Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

119

() ( )Xt f X=



(

)

0 XX = . (3.1)

Рассмотрим также разность

(

)

(

)

(

)

,, XtXXtXtx −= и по-

строим дифференциальные

уравнения возмущенного движения,

описывающие динамику отклонения

(

)

tx . Дифференцирование

последнего равенства по времени позволяет получить уравнение:

()

(

)

(

)

,, XtXXtXtx



−= , а замена



и X



в силу уравнения (3.1)

приводит к системе, соответствующей УВД, которые имеют вид:

() () () ( , ) ( ) ( ).

tXtXt xX fX fXx

−=Ψ = −−



(3.2)

Исследование устойчивости решения

(

)

tX системы (3.1)

сведено к исследованию устойчивости решения

для уравне-

ний возмущенного движения (3.2).

Выведем УВД для уравнений, соответствующих линейным

непрерывным и дискретным ОУ. Общность подхода позволяет

рассматривать методы параллельно для непрерывных и дискрет-

ных объектов и систем. Введя соответственно разности решений

дифференциальных и разностных уравнений

() () ()

tXtXt=−,

ttt

XXx

−

а также производные и разности этих решений

() () ()

tXtXt=−



111 +++

−

ttt

XXx

и, выполнив преобразования, можно получить уравнения:

непрерывных объектов (систем)

() ( () ()) (),

t AXt Xt Axt=−=



дискретных объектов (систем)

().

tttt

AX X Ax

−=

Из структуры уравнений следует, что УВД для линейных

120

систем – однородные уравнения, однако в общем случае имеет-

ся ряд иллюстрируемых ниже особенностей.

Пусть исходные уравнения объектов и систем управления

имеют вид:

() ( , ).Xt f XU=



Выполним линеаризацию в окрестности стационарных точек

(

)

,UX . Разложим в ряд векторную функцию

(

)

UXf , в окрест-

ности точки

(

)

,UX , учтем линейные слагаемые по координате

−= и управлению

UUu

−

. Тогда

()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

()

00 ' 00 0 ' 00 0

,, , , ,

,0.

fXU fX U f X U X X f X U U U

fX U

≅+ −+ −

Введем, как и ранее, новые координаты, равные разности теку-

щих решений -

X и решений

X , которые исследуются на ус-

тойчивость:

−

при управлениях вида

UUu

−

учтем, что X



. В результате

линеаризованное уравнение примет вид

()

tAxBu=+



(

)

,UX

′

(

)

,UX

′

. (3.3)

Вывод УВД позволяет перейти к изучению критериев ус-

тойчивости

, с помощью которых можно анализировать устой-

* При глобальном рассмотрении в ряде случаев имеет смысл ввести семей-

ство функций Ляпунова

xxV −= и исследовать общие свойства реше-

ний, анализируя

области притяжения решения

как множества, из ко-

торых решение (система) «возвращается» в окрестность этого решения.

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

121

чивость объектов или систем автоматического управления, не

решая их уравнений.

3.2. Методы теории устойчивости, функции,

теоремы и критерии Ляпу

нова

Теория устойчивости базируется на классических определе-

ниях этой теории.

3.2.1. Основные определения. Рассмотрим функцию

() ( )

xxxVxV ,...,,

= , определенную в пространстве состояний

объекта или системы управления, которая непрерывна в области

D , включающей в себя начало координат. Предположим также,

что функция

(

)

xxxV ,...,,

обладает в области D непрерывны-

ми частными производными по переменным

xxx ...,,,

Определение 3.2.1. Функция

(

)

xV называется положи-

тельно определенной

в области D [обозначается

()

0>xV ], если:

1). Функция

(

)

0>xV для любых принадлежащих области D зна-

чениях 0

≠ ;

2). Функция

() 0Vx= , если 0

принадлежит области D .

Начало координат, как правило, определяет стационарное

положение объекта (системы) как решение сответствующих

уравнений (в частности, стационарное решение). Стационарные

решения исследуются на устойчивость.

Если функция

()

xV в области

и () 0Vx= , если 0

прнадлежит области

D , то функция

(

)

xV называется отрица-

тельно определенной

. Заметим, что в обоих рассмотренных слу-

чаях функция называется

знакоопределенной.

Определение 3.2.2. Функция

(

)

xV называется неотрица-

тельно определенной

в области D , если

(

)

0≥xV для любого

из области

D . Если функция

(

)

≤

xV в области D , то она назы-

122

вается неположительно определенной.

Перейдем к анализу с помощью функций А.М. Ляпунова

устойчивости решений УВД общего вида:

.)0(),(

xxxfx ==



(3.4)

Теорема 3.2.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если

для УВД существует положительно определенная функция

V(x),

производная которой в силу исследуемой системы неположи-

тельно определена, то тривиальное решение

x(t)=0 устойчиво по

Ляпунову.

Доказательство. Рассмотрим множество значений x, таких,

что

0, >=

x . Обозначим

.0)(inf >

Так как V(0

)=0, то из непрерывности функции V(x) следует, что

можно указать такую

-окрестность начала координат в R

, что

функция

≤

xxV ,)( .

Рассмотрим решение

(t) анализируемой на устойчивость

системы, удовлетворяющее начальному условию

≤ . Функ-

ция

(t)) будет невозрастающей вдоль этого решения, так как

производная



в силу решения исследуемой системы неположи-

тельна. Следовательно, для

t>t

справедливо:

≤ ))(())((

tVtV

Отсюда получаем, что для любых

t>t

справедливо неравенство

<)(t .

3.2.2. Критерии устойчивости А.М. Ляпунова. Сформули-

руем критерии асимптотической устойчивости линейных ОУ или

САУ, используя их УВД. Для этого выберем

квадратичные

функции Ляпунова:

xPxxV

=)( и

xPxxV =)( , P=P

>0, для

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

123

непрерывных и дискретных систем соответственно и вычислим

полную производную по времени функции Ляпунова

()



в силу

уравнений непрерывных систем и

приращение

в силу урав-

нений дискретных систем. Тогда будем иметь:

для непрерывных систем

xPAPAxxPxxPxxxVxV

)()()( +=+=⋅=







для дискретных систем

.)(

111 t

tttt

xPPAAxxPxxPxVVV +=−=−=Δ

+++

Если потребовать отрицательную определенность функций )(xV



, приравняв эти функции некоторой отрицательно опреде-

ленной функции (–x

Qx) или (–x

), где Q=Q

>0, то можно по-

лучить

уравнения Ляпунова:

для непрерывных систем

QPAPA

−=+ , (3.5.а)

для дискретных систем

QPPAA

−=−

. (3.5.б)

Теорема 3.2.2 (критерий Ляпунова). Для асимптотической

устойчивости решений линейной непрерывной (дискретной) сис-

темы необходимо и достаточно, чтобы матрица

P - решение

уравнения Ляпунова для непрерывной системы (матрица

P - ре-

шение уравнения Ляпунова для дискретной системы) была бы

положительно определенной.

Можно показать, что для асимптотически устойчивых ли-

нейных непрерывных и дискретных систем уравнения Ляпунова

124

имеют решения, представимые в виде интеграла и суммы сле-

дующего вида:

для непрерывных систем для дискретных систем

∫

∞

dteQeP

tAtA

∑

∞

)(

llT

AQAP .

Действительно, если матрица

∫

∞

dteQeP

tAtA

, то, интегрируя

по частям, получим равенство:

APQdtAeQeeQedteQeAPA

tAtAtAtAtAtATT

TTT

−−=−==

∫∫

∞

Таким образом, можно убедиться, что

∫

∞

dteQeP

tAtA

яв-

ляется решением уравнения Ляпунова. Матрицы P

и P

- положительно определенные.

3.3. Корневые критерии устойчивости

Корневые критерии определяют условия устойчивости ли-

нейных объектов и систем управления с помощью анализа кор-

ней характеристических уравнений. Пусть уравнения непрерыв-

ных и дискретных объектов (систем) имеют вид:



, (3.6.а)

ttt

BuAxx

. (3.6.б)

Как и в п. 2.3, введем новые координаты

zSx = , по-

зволяющие с помощью рассматриваемых преобразований подо-

бия перейти к жордановой форме матриц непрерывных и дис-

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

125

кретных систем:

−



, (3.7.а)

ttt

BuSJzz

−

+= . (3.7.б)

Общее решение уравнений (3.7.а) и (3.7.б) для непрерывных и

дискретных объектов (систем) задается формулами Коши (2.19) и

(2.25) соответственно. Как показано в п. 3.1, уравнения возму-

щенного движения линейных систем однородные. Поэтому для

анализа асимптотической устойчивости необходимо изучить ус-

ловия стремления к нулю

матричных экспонент от жордано-

вой формы

для непрерывных объектов (систем):

eeee

...,,,...,,

и степеней матриц от жордановой формы для дискретных объ-

ектов (систем):

