Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
39
преобразованием подобия. Любая числовая квадратная матрица
может быть приведена с помощью преобразования подобия:
AS
S
J
1−
= к канонической форме – квазидиагональной матрице J,
называемой
матрицей Жордана.
Структура канонической формы матрицы Жордана опреде-
ляется распределением некратных и кратных
собственных чисел
и соответствующих им
собственных или корневых векторов
(геометрический подход) и
элементарных делителей исходной
матрицы
A
(алгебраический подход). Эти подходы изучаются в
теории матриц, а ниже приводится описание соответствующих
результатов, основанных на ранговых критериях.
Пусть среди n собственных чисел
i
λ
матрицы
A
имеется p
простых (некратных):
p
λ
λ
λ
...,,,
21
, и
s
кратных:
spipp +++
λ
λ
λ
...,,,...,
1
собственных чисел с кратностями
.,,,,
1 si
mmm ……
Некратным собственным числам соответствует
матрица
0
J
, а каждому кратному собственному числу – «ящик»
Жордана
i
J
. Поэтому матрица в форме Жордана имеет следую-
щий вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
i
J
J
J
J
J
0
0
1
0
. (2.17)
Простые (некратные) собственные числа
p
λ
λ
λ
...,,,
21
состав-
ляют
клетки «ящика» Жордана
0
J
, который представляется в
форме :
40
).,,,(diag
00
00
00
21
2
1
0 p
p
J
λλλ
λ
λ
λ
…
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Каждая клетка в
0
J имеет размерность 1. «Ящик» Жордана
i
J
,
соответствующий собственному числу
ip+
λ
кратности
i
m , может
содержать
«клетки Жордана»
iki
JJ ,...,
1
– квадратные матрицы
размера от 1 до
i
m . «Ящик Жордана» имеет стандартный вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
ik
i
i
i
J
J
J
J
0
0
2
1
,
где первый индекс – номер «ящика», а второй – номер «клетки».
Главная диагональ содержит числа
ip+
λ
, а первая наддиагональ –
число «1», если размер «клетки» не меньше двух.
Пример 2.3.1. «Ящик» Жордана для собственного числа
ip+
λ
кратности «3» можно представить одним из вариантов:
1).
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
ip
ip
ip
i
J
λ
λ
λ
00
00
00
– три клетки размера «1»;
2).
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
ip
ip
ip
i
J
λ
λ
λ
00
00
01
– одна клетка размера «2» и одна
клетка размера «1»;
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
41
3).
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
ip
ip
ip
i
J
λ
λ
λ
00
10
01
– одна клетка размера «3».
Из примера следует, что для задания структуры «ящика» не-
обходимо определить число клеток
h
g
размера
)( hh×
. Число
«клеток»
h
g размера
)( hh
×
для кратных собственных чисел
ip+
λ
определяется ранговым критерием:
()
(
)
()
1
1
2
,1,.
hh
hpin pin
h
pi n i
grangAE rangAE
rang A E h m
λλ
λ
−
++
+
+
=− − − +
+− =
(2.18)
Сумма размеров всех клеток «ящика» равна кратности соот-
ветствующего собственного значения, что в примере 2.3.1 опре-
деляется равенством:
ii
i
m
mmggg
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅ …21
21
.
Таким образом, число и структура «ящиков»
i
J , определяе-
мые ранговым критерием (2.18), позволяют задать жорданову
форму матриц в уравнениях состояния.
После преобразования подобия (перехода к жордановой
форме матриц) уравнения объектов или систем вида (2.14) и
(2.16) имеют связанные решения на основе формулы Коши:
),()()(
,)()(),()(
0
1)(01
tuDtxCty
dBuSexSetztSztx
t
tJJt
+=
∫
+==
−−−
ττ
τ
(2.19)
где
AS
S
J
1−
= , матрица S вычисляется далее, а матричная экспо-
нента имеет вид:
42
1
0
diag , , , , ,
s
J
tJt
Jt
Jt
Jt
i
eeeee
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
.
Матричные экспоненты для жордановых клеток в последней диа-
гональной матрице будут иметь следующие представления:
0
1
dia
g
,, ,
p
t
Jt
t
eee
λ
λ
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
[
]
,,...,,...,diag
1
t
il
Jt
ih
Jt
i
Jt
i
J
eeee =
где
ih
J
– h-ая клетка
k
-го порядка i-го «ящика». Матричная экс-
понента для этой клетки имеет вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−
−
−
+
1000
000
)!3(
100
)!2(
10
)!1(!2
1
3
2
12
t
k
t
k
t
t
k
tt
t
ee
k
k
k
t
ip
t
ih
J
λ
.
