Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

239

можно установить следующее неравенство:

|| || 1 || || || || || || || ||

JFCSΔ<− −

ограничивающее норму приращения матрицы Жордана, где

- жорданова форма и ее приращение такие, что имеет место

равенство

SJS

−

, причем собственные числа матрицы объек-

та вещественные, т.е. принадлежат

5.7. Анализ развития методов синтеза адаптивных систем

Развитие и применение теории адаптивного управления

происходит эволюционным путем на основе совершенствования

существующих систем, которые образуют основной контур

управления. В связи с этим, адаптивное управление строится на

основе регуляторов основного контура (РОК) и регуляторов кон-

тура адаптации (РКА).

В настоящее время существует достаточно широкий арсенал

методов синтеза основного контура управления, которые в соч

е-

тании с рассмотренными методами синтеза контура адаптации

определяют

системные варианты подходов к синтезу адаптив-

ных систем.

Для синтеза РОК можно использовать широко из-

вестные методы модального управления, локально оптимального

управления, оптимального управления, которые являются пре-

имущественно линейными. При этом задачей контура адаптации

является идентификация параметров объекта управления в реаль-

ном времени. Для подстройки параметров –

для синтеза РКА -

могут использоваться различные методы, к числу которых отно-

сятся метод рекуррентных целевых неравенств, метод стохасти-

ческой аппроксимации, метод скоростного градиента и другие.

На основе этого можно дать системную характеристику возмож-

ных типов адаптивных систем управления (табл. 5.1), характери-

зующей возможные варианты построения адаптивных систем. В

240

табл. 5.1 отмечены типы адаптивных систем, которые к настоя-

щему времени разработаны на достаточно фундаментальной ос-

нове, поскольку для ряда вариантов алгоритмов адаптации полу-

чены условия функциональной или параметрической «идентифи-

цируемости» объектов управления. Для разработки методов син-

теза адаптивных регуляторов других типов необходимо исполь-

зование оригинальных подходов к решению проблемы синтеза,

которые ан

ализируются далее.

Таблица 5.1

Основной

к о н т у р

К о н т у р

а д а п т а ц и и

Модальные

регуляторы

Локально-

оптималь-

ные

регуляторы

Оптималь-

ные

регуляторы

Регулято-

ры,

синтези-

руемые

метода-

ми мате-

матиче-

ского про-

грамми-

рования

Метод

рекуррентных

целевых

неравенств

РОК и РКА,

функциналь-

ная иденти-

фикация

Метод

стохастиче-

ской

Аппроксима-

ции

РОК и РКА,

сходимость по

параметрам

Метод

скоростного

градиента

РОК и РКА,

устойчивость

замкнутых

систем

Необходимо остановиться на системной технологии доказатель-

ства сходимости итерационных процессов адаптации. Рассматри-

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

241

вается алгоритмический аспект доказательства сходимости с ак-

центом на системность подхода к построению доказательства в

следующей постановке.

Пусть имеется совокупность итерационных (рекуррентных)

процессов, соответствующих:

1). Процедурам численного решения детерминированных разно-

стных уравнений или эволюционными уравнениям в дискретном

времени;

2). Детерминированным процедурам численной оптимизации;

3). Стохастическим процедурам оптимизации (метод стохастиче-

ской аппроксимации);

4). Стохастическим п

роцедурам адаптивного управления.

Требуется сформулировать системную технологию доказа-

тельства сходимости перечисленных выше итерационных про-

цессов, выделив варианты исследования сходимости и общие ха-

рактерные черты, позволяющие расширить классы подходов к

анализу сходимости. Другими словами, необходимо осуществить

системный синтез возможных подходов к исследованию сходи-

мости, дополняющих известные процедуры. Для решения задачи

можно построить си

стемную матрицу возможных вариантов ис-

следования сходимости в пространстве задачи – методы анализа

сходимости, которая имеет вид, приведенный в табл. 5.2, в кото-

рой указаны тип устойчивости или характер результата.

Для задачи 1 формулируются основные этапы получения

результата: формирование уравнения стационарных состояний,

введение функции Ляпунова типа нормы или квадратичной фор-

мы, вычисление первой разности функции Ляпунова и после-

дующее преобразование, приводящее к результату.

Для задачи 2, решаемой на основе «квазистационарности

первой разности», требует введения первой разности, ее преобра-

зования представлением оценки первой разности через производ-

242

ные, применения условия Липшица, для вывода условий

Таблица 5.2

Метод

Задача

Функций

Ляпунова

Стационарно-

сти

производной

Рядов

Скалярных

рекуррентных

неравенств

Устойчивость

разностных схем и

эволюционных

уравнений

Достаточные

условия

Устойчивость де-

терминированных

процедур

оптимизации

Достаточные

условия

Ограничения

на

параметры

Устойчивость

стохастических

процедур

оптимизации

Ограничения

на

параметры

Устойчивость

стохастических

процедур

адаптации

Ограничения

на

параметры

существования минимизирующей последовательности функцио-

налов.

