Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
109
111
11
2
11
111 1
2
4
.
2
jj jj jj
ii ii ii
jjj jj
j
iii ii
i
yy yy yy
h
yyy yy
h
τ
τττ
ϕ
+++
Δ
++
−+− +
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−−
Ψ=Φ+ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
++−+
=+
Решение последнего уравнения относительно
τ/
j
i
y
j
i
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+1
, оп-
ределяет
частично-неявную схему повышенной точности:
11
11
111 1
1
2
4
2
jjj jj
jj j
iii ii
ii i
yyy yy
yy
h
τ
ϕ
++
+−
−+− +
⎡⎤
++−+
=+Ψ +
⎢⎥
⎣⎦
, (2.81)
где переменные на (j+1)-м слое в правой части соотношения
(2.81) вычисляются с помощью явных разностных схем (2.76).
Частично-неявная разностная схема «предиктор-
корректор».
Разностная чисто неявная схема следует из соотно-
шений для схемы с параметрами (2.77) при σ = 1, которая будет
разрешаться относительно
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+ j
i
y
j
i
y
1
. Если в числителе дроби
правой части (2.78) добавить и вычесть слагаемое
2
j
i
y , то уравне-
ние примет вид:
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
h
)yy(yyy
yy
ϕ
τ
Φ
+
−++−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
++
−
+
2
1
1
11
1
1
1
222
. (2.82)
Выделение в правой части слагаемых, соответствующих аргу-
менту оператора левой части, приводит к равенству:
j
i
φ
h
j
i
y
j
i
y
j
i
y
h
j
i
y
j
i
y
τ
j
i
y
j
i
y
+
−
+
+
+
+
−
+
−
+
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
Φ
. (2.83)
110
Для формирования разностной схемы необходимо (как и ра-
нее) ввести вспомогательный оператор, который позволяет пре-
образовать (2.83) к эквивалентному виду:
111
11
2
11
11
2
2
2
,
jj jj jj
ii ii ii
jj j
j
ii i
i
yy yy yy
h
yy y
h
τ
τττ
ϕ
+++
Δ
++
−+
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−−
Ψ=Φ+ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
+−
=+
(2.84)
где прогнозируемые значения переменных
11
11
,
jj
ii
yy
+
+
−
+
вычисля-
ются на основании (2.76), а оператор в левой части имеет вид:
11 1
11
2
11 1
00
2
1
2
2
.
jj jj jj
ii ii ii
jj jj jj
s
ii ii ii
pp
p
yy yy yy
h
yy yy yy
bq
h
τ
ττ τ
τ
αα
ττ τ
++ +
Δ
++ +
=
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−− −
Ψ=Φ+ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
−− −
=+ + + −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑
(2.85.а)
Окончательно разностная схема представляется соотношениями:
11
11
11 1
1
2
2
jj jj
j
jj
ii ii
ii i
yy yy
yy
h
τ
ϕ
++
+−
−+ +
⎡⎤
+−+
=+Ψ +
⎢⎥
⎣⎦
, (2.85.б)
где прогнозируемые переменные вычисляются на основе явной
кусочно-линейной разностной схемы (2.76).
Кусочно-линейный аналог трехслойной разностной схе-
мы Ричардсона.
Обобщение схемы Ричардсона для кусочно-
линейных уравнений теплопроводности представляется в форме:
j
i
j
i
j
jj
yy,y
yy
ϕΛΦϕΛ
τ
Φ
τ
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
01
11
1
2
, (2.86)
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
111
где
0
11
,,,,
2
jjj
x
x
yy
yyyyyyyyy
τ
τ
+−
−
====Λ=
.
Схема имеет второй порядок аппроксимации, однако является аб-
солютно неустойчивой. Если переписать (2.86) в виде:
j
i
j
i
j
i
j
i
jj
h
yyy
yy
ϕ
τ
Φ
+
+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+−
−+
2
11
11
1
2
2
,
заменить
j
i
y2
суммой
11
−
+
+
j
i
y
j
i
y
(как в трехслойной схеме
«Ромб»), то разностная схема представляется в виде:
.
j
i
φ
h
j
i
y
j
i
y
j
i
y
j
i
y
τ
j
i
y
j
i
y
+
+
+
−
−
+
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
2
1
11
1
2
11
1
Φ
(2.87)
Если в правой части уравнения (2.87) добавить и вычесть
слагаемое
1
2
−
j
i
y
, то после преобразований можно получить эк-
вивалентное представление для кусочно-линейной схемы:
11 11 1 1
11
1
2
11 1
11
2
22
2
()2
jj jjjj j j
j
ii iiii i i
i
jjj j j
j
iii i i
i
yy yyyy y y
h
yyy y y
h
ϕ
τ
ϕ
+− +− − −
−+
+− −
−+
⎛⎞
−−−++−
Φ= =
⎜⎟
⎝⎠
−−+−
=+
Или
11 11 11
11
2
1
11
2
2
22 2
2
.
