Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Важные следствия и обобщения (2.59), данные в табл. 2.3,

определяют статические и динамические типовые нелинейные

звенья, включая «звенья с памятью». К последним нелинейным

звеньям относятся звенья типа «гистерезис», «люфт», которые

описываются интегро-алгебраическими или эквивалентными

Таблица 2.3

Характери-

стика нели-

нейного звена

Предикатное

описание

нелинейного звена

Описание звена

нелинейным

оператором

⎩

⎨

⎧

>−

azazk

),(

0,0,/

>−= baab

2/|)|

()(

−+

−=

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤

azb

azakz

azb

)/()(

1221

aabbk

−

2/)||

|(|)(

212

aaaz

azkbzq

+−−−

−

−+

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤−

433

212

),(

azb

azaazk

aza

azaazk

azb

)/(

341

122

aab

aabk

−=

−

2/)

||||

|(|)(

3214

aaaaz

azaz

azkbzq

+−+−−−

−−+−−

−

−+

Характери-

стика нели-

нейного звена

Предикатное

описание

нелинейного звена

Описание звена

нелинейным

оператором

nizf ,...,2,1)),(max(

zfm

mzf

mzfzq

,...,2

)),)((max

2/|))(|

))(()(

−+

nizf

,...,2,1)),((min

zfm

mzf

mzfzq

,...,2

)),((min

,2/|))(|

)(()(

−−

−

⎩

⎨

⎧

<−

)/|(|)(

)(z

aza

−

∑

slaa

hbzq

−

+==

∑

)(

Сложное

описание

(

)(

−

•

azb

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Характери-

стика нели-

нейного звена

Предикатное

описание

нелинейного звена

Описание звена

нелинейным

оператором

Сложное

описание

2/)1

(

,|)||(|

|)||(|

)(

+±=

+=−=

−−++

+−−+=

•

−

azazu

sbb

sbubu

ωω

Сложное

описание

,2/|)||(|

)(,)](

)([)0()(

+−−+=

=−

−+=

∫

azazz

zdqk

zkМqtq





ϕττ

τϕ

Сложное

описание

,2/|)||(|

)(

,2/|)||(|

)(

,)]()([

)0()()),(()(

−−+=

+−−+=

−

+==

∫

bpbp

aqaqq

dzkpkМ

ptptptq

τττϕ

дифференциально-алгебраическими операторами (операторы 11,

12, табл. 2.3). Приведенные описания звеньев позволяют сформу-

лировать модели объектов и систем с типовыми нелинейностями.

2.9.2. Кусочно-линейные дифференциальные и разност-

ные уравнения объектов и систем управления.

Канонические

формы

кусочно-линейных дифференциальных систем, учиты-

вающих типовые звенья, можно сформулировать различным об-

разом. Одна из таких канонических форм имеет вид:

),()(,)0(),()(

uDxCyxxuBxAx Ψ+Ψ==Φ+Φ=



(2.60.а)

где

RuRx ∈∈ , – векторы состояний и управления;

Ry ∈ –

вектор выходных координат;

∈ ,

∈

∈ и

∈ – матрицы параметров. Координатные функции уравне-

ний (2.60.а) определяются равенствами:

uuuu

xxxx

))(,...),(,...),(()(

,))(,...),(,...),(()(

ϕϕϕ

=Φ

и формируются с помощью операторов (2.59) и операторами

табл. 2.3. Форма (2.60.а) включает системы с интегральными опе-

раторами, которые представлены в дифференциальной форме.

