Ковтун В.В., Павлов В.С., Дорофєєв О.А. Опір матеріалів. Розрахункові роботи

Подождите немного. Документ загружается.

Розділ

Визначимо головні центральні моменти інерції перерізу:

+ і

' = 64 +1365,3 =

1429,8

of.

Приклад

3.4. Визначити положення головних центральних осей і величину

головних центральних моментів інерції перерізу (рис. 3.8). Н = 16 см, Ь= 10 см,

a~h = 2 см.

Розв'язання.

Переріз не має осей симетрії. Розрахунки

будемо

виконувати

згідно з планом,

який

наведено в п. З.1.2. '

•

о*

\У

с,

У,

Уг

с, ..

ъ"

Рис.

3.8

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗ/В

Розбиваємо переріз на прості частини — прямокутники / і //, обчислюємо їх

площі і власні моменти інерції: ^

Д, =М =

, a(H-kf 2(16-2)"

І2

457,

аЧН-h)

(16 - 2)

= \ ' - \

)

/ =

- 9,

Осі

, ^

(

—

12 12

головні для прямокутника / як осі симетрії.

„

_ 10 • 2

'->

^ 12 "

,„

fib*

2-Ю

о.

• = 6.7.

Осі J:J, у

— головні для прямокутника // як осі симетрії.

Знайдемо координати центра ваги перерізу в системі координатних осей x

За формулами (3.4)

b a

де, =0;

^=---

= 5-1 =

h H „

8 СЛі;

28-0

20-4

1,67 см;

28-8

+ 20-0

= 4,67 см.

1,67 см; и

Нанесемо

положення центра ваги (точка С) на рисунок. Центр ваги перерву

знаходиться на відрізку

Отже, обчислення виконано вірно.

Проводимо початкову систему центральних осей х

, у

. Визначаємо в цій

системі координати центрів ваги простих частин:

С, :«,=!/,-& =8-4,67 = 3,33 с«; 6, = ~х

=-1,67

см;

: (ц = -у

= -4,67 см; Ь

- х

- 4- 1,67 = 2,33 СЛЇ.

За

формулами

(3.9)—(3.11)

визначаємо осьові і відцентровий моменти

перерізу відносно осей х

, у :

^ = К + J" = Л', + а,

А + /^ + а^ А, -

457,3

+ 3, ЗЗ

• 28 + 6,7 +

+(-4,67)

• 20 =

\210,7

см

;

Розділ

= /

і А

^Ч=Я9

+ (-1,67)' 28+ 166,7

2,33*20

=362.7™';

',*

°А4

0 + 3,33(-1,67)- 28 + 0 + (4,67)- 2,33 -20 = -373,3 см\

Визначаємо

положення головних центральних осей і величину головних

центральних моментів інерції.

За

формулою (3,14)

362,7-1210,7

= аа802

4і°2О'

Центральні

осі

у займуть положення головних осей х, у, якщо їх повернути

проти

ходу

годинникової стрілки на кут а

20°40'"

За

формулою (3.15)

Л.» = К =

86,7

564,9

1351,6

см\

'™„ = ^ =

86,7

564,9-221,8

елі'.

'щи ~ Л -

так як вісь х

«ближче»

нахилена до осі я

, відносно якої момент

інерції більший {J,

> 7j

Перевірка:

*) ^

їт

=1210,7 +

362,7^1573,4

см*;

J,+J

=1351.6+ 221,8 =

1573,4

cV.

\ r ^

- , n

1210,7-

362,7

АССА

„

2) Іц = ' ^ sin 2a

+ /

ltir

cos 2а„ = g—

°-

6602

(-373.3).

0,7513

279,925

-280,561

--0,636

см\

Отже, J^ +

/JL

= 7

+ /^, а відносна похибка при обчисленні відцентрового

o,636.ioo

= a26%<2%

моменту

складає

27д

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ

3.2.3.

ЗАДАЧІ

ДЛЯ

САМОСТІЙНОГО

РОЗВ'ЯЗАННЯ

3.1.

Обчислити

головні

центральні

моменти

інерції

перерізу

(рис. 3.9).

Відповідь:

- 1726.32 см."\ J

= 87 см'.

3.2. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу (рис. 3.10).

Відповідь:

] - 6818 см'; J -

1403,5

см\

3.3. Як зміняться площа і моменти інерції J

, J перерізу, показаного на

рис.

3.11, а, якщо замінити один отвір діаметром 200 мм двома отворами діаметром

100 мм кожний, як показано на рис. 3.11, б?

Відповідь:

збільшаться: плоша А на 38,7%, 7 на 25,7%. І

зменшиться на 4,3%.

ГОСТ

8509-86

Рис.

3.9

зо

140

УУУ

УУ/,

СО

200

Рис.

3.10

Рис.

3.1 і

Розділ

3.4. Обчислити момент інерції /

перерізу (рис.

3.12).

Відповідь:

227 771,3 см

3.5. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу (рис.

3.13),

Відповідь:

27 732 см"\

9222

см'

3.6. Обчислити головні центральні моменти перерізу (рис.

3.14).

Відповідь:

142,7 см*; 218,2 см\

3.7. Яке співвідношення між площами і максимальними головними цент-

ральними

моментами перерізу, показаного на рис. 3.15, і двотавра № 18а?

Відповідь:

А/А -1,79;/ // =2,54.

ДЕ ' та*' та* ЦЕ '

Рис.

3.12

Рис.

3.14

Рис.

3.15

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ

3.8. Визначити розмір а, що забезпечує рівність моментів інерції від-

носно

центральних осей перерізу (рис.

3.16).

Впливом з'єднувальних елемен-

тів знехтувати.

Відповідь:

11,37 см.

3.9. Визначити осьові /, J

і відцентровий моменти інерції перерізів (рис.

3.17).

*<«) з

ї(

"* 3 '

Jsl

-?1

"19 ' '

3.10. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу (рис.

3.18).

Відповідь:

гаа]і

1,2917а

;

тп

= 0,81 \Ьа*.

№20

ГОСТ

8240-72

Рис.

3.16

Рис.

3.17

На

2а

/А///////)

і/

\\\\\\М

Рис.

3.18

Рис-.

3.19

Опір

матеріали

Розділ

3.11.

Найти величину відцентрового моменту інерції

рівнобокого кутика

140x140x10

(ГОСТ

8509-72)

відносно центральних осей

х, у,

паралельних полицям

(рис.

3.19).

Як

зміниться

якщо повернути переріз навколо горизонтальної

осі

х на

180°?

Відповідь:

-301

см!

;

знак зміниться

на

додатний.

3.12. Порівняти головні центральні моменти інерції перерізів брусів, виготов-

лених

двох

швелерів

№ 24

(ГОСТ

8240-72)

двома способами

(рис 3.20, я

рис.

3.20, 6); /, =

2900

см*\ /„,

= 208

сді

;

А = 30,6 см\

Відповідь:

ф)

і(6)

5800

си

;

/^,//„^

3065,7/774,4

= 3,96.

Г77777Л7/

2,42

<*,)

Рис.

3.20

Рис.

3.21

Рис.

3.22

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ

3.13. Знайти положення головних центральних осей

визначити величину

головних центральних моментів інерції перерізу

(рис.

3.21).

Відповідь: x

=%a;y

а;«„=40'16'.

& \ і — •

-а

3.14. Визначити величину головних центральних моментів інерції перерізу

(рис.

3-22).

Відповідь:

2Q2,7a':

mlii

= 50,7Q'.

3.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА

«ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПЛОСКИХ

ПЕРЕРІЗІВ»

Для заданого перерізу визначити положення головних центральних осей

величини головних центральних моментів інерції. Дані

для

розрахунку взяти

табл.

3.2 і

табл.

3.3.

ПРИКЛАД

ВИКОНАННЯ

РПР

Вихідні

дані:

схема

00:

рядок

№ 3:

штаба

240 х 10;

кутик рівнобокий

ІЮх

110x8,

швелер

№20.

Розв'язання.

Порядок розрахунку викладено

в п.

З.1.2.

.Викреслюємо переріз

масштабі

проводимо через центр ваги кожної

із

простих його частин горизонтальні

вертикальні координатні

осі x

; х

(/,; x

(рис.

3.23).

2. Обчислюємо

виписуємо

таблиць сортаменту

ГХ

простих частин.

Штаба: площа

Л,= 24-1

=24 см

;

94 •

•

моменти інерції:

/ -2

елі

;

/ =

= 1152 см'\

•" 12

Кутик

110x110x8

(ГОСТ

8509-72):

площа А.

17,2 см

моменти інерції:

1^ = /^ = 198 см':

гаач

315

см*; 7^=

81,8 см

;

Розділ

Швелер

(ГОСТ

8240-72):

площа

= 23,4 см'

моменти терції:

1^ = 1520 ся*; 1^ - 113 см

; ]

-0.

3. Вибираємо допоміжні

осі х

І у

так, щоб

весь переріз знаходився

першій чверті

(так

робити

не

обов'язково,

але

зручно, оскільки

при

такому

виборі допоміжних осей координати центрів ваги складових частин перерізу

мають додатні значення)

визначаємо

за

формулами

(3.4)

положення центра

ваги перерізу відносно

цих

осей:

А. -г. +А, -х, + А, -х-, 24-12 + 17,2

- 3+•

23,4

•

21,93 _ ,

А,

+ 17.2 + 23,4

Розміри

Рис.

3.23

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ

Відносна похибка

0,01

•100%

0.001%<2%.

818,765'

Умова (3.1

також виконується:

1(г

= 0 .

Це

свідчить,

що

обчислення зроблено вірно.

Варіаяти завдань до РПР

Таблиця

3.2

Номер

рядка

Елементи

перерізу

двотавр

(швелер)

ш>

кутик рівнобокий

(нерівнобокий)

йЗбхїоохцГ)

80x80x8

110x110x8

56x56x5

63x40x8

70x45x5

80x50x6

40x25x4

50x32x4

штаба

товщина,

им

ширина,

мм

200

130

150

240

140

180

170

160

190

С£цй

а б л и и я 3.3

Види перерізів для РПР 3.3

Розділ

КРУЧЕННЯ

На

кручення працюють багато елементів машин і механізмів: вали,

рами

автомобілів, окремі частини станин металорізальних верстатів, фрези,

свердла тощо.

4.1.

ТЕОРЕТИЧНІ

ВІДОМОСТІ

4.1.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

При

деформації кручення в поперечному перерізі бруса виникає

одне з внутрішніх зусиль — крутний момент М

Величина М у довільному перерізі бруса дорівнює алгебраїчній сумі

скручувальних моментів, прикладених по одну сторону перерізу. Скручу-

вальний

момент, що діє за ходом годинникової стрілки (якщо дивитись

торця бруса), записують зі знаком «+». проти — зі знаком *-».

Дільниця

навантаження

при крученні — частина бруса, на якій

змінюється за одним і тим же законом. Як правило, на дільниці

величина ЛІ постійна Ш = const). Границями дільниць є торцеві перерізи

перерізи, де прикладені скручувальні моменти.

При

розрахунках часто використовують залежності між величиною

скручувального моменту Т, потужністю Р і кутовою швидкістю (а або п):

- .], (4.1)

де Р — число ват; (і) — кутова швидкість в с"

7-=9551-[н-м1,

(4.2)

Розділ

КРУЧЕННЯ

де

р _ число кіловат; п — число обертів за хвилину;

7026-[Н-м],

(4.3)

де Р — число кінських сил; п — число обертів за хвилину.

У більшості випадків бруси, що працюють на кручення, мають круглий

переріз, суцільний або кільцевий. —

4.1.2. ОСНОВНІ

ЗАЛЕЖНОСТІ

ПРИ КРУЧЕННІ

КРУГЛИХ

БРУСІВ

У поперечних перерізах при

крученні бруса круглого перерізу

виникають тільки дотичні напру-

ження.

Величина дотичного напру-

ження

прямо пропорційна від-

далі р від центра ваги перерізу

(рис.

4.1) І обчислюється за

формулою:

fl ~

(4.4)

Рис.

4.1

перерізу:

Для кільцевого перерізу:

Тут

де / — полярний момент інерції

перерізу.

Для круглого суцільного

(4.5)

(4.6)

(4.7)

•

де

вн

відповідно, зовнішній і внутрішній діаметри кільця.

•

Умова міцності:

(4.8)

е т

пі

аі

— найбільше дотичне напруження, що виникає в небезпечному

перерізі бруса; М

— крутний момент у небезпечному перерізі бруса,

J W — полярний момент опору перерізу; (т]

—•

допустиме

рр

М =\М

кр

та* '

" р

напруження при крученні.

Для суцільного перерізу:

Для кільцевого перерізу:

Ы=О,5...О,6[а].

(4.9)

«7

=^(l-C

)

= 0X(l~C

). (4.10)

Дільниця

максимальних

напружень

— частина бруса, де величина

таі

змінюється за одним і тим же законом. Як правило, на дільниці т

тз

„ = const.

Границями

дільниць є торцеві перерізи і перерізи, де прикладені скручу-

вальні моменти або змінюються розміри чи форма перерізу.

Взаємний кут повороту торцевих перерізів дільниці деформації

нази-

вається її

кутом

закручування.

Дільниця

деформації

— це частина

бруса, де величина М

і розміри перерізу (полярний момент інерції перерізу

У ) змінюються за одними і тими ж законами, а матеріал бруса (модуль

зсуву

G) один і той же. Границями дільниць є торцеві перерізи і перерізи,

де прикладені скручувальні моменти або змінюються розміри чи форма

перерізу, з також межі різних матеріалів. Кут закручування дільниці визна-

чають за формулою:

(4.11)

Lrfz

^—[радіан],

де / — довжина дільниці.

Добуток GJ

називається жорсткістю перерізу при крученні.

Розділ

При

М -

const

і J

const

кут

закручування дільниці обчислюють

за формулою;

(4.12)

Кут закручування частини бруса, що знаходиться між двома перерізами,

дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування дільниць,

що

знаходяться

між цими перерізами.

гіф

Відносний

кут

закручування

0- ~г-.

Для дільниці

постійними крутним моментом

жорсткістю

[рад/м].

Умова жорсткості:

=^K-s

[el,

"max

Ґ* і L J'

(4.13)

(4.14)

де Л^,,— максимальна величина крутного моменту.

4.1.3.

КРУЧЕННЯ

БРУСІВ

НЕКРУГЛОГО

ПЕРЕРІЗУ

При

крученні

брусів

некруглого перерізу максимальне дотичне

напруження

відносний

кут

закручування обчислюють

за

формулами:

т-

=¥=-: • '

(4.15)

(4.16)

Тут W

— момент опору перерізу

при

крученні,

має

розмірність [L

];

-— момент Інерції перерізу

при

крученні,

має

розмірність

Нижче

наведено значення

для деяких перерізів.

КРУЧЕННЯ

1, Еліптичний переріз (рис.

4.2):

Р^-паЬ

(а>.

(4.17)

а +Ь

Вподовж довільного

радіуса

напруження розподіляються

за

лінійним

законом

паралельні дотичній

до

контуру

точці перетину

радіуса

конту-

ром.

Максимальні дотичні напруження

majl

діють

на

кінцях малої

осі.

Напруження

на

кінцях великої осі:

т_

2. Прямокутний переріз (рис.

4.3):

(4.19)

(4.20)

(4.21)

Тут

h —

розмір більшої,

zb —

меншої сторони прямокутника. Максимальні

напруження

т^

діють

посередині більших сторін. Дотичні напруження

посередині меншої сторони прямокутника:

T.=VW

(4.22)

Рис.

4.2

Рис.

4.3

Розділ

КРУЧЕННЯ

Коефіцієнти

а, (3 і у

залежать

від

співвідношення сторін

h і b і

наведені

табл.

4.1.

При

h/b>\0

приймають

а = |3= 1/3 і

№;

\/3hb

;

= 1/3 Лй

А/Ь

0.208

0,И1

1,000

1,5

0.231

0,1%

0,859

1,75

0,239

0,214

0,820

2,0

0,246

0,229

0,795

2,5

0,256

0,249

0,766

3,0

0,267

0,263

0.753

4,0

0,282

0,281

0.745

6,0

0.299

0,299

0,743

8,0

0,307

0,742

б л и

10,0

0,313

0,742

я 4.1

0,333

0,742

3. Рівносторонній трикутник

(а —

його сторона):

= —

20'

46,2

(4.23)

(4.24)

Найбільші дотичні напруження виникають посередині сторін.

Аналогічні формули отримані

для

інших правильних многокутників.

Вони наведені

довідниках.

4.1.4.

КРУЧЕННЯ

ТОНКОСТІННИХ

ПРОФІЛІВ

Середня

У практиці знаходять широке

застосування тонкостінні профілі:

прокатні профілі (кутик, двотавр, шве-

лер),

тонкостінні труби,

гнуті

та

зварні

профілі різної форми. Вони

можуть

бути

замкненими

відкритими,

А. Замкнеш профілі

(рис.

