Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

209

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ

СИСТЕМ

Методы анализа и синтеза систем управления, рассмот-

ренные выше, предполагали полную определенность парамет-

ров системы. Однако реальные физические объекты и условия,

в которых они функционируют, не могут быть учтены точ-

но, поскольку подвержены различным возмущениям и изменя-

ются непредвиденным образом. Неопределенность характе-

ристик объекта не позволяет обеспечить оптимальные свой-

ства системы управления и может привести к потере ус-

тойчивости. С

истемы автоматического управления, обеспе-

чивающие требуемое качество функционирования, несмотря

на существенную неопределенность характеристик объекта

управления, называются робастными.

5.1. Синтез робастных сист

ем в

частотной области

Проектирование систем с робастными свойствами – одна из

наиболее важных проблем теории управления. Решению задач

оптимизации в условиях наличия внешних и внутренних неопре-

деленностей уделяют большое внимание отечественные и зару-

бежные исследователи, поскольку многие методы синтеза не

обеспечивает выполнение условий робастной устойчивости или

условий робастной оптимальности. Методы для решения задач

робастного управления в частотной области основаны на

опти-

мизации в пространствах Харди

– пространстве функционалов

типа нормы

H и

∞

H .

5.1.1. Методы робастного управления в частотной обла-

сти.

При конструировании робастных регуляторов в частотной

области исходная задача сводится к решению проблемы

H–

оптимизации: минимизации )(

∞

H нормы передаточной функ-

210

ции от внешнего входа к выходу путем выбора регулятора из

множества допустимых (стабилизирующих) регуляторов. Методы

H–теории управления существенно разработаны как в теоретиче-

ском, так и практическом плане. Полученные фундаментальные

результаты позволили разработать теорию, близкую линейно-

квадратичной гауссовой теории.

Робастная стабилизация. Пусть объект управления задан

в операторном виде

(

)

(

)

(

)

(

)

swsusGsy +=

, (5.1)

где

()

sw – вектор неконтролируемых возмущений или динамиче-

ская неопределенность, причем

(

) ()

syCsw

;

∞

≤

∞

– вектор

состояний;

()

su – вектор управления;

– переменная преобразо-

вания Лапласа;

()

– nn

–матрица передаточных функций

()

;,1,,

njisg

()

(

)

(

)

Rsysusw ∈,, ;

(

) ()

jwsw max

∞

–

норма функции

()

sw в пространстве Харди

∞

H .

Пусть передаточная матрица системы известна неточно и

представляется в виде

(

)

(

)

(

)

ssGsG Δ+=

, (5.2)

где

()

– передаточная функция некоторой «опорной» систе-

мы, известная точно, а

(

)

sΔ характеризует внутреннюю неопре-

деленность модели системы.

Решение задачи робастной стабилизации в системе (5.1) с

неструктурированными неопределенностями формулируется в

следующем утверждении.

Утверждение 5.1.1. Регулятор K = K(s)

∞

∈

RL стабилизиру-

ет любой объект с матричной передаточной функцией

)(

(5.2)

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

211

с неопределенностью, характеризуемой множеством

}0,)(:{)( >≤ΔΔ=∈Δ

∞

εε

sDs ,

(

)

(

)

()()

ssG Δ=

, (5.3)

и является

-робастным стабилизатором, если и только если:

1). K(s) стабилизирует опорный объект

(

)

;

2). Величина

,)(

−

∞

где

– заданный уровень неопределенности;

(

)

– количество

неустойчивых полюсов матрицы

∞

∈

∞

RL – пространство

Лебега правильных функций, не имеющих полюсов на мнимой

оси.

– робастный стабилизатор задается соотношениями:

)(

(

))(()(

22222222

MQYNQX

QNXQMYsK

−−=

=−−=

−

(5.4)

где

2222222222222222

,, YYXXNMNM

– результат взаимно-

простой факторизации матрицы опорного объекта;

∞

∈ RLQ –

произвольная матричная функция.

Вопрос о существовании непустого множества робастных

стабилизаторов (5.4) (как должны соотноситься номинальный

объект и

-возмущения, чтобы существовали робастные регуля-

торы), решается следующим образом.