Кусочно-линейные разностные уравнения объектов и сис-

тем формулируются следующим образом:

)()(,),()(

tttttt

uDxCyxxuBxAx Ψ+Ψ==Φ+Φ=

. (2.60.б)

Уравнения (2.60.а) и (2.60.б) включают уравнения в форме

А. И. Лурье (когда первый оператор в системах – тождествен-

ный), используемые в задачах абсолютной устойчивости:

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

.),(, xcBAxx

==+=

σσϕξξ



(2.61.а)

Соответствующие системе (2.61.а) кусочно-линейные разно-

стные уравнения для дискретных объектов или систем имеют

следующий вид:

,),(,

1 t

tttttt

xcBAxx ==+=

σσϕξξ

(2.61.б)

где нелинейные функции

)(

удовлетворяют «секторным усло-

виям:»

)(0

σσϕσ

k≤≤ . Эти условия характеризуют широкие

классы нелинейностей – звенья, описываемые операторами типо-

вых нелинейностей, разрывные и гладкие статические характери-

стики нелинейности, принадлежащие «сектору (0, k)». Пример

статических

«секторных нелинейностей» приведен на рис.2.9.

Секторные условия описывают широкий класс нелинейностей

гладкого и негладкого типа.

Рис. 2.9. К характеристике «секторных нелинейностей»

Рассмотренные кусочно-линейные дифференциальные и

разностные уравнения не охватывают общие классы моделей не-

линейных объектов и систем управления. Поэтому на практике

используются конкретизации моделей, адекватные исследуемым

y = kσ

ξ=φ(σ)

объектам и системам.

2.9.3. Обобщенные модели объектов и систем управления.

С помощью введенных выше операторов можно обобщить ис-

ходные нелинейные дифференциальные уравнения объектов и

систем (без учета типовых нелинейностей)

),(),,( u



, (2.62)

где )(),( ⋅Ψ⋅

– вектор-функции аргументов x и u, соответствую-

щих координатам состояния и управления. Из теории дифферен-

циальных уравнений известно, что решение системы (2.62) суще-

ствует и единственно, если правые части удовлетворяют услови-

ям непрерывности и условию Липшица.

Определение 2.9.2. Обобщенные нелинейные уравнения,

учитывающие наличие нелинейных звеньев, имеют вид:

))(),(()),(),(( u

Φ=



, (2.63)

где осуществлена суперпозиция координат правой части и опера-

торов типовых нелинейностей (см. табл. 2.3).

Определение 2.9.3. Условием Липшица для правой части

системы (2.63) называется условие

xxLLxfxf

′′

−

′

≤

⋅

′

−⋅

′

)),(()),(( ,

где

L и

L – константы Липшица для функций )(⋅

и )(

⋅

Условие Липшица представляет собой условие типа непрерывно-

сти, и позволяет оценить норму разности образов с помощью

нормы разности прообразов. При этом

«постоянная Липшица»

является параметром такой широко используемой оценки.

Утверждение 2.9.1. Если операторы и правые части диффе-

ренциальной системы (2.63) непрерывны и удовлетворяют усло-

виям Липшица, то ее

решение существует и единственно. По-

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

следний факт изучен в теории дифференциальных уравнений.

Аналогично формируется пара уравнений для дискретных

объектов или систем управления. При этом уравнения без учета

операторов типовых нелинейностей записывают как

),(),,(

1 tttttt

uxyuxfx

, (2.64)

а аналоги непрерывных уравнений (2.63) принимают вид

))(),(()),(),((

1 tttttt

uxyuxfx

. (2.65)

Введенные модели позволяют существенно расширить воз-

можности конструктивного описания нелинейных объектов и

систем управления. Однако при этом весьма актуальной является

классическая задача о

погрешности аппроксимации нелиней-

ных уравнений кусочно-линейными уравнениями, решения кото-

рой доставляет

обобщенная теорема сравнений решений по

норме

. Эта теорема дает ответ на ряд практических вопросов,

возникающих при описании объектов и систем, на основе мето-

дов функционального анализа.

2.9.3. Численные методы анализа переходных процессов

в кусочно-линейных системах.

Рассмотрим методы анализа пе-

реходных процессов на основе разностных схем, для которых

анализируются условия устойчивости, приведенные в теоремах.

