Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

189

ношение:

xAy ⋅

≤

, причем норма вектора – евклидова

2/1

),( xxx =

, а подчиненная (наименьшая согласованная) норма

матрицы:

Λ=A

, где

– максимальное собственное число мат-

рицы

Доказательство. Выполним вычитание из левой и правой

частей уравнения (4.57) соответствующие части уравнения (4.58).

Далее с учетом определения функции Ляпунова (4.59) перейдем к

норме. Тогда в силу уравнений (4.57) – (4.59) можно определить

цепочку соотношений для норм, полученных на основе связи ме-

жду нормами образа, прообраза и нормы оператора замкнутой

системы локально-оптимального управления.

В результате будем иметь:

[

]

[]

()

)()()(

kkkk

VxxHFH

xxHLFxxH

HxHxFxxHxxV

αγ

=−⋅⋅+=

=−⋅⋅⋅+−⋅≤

≤Φ−Φ+−=−=

(4.61)

полученные с использованием свойства нормы образца линейно-

го оператора

yAx=

на элементе

|| || || || || || || ||

Ax A x=≤

, условия

Липшица для оператора управления (см. условие теоремы) и

свойство проектора на выпуклое множество:

"'"'

)()( zzzz −≤Φ−Φ

Из соотношений (4.61) для норм и условия сжатия для оператора

замкнутой локально-оптимальной системы следует неравенство

1)1(

⋅

= FH

что позволяет записать неравенство (4.60). Теорема доказана.

190

Оценки параметра

, полученные на основе принципа

сжимающих отображений, носят достаточный характер. Уточ-

ненные оценки можно получить в случае применения общего ви-

да квадратичной функции Ляпунова

)()(

xxPxxV

−

, (4.62)

где

0>=

- симметрическая положительно определенная

матрицы, а

- текущие и стационарные значения векторов

состояния, удовлетворяющие уравнениям (4.57) и (4.58) соответ-

ственно. Сформулируем следующую теорему о достаточных ус-

ловиях устойчивости нелинейных локально-оптимальных систем.

Теорема 4.7.3. Пусть выполнены условия теоремы 4.7.2.

Тогда для устойчивости замкнутой системы (4.57) доста-

точно, чтобы скалярный параметр

удовлетворял следующему

алгебраическому неравенству

)

()2(

QHPFLFL

λγγ

−<+

ΦΦ

, (4.63)

где

)

(

– минимальное собственное число некоторой симмет-

рической и положительной определенной матрицы

)

(min)

222

QQQ

λλ

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы

вычислим приращение функции Ляпунова (4.62) на основании

уравнений (4.57) и (4.58). Далее используем условия Липшица

для операторов управления и условие отрицательной определен-

ности приращения функции Ляпунова. Тогда можно получить

соотношения, получаемые с использованием представления нор-

мы с помощью скалярного произведения, а также на основе свой-

ства аддитивности и однородности. Кроме этого, в п

роцедуре

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

191

преобразования используется уравнение Ляпунова. В результате:

(

)

[]

()

),(

)(

)()())()(())()((

)())()((2)()(

)()(])((

)([)(()(

****

***

kkkk

xxQxx

xxPxxHxHxPFFHxHx

xxPHFHxHxxxPHHxx

xxPxxHxHxF

xxHPHxHxFxxHVVV

−−−<

<−−−Φ−ΦΦ−Φ+

+−Φ−Φ+−−=

=−−−Φ−Φ+

+−Φ−Φ+−=−=Δ

γγ

где

221121

>=>=+=

QQQQQQQ

. В этих соотношениях

матрица

0>=

является решением уравнения Ляпунова для

уравнений в дискретном времени:

QPPHH

−=−

, причем по-

ложительно-определенная матрица

∑

∞

)(

ssT

HQHP

, поскольку

по условию

асимптотически устойчивая матрица. Матрицу

можно также определить численными методами. Используя ус-

ловия Липшица для оператора

"'"'

)()(:)( zzLzzz −≤Φ−ΦΦ

неравенство Коши – Буняковского:

baba ≤),(

, свойства норм

линейных операторов, преобразуем неравенство к виду:

)

()2(

xxQxxPHLFFL −−≤−+

ΦΦ

λγγ

Из этого неравенства следуют ограничения на параметр

вида

(4.63). Теорема доказана.

С помощью предлагаемой методики оценки параметра

могут быть модифицированы путем обобщения для нелинейных

объектов. Однако можно пользоваться полученными оценками,

192

если рассматривать динамику управления нелинейными объекта-

ми в окрестности стационарных точек.

4.8. Синтез управлений для распределенных объектов

Синтез для распределенных объектов рассматривается для

задач управления тепловыми процессами. Методика синтеза бази-

руется на идеях оптимального управления для функционалов ло-

кального и суммарного типов для тепловых процессов.

4.8.1. Обзор методов и задач синтеза. При анализе целесо-

образно исходить из выделения групп методов для синтеза про-

граммных и стабилизирующих управлений. Характеристика ос-

новных методов стабилизации дана на рис. 4.3, где приведены ос-

новные методы синтеза распределенных систем управления.