jj jj jj
ii ii ii
jj j
j
ii i
i
yy yy yy
h
yy y
h
τ
ττ τ
ϕ
+− +− +−
Δ
−
−+
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−− −
Ψ=Φ− =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
+−
=+
(2.88)
112
Из (2.88) следует частично-неявная разностная схема:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−+
+=
−
+−
−
−+ j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
h
yyy
yy
ϕΨτ
2
1
11
1
1
11
2
2
, (2.89)
которая представляет аналог схемы Дюфорта-Франкела для ку-
сочно-линейных уравнений теплопроводности (см. табл. 2.4).
Оператор в разностной схеме (2.89) определен в (2.88).
Достаточные условия устойчивости кусочно-линейных раз-
ностных схем, приведенных в табл. 2.4, можно получить по мето-
дике, основанной на принципе сжимающих отображений или
аналогах метода А.М. Ляпунова для «распределенных» дискрет-
ных систем. Для анализа устойчивости формируется
оператор
на временном слое
и условия устойчивости как условия сжа-
тия этого оператора на временном слое, учитывающегодинамику
координат как функций пространственных переменных.
Таблица 2.4
1. Явные двухслойные кусочно-линейные разностные схемы:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+=
+−
−
+ j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
hyyyyу
ϕΦτ
2
11
1
1
1
2
. (2.76)
2. Двухслойные частично-неявные разностные схемы:
11
11
1
1
2
jj
j
jj
ii
ii i
yy
yy
h
τ
ϕ
++
+−
−
⎛⎞
−
=+Ψ +
⎜⎟
⎝⎠
, (2.78.б)
где для прогноза используется (2.76).
2. Двухслойные разностная схема «предиктор-корректор»:
111
11
11
1
2
2
jjj
j
jj
iii
ii i
yyy
yy
h
τ
ϕ
+++
+−
−+
⎛⎞
−+
=+Φ +
⎜⎟
⎝⎠
, (2.78.в)
где для прогноза используется (2.76).
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
113
4. Кусочно-линейный аналог двухслойной схемы Кранка-
Никольсона:
11
11
111 1
1
2
4
2
jjj jj
j
jj
iii ii
ii i
yyy yy
yy
h
τ
ϕ
++
+−
−+− +
⎡⎤
++−+
=+Ψ +
⎢⎥
⎣⎦
, (2.81)
где для прогноза используется (2.76).
5. Частично-неявные двухслойные кусочно-линейные схемы
11
11
11 1
1
2
2
[]
jj jj
j
jj
ii ii
ii i
yy yy
yy
h
τ
ϕ
++
+−
−+ +
+−+
=+Ψ +
, (2.85.б)
где кусочно-линейный оператор схемы, адаптированный для
р
ассматриваемого аргумента схемы, принимает следующий вид:
.
yyyy
h
yy
b
yy
h
yy
)
yy
(
з
s
j
i
j
i
s
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
∑
=
+++
+++
−
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
=
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
1
11
2
1
00
1
2
1
1
1
1
2
2
τ
α
τ
τ
τ
α
τ
τ
τ
Φ
τ
Ψ
(2.85.а)
6. Трехслойный кусочно-линейный аналог схемы Дюфорта-
Франкела:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
+
−
−
+
−
=
+ j
i
φ
h
j
i
y
j
i
y
j
i
y
τ
j
i
y
j
i
y
2
1
2
11
1
1
2
11
Ψ
. (2.89)
Пример 2.10.1. Рассматривается задача Коши для уравнения
теплопроводности в бесконечном стержне. Явная разностная
схема имеет вид (2.76). Начальный нагрев (начальное условие)
задано экспонентой вида:
(
)
mexpy
m,
−= 2
0
, где m – пространст-
114
венная координата. Используется явная однородная схема (2.76)
с параметрами: h = 0.1, τ = 0.001. Приведенные на рис. 2.10.а и
y y
а) б)
135791113151719
0.5
1
1.5
2
2.5
3
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4
3
0
y
0m,
y
T
10
m,
y
T
2
m,
y
Tm,
X1−1m
135791113151719
0.5
1
1.5
2
2.5
3
trace 1
trace 2
trace 3
trace 4
3
0
y
0m,
y
T
10
m,
y
T
2
m,
y
Tm,
X1−1m
в) г)
Рис. 2.10. Сеточные функции устойчивых и неустойчивых
разностных схем
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
115
2.10.б результаты свидетельствуют об уменьшении температуры
с ростом времени и координаты. Применение частично-неявных
схем позволяет устранить неустойчивость, характерную для яв-
ных схем, иллюстрируемую на рис. 2.10.в. Подтверждение этого
обстоятельства с помощью частично-неявных схем иллюстриру-
ется на рис. 2.10.г.