Теорема 2.9.1. Пусть выполнены следующие условия:

1. Задача Коши для кусочно-линейной системы имеет вид:

(), (0) , 1,,

ji i

iijij

ax x xin

===

∑



где

0)0(,)(,)( =≤=

xLxxx

ϕϕϕ

. Исследуется ус-

тойчивость решения

0)(

2. Разностная схема для решения задачи Коши (анализа пе-

реходных процессов в кусочно-линейной системе) представляет-

ся разностными уравнениями:

nihaxahxx

kijij

,1,)1()(

=−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

≠

∑

Тогда решение 0

x разностной схемы устойчиво при условиии:

. (2.66)

Таким образом, при определенных ограничениях на пара-

метры разностная схема устойчива для любого шага

. В некото-

рых исследованиях аналогичные условия называются

условиями

«сверхустойчивости»

. Имеются другие способы построения раз-

ностных схем, обладающих свойством условной устойчивости

при любом шаге. Ниже рассматриваются такие разностные схемы

решения задачи Коши для кусочно-линейных систем и условия

их устойчивости, которые используется для анализа процессов.

Рассмотренные разностные схемы могут быть обобщены для ана-

лиза процессов при ненулевых входных воздействиях.

Теорема 2.9.2. Пусть выполнены следующие условия:

Задача Коши для кусочно-линейной системы имеет вид

(), (0) , 1,,

ji i

iijij

ax x xin

===

∑



где

xx =)(

, причем

ijii

xLx ≤= )(,0)0(

ϕϕ

. Исследуется ус-

тойчивость решения

0)(

Разностная схема для исследуемой кусочно-линейной

дифференциальной системы представлена системой алгебраиче-

ских равенств

∑

≠

>><

ijijiiii

hLaaa

0,,0

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

∑

===

kijij

nixxxHx

001

,,1,),(

где параметры разностной схемы определяются следующими ра-

венствами:

,(1)/.

ii ij ii ij ii

He H H aa==−

Тогда условия устойчивости решения

∗

имеют вид:

(2.67)

Как видно из утверждений последних теорем, условия ус-

тойчивости для постоянной Липшица

включают условия

типа Адамара для матриц исходной кусочно-линейной системы.

Рассмотрим устойчивость обобщенных разностных схем.

Теорема 2.9.3. Пусть выполнены следующие условия:

Задача Коши для кусочно-линейных объектов пред-

ставлена соотношениями для кусочно-линейных уравнений:

)0(),()( xxuBФxAФx



2. Разностная схема для задачи Коши имеет вид:

[

]

huФxФxx

kkkk

),(),(,

Ψ=

где

[]

)()(()(

kkk

uhBФxФhAxA ++=•Ψ

−

, причем

[

]

•

−1

оператор, обратный для кусочно-линейного оператора

)(

•

координатные функции которого определены функциями –

, а

стационарная точка

∗

разностной схемы единственна и опреде-

ляется при условии:

),0[,

∞

∈

= kconstuu

, системой кусочно-

линейных алгебраических уравнений

[

]

[]

**2*

)()(( zФuhBФxФhAxAФx

−−−

.0,,0

∑

>><

ijijiiii

hLaaa

причем операторы системы и разностной схемы липшицевы:

.][][,][][

'''

''''''

''1'1

yyLyФyФzzLzФzФ

−≤−−≤−

−−

Тогда стационарная точка схемы

x устойчива, если выполнены

условия:

()

−

.1||||

−

(2.68)

Доказательство. Рассмотрим цепочку соотношений для

норм элементов

конечномерного пространства

, в котором

норма определена равенством

1,...,

|| || max | |

. Тогда можно полу-

чить совокупность оценок норм отклонений решений от стацио-

нарного значания:

[]

.1(

)()(

)(()((

][][

*22

*2*

*1*

xxLAhAL

xФxФhAxxAL

xФhAxAxФhAxAL

zzLzФzФxx

xkxk

kkk

−⋅+⋅≤

≤−+−⋅≤

≤+−+=

=−≤−≤−

−

−−

Воспользовавшись принципом сжимающих отображений,

можно записать условие сжатия для оператора разностной схемы:

1)1(

−

LAhAL

. Разрешая последнее условие относительно

h, получаем утверждение теоремы.

Рассмотренные разностные схемы порождают соответст-