Поскольку для решения системы (2.19) надо найти преобразую-
щую матрицу S, то для ее определения рассмотрим уравнение
,],...,,[],...,,[
2121
JssssssA
nn
=
где
l
s
–
l
-й столбец матрицы
S
. Пусть в l -ом столбце матрицы J
единственным отличным от нуля элементом является
ip +
λ
. То-
гда
l
-му столбцу этого уравнения соответствует равенство
l
ip
l
ssA
+
=
λ
, имеющее эквивалентный вид
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
43
0)( =
+
−
l
s
n
E
ip
A
λ
. (2.20)
Соотношение (2.20) определяет выбор в качестве l -го
столбца матрицы S собственного вектора матрицы А, соответст-
вующего собственному числу
ip +
λ
.
Если в
l
-ом столбце матрицы J (2.17) выше главной диаго-
нали находится единица, то будет получено соотношение:
l
ip
ll
sssA ⋅+=⋅
+
−
λ
1
или
,)(
1−
+
=−
ll
nip
ssEA
λ
где
1−l
s
– )1( −l -й вектор матрицы S, являющийся или собствен-
ным вектором матрицы
A
, соответствующим значению
ip +
λ
,
или ранее определенным корневым вектором, если размер «клет-
ки» более «2».
Таким образом, решение уравнения состояния объекта или
системы автоматического управления (2.14) записывается сле-
дующим образом:
).()()(
,)()(,)()(
0
1)(01
tuBtxCty
duBSexSetztzStx
t
tJJt
+=
∫
+==
−−−
ττ
τ
(2.21)
Решение задачи Коши (2.21) может использоваться для ана-
лиза переходных процессов при ограниченных начальных усло-
виях и произвольных или типовых входных воздействиях. В ка-
честве типовых воздействий используются единичные, гармони-
ческие, экспоненциальные и другие воздействия.
Пример 2.3.2. Рассмотрим анализ переходных процессов
44
при типовом воздействии на объект, описываемый уравнением
«вход-состояния-выход»:
),()(,)0(),()(
0
txCtyxxtuBtxAx ==+=
(2.22.а)
где
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
411
020
621
A
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
B
,
[
]
001
=
C .
Рассмотрим переходный процесс при типовом единичном
(ступенчатом) входном воздействии по управлению
)(1)(
t
t
u = ,
где 1(t) – единичная функция (функция Хевисайда):
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
.0,1
,0,0
)(1
t
t
t
Вычислим собственные числа матрицы
A
из характеристическо-
го уравнения рассматриваемого объекта или системы автомати-
ческого управления:
.0)1()2(485
411
020
621
)det(
223
3
=++=+++=
=
+−
+
−
−
=−
λλλλλ
λ
λ
λ
λ
AE
Матрица
A
имеет некратное собственное число 1
1
−=
λ
и кратное
2,2
22
=−= m
λ
.
Жорданова форма
J
матрицы
A
строится с учетом вида
«клеток», соответствующих собственным кратным числам. Опре-
делим число и структуру «клеток» на основе рангового критерия
по формуле (2.18). Тогда можно получить следующие результаты
по количеству клеток Жордана различного размера:
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
45
.1122)(rang)(rang2)(rang
,01223)(rang)(rang2)(rang
3
32
2
32
1
322
2
32
1
32
0
321
=+−=−+−−−=
=+⋅−=−+−−−=
EAEAEAg
EAEAEAg
λλλ
λλλ
Жорданова форма матрицы
A
имеет вид
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
200
120
001
J .
Столбцы
i
s
матрицы преобразования подобия ],,[
321
sssS = най-
дем из условия, представляющего собой систему линейных ал-
гебраических уравнений
S
J
A
S
=
. (2.22.б)
Столбец
1
s
является собственным вектором
A
, соответствующим
1
1
−=
λ
, и определяется соотношением: 0)(
1
31
=− sEA
λ
. По-
скольку
0
31
=− EA
λ
, то линейная система имеет не единствен-
ное решение. Произвольно задав третью компоненту вектора
1
s
1
31
=s , вычисляем остальные компоненты из уравнений:
.0,622
212111
=−−=− sss
В результате вычислений можно определить вектор
[]
T
s 1,0,3
1
−= .