Классические подходы к синтезу распределенных систем

основаны на понятии передаточных функций для случая конечных

и бесконечных интегральных преобразований, обладающих опре-

деленными достоинствами и недостатками. Эти методы являются

удобными при анализе и синтезе, поскольку позволяют использо-

вать в качестве моделей структурные схемы.

Метод динамического программирования и принцип мак-

симума

определяют необходимые условия оптимальности синте-

зированных управлений с применением трудоемких вычислитель-

ных процедур. Это определяет актуальность разработки новых

численных методов синтеза управлений на основе применения

понятий вариационной производной, производных по Фреше или

Гато, что позволяет сформулировать обобщенные уравнения Рик-

кати.

Методы функционального анализа позволяют сформулиро-

вать уравнения оптимальности. Эти уравнения определяют требо-

вания к оптимальным управлениям, однако к настоящему времени

могут быть использованы ограниченно при решении прикладных

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

193

задач синтеза систем управления распределенными объектами в

связи с высоким уровнем абстракции.

Рис. 4.3. Классификация методов синтеза

Методы модального управления включают группу методов,

основанных на решении адаптированных задач модального управ-

ления, которые используют аналитические решения операторов

теплопроводности и формулируются на основе приведенных ниже

постановок задач. Эти методы имеют ограниченное применение,

однако в ряде постановок прикладных задач могут использоваться

ограниченно.

Методы локально-оптимального управления позволяют

минимизировать локальные функционалы качества и синтезиро-

вать управления

путем решения счетного семейства задач матема-

тического программирования. Эти задачи аналогичны задачам в

некотором смысле задачам синтеза управлений для объектов с со-

средоточенными параметрами. При этом возможно применение

этих методов для синтеза программных и стабилизирующих

управлений.

Перечисленные методы синтеза обобщают методы стабили-

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

И ПРИНЦИП МАКСИМУМА

МЕТОДЫ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ

РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

МЕТОДЫ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И

МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

194

зации сосредоточенных объектов на случай объектов с распреде-

ленными параметрами, позволяющими представить следующие

постановки задач.

4.8.2. Постановка задач модального управления. Основу

модального управления составляют классические или обобщен-

ные решения для распределенных или точечных воздействий по

времени и координатам. Эти решения могут быть представлены

произведениями экспоненциальных функций времени и коорди-

нат, что определяет временные и координатные «моды», а также

выполнить модальный синтез в специальных случаях воздействий

на тепловые процессы. Формирование модальных управлений

может происход

ить в рамках классических законов стабилизации,

которые могут существенно изменять класс уравнений, описы-

вающих процессы в целом. В этой связи целесообразно на первом

этапе синтеза управлений использовать простейшие управления,

которые не изменяют класса уравнений. В результате стабилизи-

рующие воздействия могут формироваться на основе аналитиче-

ских процедур, что позволяет использовать широкий спектр

имеющихся анал

итических результатов.

Постановка задач синтеза программных управлений осу-

ществляется на основе моделей процессов в распределенных объ-

ектах путем формализации требований к процессам в виде «одно-

точечных» или «многоточечных» целевых условий типа равенств,

неравенств или условий, представленных требованиями миними-

зации функционалов качества. Для связи между управляемыми

координатами и управляющими факторами используются анали-

тические решения операторов теплопроводности или разностные

схемы для соответствующих задач. Это позволяет получить боль-

шие раз

нообразие алгоритмов программного управления, которые

при соответствующем обобщении могут служить основой для соз-

дания систем локально-оптимального или локально-целевого

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

195

управления.

Постановка задач синтеза локально-оптимального управ-

ления

для тепловых процессов может базироваться на задачах те-

плопроводности, для которых в разделе 2 сформулированы разно-

стные схемы. Разностные схемы позволяют «алгебраизовать» оп-

тимизационные задачи синтеза управлений и свести их к решению

счетного числа конечномерных задач математического програм-

мирования. Задачи математического программирования должны

разрешаться численно или аналитически на каждом шаге процесса

управления с применением операторов конечномерной оп

тимиза-

ции. «Алгебраизованные» задачи локально-оптимального управ-

ления могут иметь операторно-разностную трактовку «в смысле

А.А. Самарского». В результате для исследования устойчивости

замкнутых локально-оптимальных систем можно использовать

обобщения классических результатов, полученных на основе ме-

тодов А.М. Ляпунова и методов функционального анализа.

Подходы к постановке задач синтеза стабилизирующих

управлений

для распределенных объектов могут быть обобщены

комплексированием и системным обобщением методов на основе

вариантных целевых условий и решения задач математического

программирования численно-аналитическими методами. В ре-

зультате разрешения целевых условий необходимо получить явное

представление законов обратных стабилизирующих связей и ис-

следовать условия устойчивости замкнутых систем стабилизации

для распределенных объектов управления.

