Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

179

ния:

=α+λα+λα

, параметры которого определяются ра-

венствами:

bAAbr

TT 12

)(

−

−=α

bAAb

TT 1

)(2

−

−=α

bAAbCPCr

TTT 102

)(

−

−−=α

. Символом int D обозначена

внутренность множества D, которая определяется как множество

точек открытого множества, полученного из этого множества ис-

ключением граничных точек. Из пары решений квадратного

уравнения выбирается значение, соответствующее минимуму

функционала. Значение параметра

может быть определено из

условий теоремы Куна-Таккера, определяющей необходимые и

достаточные условия для конечномерных задач выпуклого про-

граммирования (доказательство леммы приведено в приложе-

нии).

Следствие к леммам 4.7.1 и 4.7.2 (достаточный крите-

рий совместности ограничений задач МП

). Пусть выполнены

условия задач, сформулированных в леммах 4.7.1 и 4.7.2. Тогда

критерий совместности ограничений задач МП формулируется

как условие существования вещественных решений квадратного

алгебраического уравнения:

>−

ααα

где параметры, связанные с параметрами исходной экстремаль-

ной задачи, определены в леммах 4.7.1 и 4.7.2.

Условия соместности могут быть использованы при опреде-

лении условий реализации технических требований к системе.

Аналитический характер условий совместности позволяет полу-

чать качественные результаты. В частности, можно использовать

условия для фомулировки критериев управляемости

В дополнение к приведенным результатам можно отметить,

что век

тор результирующих управлений задается равенствами:

180

).(],)([

),(

)(,

000000

kkkk

llkkМkkkk

zPzzzPPp

pzTxHzTzuu

=−=

+=Φ=Γ=Γ=

∗∗∗

(4.46)

Соотношения (4.46) представляют собой оператор конечномер-

ной оптимизации, согласованный с задачей (4.44), если матрицы

функционала и ограничений задач МП определяются следующи-

ми равенствами:

kMMmnm

xHbFEAEOT

(

),,(,

=−===

В последних равенствах вектор

и представляет собой точ-

ку безусловного минимума функционала. Использованные про-

екторы

определены в табл. 4.1, если параметры множеств

определены с учетом преобразования (4.44). Скалярный параметр

представляет собой наименьшее значение шага из точки

(когда она не принадлежит множеству

) в направлении

При

применение операторов типа (4.46) корректно, если

)()1( mrmr

+×−+

∈

, т.е. линейное многообразие имеет единичную

размерность

. В противном случае для приближенных или ап-

проксимирующих решений задачи необходимо осуществить ап-

проксимацию

эллипсоидом, параметры которого выбраны

так, чтобы

⊃

и мера эллипсоида была максимальной.

Таким образом, уравнения локально-оптимальных систем

описывают широкий класс объектов с функционально-сложными

регуляторами. Аналитическое представление решений позволяет

получить уравнения линейных экстремальных замкнутых систем.

4.7.2. Анализ устойчивости линейных локально-опти-

альных систем.

Устойчивость линейных замкнутых локально-

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

181

оптимальных систем можно исследовать на основе анализа кор-

ней характеристических полиномов матриц методами линейной

алгебры.

С этой целью целесообразно выделить модель замкнутой

дискретной линейной системы локально-оптимального управле-

ния. Пусть линейная модель объекта «вход-состояние-выход»

представлена уравнениями

kkkkk

xyFuHxx

;

Известны параметры этой динамической модели, что позволяет

использовать для синтеза управлений аналогичные разностные

уравнения:

1 kkkMkMk

xyuFxHx =+=

где

FFHH

== ,

. Функционал качества имеет вид:

1 kk

uxJ +=

. Вектор результирующих управлений в силу

линейности регулятора, выделенного из (4.46), имеет вид

()

(), (0 | ),

kk kmnmmnmm

uuTPzT E

∗

×+ × ×

=Γ =Γ =

(4.47)

где

bAAAzPzP

10000

)(

−

- проектор на линейное многооб-

разие

(см. табл. 4.1)

Требуется сформулировать условия устойчивости в виде ог-

раничений на матрицу Γ, исходя из устойчивости характеристи-

ческого полинома замкнутой экстремальной системы. Важным

моментом в решении задачи является установление структуры

искомой матрицы с учетом специфики синтеза на основе прин-

ципа прогнозируемых целевых множеств. Синтез систем локаль-

но-оптимального управления выполнен в рамках п

рограммно

182

замкнутых стратегий. Поэтому матрица обратной связи имеет

следующее представление

, RE

∈

=Γ

, (4.48)

сооответствующее диагональной матрице с совпадающими ска-

лярными диагональными элементами. Тогда параметр

играет

роль скалярного коэффициента усиления программно-замкнутой

системы, который должен гарантировать устойчивость. Устано-

вив равенство (4.48), можно перейти к решению задачи устойчи-

вости с учетом вида линейного регулятора, вычисляемого с по-

мощью леммы.