Для задачи 3, состоящей в формулировке условий схо-

димости случайных величин в среднеквадратичном смысле и по

вероятности, решение включает следующие этапы доказательст-

ва: формирование уравнения отклонения текущей переменной от

истинного значения, вычисление второго момента, суммирование

семейства разностей последующих и предыдущих значений слу-

чайных вспомогательных величин, применение условий сходи-

мости полученного ряда, из которых следуют ограничения на па-

раметры рекуррентной проц

едуры уточнения оценок.

Для задачи 4 (задачи синтеза процедуры оценки параметров

адаптивной системы методом стохастической аппроксимации)

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

243

решение находится из уравнений отклонений параметров от ис-

тинных значений, формируется стохастическая функция Ляпуно-

ва, которая имеет смысл второго центрального момента парамет-

ров. Преобразование функции Ляпунова выполняется «в силу»

уравнений подстройки параметров и динамики уравнений объек-

та. Использование условного математического ожидания ошибки

по параметрам (стохастической функции Ляпунова) позволяет

определить условия сходимости, которые формул

ируются на ос-

нове специальных условий (условий для мартингалов, условий

типа Чжуна, Буркхольдера, Дермана, Сакса и др.).

Перечисленные подходы составляют базу системной техно-

логии доказательства сходимости широкого класса итерационных

процессов, позволяющей получать новые результаты в области

теории сходимости на основе применения ранее не использован-

ных подходов, которые определены системной матрицей. Ис-

польз

уя рассмотренный набор вариантов построения адаптивных

систем можно синтезировать широкий класс регуляторов для

достижения целей адаптивного управления.

244

Приложение 1

К АНАЛИТИЧЕСКОМУ РЕШ

ЕНИЮ ЗАДАЧ

МИНИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ

ФУНКЦИОНАЛОВ НА КОМПАКТНЫХ

МНОЖЕСТВАХ

Рассматривается аналитическая оптимизация на основе аппроксима-

ции ограничений, условий Лагранжа и Куна-Таккера.

1. Минимизация линейных функционалов

Рассматривается следующая задача: найти вектор

,,, ,

arg min .(1)

()(),

ооо o

Т n

о Z

AZ b A R m nrang A m

zcz R

Z d Q Z d r rang Q n

⎧⎫

=∈ ≤ =

⎪⎪

== ∈

⎨⎬

−−≤ =

⎪⎪

⎩⎭

Эллипсоид в данной задаче может аппроксимировать параллелепипед ин-

тервальных ограничений на переменные. Замена переменных позволяет

преобразовать ограничения

1/ 2 1/ 2

,(),()()

QXdXQZd ZdQZd

−

=+=− − −

1/2 1/ 2 1/2 1/ 2 2

()() .

ТТТ

QXddQQXdd XQQQXXXr

−− −−

=+− +−= =≤

и задачу к виду: найти вектор

1/2

*1/2

1/2

()

arg min

ТТ

оо

ооо

AZ A Q X d

XcQXcd

AQ X Ad b

−

⎧

⎪

==+

⎨

⎪

=+=

⎪

⎩

В новых переменных ограничения задачи принимают вид:

1/2 2

{, , , , }.

Т n

ооо x

XbA AQ b b AdrangA mXXr R

−

== =− = ≤∈

В компактном виде последняя задача сводится к отысканию минимума ли-

нейного функционала

fXcJ

при ограничениях:

Написано В.Н. Козловым

Приложение 1

245

.rXX,bAX

Т 2

≤=

Необходимые условия для задачи, полученной

заменой квадратичного неравенства на равенство можно получить с помо-

щью функции Лагранжа:

()( )

ТТ Т

LcX AXb XXr

λλ

=+ −+ −

Необходимые условия представляется системой равенств

=++=

∂

XAc

λλ

=−=

∂

bAX

=−=

∂

rXX

, (1.1)

из которых следует:

(

)

[

]

АсbАА

−−=

−

λλ

. (1.2)

Решение преобразованной задачи как функция

имеет вид:

()

(

)

bAAAcP

ТТo

−

(

)

AAAAEP

ТТo

1−

−=

. (1.3)

Последнее решение можно представить в форме, определяющей решение

как функцию параметра. Это решение имеет следующий вид:

.)(,

)(

10000

bAAAbPbPcPcPcPcPX

TTAA −∗

=+=−−=

Квадратное уравнение относительно множителя Лагранжа

имеет вид:

Из полученного уравнения можно найти два значения

−

, одно из ко-

торых соответствует максимуму, а другое - минимуму линейного функ-

ционала, причем:

()

/ 21

αβλ

∓

В результате решение

Полученное решение определяет минимум на компактном множест-

ве в аналитической форме.