Утверждение 5.1.2. Множество робастных на классе

стабилизаторов не пусто, если и только если:

321

inf

−

∞

∈

<−

QTTT

RLQ

где параметры определены следующим образом:

212

212232212221222212111

PMTMPTPMYPPT

==+=

Робастная оптимизация. Пусть описание системы задано

моделью пространства состояния

uBwBAxx



, (5.5.а)

DuCx

, (5.5.б)

где

– вектор состояния, w – вектор возмущений, u – вектор

управлений,

– вектор полного выхода, DCBBA ,,,,

– по-

стоянные матрицы соответствующих размерностей.

Будем считать, что в (5.5.б) матрицы C и D имеют вид:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

. Тогда выходной вектор

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

формирует-

ся из двух компонент: xCz

x 1

– интерпретируемой как характе-

ристика точности, и

uDz

u 1

– как характеристика затрат на

управление, так что

uDzz

+= . Полагая ED

(E–

единичная матрица), получим

uxCCxz

+= , где

–

именуется штрафом за управление.

При полных наблюдениях (все компоненты вектора

дос-

тупны для измерения) оптимальная обратная связь становится

статической, т.е. оператор K(s) =K:

(

)

(

)

(

)

sXsKsU

−

. (5.6)

Передаточная функция «возмущение–выход»

()

в зависимо-

сти от передаточной функции обратной связи

(

)

sK имеет вид

() ( ) ()

[]

()

BAsEsKBAsEEsP

−

−−+= .

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

213

Синтез

H – оптимальной обратной связи, обеспечиваю-

щей наименьшее значение

H – нормы передаточной функции

()

() ()()

{}

2/1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−=

∫

∞

ωωω

diPiPsP

wzwz

H -норма характеризует подавление импульсных или белошум-

ных возмущений.

Оптимальная обратная связь (5.6), найденная из условия

минимизации функционала качества

(

)

()

(

)

inf sPJ

имеет вид:

()

KBX

= , (5.7)

где

()

– неотрицательное определенное решение матричного

квадратичного уравнения

22 1 1

TTT

XA A X XB B X C C

+− + =,

а значение функционала качества

() ()

{

}

2121

tr B B

εε

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

Синтез

∞

H -оптимальной обратной связи, обеспечиваю-

щей наименьшее значение

∞

H -нормы передаточной функции

()

, определенной равенством

()

(

)

{

}

ωσ

iPsP

wzwz max

sup=

∞

214

где

(

)

{

}

ωσ

wzmax

– наибольшее сингулярное число матрицы

()

∞

H -норма определяет подавление гармонических возму-

щений с произвольной частотой.

Оптимальную обратную связь (5.6) в этом случае находят из

условия минимизации функционала качества

(

)

()

(

)

∞

sPJ

inf

и она определяется равенством

()

KBX

∞

= , (5.8)

где

()

∞

– неотрицательно определенное решение матричного

квадратичного уравнения

11 2 2 1 1

TTTT

XA A X X B B B B X C C

γε

⎡⎤

++ − + =

⎢⎥

⎣⎦

с наименьшим возможным значением )(

∞

, для которого суще-

ствует это решение, а матрица

()

ABBX

∞

= устойчива. Зна-

чение минимизируемого функционала равно найденному значе-

нию

)(

∞

Условием существования оптимальных робастных регуля-

торов (5.7), (5.8) является стабилизируемость пары (A,B

) и детек-

тируемость пары (C

,A) системы (5.5).

Для системы

12 1 12 2 21

,, ,XAXB BuzCXDuyCXDu

=++ = + = +



(5.9)

где z – выход системы, y – измерямые координаты выхода

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

215

)dim(dim z

< , оптимальный регулятор основного контура вида

uKX

∞

=−



(5.10)

должен быть дополнен наблюдателем для получения оценок



вектора

по измеряемым выходам y. Наблюдатель задается

дифференциальным уравнением

XAXzLy

∞

∞∞





. (5.11)

Коэффициент

∞

K основного контура и матрицы

∞

zLA ,,

наблюдателя находят по следующему алгоритму.

1. Вычисление матриц:

11222111

,, CCQBBRBBR

TTT

=== .

2. Вычисление решения

> уравнения

AP PA PRP Q+− +=.

3. Вычисление матрицы:

PRAA

−

4. Определение решения

Y уравнения 0=

EAYYA .

5. Вычисление величины

по соотношению:

(

)

11 2

41RXy R Xy

−

=+,

где

,XP

Y== , ⋅ – спектральная норма матрицы.

6. Определение решения

>X уравнения

,0][

=+−++ QXRRXXAXA

εε

< .