Лемма 4.7.3 (о проекторе на специальное линейное мно-

гообразие

). Пусть линейное многообразие задано соотношением:

()

{| , [ | ], }.

zkkknnm nnnmk k

zAz b A E F b Hx

×+ × ×

== =− =

Тогда проекция

∗

элемента

на многообразие

равна:

00 0

()

nn nn nn nm

kk k

mn nn mm mn nn nm

mn nn

nn nn nn nn nm mn

EF FF

zPz z

FF E FFF

FF FEFF

×× ××

∗

×× × ×××

××

−

×× ××××

⎡⎤

−−

== +

⎢⎥

−−

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

==+



(4.49)

На основании уравнений объекта (4.39.а), равенств (4.47) – (4.49)

с учетом того, что

, можно получить уравнения замкнутой

линейной локально-оптимальной системы в следующем виде:

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

183

(), () ( ) .

kk k kk n k

x Hx F Hx Hx Tz TF E FF Hx

−

=+Φ Φ ==− +

В преобразованном виде получаем уравнение

001

, xxxHx

kkk

, (4.50)

где

[()]

EFTFEFFH

−

=− +

- матрица замкнутой локаль-

но-оптимальной линейной системы управления. Для асимптоти-

ческой устойчивости линейной локально-оптимальной системы

(4.50) необходимо и достаточно

1))(( <

γλ

, (4.51)

где

))((

- корни характеристического уравнения замкнутой

системы

() det[ ()] 0EH

λλ

−=

. Корневой критерий (4.51) мо-

жет быть использован для анализа устойчивости численными ме-

тодами для решения проблемы собственных значений. Можно

использовать алгебраический критерий Шура-Кона и другие.

Вычислим характеристический полином и уравнение замк-

нутой системы (4.50) в случае скалярного управления.

Теорема 4.7.1. Пусть выполнены следующие условия: сис-

тема локально-оптимального управления описывается уравне-

ниями (4.50). Пара матриц

),(

управляема (выполнен ранго-

вый критерий Р. Калмана). Управление в (4.47) – скалярное:

Ruu

∈=

∗

. Минимизируемый локальный функционал

1 kk

uxJ +=

, а характеристический полином имеет вид:

nnn

ppppHE +

=−=

−

−−

)det()( …

Тогда характеристическое уравнение замкнутой локально-

оптимальной системы (4.50) можно представить в форме

184

12 1

() ( ... ) 0.

nnn

pp pp

χλ λ ρ λ λ λ

−−

−

+++++=

(4.52)

где скалярный параметр (коэффициент усиления) замкнутой сис-

темы определяется соотношением

1/2

−

Доказательство. Можно показать, что характеристическое

уравнение замкнутой системы (4.50) имеет вид (4.52). Рассмот-

рим уравнения (4.39.а) и (4.50). Поскольку по условию объект

управляем, следовательно, существует неособое преобразование,

приводящее к новым координатам, относительно которых матри-

ца

- фробениусова,

- простейшего вида:

11 1

... 1

nn n

pp p

−− −

−

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

−−−−

⎣⎦⎣⎦

Матрицы, определяющие

в (4.50), имеют вид:

(1)(1) (1)1

1( 1)

(1)(1) (1)1

1( 1)

() ,

00,5

nn n

nn n n

nn n

FE FF

FTF F

−× − −×

−

×××

×−

−× − −×

×−

⎡

⎤

=+ =

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦



Матрица замкнутой линейной локально-оптимальной системы

принимает вид:

(1)1 (1)(1)

...

nnn

pp p

ρρ ρ

−× −× −

−

⎡⎤

⎢⎥

−−−−

⎣⎦

Характеристический полином матрицы

замкнутой локально-

оптимальной системы

() det[ ] det[ ]EH H E

λλ λ

−=− −

матрицы

имеет вид:

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

185

λρρρρρρ

λχ

−−−−−−−

−

−− 12321

...

10...000

.............................................................

000...00

000...10

000...01

)(

pppppp

nnn

. (4.53)

Вычисление определителя в последнем равенстве выполняется

разложением по элементам последней строки и применением

леммы Шура для вычисления определителей блочных матриц,

приведенной выше. В результате можно получить представление

характеристического полинома фробениусовой матрицы, в кото-

рой нижняя строка определяет коэффициенты искомого полино-

ма, что доказывает теорему.

Явный вид характеристического полинома существенно уп-

рощает процедуру и

сследования устойчивости и формулировки

требований к параметру γ.

4.7.3. Условия устойчивости нелинейных локально-

оптимальных систем.

Аналитическое описание нелинейных ло-

кально-оптимальных систем подтверждает, что применение клас-

сических критериев устойчивости нелинейных систем затрудни-

тельно. Это объясняется существенной нелинейностью оператора

локально-оптимального управления за счет нелинейности пара-

метров, зависящих от текущих координат. Поэтому анализ устой-

чивости нелинейных систем выполняется на основе принципа

сжимающих отображений и метода функций Ляпунова.

