Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
219
из которых следует равенство:
11
1
1
1
1 ++
−
+
−
+
+=
tttttt
yxaГaГ , но по-
скольку:
T
tttt
11
1
1
1
++
−
+
−
−= xxГГ , то справедливо соотношение вида:
1111
1
11
1
1
)(
++++
−
++
−
+
+−=
tttttttt
y
T
xaxxГaГ .
В результате процедура (5.16.б) примет вид:
)(
11111 ttttttt
T
y axxГaa
+++++
−+=
, (5.17)
где матрица
1+t
Г
вычисляется с помощью леммы об обращении
матриц:
1
11111
)1)((
−
+++++
+−=
ttttttttt
TT
xГxГxxГГГ
.
Рассмотрим алгоритм идентификации параметров (5.15) для
нескольких вариантов задания полиномов
)(
∇
n
a и )(∇
m
b . Пусть
∑
=
∇−=∇
n
l
l
ln
aa
1
1)(
и
0)(
=
∇
m
b
, причем корни полинома
)(
∇
n
a
лежат в единичном круге. В этом случае модель (5.1) имеет вид:
tntnttt
yayayay
ξ
+
+
+
+
=
−−−
...
2211
, (5.18)
называется моделью авторегрессии. Запишем ее в векторной
форме:
ttt
T
y
ξ
+= xa
,
где
T
n
aaa ),...,,(
21
=a
,
T
ntttt
yyy ),...,,(
21 −−−
=x
, которая совпа-
дает с моделью (5.12). Оценку вектора параметров
а на основе N
измерений получим путем минимизации функционала
2/)()( XaYXaY −−=
T
J , где
T
N
yyy ),...,,(
21
=Y
– вектор вы-
ходных сигналов объекта;
nN
R
×
∈
X – матрица со строками x
i
,
Ni ,1= . Используя обозначения, введенные в (5.17), алгоритм
оценивания параметров модели (5.18) запишем в виде
220
;0),(
01111
=−+=
++++
aaxKaa
tttttt
T
y
);1/()
1111 ++++
+=
tttttt
T
xГxxГK
1,,
0111
>>=−=
+++
αα
EГГxKГГ
ttttt
T
.
Если 1)( =∇
n
a ,
∑
=
∇=∇
m
l
l
lm
bb
0
)( , то модель (5.14) имеет вид:
tmtmttt
ubububy
ξ
+
+
+
+=
−−
...
110
(5.19)
и называется моделью авторегрессии со скользящим средним
ttt
T
y
ξ
+= za
, (5.20)
TT
mttntttmn
uuyybbaaa ),...,,,...,(),...,,,...,,(
1021
,
−−−
== za
,
причем последние векторы - вектор параметров и вектор после-
довательных измерений выходных и входных сигналов. Оценки
МНК для (5.20) имеют вид
),(
1111 tttttt
T
y azKaa
++++
−+=
(5.21)
),1/(
1111 ++++
+=
tttttt
T
zГzzГK
(5.22)
.
111 ttttt
T
ГzKГГ
+++
−=
Если в (5.20) шум
t
ξ
не белый, то оценки не являются не-
смещенными. Для устранения смещения шум
t
ξ
можно предста-
вить как процесс авторегрессии
∑
=
−
+=
s
l
tltlt
ec
1
ξξ
, где
t
e
— бе-
лый шум с нулевым средним и дисперсией
2
e
σ
, )(∇
s
c — полином
s-го порядка от оператора сдвига
∇
. Тогда соотношение (5.20)
примет вид:
5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
221
ttmt
uby
ξ
+
∇
=
)(
, (5.23)
ttst
eс
+
∇
=
ξ
ξ
)( . (5.24)
Из (5.24) следует, что
tst
ce
ξ
)](1[
∇
−
=
, где )](1[ ∇−
s
c – пе-
редаточная функция отбеливающего фильтра для
t
ξ
. Действуя
оператором:
)](1[ ∇
−
s
c на (5.23), получим модель авторегрессии
со скользящим средним
ttmstst
eubcycy
+
∇
∇
−
+
∇= )()](1[)( . (5.25)
Обозначив
∑
++
=
Δ
∇=∇∇−
1
1
)()](1[
ms
l
l
lms
bc
α
, преобразуем модель
(5.25) к следующему виду:
∑∑
+
+
=
−
=
−
++=
1
11
ms
l
tltl
s
l
ltlt
euycy
α
.
Последнее равенство можно переписать в эквивалентной
векторной форме:
ttt
ey
T
+= za
. (5.26)
Так как шум e
t
в модели (5.26) белый, то для получения не-
смещенных оценок параметра
a
ˆ
можно использовать соотноше-
ния (5.21), (5.22).
5.2.3. Идентификация непрерывных моделей. Рассмотрим
алгоритм идентификации параметров линейной модели объекта
управления. Перейдем от операторной формы записи модели
объекта к эквивалентной форме типа «вход-выход»:
0......
0
)1(
10
)1(
1
)(
=−−−+++
−
−
−
−
ububyayay
n
n
n
n
n
.
Пусть настраиваемая в процессе идентификации модель
222
объекта имеет вид:
uuyyyt
n
n
n
n
n
0
)1(
10
)1(
1
)(
......)(
ββααε
−−−+++=
−
−
−
−
,
где 1,0;,1,, −== njni
ji
βα
– параметры, минимизирующие
критерий
2/)(),(
2
tJJ
εβα
== изменением α
i
, β
j
, согласно гради-
ентным законам настройки:
.)(
),(
,)(
),(
)()( j
j
j
i
i
i
utk
J
k
dt
d
ytk
J
k
dt
d
ε
β
βα
β
ε
α
βαα
−=
∂
∂
−=−=
∂
∂
−=
(5.27)
Такие градиентные законы настройки параметров обеспечи-
вают сходимость по параметрам:
i
α
к
*
i
α
и
j
β
к
*
j
β
.
Если выбрать квадратичную по параметрам функцию Ляпу-
нова в виде
[
]
∑
−
=
−+−==
1
0
22
)()(
2
1
),(
n
i
iiii
baVV
βαβα
и вычислить ее полную производную по t в силу уравнений
(5.27), то можно получить
()()
()
()
()
()
1
0
1
2
0
n
ii
ii ii
i
n
ii
ii ii
i
dd
Va b
dt dt
ke a y b u k
αβ
αβ
α
βε
−
=
−
=
⎡⎤
=
−−− =
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
−−− =−
⎢⎥
⎣⎦
∑
∑
Знакоотрицательность ),(
βα
V
обеспечивает сходимость по
параметрам.
5.2.4. Алгоритм идентификации импульсной переходной
5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
223
функции. В силу уравнения (5.16) взаимная корреляционная
функция «вход–выход» имеет вид:
[]
[][]
,)()()()()(
)()()(
0
θξθθθτ
τ
τ
−+−−=
=
−=
∫
∞
tutMdWtutuM
tytuMr
uy
(5.28)
где
()
t
ξ
и )(
t
u удовлетворяют следующему соотношению для ма-
тематических ожиданий:
[]
[
]
[
]
0)()()( =
−
=
−
t
MtuMtutM
ξ
θ
θ
ξ
.
Обозначив автокорреляционную функцию входного сигнала
[]
)()()(
θ
τ
τ
−−= tutuMr
uu
, запишем (5.28) в форме уравнения
Винера–Хопфа:
θθθττ
dWrr
uuuy
)()()(
0
∫
∞
−= . (5.29)
Если входной сигнал объекта – белый шум
)()(
2
τδστ
−=− ttr
uuu
, где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= )(
2
2
tuM
u
σ
, )(
τ
δ
−
t
– δ-функция
Дирака, то
)()(
2
τστ
Wr
uuy
=
. Для устойчивого объекта
0)( →
τ
W
при
∞→
τ
, поэтому без внесения значительных погрешностей
бесконечный верхний предел в (5.14) можно заменить конечным
временем Т. Производя измерения выходного и входного сигна-
лов объекта с интервалом Δ, запишем следующие оценки корре-
ляционных функций:
,))(()(
1
)(,))(()(
1
)(
1
0
1
0
∑∑
−
=
−
=
Δ+Δ=ΔΔ+Δ=Δ
N
l
uy
N
l
uu
klylu
N
krklulu
N
kr
224
где Δ=
/
T
N
— число интервалов измерений. Значения
)(
τ
W
оп-
ределим в моменты
Δ
=
k
τ
. Вычислив интеграл в (5.26) по методу
левых прямоугольников, получим равенство
∑
=
Δ−ΔΔ=Δ
N
i
uuuy
ikriWkr
1
))(()()( .
Введя обозначения векторов:
T
uyuyuy
Nrrrr ))(,...),(),0(( ΔΔ=
T
NWWWW ))(,...),(),0(( ΔΔ= и матрицы:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ−Δ
Δ−−Δ
Δ
−
Δ
−
=
)0())1(()(
))1(()0()(
)()()0(
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
rNrNr
Nrrr
Nrrr
R
,
запишем уравнение (5.26) в виде
WR
r
Δ
=
. (5.30)
Вектор оценок
r
RW
11
−
−
Δ
=
, и в силу симметричности R для
решения (5.30) можно использовать факторизацию
(алгоритм
Холесского).
5.3. Синтез адаптивных систем методом рекуррентных
целевых не
равенств
Рассмотрим скалярный динамический дискретный объект
управления, описываемый уравнениями «вход-выход»
1
1111
,,... Ruyububyayay
tttrtrtrtrtt
∈+++=+++
−−−−
ν
… , (5.31)
где b
1
≠ 0, т.е. запаздывание в управлении минимально: s = 1.
Возмущение ν
t
в (5.31) – ограничено по модулю: |ν
t
|≤1, а в ос-
5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
225
тальном – возмущение является произвольным. Управления u
t
допустимые, т.е. представлены вектором:
0101
,,,,, yyuu
tt
−−
и
t. Цель управления состоит в минимизации функционала:
t
V
t
yuJ
∈
∞→
∞
∞
=
0
suplim)(
0
ν
.
На первом этапе решения задачи рассмотрим синтез регуля-
тора основного контура при условии, что коэффициенты
jj
ba ,
уравнения объекта известны. Тогда решение задачи синтеза регу-
лятора основного контура очевидно:
целевое условие регулятора
основного контура (РОК)
состоит в том, чтобы оптимальное
управление следовало из требования, при котором уравнение
(5.31) приняло вид
tt
y
ν
=
, т.е. оптимальным является регулятор:
[]
rtrtrtrtt
yayaububbu
−−−−
−
+++−−−= ......
1122
1
1
. (5.32)
Таким образом, при полной информации регулятор опреде-
лен, и можно перейти к задаче адаптивного управления.
5.3.1. Постановка задачи адаптивного управления. Опре-
делим понятие варианта для данной задачи. Поскольку регулятор
основного контура определен с точностью до неизвестных пара-
метров, то множество
},{}{
вп
ξξξ
=
, т.е. вариант определен мно-
жеством неизвестных параметров
[
]
ij
п
ba ,=
ξ
и возмущением
)(
в
tt
ξν
ν
= . Пусть
{}
ξ
– множество всех ξ, таких, что ξ
п
принима-
ет любые значения, а
c
t
в
tt
≤=
νξν
ν
:)( . Целевое условие регу-
лятора контура адаптации (РКА)
:
yt
cy
≤
+1
, (5.33)
которое обеспечивается подстройкой параметров, причем будем
226
считать, что cc
y
> . В противном случае не существует адаптив-
ного управления и вообще никакого управления, обеспечиваю-
щего целевое условие.
Вид оптимального управления (5.32) подсказывает выбор
следующего сенсора σ
t
, определяющего структуру управления
так, что
).,...,,,...,(col
),,...,,,...,col(),,(
12
0
111
0
rr
rttrttttt
aabb
yyuuu
−−=
==
−−−−−
τ
στσ
(5.34)
Далее можно перейти к рассмотрению синтеза регулятора
контура адаптации.
5.3.2. Синтез адаптивного регулятора. Адаптивное управ-
ление будем искать в виде (5.34), заменяя неизвестный вектор
0
τ
вектором подстраиваемых параметров
t
τ
, изменяемых с целью
выполнения на каждом шаге управления целевого условия (5.33).
Перейдем к построению регулятора целевого назначения.
Рассмотрим прогнозируемое значение
1
0
11
)],([
++
+−=
tttt
uby
ντσ
, (5.35)
представляющее собой уравнение (5.30), записанное в новых обо-
значениях. Подставим (5.35) в целевое условие типа неравенств
(5.33):
yttt
cb ≤+−
+1
0
1
)],(),[(
ντστσ
. (5.36)
Соотношение (5.36) представляет собой линейное алгебраи-
ческое неравенство
относительно подстраиваемых парамет-
ров τ
. Алгоритм его решения должен быть построен так, чтобы
существовал такой момент
)(
*
ξ
tt
=
, при котором для всех
*
tt >
5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
22
7
все неравенства (5.36) были выполнены. Это означает адаптив-
ность системы в некотором классе. Искомый алгоритм имеет вид
)|(|
1 b
cb <
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−−
≤
=
+
−
−
+
+
,,sign)1(
,,
1
2
1
1
1
1
ytttbt
ytt
t
cybc
cy
σσρτ
τ
τ
(5.37)
и совпадает с известным алгоритмом «Полоска». Число ошибок
алгоритма (т.е. число моментов нарушения целевого условия)
можно оценить соотношением
(
)
{}
1
2
1
,
−
−
=−≤
yyb
ccccccr
ρττ
σ
, (5.38)
где
τ
и
τ
– начальное и оптимальное значения параметров.
Регуляторы данного класса обеспечивают решение задачи
функиональной идентификации, при которой целевые условия
выполнены, а оценки параметров могут существенно отличаться
от их реальных значений.
5.4. Синтез адаптивных систем с идентификатором
методом стохастической ап
проксимации
Метод стохастической аппроксимации (МСА) при выполне-
нии определенных условий определяет алгоритмы, являющиеся
идентифицирующими, т.е. доставляющими оценки параметров,
сопадающими с истинными значениями.
5.4.1. Основная рекуррентная процедура МСА. Рассмот-
рим функционал
∫
= )(),()( dxFxQJ
ττ
, (5.59)
где ),(
τ
x
Q – оценочная функция, зависящая от параметров
228
τ; F – некоторое распределение вероятностей в пространстве
{}
xX = – векторных величин х, роль которых играют наблюде-
ния состояния системы.
Требуется найти вектор τ, обеспечивающий экстремум J.
Если функция Q(x,τ) достаточно «гладкая» по τ и отсутствуют ог-
раничения на τ, то оптимизирующий вектор можно вычислить
как решение уравнения:
∫
== 0)(),(grad)(grad dxFxQJ
ττ
ττ
, (5.40)
которое является уравнением «регрессии». Если распределение
F(dx) и функция Q(x,τ) известны, то из уравнения (5.40) можно
найти τ. Если же распределение F неизвестно, но имеется опреде-
ляемая этим распределением последовательность х
0
, x
1
, ..., на ко-
торой значения grad
τ
Q известны как функции τ, то grad
τ
Q играет
роль оценки градиента (5.56) и может использоваться при по-
строении стохастически градиентной процедуры
]),(grad[
1 tttt
wxQ
+
−
=
+
τ
γ
τ
τ
τ
(5.41)
для приближенного решения уравнения (5.40).
Определение 5.4.1. Выражение
tt
wxQ +
=
),(grad
τ
ψ
τ
назы-
вается стохастическим градиентом, причем
),(grad],[
τ
τ
ψ
τ
xQxM
ttt
= . Величины γ
t
в (5.41) определяют шаг
алгоритма МСА. Если γ
t
выбираются как функции предыстории,
то (5.58) называется процедурой Роббинса–Монро. Если же
grad
τ
Q неизвестен, но имеется возможность в точках x
t
наблюдать
саму функцию Q(x,τ), то вместо (5.41) применяется процедура
Кифера–Вольфовица, в которой вместо градиента используется
его разностная аппроксимация.
5.4.2. Применение МСА для синтеза адаптивных САУ.