7. Задание равенств

TTTT

BBQCCRCCRAA

11222111

,,, ==== и

переход к пунктам 2

÷6 вычислений, обозначив результат пункта

5 переменной

, а п. 6 – переменной

X ;

8. Вычисление наибольшего собственного числа матрицы

XX ,

обозначение его

216

9. Вычисление },)(,)max{(

2/1*

γεεγ

−

= .

10. Вычисление

XBK

∞

– параметров регулятора основного

контура,

CXL

∞

– регулятора наблюдателя,

22111

CLZKBXBBAA

∞

−−+=

)(

−

∞

−= XXIZ

Условиями существования робастного оптимального регу-

лятора является стабилизируемость пар матриц

),(),,(),,(),,(

2121

TTTT

CACABABA

и вид матриц

}0{}{

12112

EDCD

, }0{}{

21121

EDBD

= . В замкнутой системе га-

рантируется качество процесса управления не хуже, чем

∞

J .

Методы

∞

- оптимального управления обеспечивают

робастную устойчивость по отношению к внешним возмущени-

ям, параметрическим возмущениям объекта управления, неструк-

турированным шумам измерений, неконтролируемой динамике

при раздельном действии каждого из перечисленных возмуще-

ний.

5.2. Идентификация линейных по параметрам

статических и динамических объектов и систем

Оценка параметров моделей объектов управления по наблю-

дениям за их входами и выходами называется

параметрической

идентификацией.

Идентификация выполняется для классов ма-

тематических моделей объектов, критериев адекватности моде-

лей объектов и алгоритмов вычисления оценок параметров.

5.2.1. Основные классы моделей идентифицируемых

объектов управления

. Рассмотрим следующие классы моделей:

1).

Статические модели в виде алгебраических уравнений:

ttt

+= xa

, (5.12)

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

где ,),...,,(

Raaa

∈=a

tnttt

Rxxx

∈= ),...,,(

x ,

∈

–

n-мерные векторы идентифицируемых (оцениваемых) парамет-

ров и входов, а также одномерный выход объекта;

2). Динамические

непрерывные модели «вход–выход»

,)()()()()( ttupbtypa

(5.13)

где )( pa

и )( pb

– полиномы n-го и m-го порядков от оператора

дифференцирования

;/ dtdp

)( Rtu ∈ и

)( Rty ∈ – входной и

выходной сигналы объекта;

3). Динамические

непрерывные модели в виде интеграла

свертки:

∫

∞

+−=

)()()()( tdtuwty

ξτττ

, (5.14)

где w(t) – импульсная переходная функция объекта;

)(),( Rtytu ∈

– входной и выходной сигналы объекта;

4). Динамические

дискретные модели в форме «вход–

выход»

ttmtn

ubya

∇

∇ )()( , (5.15)

где )(∇

a и )(∇

b – полиномы n-го и m-го порядков от оператора

сдвига по времени назад

∇

;

, RyRu

∈∈ – входной и выходной

сигналы объекта.

Случайные помехи в моделях (5.12)–(5.15) имеют следую-

щие статистические свойства:

][][,0][

σξξξ

===

ttt

MDM

5.2.2. Идентификация статических и дискретных дина-

мических моделей

. Для оценивания параметров (5.29) рассмот-

рим N измерений входных и выходных сигналов. В результате

218

можно записать равенство:

XaY ,

где

yyy ),...,,(

– вектор N измерений выходного сигна-

ла;

∈X – матрица входных воздействий;

),...,,(

ξξξξ

– вектор шумов. Оценки параметров a



ми-

нимизируют функционал невязок:

2/)()( XaYXaY −−=

J . Из

необходимого условия:

(

)

J∂∂= − =aXYXa



следует

YXXXa

TT 1

)(

−



, (5.16.а)

где a



– оценка метода наименьших квадратов (МНК) в форме

∑∑

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

xxxaa



. (5.16.б)

Здесь

x – вектор измерения выходных сигналов объекта в t-й

момент времени.

Алгоритму МНК (5.16.б) можно придать следующий рекур-

рентный вид:

11 ++

ttt

aaa .

Введем следующие обозначения для квадратных (n×n) матриц:

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∑

xxГ ,

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∑

xxГ .

Принимая во внимание (5.16.б), можно записать два равенства:

∑

−

lltt

yxaГ

∑

−

lltt

xaГ