Целевые условия для координат состояния или выходных

координат и огранич

енных управлениях приводят к нелинейным

законам управления в силу свойств оператора, определенных в

леммах 4.7.1 и 4.7.2, то наличие ограничений на управления, учи-

тываемых регулятором, вызывает сужение области притяжения

186

замкнутой системы. При формулировке условий устойчивости

целесообразно полагать, что прогнозирующий экстремальный ре-

гулятор синтезируется из условия минимизации локального

функционала, заданного в (4.41) при

, на множествах

определяемых целевыми условиями

,1,...,4

xDl

∈=

, и огра-

ничениями на прогнозируемые управления

,1,...,4

yDl

∈=

Для данного варианта целевых условий сформулируем задачу

анализа устойчивости. Пусть уравнения объекта имеют вид

001

,, xxxyFuHxx

kkkkkk

, (4.54)

стабилизируется управлениями

()

kk k

uu Hx

γγ

∗

==Φ

, (4.55)

где оператор управления определяется с помощью лемм 4.7.1 и

4.7.2.

Требуется сформулировать условия, которым должен удов-

летворять параметр

регулятора (4.55), гарантирующий устой-

чивость стационарного состояния замкнутой системы (4.54),

(4.55) в некоторой области, содержащей стационарное состояние.

Как отмечалось, решение задачи затруднено в связи с осо-

бенностями нелинейного оператора управления (4.55) как много-

мерного звена с нелинейными связями между координатами. По-

этому известные критерии устойчивости нелинейных систем мо-

гут быть применены к отдельным вариантам исс

ледуемой задачи.

Определения параметров обратной связи наиболее просто может

быть выполнено с точностью до указания степени интенсивности

в виде оценок на величину модуля скалярного параметра

Общие принципы решения данной задачи требуют рас-

смотрения процессов управления в некотором нормированном

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

пространстве состояний и изучения приращений функций Ляпу-

нова. Наиболее простые условия устойчивости имеют место, если

функциа Ляпунова определена евклидовой нормой или квадра-

тичной формой пространства состояний. При этом могут исполь-

зоваться условия, вытекающего из принципа сжимающих ото-

бражений, а также требования, доставляемые аналогами теорем

Ляпунова. Рассмотрим условия устойчивости на основе исследо-

вания сходи

мости дискретных числовых последовательностей.

Лемма 4.7.4 (о сжимающем отображении). Пусть в евк-

лидовом пространстве состояний задана динамическая система

001

),( xxxx

kkk

отображающая пространство

в себя. Тогда отображение

)(

xΨ

является сжатием, если существует такое число 1<

, что

для любых двух точек

'"'

выполнено следующее неравенство

"'"'

)()(

kkkk

xxxx −≤Ψ−Ψ

. (4.56)

Поскольку отображение

)(

непрерывно в силу леммы 4.7.4,

то существует предельная точка отображения

такая, что

)()(

Ψ→Ψ

. Точка

- неподвижная точка отображения.

Уравнение замкнутой нелинейной локально-оптимальной

системы имеет вид:

001

),( xxHxFHxx

kkkk

. (4.57)

Анализ устойчивости требует определения стационарных точек,

являющихся неподвижными точками отображения, задаваемого

правой частью системы (4.57). Явное отыскание стационарных

точек непосредственно из (4.57) приводит к необходимости раз-

решения нелинейного алгебраического уравнения

188

)(

***

HxFHxx

(4.58)

относительно искомой стационарной точки

∗

. Из анализа опе-

ратора обратной связи (4.55) следует, что выполнение этой опе-

рации достаточно трудно. Поэтому далее условия устойчивости

будут получены при использовании неявного метода задания ста-

ционарной точки, определяемой уравнением (4.58).

Введем функцию Ляпунова в виде евклидовой нормы

xxV −=

(4.59)

и с ее помощью сформулируем ограничения на параметр

Теорема 4.7.2. Пусть выполнены следующие условия: по-

следовательность состояний динамической системы задается раз-

ностными уравнениями (4.57), матрица

объекта такая, что

1<H

, множества

DD ∩

непусты для всех дискретных момен-

тов времени

k , т. е. выполнен достаточный критерий совместно-

сти ограничений для задач МП (4.43) (следствие к леммам 4.7.1 и

4.7.2. для множества

и для аппроксимации

411

: DDD ⊂

Оператор управления (4.57) удовлетворяет условию Липшица в

области

по переменным

, связанным с векторами

1,,,)()(

"'"'"'

=Ω∈−≤Φ−Φ

ΦΦ

LzzzzLzz

Тогда для устойчивости замкнутой системы (4.54), (4.55) в облас-

ти

, xx

∈Ω

, однозначно связанной с областью

в пространстве

векторов

, достаточно, чтобы

(

|| ||

1) /

|| ||

−

<−

(4.60)

где нормы векторов и матриц согласованны, т.е. выполнено соот-