JJJJ ...,,...,,,

Очевидно, что эти условия имеют следующий вид для непрерыв-

ных объектов (систем):

0Re

, (3.8.а)

а для дискретных объектов (систем) представляются в форме:

. (3.8.б)

Утверждение 3.3.1 (корневые критерии асимптотиче-

ской устойчивости

). Чтобы системы (3.6.а) или (3.6.б) были

асимптотически устойчивы, необходимо и достаточно, чтобы

были выполнены корневые условия (3.8.а) или (3.8.б) соответст-

126

венно. Для устойчивости по Ляпунову (ограниченности реше-

ний) допускается выполнение указанных неравенств как ра-

венств, при условии, что размер «ящиков» Жордана, соответст-

вующих этим собственным числам, не превышает единицы. При

этом ограниченность решений УВД следует из свойств экспонен-

циальных решений для уравнений непрерывных и для разност-

ных уравнений дискретных объектов (систем).

Корневые критерии используются при анализе объектов и

син

тезированных систем управления.

3.4. Алгебраические критерии Гурвица, Харитонова

и Шу

ра – Кона

Алгебраические критерии определяют условия устойчиво-

сти путем анализа коэффициентов характеристических полино-

мов уравнений объектов или систем.

3.4.1. Критерии устойчивости непрерывных объектов и

систем управления.

Рассмотрим передаточную функцию:

asasasa

bsbsbsb

++++

−

...

)(

, (3.9)

или уравнения состояния объекта (системы)

uDCxyBu

= ,



. (3.10)

Характеристические полиномы для систем (3.9) и (3.10) имеют

вид

.,1,...)(

Ranaaaa

inn

∈≥++++=

−

λλλλχ

(3.11)

Определение 3.4.1. Полином )(

вида (3.11) называется

стандартным гурвицевым, если все его корни принадлежат ле-

вой полуплоскости, т.е. выполнено условие

.,1,0Re nj

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим необходимое условие того, что 0Re <

Теорема 3.4.1 (условие Стодолы). Если полином )(

гурвицев, то все его коэффициенты положительны (или одного

знака).

Доказательство. Пусть все корни

)(

принадлежат ле-

вой полуплоскости, причем вещественные левые корни

крат-

ности

m равны ||

−= , а комплексные левые корни кратно-

сти

m :

pppppp

−

+−= ||,|| . По теореме о при-

водимости

)(

можно разложить на линейные множители:

11 1

() ()()()

()(2 ).

nipp

ip p

ippp

υυ

χλ λλ λλ λλ

λγ λ αλα β

== =

−− −=

=+ +++

∏∏ ∏

∏∏

Из полученного выражения следует, что все коэффициенты

, поэтому теорема доказана. Сформулируем условия гурви-

цевости на основе определений и лемм.

Определение 3.4.2. Полином

nnn

aaa )1(...)()1()(

−++−=−−=

−

λλλχλχ

где )(

вида (3.11) – инверсный полином. Если корни )(

–

в левой, то корни полинома

)(

λχ

– в правой полуплоскости.

Определение 3.4.3. Полином

0),()()()(

>++=

ccQ

nnn

λχλλχλλ

называется присоединенным полиномом к полиному

)(

Лемма 3.4.1. Всякий полином )(

Q , присоединенный к

128

гурвицеву полиному )(

, есть стандартный гурвицевый.

Лемма 3.4.2. Если

...)(

+++=

AAAQ

λλλ

– стан-

дартный гурвицевый полином, то полином

)]()()[(

)(

λλλλλχ

+−=

nnn

QQc

также является

стандартным гурвицевым полиномом.

Утверждение 3.4.1. Гурвицевы полиномы строятся по ре-

куррентным формулам:

)].()()[(

)(

),()()()(

λχλλχλλχ

+−=

++=

nnn

(3.12)

Теорема 3.4.2 (критерий Гурвица). Пусть заданы: полином

(3.11), матрица Гурвица M и главные диагональные миноры:

.,...,

000

345

123

211

345

123

aaa

nnn

=Δ=Δ=Δ

=Δ=Δ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−





