Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
29
линома и компонентов
k
B
присоединенной матрицы:
111
211 2 2
11
11
,(),
1
,(),
2
1
,(),
1
,().
n
n
kkkn k k
nnnn n n
BE a trAB
BABaE a trAB
BAB aE a trAB
k
BAB aE a trAB
n
−−
−−
==−
=+ =−
=+ =−
=+ =−
(2.7)
Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма 2.2.2 (о вычислении резольвенты). Пусть
nn
R
A
×
∈ –
постоянная квадратная матрица с вещественными коэффициен-
тами. Тогда ее резольвента
1
)(
−
− ApE
n
вычисляется по формулам
(2.6), (2.7), в которых
)(
~
pB – присоединенная матрица,
k
B
~
– ее
матричные коэффициенты,
k
a – коэффициенты характеристиче-
ского полинома.
Рассмотрим равенство (2.5). Подставим в его правую часть
представление резольвенты оператора линейной модели системы.
Тогда представление передаточной матрицы для многомерной
динамической модели типа «вход-выход» для непрерывного
объекта или системы автоматического управления имеет сле-
дующий вид:
.
10
1
)(
1
1
)
)...(
)(
))()(
~
((
nn
n
n
n
n
n
bpbpb
p
pDBpBC
p
DBApEC
+++
=+
−
=
=+
−
−
χ
χ
χ
Коэффициенты
k
b в этом полиноме вычисляются при умножении
30
числовых и операторных матриц BpBC ),(
~
, . После выполнения
вычислений уравнение объекта или системы (2.5) может быть
приведено к виду (2.1):
ubpubupbupb
yapyaypayp
nn
nn
nn
nn
++++
=++++
−
−
−
−
1
1
10
1
1
1
...
...
и является уравнением объекта или системы управления типа
«вход–выход». Таким образом, доказано утверждение.
Утверждение 2.2.2. Пусть уравнения «вход-состояние-
выход» (уравнения состояния) объекта или системы имеют вид
(2.4). Тогда уравнения типа «вход–выход» можно записать в
форме (2.1).
Пример 2.2.1. Рассмотрим уравнения электромеханических
процессов в электроэнергетической системе, введенные в ранее
рассмотренном примере раздела 1:
,,,
2
ωϕωμρϕωω
=+−=+++−=+
Uk
г
P
г
P
э
T
г
P
y
T
a
T
где
ω
,
ϕ
,
г
P
,
μ
, U – отклонение частоты, угла ротора, мощно-
сти, нагрузки и управляющего воздействия;
,04.0 cT
а
=
,5.0,005.0 c
э
Tc
y
T == 05.0,03.0
=
=
ρ
k
– параметры объекта.
Если вектор состояния системы
T
г
T
Pxxxx ),,(),,(
321
ϕω
==
,
компоненты которого – отклонения частоты, мощности агрегата
и угла, вектор внешних воздействий определить вектором
TT
Uuuu ),(),(
21
μ
== , компонентами которого являются управ-
ления и нагрузки агрегата, а в качестве выхода выбрать отклоне-
ние частоты
ω
=
y , то уравнения состояния ЭЭС примут вид:
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
31
),()(,)0(),()(
00
01
2
10
001
01
22
1
2
)(
0
txCtyxxtuBtxA
U
э
T
а
Т
r
P
э
Т
э
Tk
a
T
a
T
a
T
y
T
tx
==+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
μ
ϕ
ω
ρ
(2.8)
где
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
001
02060.0
25.125125.0
A
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
02
250
B
,
[
]
.0,001
=
=
DC
Рассмотрим переход к модели типа «вход–выход» от модели
в виде уравнений состояния. Как было показано, связь выходных
координат с входными координатами в операторной форме опре-
деляется соотношением (2.6):
.])([
1
uDBApECy
n
+−=
−
Для определения резольвенты, определяемой соотношением (2.6),
()
()
()
1
1
n
n
pE A B p
p
χ
−
−= ,
необходимо вычислить матрицу
(
)
B
p и характеристический по-
лином
)( p
n
χ
:
.)(,
~
~
~
)(
~
32
2
1
3
332
2
1
apapappBpBpBpB +++=++=
χ
На основе алгоритма п. 2.2.1, можно вычислить матрицы:
32
,125.2)
~
(,
100
010
001
~
1131
=−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
== ABtraEB
,3)
~
(
2
1
,
125.201
0125.006.0
25.1252
~~
223112
=−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=+= ABtraEaABB
.5.2)
~
(
3
1
,
75.1252
075.025.10
5.200
~~
333223
=−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=+= ABtraEaABB
Для проверки правильности выполненных вычислений сле-
дует убедиться в выполнении следующего алгебраического соот-
ношения:
.0
~
333
=+ EaAB
Таким образом, вычисленная резольвента матрицы А имеет
следующий вид:
()
1
3
32
2
2
2
1
2.125 3 2.5
225 1.252.5
0.06 0.125 1.25 0.075
2 25 2.125 1.75
pE A
ppp
pp p p
pp p
ppp
−
−=
=×
+++
⎡⎤
+−−
⎢⎥
⎢⎥
×− + +
⎢⎥
+++
⎢⎥
⎣⎦
Используя взаимосвязь в операторной форме выходной пе-
ременной y с входными воздействиями u, получим модель ЭЭО в
форме «вход-выход»
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
33
[
]
,502550
5.23125.2
1
2
23
uppp
ppp
y +
+++
=
которая соответствует дифференциальному уравнению вида:
.)5025(50)5.23125.2(
223
μ
ppUpyppp ++=+++
Рассмотрим переход от модели ЭЭС типа «вход–выход»,
определяемой последним соотношением, к модели в пространст-
ве состояний. Приведем это соотношение к виду (2.1):
,)()(
32
2
132
2
1
3
0
uBpBpByApApApA ++=+++
где
,1
0
=A
,125.2
1
=
A ,3
2
=
A
,5.2
3
=
A
1
(0, 25),B
=
),50,50(
2
=B
)0,0(
3
=B . Это равенство можно представить в виде
0)))(((
33221100
=−
+
−
+
−
+− uByAuByAuByAuByAppp
,
где матрица )0,0(
0
=B .
Введем координаты вектора состояния
3
Rx
i
∈ , определяемые со-
ответствующими выражениями в скобках последнего уравнения:
.0
,
333
,
2223
,
1112001
=−+−+=
−+=
−=
uByAxuByAxx
uByAxxuByAx
Решение полученных уравнений относительно производных
вектора состояния и представление выхода y как функции со-
стояний
x
и управлений u позволяет получить уравнения в фор-
ме «вход-состояние-выход»:
,, uD
x
CyuB
x
A
x
+
=
+
=
34
где матрицы определяются равенствами
,
005.2
003
01125.2
00
10
01
1
03
1
02
1
01
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−
−
−
AA
AA
AA
A
1
1100
1
2200
1
3300
025
50 50 ,
00
BAAB
BBAAB
BAAB
−
−
−
⎡⎤
−
⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥
=− =
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎣⎦
[]
0,0,10,0,
1
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= AC ,
0
0
1
0
==
−
BAD .
Представление модели объекта в пространстве состояний не
является единственным, о чем свидетельствует отличие ранее по-
лученных значений элементов матриц
A
и B в (2.8).
2.2.2. Уравнения типа «вход–выход» и уравнения со-
стояния дискретных объектов и систем.
Дискретные системы
содержат в структуре ЭВМ, в которых входные и выходные сиг-
налы которых определены в дискретные моменты времени. Для
описания процессов в дискретном времени используются конеч-
но-разностные уравнения линейных дискретных объектов (сис-
тем), аналогичные дифференциальным уравнениям (2.1). В отли-
чие от (2.1), разностные уравнения связывают линейные комби-
нации значений входных (управлений и возмущений) и выход-
ных координат (как пра
вило, регулируемых координат) в различ-
ные дискретные моменты времени и имеют вид:
011 11
11 11
,
tg tg g t gt
tg g t gt
A
yAy AyAy
Bu B u B u
++− −+
+− − +
++++=
=+++
(2.9)
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
35
где
r
t
m
t
RuRy ∈∈ , – векторы выходных и входных переменных,
вычисленные в дискретный момент времени
N
t
∈
;
mm
j
RA
×
∈ ,
rm
j
RB
×
∈ – числовые матрицы. Если ввести оператор сдвига по
времени
ξ
такой, что
1+
=
tt
yy
ξ
, то уравнение (2.9) примет вид
tt
uByA )()(
ξ
ξ
=
, (2.10)
где полиномиальные матрицы A(ξ) и B(ξ) определяются равенст-
вами:
,...)(
1
1
10 gg
gg
AAAAA ++++=
−
−
ξξξξ
....)(
1
2
2
1
1 gg
gg
BBBBB ++++=
−
−
−
ξξξξ
Переход от разностного уравнения «вход–выход» к разно-
стным уравнениям состояния.
Уравнение (2.10) отличается от
(2.1) операторами сдвига «
ξ
» и операторами дифференцирования
«р». Преобразования уравнений типа (2.2), (2.3) и введение обо-
значений:
,0
,
......................................