4.4).

Напруження

довільній точці

тонкостінного замкненого профілю

обчислюють

за

формулою Бредта:

М.

Рис.

4.4

2ш6'

(4.25)

де

ш —

площа, обмежена середньою лінією профілю;

5 —

товщина стінки

а місці визначення

т.

Максимальні дотичні напруження виникають

місцях,

де

стінка

про-

філю

має

мінімальну товщину:

(4.26)

(4.27)

(4.28)

max л є '

2ш5„,„

де

5^—

найменша товщина стінки.

2ш6

ті

„.

Відносний

кут

закручування обчислюють

за

формулою:

де

ds —

елемент середньої лінії профілю, інтегрування виконується

по

всій довжині

середньої лінії профілю:

} =

403

t ds

(4.29)

Якщо

consi,

то

4Gw

(4.30)

(4.31)

Для тонкостінного круглого кільця

(при

відношенні товщини стінки

до середнього діаметра

кільця

— < 0,1):

= пД.

(4.32)

(4,33)

Розділ

КРУЧЕННЯ

Б.

Відкриті профілі.

Довільний відкритий профіль можна представити

як

суму

вузьких

прямокутників

(рис. 4.5).

Відповідно:

'.=£ft-S,-5?.

(4 34)

де

S/\ Ь

—

більша

менша сторони прямокутника;

—

коефіцієнт,

що

визначається

за

табл.

4.1;

W..

Р.-8,

ct.

(4.35)

де

p. і а. —

коефіцієнти, визначені

за

табл." 4.1.

Якщо

S/S,> 10 і 5 =

const,

то а = 3 = 1/3 і

S-S*

ЗЛ-L

•

™-

(4.36)

(4.37)

де

5 —

довжина середньої лінії

від-

критого профілю.

Для профільного прокату:

Л=П^£$8?-

(4.38)

Коефіцієнт

т)

дорівнює:

1,00 — для

кутнкового перерізу;

1,20 — для

двотаврового

пе-

рерізу;

1,15 — для

таврового перерізу;

1,12

—для швелерного перерізу.

(4.39)

Рис.

4 5

де 5

гтіаі

—

найбільша

товщин

прямокутників,

що

утворюють

переріз.

4.1.5.

РОЗРАХУНКИ

НА

КРУЧЕННЯ

ПРЯМИХ

БРУСІВ

Круглі бруси,

що

сприймають обертові

або

скручувальні моменти,

1,-івжди

розраховують

на

міцність

часто

— на

жорсткість. Зустрічаються

гри типи задач.

1. Перевірний розрахунок.

За

відомими крутним моментом, розмірами

лерерізу бруса

механічними характеристиками матеріалу обчислюють

максимальні

дотичне напруження

та

відносний

кут

закручування

порів-

нюють

ЇХ 3

допустимими значеннями,

<->[т],

<-»[Є]

(приклад

4.1).

ft. Визначення вантажопідйомності бруса. Переріз відомий.

умов

і,

Іт] і 0,

па

= [0]

обчислюють допустиме значення крутного моменту

\М

]

(приклад

4.4).

Допустима величина скручувального моменту

Т\ = [М ] і є

вантажопідйомністю.

Ш.

Проектувальний розрахунок,

умов міцності

жорсткості визна-

чають необхідні розміри перерізу. Остаточно приймають більші розміри,

що

задовільняють обидві умови (приклад

4.2).

При

крученні брусів некруглого

тонкостінного профілів зустріча-

ються,

основному, задачі типу

І і II.

4.1.6.

РОЗРАХУНКИ

ЦИЛІНДРИЧНИХ

ГВИНТОВИХ

ПРУЖИН

МАЛИМ

КРОКОМ

Умова міцності пружини

дроту

круглого перерізу

при

розтягу

або

стиску:

•

8WJ

-SM,

(4.40)

К-

де

F —

навантаження,

що діє по осі

пружини;

D —

середній діаметр

пружини;

d —

діаметр

дроту;

К —

коефіцієнт,

що

враховує вплив нахилу

та кривизни витків

поперечної сили, залежить

від

відношення

D/d.

Для пружини

прутка квадратного перерізу:

° *M,

(4.41)

де

)

—

коефіцієнт,

що

залежить

від

відношення середнього діаметра

пружини

до

сторони

перерізу витка.

Оиір

ма