,04)(4,0

0212

>=>+==−

−

cPcrbAAb

ТТТ

βαβαλ

.dxQz

*/*

−

246

2. Минимизация квадратичных функционалов

Задача 2: Задача квадратичного программирования имеет вид: найти

вектор, минимизирующий заданный квадратичный функционал, на допус-

тимом множестве, в котором параллелепипед ограничений аппроксимиро-

ван эллипсоидом

}.,|)()({minarg

rQxxbAxcXcXX

≤=−−==

∗

(2.1)

Задача (2.1) представляет собой минимизацию квадратичного функ-

ционала на допустимом множестве. Это допустимое множество представ-

ляет собой пересечение линейного многообразия и шара. Для решения за-

дачи можно воспользоваться необходимыми и достаточными условиями

Куна-Таккера для задач выпуклого программирования. Далее рассматрива-

ется другой подход к решению задачи, исходя из того, что точка миниму-

ма квадратичного функционала либ

о принадлежит границе допустимой

области или находится внутри допустимой области.

В этой ситуации можно воспользоваться

раздельным отысканием

решений

с последующим их объединением в предикатной форме, пред-

ставленной соотношением

}

{

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∉

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∈==

,int если ,minarg

rXX

bAX

DXbAXX

(2.2)

где int D – внутренность множества D, аппроксимирующего параллелепи-

пед в задачах, сформулированных в предыдущих разделах данной работы.

Если точка минимума

∗

принадлежит границе области, то для решения

вспомогательной задачи, когда в (2.1) все ограничения выполняются как

равенства. Для этого случая задача имеет вид:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−==

mArang

rXX

bAX

CXCXX

)()(minarg

что позволяет использовать необходимые условия для ограничений типа

равенств, формулируемые с помощью функции Лагранжа для рассматри-

ваемой задачи. При этом, как было отмечено выше, используется внутрен-

няя аппроксимация параллелепипедов ограничений. Возможно также при-

менение «внешней» аппроксимации параллелепипедов, однако это обстоя-

тельство не вносит особенностей в формулировку необходимых условий.

Функция Лагранжа для задачи, полученной переходом от квадра-

Приложение 1

тичных неравенств к квадратичным равенствам, представляется в форме:

).()()()(

rxxbAxCxCxL

TTT

−+−+−−=

λλ

. (2.3)

На основе функции Лагранжа можно получить численно-аналитическое

решение задачи. Необходимые условия экстремума для функции Лагранжа

типа (2.3) представляются в виде системы нелинейных алгебраических

уравнений. Эти уравнения следуют из общей схемы формирования необ-

ходимых условий для задач условной оптимизации, полученных с помо-

щью операций дифференцирования функции Лагранжа по исходным пере-

менным и по множителя

м Лагранжа для ограничений типа линейных и не-

линейных равенств. В результате можно получить систему уравнений:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=−=

∂

=−=

∂

=++−=

∂

,0222

rXX

bAX

XACX

λλ

(2.4)

Решение системы (2.4) относительно

определяет

()X

∗

, поскольку,

если умножить первое уравнение на матрицу

, то можно получить:



0222

++−

= b

AXAAAC

λλ

где в силу второго уравнения системы (4) вида:

. Тогда последняя

алгебраическая система уравнений примет вид

0222

=++− bAAACb

λλ

а вектор множителей Лагранжа

(для ограничений типа линейных ра-

венств) равен:

[

]

bACbAA

λ−+−=λ

−

222)(

. (2.5)

Если подставить значение множителя Лагранжа (2.5) в первое уравнение

системы необходимых условий для функции Лагранжа (2.4), то можно вы-

248

числить оптимальное решение

()X

∗

(решение как функция скалярного

параметра, соответствующего квадратичным ограничениям) как функцию

множителя Лагранжа для квадратичных ограничений типа равенств. По-

скольку в результате подстановки можно получить равенство

[

]

02222)(22

=λ+λ−+−+−

−

XbACbAAACX

то преобразованное уравнение относительно

()X

∗

примет вид:

[

]

−+=λ−+−==λ−

−−

bAAACbACbAAACX

TTTT 11

)()()1(

(2.6)

011

. )()()( bPCPbAAAACAAA

ATTTT

λλ

+=+−

−−

Из уравнения (2.6) вектор оптимального решения как функция скалярного

множителя Лагранжа

определяется равенством:

[

]

λ+==λ

)(*)(*

bPCPXX

. (2.7)

Для получения окончательного решения необходимо подставить вектор

(2.7) в квадратичное уравнение ограничений системы необходимых усло-

вий (2.4). Целесообразно сначала вычислить

. Величина

третьем уравнении системы необходимых условий (2.4) принимает вид:

[]

[

]

λ+

λ+λ+=

)1(

)()( bPCPbPCPXX

[]

[

]

λ+

λ+λ+=

)1(

)()( bPCPPbCP

AATTT

[]

)1(

)(2)()(

2000

λλ

++= bPPbCPPbCPCP

AATTATTT

где для преобразования матриц в последнем равенстве использованы сле-

дующие матричные соотношения для операторов проектирования на ли-

нейные многообразия, подпространства и связанных с ними вспомогатель-