2.2
t
f
][
t
fDL
t
f
][
t
fDL
1
1−
q
e
q
e
t
a
a
q
e
q
e
−
t
2
)1( −
q
e
q
e
t
f
Δ
)()1(
*
qf
q
e ⋅−
2
t
2
)1(
)1(
−
+
q
e
q
e
q
e
t
f
k
Δ
)()1(
*
qf
k
q
e ⋅−
Данные этой таблицы позволяют аналитически исследовать
динамику линейных дискретных объектов и систем автоматиче-
ского управления с применением дискретного преобразования
Лапласа.
2.6.2. Передаточные функции и матрицы линейных дис-
кретных объектов и систем управления
. Найдем взаимосвязь
DL
-изображений выходного и входного сигналов, если модель
объекта в операторной форме определяется соотношением (2.9):
tggtgttggtgt
uBuBuByAyAyA +
+
+
=
+++
−++−++
......
110110
, (2.44)
где
r
t
m
t
RuRy ∈∈ , – векторы выходных и входных переменных,
вычисленные в дискретные моменты времени;
mm
j
RA
×
∈ ,
rm
j
RB
×
∈
– числовые матрицы. Применив к левой и правой части
(2.44) DL-преобразование при нулевых начальных условиях вида