,
,
1
11
1
1
11
1
1
2
0
1
tgtg
g
t
m
tgtg
g
t
g
t
tttt
tt
uByAx
uByAxx
uByAxx
yAx
−+=
−+=
−+=
=
+
−−
−
+
+
определяют уравнения состояния объекта или системы автома-
тического управления следующего вида:
36
.
,
..........................................
,
,
,)(
1
11
1
1
22
3
2
1
11
2
1
1
0
1
1
0
tgtg
g
t
tgtg
g
t
g
t
tttt
tttt
ttt
uByAx
uByAxx
uByAxx
uByAxx
uBxAy
+−=
+−=
+−=
+−=
+=
+
−−
−
+
+
+
−
Для векторно-матричного описания последней системы введем
расширенный вектор состояния
Tg
t
j
ttt
xxxx )...,,...,,(
1
= .
Тогда полученную систему линейных разностных уравнений
объекта или системы управления можно записать в виде:
,,
1 tttttt
uDxCyuBxAx +=+=
+
(2.11)
причем числовые матрицы A, B, C, D совпадают с соответствую-
щими матрицами уравнений (2.4). Таким образом, доказано ут-
верждение.
Утверждение 2.2.3. Пусть уравнения «вход–выход» имеют
вид уравнений (2.10). Тогда уравнения состояния можно предста-
вить в форме (2.11), причем матрицы A, B, C, D вычисляются по
соотношениям для уравнений (2.4).
Чтобы выполнить
«обратный переход» от уравнений со-
стояния (2.11) к уравнению типа «вход–выход», воспользуемся
оператором сдвига
ξ
. Тогда уравнения можно записать в виде:
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
3
7
.,
tttttt
uDxCyuBxAx +=+=
ξ
(2.12)
Решив первое уравнение системы (2.12) относительно
t
x и
подставив результат во второе уравнение, можно получить ра-
венство
tt
uDBAECy ))((
1
+−=
−
ξ
, аналогичное (2.2). Повторив
описанные выше преобразования, получим уравнение:
.
1
...
2
2
1
1
1
...
1
1
t
u
g
b
t
u
g
b
t
u
g
b
t
u
g
b
t
y
g
a
t
y
g
a
t
y
g
a
t
y
g
+
−
++
−
+
−
=
=+
−
++
−
+
ξξξ
ξξξ
(2.13)
Поэтому доказано утверждение.
Утверждение 2.2.4. Для разностных уравнений состояния
объектов управления и систем автоматического управления вида
(2.11) равенство (2.13) определяет уравнение объекта (системы)
управления типа «вход–выход».
Приведенные математические модели объектов и систем по-
зволяют перейти к анализу переходных процессов.
2.3. Анализ переход
ных процессов в линейных системах
Анализ переходных процессов в объектах и системах явля-
ется одним из методов исследования их свойств, которые прояв-
ляются в реакции на типовые воздействия.
2.3.1. Переходные процессы в линейных непрерывных
объектах и системах управления.
Пусть уравнения объектов
или систем имеют вид (2.4), а задача исследования переходных
процессов формулиуется как задача Коши: найти решение систе-
мы при заданных начальных условиях и заданных входных воз-
действиях
)(
t
u
, которые могу иметь смысл управлений или
38
внешних возмущений:
0
)0(,, xxDyCxyBuAxx =+=+=
. (2.14)
Решение задачи (2.14) определяется известной из теории линей-
ных дифференциальных уравнений
формулой Коши:
∫
+=
−
t
tAtA
duBexetx
0
)(0
)()(
ττ
τ
. (2.15)
Справедливость формулы Коши устанавливается непосредствен-
ной подстановкой (2.15) в первое уравнение (2.14). В результате
этого можно получить цепочку равенств:
=++=
∫
−
t
tAAt
dBuAetBuxAex
0
)(0
)()(
ττ
τ
.)()(
0
)(0
tBudBuexeA
t
tAAt
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
∫
−
ττ
τ
Анализ переходных процессов будет выполнен с помощью при-
ведения матрицы системы к
канонической жордановой форме.
Это приведение позволяет свести вычисление матричной экспо-
ненты в (2.15) к расчету скалярных экспоненциальных функций и
выполнить преобразование Лапласа и Фурье выходной перемен-
ной. Для этого в уравнении (2.14) перейдем к новому базису про-
странства состояний с помощью
преобразования подобия:
S
z
x
=
, где
T
n
zzz ],,[
1
= ,
SRS
nn
,
×
∈
– неособенная матрица:
.,
111
DuCSzyBuSJzBuSASzSz +=+=+=
−
−−
(2.16)
Напомним, что две матрицы A и J называются подобными,
если они связаны равенством
AS
S
J
1
−
=
, которое называется