Таким образом, рассмотренная методика формулировки
разностных схем, применимая для линейных и не
линейных раз-
ностных схем, может быть использована при анализе процессов и
исследовании устойчивости разностных схем для задач тепло-
проводности.
116
3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Рассматриваются основные понятие математической
теории устойчивости как парной категории к категории
«изменчивости». Даны определения и критерии различных
типов устойчивости, включая устойчивость по А.М. Ляпуно-
ву, асимптотическую устойчивость, «входо-выходную» и «ин-
тервальную» устойчивости. Рассмотрено применение мето-
дов теории устойчивости к синтезу регуляторов основного
контура автом
атических систем.
3.1. Основные понятия теории устойчивости
Понятие устойчивости является фундаментальным для мно-
гих областей науки. Анализ устойчивости является важным эта-
пом исследования, без которого невозможно создание современ-
ных автоматических систем.
Начало математической теории устойчивости восходит к
трудам русского математика А.М. Ляпунова (1892 г., Санкт-
Петербургский университет). В этих трудах сформулированы ос-
новы
математической теории устойчивости. В настоящее
время теорию устойчивости можно рассматривать как раздел
теории дифференциальных уравнений, а прикладные аспекты
этой теории составляют основу прикладной теории устойчивости.
В этом разделе будут рассмотрены важные с точки зрения при-
ложений к задачам управления методы теории устойчивости для
дискретных и непрерывных объектов и систем управления. При
этом сохраняется концептуальное е
динство изложения теории
непрерывных и дискретных систем, используемое в разделе 2.
Рассмотрены также критерии интервальной устойчивости (крите-
рии В.Л. Харитонова), которые являются разделом теории управ-
3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
11
7
ления, относящейся к синтезу грубых (робастных) систем.
Основные методы имеют конструктивные доказательства.
Изложение основ доказательств позволяет далее использовать
соответствующую технологию при синтезе оптимальных и дру-
гих типов автоматических систем управления и стабилизации.
Устойчивость – один из важных качественных показателей
объектов и систем управления. Устойчивые системы способны
осуществлять управление в соответствии с поставленными целя-
ми. Определим понятие «устойчивости по А.М. Ляпунову»,
«асимптотической» и «входо-выходной устойчивости».
Определение 3.1.1. Решение ),(
0
XtX системы )(XfX =
,
nn
RRf →: , устойчиво по Ляпунову, если для любого 0>
ε
су-
ществует
0>
δ
, такое, что
(
)
(
)
ε
≤−
00
,, XtXXtX для всех
*
t
t
> , если
δ
≤−
00
XX . (см. рис. 3.1).
Рис. 3.1. К определению устойчивости по Ляпунову
(
)
0
,XtX
0
X
0
X
0
X
δ
+
(
)
0
,XtX
0
X
δ
−
118
Определение 3.1.2. Решение
(
)
tX системы
()
XfX =
асим-
птотически устойчиво
, если оно устойчиво по Ляпунову и вы-
полнено условие:
()
(
)
0,,
00
⎯⎯⎯→⎯
∞
→
−
t
XtXXtX
.
Определение 3.1.3. САУ или ОУ устойчивы по входу, если
ограниченное входное воздействие
(
)
tu вызывает ограниченную
выходную реакцию
()
ty (рис. 3.2, зависимость а). В противном
случае системы неустойчивы (см. рис. 3.2, зависимость
б).
Рис. 3.2. К определению устойчивости по входу
Для исследования устойчивости решений
(
)
0
, XtX
А.М. Ляпунов определил
уравнения невозмущенного движения,
которым удовлетворяет решение
(
)
0
, XtX , и уравнения возму-
щенного движения
(УВД), которые описывают поведение от-
клонений:
()
(
)
(
)
00
,, XtXXtXtx −= .
Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных
уравнений:
() ( )Xt f X=
,
(
)
0
0 XX = и пусть решение
(
)
0
, XtX та-
кое, что:
0