Второй столбец
2
s
матрицы
S
системы (2.22.б) является
собственным вектором, соответствующим
2
2
−
=
λ
, который оп-
ределяется системой
0)(
2
32
=− sEA
λ
. Решение этой системы не
единственное, поскольку собственный вектор определен с точно-
46
стью до постоянного множителя. Задав произвольное значение
первой компоненты
1
12
=s , можно получить систему алгебраиче-
ских уравнений
,12,362
32223222
=−−=+− SSSS
решение которой определяет собственный вектор
[]
T
s 5.0,0,1
2
−=
.
Вектор
3
s
является корневым вектором «высоты 2», удов-
летворяющим линейному алгебраическому уравнению:
0)(
32
32
=− sEA
λ
или
23
32
)( ssEA =−
λ
:
.
5.0
0
1
211
000
623
)(
33
23
13
3
32
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=−
S
S
S
sEA
λ
Приняв 1
13
=S , вычислим вектор
[
]
T
s 5.0,5.0,1
3
−−= . В результа-
те преобразующая матрица и обратная для нее определяются сле-
дующим образом:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
5.05.01
5.000
113
S ,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
=
−
020
622
201
1
S .
Аналитическое решение задачи Коши для системы уравне-
ний (2.22.а) формируется на основе равенств (2.19), (2.21), кото-
рое можно использовать для анализа переходных процессов в
рассматриваемой системе управления при различных начальных
условиях и входных переменных (управлениях или возмущени-
ях). Это решение представляется равенством вида:
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
4
7
,
00
)(0
00
00
0
00
)()(
0
1
)(2
)(2)(2
)(
0
2
22
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
∫
−
−−
−−−−
−−
−
−−
−
t
t
tt
t
t
tt
t
dBS
e
ete
e
z
e
tee
e
StSztx
ττ
τ
ττ
τ
где вектор
010
x
S
z
−
= .
Пример 2.3.3. Определим соотношения для вычисления пе-
реходного процесса в объекте, представляющем собой электро-
энергетическое объединение, общепринятые уравнения которого
для исследования систем управления частотой и активной мощ-
ностью рассмотрены в примере 2.2.1. Эти уравнения в форме
«вход-состояние-выход» имеют вид:
),()(,)0(),()(
0
txCtyxxtuBtxAx
=
=
+=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
001
02060.0
25.125125.0
A
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
02
250
B
,
[]
001=C .
Для вычисления решения )(
t
x
используем замену: S
z
x
= , с по-
мощью которой матрица
A
приводится к форме жордана:
AS
S
J
1−
= . Вычислим собственные числа матрицы
A
из ее ха-
рактеристического уравнения
0)det(
3
=
−
AE
λ
. Поскольку реше-
ния уравнения:
,325.1414.0
2,1
i
±
−=
λ
,298.1
3
−
=
λ
то жорданову
форму с учетом комплексных собственных чисел матрицу можно
представить в форме:
48
.
298.100
0325.1414.00
00325.1414.0
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
+
−
= i
i
J
Столбцы
i
s
матрицы преобразования подобия
],,[
321
sssS = , являющиеся собственными векторами матрицы
A
, вычисляются из условия 0)(
3
=−
i
i
sEA
λ
:
.
609.0425.0401.0425.0401.0
0675.00215.00096.00215.00096.0
790.0356.0729.0356.0729.0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−
−−+−
−
+
−
=
ii
ii
ii
S
Процессы на выходе объекта или системы описываются (2.19) и
(2.21):
.)(
0
))(
1
)(
01
()(
τττ
τ
uD
t
duBS
tJ
eSxS
Jt
eSCty +
∫
−
−
+
−
=
Так как
D - нулевая,
J
- неособая матрицы, реакция объекта на
постоянные воздействия
)(1)(
t
G
t
u
⋅
=
, где
cons
t
G
=
, имеет вид
,))(
1
)(
0
()( tBuA
n
E
At
ex
At
eCty
−
−+=
где .
1−
= S
Jt
eS
At
e
На рис. 2.3 приведены переходные процессы по выходной пере-
менной
)(
t
y : при нулевых входных воздействиях и начальных
условиях
()
0
10, 0, 0
T
x =
- зависимость «1»; при нулевых