4.8.3. Схема синтеза модальных управлений. Для решения

проблемы используется концепция «начально-краевой» постанов-

ки и соответствующие аналитические решения для оператора теп-

лопроводности, а также уравнений теплопроводности. В этом слу-

чае компоненты (базисные функции) аналитических решений

можно интерпретировать как отдельные «моды» и синтезировать

196

управления как средства воздействия на эти «моды». Соответст-

вующие управляющие воздействия можно называть модальными

регуляторами, влияющими на соответствующие спектральные

(временные и координатные) составляющие решений. Аналитиче-

ские решения представляют собой бесконечные или конечные ли-

нейные комбинации «мод» как совокупности экспоненциально-

периодических базисных функций времени и координат. По ана-

логии с сосредоточенными объектами для задачи температурной

стабилизации распределенных объектов возможно использование

классических законов теории управления, в соотв

етствии с кото-

рыми управляющие воздействия могут формироваться как функ-

ции отклонений температуры от заданий.

Математические формулировки задач синтеза модальных

регуляторов

может выполняться на основе аналитических реше-

ний. Введение воздействий по отклонению температуры от задан-

ного значения в соответствии с типовыми законами теории управ-

ления может приводить к изменению структуры уравнения, опи-

сывающего процесс распространения тепла. Учет этого обстоя-

тельства приводит к необходимости анализировать общую струк-

туру уравнений в соответствии с существующими методиками.

Детальное исследование решени

й задач модального управления

требует специального исследования. Наиболее простые алгоритмы

достигается эффект модального управления для случая воздейст-

вия по второй производной, поскольку в этом случае для анализа

замкнутых систем управления используются известные классиче-

ские и обобщенные аналитические решения рассматриваемых да-

лее задач.

Целевые условия типа равенств задают требован

ия по обес-

печению заданных значений координат в заданные моменты вре-

мени, что позволяет свести задачу к решению системы алгебраи-

ческих уравнений относительно параметров объекта или внешних

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

воздействий. Если

(,)uxt

- аналитическое решение начально-

краевой задачи, то система целевых равенств имеет вид:

),(),(

,кзад

txutxu =

, (4.64)

где

),(

,кзад

txu

– заданное значение температуры в фиксирован-

ные моменты времени

кзад

. Поскольку аналитическое решение

определено с точностью до параметров нагреваемого тела (объек-

та) и внешних возмущений, то система (4.64) может быть разре-

шена относительно последних переменных.

Условия типа целевых неравенств формируются по анало-

гии с условиями (4.64), однако определяют интервальные требо-

вания к координатам объекта для совокупности заданных момен-

тов времени (при многоточечных условиях по времени). Задача

сводится к решению конечного числа систем неравенств:

+−

≤=≤ utxutxuu

кзад

),(),(

, (4.65)

где неизвестными являются параметры объекта или параметры

входных воздействий.

Целевые условия в виде минимизации функционала, опре-

деляющего отклонения теплового режима от заданных требова-

ний, реализуются минимизацией параметров объекта или входных

воздействий, что сводит задачу к задачам конечномерной оптими-

зации:

min]),(),,([

→

кзадmзадnm

txutxuJ

, (4.66)

где

),(),(

,, кзадmзадnm

txuиtxu

- значения температуры в за-

данные моменты времени, полученные на основе аналитических

решений, и заданные (численные) значения координат. Миними-

зация (4.66) выполняется вычислением конечного числа парамет-

ров объекта или входных воздействий с применением методов ма-

тематического программирования.

198

Таким образом, сформулированные задачи синтеза про-

граммных управлений обладают общностью по определяемым пе-

ременным (параметры объекта и внешних возмущений). Посколь-

ку рассматриваемая методика синтеза позволяет определить про-

граммные управления на конечных интервалах (для которых воз-

можно выполнение целевых условий), то практическое примене-

ние разработанных алгоритмов возможно на основе реализации в

приборах температурной стабилизации «поинтервальных» управ-

лений. Синтез разделяется на два этапа: определение параметров

линейной комбинации аналитического решения и вычис

ление на-

чальных условий, для которых справедливы аналитические соот-

ношения для параметров как функций начальных ксловий.

4.8.4. Математические формулировки задач программно-

го синтеза.

Синтез систем температурной стабилизации на конеч-

ном интервале времени формализуется на основе аналитических

решений и разностных схем.

Задача 1. Уравнение распространения тепла в изотропном

стержне имеет вид:

,/),(/),(

222

xtxuattxu ∂∂=∂∂

(4.67.а)

с начальными или краевыми условиями:

,0|),(|),(,)(|),(

000

===

=== lxxt

txuxtuxutxu

(4.67.б)

Требуется определить параметры решения

(,)uxt

, которые

выбираются из условия удовлетворения заданным целевым усло-

виям типа равенств, неравенств или условиям, представленным в

виде требования минимизации некоторого функционала качества.

Синтез проводится с использованием аналитических реше-

ний рассматриваемых начально-краевых задач. Для представления

обобщенного решения можно использовать формальный беско-

нечный ряд: