Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

169

га, определяющие приводимые полиномы для непрерывных и

дискретных полиномиальных моделей объектов (или систем):

,)(

aaaa

λλλ

+++= …

bbbb

λλλ

+++= …

)(

, причем для

полиномов правых и левых частей уравнений выполнены условия

реализуемости:

≠

≥

amn . Будем предполагать, что регуля-

тор описывается аналогичными уравнениями (не сужающими

общность классов регуляторов), которые для непрерывного и

дискретного времени также представляются в полиномиальной

форме:

,)()()()(

= ,)()(

(4.33)

где ,)(

λαλααλα

+++= … ,)(

λβλββλβ

+++= …

≥ 0≠

Требуется выбрать параметры регулятора α(λ), β(λ), обеспе-

чивающие заданные значения корней характеристического урав-

нения замкнутой системы (сравните с постановкой задачи, при-

веденной в п. 4.3):

.)()()()()(

−

(4.34)

4.6.2. Решение задач. Решение поставленных задач для не-

прерывного и дискретного времени обладают общностью. По-

этому рассмотрим решение для непрерывного объекта. Задав

корни характеристического уравнения, а, следовательно, и коэф-

фициенты характеристического полинома

)(

, определим по-

линомы α(λ), β(λ), удовлетворяющие уравнению (4.34). Решение

задачи связано с использованием результатов теоремы.

Теорема 4.6.1. Если полиномы a(s), b(s) взаимно просты

(т.е. не имеют общих корней), то полиномиальное уравнение

1)()()()(

a , (4.35)

170

где неизвестными являются коэффициенты полиномов p(s), r(s),

всегда имеет решение p

(s), r

(s) такое, что ,1)(deg)(deg

−≤ sbsp

1)(deg)(deg

−≤ sasr

. Общее решение (4.35) определяется равен-

ствами

)()()()(,)()()()(

sQsasrsrsQsbspsp −=+= , (4.36)

где Q(s) – произвольный полином.

Доказательство. Прежде всего, отметим выполнение усло-

вия о взаимной простоте полиномов a(s), b(s), поскольку предпо-

лагалось, что объект (4.32) вполне управляем. Решение уравнения

(4.35) минимальной степени

110

)(,)(

−

+++=+++=

spsppspsrsrrsr ……

находят подстановкой p

(s), r

(s), а также a(s), b(s) в (4.35). При-

равнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра s в

левой и правой частях равенства, получим систему из (m+n)

уравнений с (m+n) неизвестными, которая не вырождена в силу

взаимной простоты полиномов a(s), b(s). Определив p

(s), r

(s),

удовлетворяющие (4.35), можно убедиться, что соотношения

(4.36) также являются решением (4.35).

На основе теоремы 4.4 можно вычислить полиномы α(λ),

β(λ), обеспечивающие формирование характеристического урав-

нения (4.34) замкнутой системы. Для этого достаточно умножить

соотношение (4.35) на

)(

и определить параметры управляю-

щего устройства из следующей совокупности полиномиальных

уравнений:

.)()()()()(,)()()()()(

sQsassrssQsbssps +−=+=

χβχα

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

171

Тогда управляющее устройство с передаточной функцией:

() ()/ ()

Ws s s

обеспечивает требуемый вид характеристичес-

кого полинома замкнутой системы

)(

Однако такое решение некорректно. Передаточная функция

управляющего устройства может не отвечать требованиям реали-

зуемости. Это связано с тем, что порядок полинома числителя

превышает порядок полинома знаменателя при строгом неравен-

стве

mn > . Кроме того, характеристический полином замкнутой

системы (4.34) является разностью полиномов, имеющих степень

большую, чем

)(

. Это предполагает сокращение в правой час-

ти (4.34) всех слагаемых, степень которых превышает

)(de

Если параметры объекта управления окажутся «мало» отличаю-

щимися от планируемых (или параметры регулятора

)(sW

не-

сколько изменятся), то ожидаемого сокращения не произойдет, и

характеристический полином системы примет вид:

)(

)()( sss

где

)(

– устойчивый полином; )(

– полином большей степе-

ни чем полином

)(

; где ε – малый параметр. Системы с такими

характеристическими полиномами обычно неустойчивы.

Для решения задачи представим передаточную функцию

управляемого объекта в эквивалентной (4.32) форме:

)(

)(,

)(

)(,

)(

sW ===

где f(s) – произвольный устойчивый полином степени n, не имею-

щий одинаковых корней с полиномами a(s) и b(s). Вместо усло-

вия (4.35) запишем уравнение

1)()()()(

, (4.37)

172

решением которого являются дробно-рациональные функции P(s)

и R(s). Для синтеза регуляторов можно использовать теорему.

Теорема 4.6.2. Пусть полиномы А(s) и В(s) взаимно про-

стые. Тогда решением (4.37) являются устойчивые передаточные

функции P(s), R(s) и все стабилизирующие регуляторы имеют вид

)()()(

)(

sQsBsP

sQsAsR

−

, (4.38)

где Q(s) – произвольная правильная устойчивая передаточная

функция. Для того чтобы убедиться, что управляющее устройст-

во, определяемое соотношением (4.38), обеспечивает устойчи-

вость замкнутой системы, найдем ее передаточную функцию

замкунутой системы:

.))()()(()(

))()()(()())()()()((

))()()(()(

)()(1

)()(

)(

sQsAsRsB

sQsAsRsBsQsBsPsA

sQsAsRsB

sWsW

−=

−++

−

Поскольку A, B, R, P, Q – правильные устойчивые дробно-

рациональные функции, то их суммы и произведения будут иметь

такие же свойства.

Синтезированные стабилизирующие регуляторы для моде-

лей типа «вход-выход» могут использоваться для решения задач

робастного управления в теории адаптивных систем.

4.7. Синтез локально-оптимальных дискретных систем

Локально-оптимальные дискретные системы управления

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

173

синтезируются на основе прогнозирования состояний (выходов)

и целевых условий для состояний (выходов) при минимизации

квадратичных функционалов мгновенных ошибок и затрат на

управление. При этом должно обеспечиваться устойчивость на

полубесконечном интервале. Важная задача управления связана с

прогнозированием состояний или выходов на один или несколько

шагов, что позволяют компенсировать временное запаздывание в

дискретных системах и повы

сить точность стабилизации, не-

смотря на локальный характер функционала качества. Динамиче-

ская модель предполагается известной, а координаты состояния

(выходы) – доступными измерению.

4.7.1. Уравнения замкнутых локально-оптимальных

систем.

Пусть дискретные объекты управления описываются од-

ним из следующих разностных уравнений:

001

,, xxCxyFuHxx

kkkkkk

, (4.39.а)

001

,),()( xxCxyuFxHx

kkkkukxk

Φ=

, (4.39.б)

001

,,)()( xxCxyuxFxHx

kkkkkkk

, (4.39.в)

причем первое уравнение – линейное, второе – кусочно-линейное

с операторами, определенными в разделе 2, а третье уравнение –

нелинейное с операторами правой части общего вида (включая

кусочно-линейные операторы). Предположим, что управления

формируются статическими (безинерционными) регуляторами

.),(

kkk

RГxГuu

×∗

∈=

(4.40)

В приведенных соотношениях векторы состояний

и вы-

хода

описывают эволюцию системы в дискретном времени, а

174

и )(

∗

соответствуют векторам результирующих и прогно-

зируемых управлений. Используемая для вычисления управлений

модель представлена линейными разностными уравнениями

k м k м kkм k

xHxFu

=+ =

(4.41)

Матрицы в (4.41) согласованы с уравнениями объекта так, что

для (4.39.а)

CCFFHH

MMM

= ,,

. Для (4.39.б) матрицы моде-

ли равны матрицам Якоби, вычисленным в окрестности стацио-

нарной точки

),(

, где правая часть предполагается диффе-

ренцируемой:

)(),(

*'*'

uFFxHH

uMxM

Φ=

. Для уравне-

ний (4.39.в) данные матрицы вычисляются аналогично и равны

матрицам Якоби:

CCuFFxHH

MMxM

= ),(,)]([

*''*

Математическая модель объекта управления (4.41) имеет

эквивалентное представление и определяет в пространстве

расширенных переменных

z линейное многообразие:

{(,)| [| ] }.

zkkk k мм k м k

Dzyu AzECFzcHxb

ΔΔ

== = − = =

(4.42)

Вектор прогнозируемых управлений )(

∗

вычисляется реше-

нием задачи

математического программирования (МП): вы-

числить вектор:

}41,|min{arg, −=∈+===

∗∗

lDzRuuQyyJzTzu

zkk

kkkk

. (4.43)

В равенствах (4.43) включением

∈

заданы целевые условия

для координат выхода и управлений, преобразующиеся при

EC =

в условия для координат состояния

и управлений

Одновременно учитывается ограниченность управлений. Матри-

цы

позволяет выделить вектор

u из вектора расширенных ко-

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

175

ординат

. Множества

DDD ,,

в задаче определены в

табл.4.1. Матрицы

для сокращения преобразований при-

няты диагональными и положительно определенными.

Таблица 4.1

Типовые множества и операторы проектирования

Типовые множества

∈

Операторы

проектирования

На типовые множества

Подпространство:

{

nqrAzAzD

≤∈==

0100

]

)

(

[)(

zAAAAEzP

TT −

−=

Многообразие:

{

nqRAbzAzD

≤∈==

bAAAzPzP

TT 10001

)

(

)(

−

Параллелепипед:

},{

1 +−+−

<≤≤= zzzzzzD

(

)

10 0 0

zzzzz

−+

⎡

−−−+

⎣

⎤

⎦

Используемые модели, целевые условия и ограничения по-

зволяют свести задачу вычисления управлений к минимизации

функционала

в соответствии с (4.43) на одном из множеств

4,1,

=lDD

∩

Функционал

не удовлетворяет условию равного возраста-

ния из точки безусловного минимума, и для применения анали-

тических методов требуется симметризация. Поскольку матрицы

минимизируемого функционала диагональные, т. е.:

midiagRRrjdiagQQ

,1,0,,1,0 =>==>=

, то в силу методики

симметризации необходимо ввести новые переменные, опреде-

ленные вектором:

176

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2/1

. (4.44)

Квадратные корни из числовых матриц

в (4.44) представ-

ляют собой диагональные матрицы с элементами

2/1

. По-

сле этого исходная задача квадратичного программирования

примет вид: найти пару, задаваемую вектором

{

}

zkkkkkk

DzzuyJJuyz

222

minarg),

(

∈=+===

, (4.45)

где множество



- линейное многообразие:

,)(

(

)

(

{

2/1

12/12/1

Mkk

kkkz

CHQH

RCFQFxHbFEAbzAuyzD

==−====

−

а множества

соответствует

в новом пространстве и

определяется с учетом равенства (4.43) и данных табл. 4.1. Для

решения задачи (4.45) в операторном виде, задающем аналитиче-

ски алгоритм управления, можно использовать методы аналити-

ческого вычисления минимизирующих элементов.

Для ограничений типа линейных многообразий можно ис-

пользовать результаты, приведенные в табл. 4.1. В общих случаях

можно воспользоваться результатами, следующими из условий

Лагранж

а, теоремы Куна-Таккера и аппроксимации множеств ог-

раничений.

Лемма 4.7.1 (о минимизации линейных функционалов).

Пусть выполнены следующие условия:

1. Рассматривается задача минимизации: вычислить вектор,

досталяющий условный минимум линейному функционалу:

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

2.Эллипсоид аппроксимирует параллелепипед ограничений, при-

чем замена переменных:

()()()

1/ 2 1/ 2

QXdXQZd ZdQZd

−

+= − − −

1/2 1/2 1/2 1/2

()()

ТТ

QXddQQXddXQQQX

−− −−

=+− +−= =

≤

преобразует ограничения и задачу к виду: найти вектор

1/2

*1/2

1/2

()

arg min

ТТ

оо

ооо

AZ A Q X d

XcQXcd

AQ X Ad b

−

⎧

⎪

==+

⎨

=+=

⎪

⎩

3. В новых переменных ограничения задачи принимают вид:

1/ 2 2

{, , , , }.

Т n

ооо x

XbAAQ bb AdrangAmXXr R

−

== =− = ≤∈

4. В компактном виде последняя задача сводится к отысканию

минимума линейного функционала

fXcJ

+= при ограничениях:

.rXX,bAX

Т 2

≤=

Тогда аналитическое решение задачи оптимизации имеет

вид:

,)(,

)(

10000

bAAAbPbPcPcPcPcPX

TTAA −∗

=+=−−=

где множитель Лагранжа

вычисляется из уравнения:

2120

0, 4 ( ) 4 0, 0.

ТТ Т

bAA b r cPc

αλ β α β

−

−= = + > = >



nQrang,r)dZ(Q)dZ(

,mArang,nm,RA,bZA

zcminargz

ооо

∈

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=≤−−

=≤∈=

178

определяющего два значения

−

, одно из которых соответ-

ствует максимуму, а другое - минимуму линейного функционала,

причем:

()

/ 21

αβλ

∓

Окончательный вид решения представ-

ляется равенством:

*1/2*

.zQ xd

−

Решение определяет минимум на компактном множестве в ана-

литической форме (доказательство см. в приложении).

Лемма 4.7.2 (о минимизации квадратичных функциона-

лов

). Пусть выполнены следующие условия:

1. Задача квадратичного программирования имеет вид: най-

ти вектор, минимизирующий заданный квадратичный функцио-

нал, на допустимом множестве, заданном в виде пересечения ли-

нейного многообразия и параллелепипеда, который аппроксими-

рован эллипсоидом так, что

}.,|)()({minarg

rQxxbAxcXcXX

≤=−−==

∗

Тогда в зависимости от принадлежности точки минимума

функционала границе или внутренней части допустимого множе-

ства оптимальное решение определяется предикатным соотноше-

нием, которое учитывает различные ситуации, возникающие при

практическом применении численно-аналитических процедур:

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∈=

∉

∗∗

∗

,int если ),(

;int* если ,

)1(

)(

)(*

000

DXCPX

DXbPCPX

где параметр

вычисляется как решение квадратного уравне-